Excitaciones en el continuo

Universidad de Santiago de Compostela Asignatura de Física Nuclear

Curso académico 2012/2013

Tema 6

Excitaciones en el continuo

(desexcitación del núcleo compuesto)

Mecanismos de desexcitación

 Estados excitados ligados (estacionarios):

emisión de rayos gamma

 Estados cuasi-estacionarios:

emisión gamma, neutrón, protón o fisión

 Excitaciones en el contínuo:

emisión gamma, neutrón, protón, cluster o fisión

V

r

a + A  C*

A + a

B + b

C + c

V

r V

r efecto

tunel E_p V

r

Mecanismos de desexcitación

 Energía de excitación y momento angular:línea Yrast

E

J

p n n

 n

 



rot

NC

E E

E 



 

 

 1 2

h

J

J

E

Indice

 El concepto de equilibrio termodinámico y principio de balanza detallada

 Densidades de estados - gas de Fermi

- correcciones de estructura y apareamiento - correcciones por excitaciones colectivas

 Modelo de Weisskopf:

- evaporación de nucleones - evaporación de rayos-

- evaporación de clusters

 Modelo de estados transitorios para la fisión - modelo estadístico de Bohr

- modelo dinámico de Kramer

 Distribuciones de masa y carga de fragmentos de fisión

 Multifragmentación

Conceptos básicos de la desexcitación

 Concepto de equilibrio termodinámico

- hipótesis de equilibrio estadístico

todos los posibles estados finales son equi-probables

 Principio de balanza detallada

- la probabilidad de que el sistema “a” evolucione hacia un

 Canales de desexcitación

- muchos canales de desexcitación son energéticamente accesibles

- cada canal está caracterizado por el balance energético Q y por la densidad de estados que definen el sistema final

 Excitaciones en el contínuo

- se excitan muchos grados de libertad (E*, J, N/Z,…) - el número de posibles estados finales es muy grande

(tratamiento estadístico)

Densidad de estados: modelos estadísticos

 Conceptos básicos de mecánica estadística

-Microestado: un microestado de un sistema está completamente caracterizado si se conocen las posiciones y momentos conjugados de todos sus grados de libertar internos. En el caso de un gas habría que definir las posiciones y momentos de todas las moléculas que lo constituyen.

-Equilibrio termodinámico: un sistema está en equilibrio termodinámico si todos sus microestados ocurren con la misma probabilidad.

-Macroestado: un macroestado de un sistema está definido por las variables externas o macroscópicas que lo caracterizan como su volumen o energía total. Generalmente en un sistema de muchos cuerpos un cierto número de microestados  es compatible con un mismo macroestado.

-Entropía: se define la entropía cómo el logaritmo del número de microestados que son compatibles con un macroestado del sistema S=ln(). Si un sistema está constituido por dos subsistemas el número total de microestados será el producto de los microestados de ambos, la entropía total del sistema será la suma de las entropías de los dos subsistemas.

-Temperatura: en equilibrio termodinámico todos los grados de libertad de un sistema tienen la misma energía media <>. Se define la temperatura como T=2<>. La temperatura también define la variación de entropía que induce una determinada variación del calor Q del sistema, dS =dQ/T.

Densidad de estados: modelos probabilísticos

Supongamos un gas de fermiones con niveles de energía equidistantes (E_n– E_n-1= d) y energía de excitación E-E_f=Kd. El número de microestados del sistema _N(Kd) vendrá dado por el número de veces en que N

nucleones pueden distribuirse entre los estados excitados de forma que la suma de las energías de los estados ocupados sea kd y se respete el principio de exclusión de Pauli:

E* = E-E_f=5d

Este es un problema probabilístico que consiste en determinar el número de

particiones de K en no más de n partes siendo K y n enteros y que puede resolverse mediante la siguiente relación de recurrencia propuesta por Euler:

















0

) ) 1 (

, ( )

1 ,

1 (

) , (

k k

n k

K n P kn

K n

P K

n P

Donde P(n,K) es el número de veces en que se pude dividir K en n partes enteras y k_max=INT(K/n)-1

_N

Densidad de estados: modelos estadísticos

 Densidad de estados para un gas de Fermi

Si consideramos el núcleo como un gas con un sólo tipo de fermiones y despreciamos su momento angular, la densidad de estados o número de microestados del sistema por intervalo de energía estará determinada por las diferentes excitaciones de partícula independiente que N nucleones puedan producirse con un determinado valor de energía total E.

Si introducimos una función g(E) de densidad de niveles de partícula independiente ocupados por unidad de intervalo de energía, podremos describir cada microestado del núcleo “i”como:

Y la función de partición gran canónica que describe el estado macroscópico del núcleo (el sistema intercambia materia y energía con su entorno) como:

Cada microestado del núcleo podrá describirse a partir de las probabilidades de ocupación N_=0,1 de cada uno de los niveles de energía _.

Densidad de estados: modelos estadísticos

 Densidad de estados para un gas de Fermi

Teniendo en cuenta que cada microestado “i” está determinado por las distintas combinaciones que obtenemos con los valores que toma la densidad de ocupación de niveles gⁱ_ para cada nivel 

La función de partición también puede expresarse de forma contínua introduciendo una función de densidad de estados accesibles al sistema

Por tanto, la densidad de estados accesibles al sistema podrá obtenerse a partir de la transformada de Laplace de la función de partición

Resolviendo la integral eligiendo un camino de integración en el campo complejo (método de la máxima pendiente)

Densidad de estados: modelos estadísticos

 Densidad de estados para un gas de Fermi

A partir de las expresiones anteriores podemos obtener la entropía del sistema como

donde los parámetros _o y _ose obtienen minimizando la expresión de la entropía respecto de  y .

En la expresión de la densidad de estados, D es un determinante 2x2 cuyos elementos son las derivadas segundas de lnZ(,) respecto de  y . Para evaluar el término lnZ(,) retomamos la expresión

discreta de la densidad de estados e introducimos una función densidad de ocupación de niveles g().

Esta integral puede resolverse suponiendo una secuencia de niveles equidistantes g()=g_o=d^-1

Donde E_oes la energía del estado fundamental y 

Densidad de estados: modelos estadísticos

 Densidad de estados para un gas de Fermi

A partir de las expresiones anteriores

A partir de estas expresiones podemos calcular el valor del determinante D

Resultando la siguiente expresión para la densidad de estados de un gas con un tipo de fermión

F o

o o 



  

Densidad de estados: modelos estadísticos

 Densidad de estados para un gas de Fermi

El resultado anterior puede generalizarse para un gas con dos tipos de fermiones

Siguiendo un procedimiento análogo al descrito anteriormente llegamos a la siguiente expresión

Teniendo en cuenta que

Entonces

Si suponemos un gas a temperatura constante

Parámetro de densidad de niveles

 Parámetro de densidad de niveles

En un modelo de niveles equidistantes (g()=g_o=d^-1) se define el parámetro de densidad de niveles como 

g

a 6





Este parámetro puede evaluarse a partir de la densidad de niveles ocupados en un gas de Fermi alrededor de la energía de Fermi:

Y por tanto:

Parámetro de densidad de niveles

 Correcciones al parámetro de densidad de niveles

En un núcleo la densidad de niveles no es equidistante sino que está afectada por efectos de estructura, Apareamiento, deformación o niveles de excitación colectivos

p.p.

i.p.

Nivel de Fermi

2

i.i.



Efectos de estructura Efectos de apareamiento

Parámetro de densidad de niveles

 Fórmula del gas de Fermi corregida en energía

Con el objetivo de preservar la simpleza de la expresión de la densidad de estados obtenida para un gas de Fermi con una densidad de niveles constante (niveles equidistantes), en lugar de modificar el parámetro de densidad de niveles introducimos un desplazamiento en el valor de la energía de excitación que corrija el gap producido por los efectos de estructura y apareamiento

0 10 20 30 Excitation energy in MeV

U

)) ( )

(

~ (

2 a E δU k E P h E

S      

U

Nivel de Fermi

2



P

impar

A 12/

P

par - par 0

P









Parámetro de densidad de niveles

 Excitaciones colectivas

Las excitaciones colectivas de los núcleos (vibraciones, rotaciones, …) generan niveles de energía adicionales a los de las excitaciones de partículas independientes

0 10 20 30 Excitation energy in MeV

U

excitaciones individuales

excitaciones colectivas

) ( )

( )

( )

(E



E

k

E

h

E

 

Modelo de Weisskopf

 Evaporación de nucleones:

El modelo de Weisskopf postula que la desexcitación de un núcleo compuesto cuyos estados excitados pueblan niveles del contínuo tiene lugar mediante la emisión (evaporación) secuencial de nucleones que liberan parte de la energía de excitación y del momento angular que había acumulado inicialmente dicho núcleo compuestoLa secuencia de evaporaciones termina cuando el núcleo residual final está en su estado fundamental.

A*  B*+b

C*+c

D*+d ...

El modelo asume que en cada una de esas etapas, el núcleo residual resultante alcanza el equilibrio

termodinámico y por tanto puede considerarse como un nuevo núcleo compuesto.

Cada etapa de la secuencia de evaporación puede dar lugar a múltiples canales de desexcitación energéticamente

accesibles (Q>0). Cada uno de esos canales tendrá asociada

una probabilidad que puede determinarse a partir del





 



Modelo de Weisskopf

 Probabilidad de un canal de desexcitación:

Supongamos un núcleo compuesto con energía de excitación E*_Ique emite una partícula b con energía cinética E_bdejando un núcleo residual con energía de excitación E*_f. Aplicando el principo de balanza detallada

obtenemos:

Siendo el balance energético:

Donde E_ces la barrera Coulombiana para el caso de la emisión de partículas cargadas, S_b es la energía de separación de la partícula emitida y es la energía cinética de b de origen térmico E_b=E_c+

En este caso la densidad de estados finales vendrá dada por el producto de la densidad de estados del núcleo residual y la de la partícula emitida.

La probabilidad (anchura) de un determinado canal de desexcitación vendrá dada por la expresión:

Modelo de Weisskopf

 Probabilidad de un canal de desexcitación:

Teniendo en cuenta que la densidad de estados de la partícula emitida puede determinarse a partir de la densidad del espacio de fases que ocupa la partícula:

y que la probabilidad del proceso inverso _R,NC(captura) puede determinarse a partir de la sección eficaz de captura de la partícula emitida:

Obtenemos la siguiente expresión para la probabilidad del canal de desexcitación (b,E_b):

Que podemos transformar en:

Modelo de Weisskopf

 Probabilidad de un canal de desexcitación:

Para determinar la probabilidad de que un núcleo emita una partícula b, debemos integrar la expresión anterior sobre todas sus posibles valores de energía, siendo la integral que debemos resolver:

Para resolver estas integrales hemos supuesto que E*_I>>E_c+S_b y hemos utilizado la siguiente integral:

En el caso en que la partícula emitida sea un neutrón:

Modelo de Weisskopf

 Probabilidad de un canal de desexcitación:

Sustituyendo estas integrales en la expresión que nos da la anchura de emisión de una partícula b desde un núcleo compuesto con energía E*_iobtenemos:

Si utilizamos la expresión:

La probabilidad parcial de emisión de una partícula será:

Modelo de Weisskopf

 Determinación de las secciones eficaces de captura:

La sección eficaz de captura puede determinarse a partir de la siguiente expresión general:

Donde el coeficiente de transmision T_l() puede evaluarse a partir de las siguientes aproximaciones.

- Aproximación del límite abrupto:

- Calculo de la transmisión a través de la barrera:

E<B: aproximación WBK E~B: método de Hill&Wheeler

Modelo de Weisskopf

 Distribución de energía de las partículas emitidas:

La distribución de energía de las partículas emitidas se obtiene a partir de la expresión diferencial en energía de la anchura de emisión de una partícula:

Teniendo en cuenta:

Llegamos a la expresión:

Teniendo en cuenta que E_b=E_c+

Modelo de Weisskopf

 Tiempos de emisión:

Una vez conocida la anchura cuántica del proceso de evaporación podemos determinar el tiempo asociado a dicho proceso a partir del principio de indeterminación:

Teniendo en cuenta:

Obtenemos:

Modelo de Weisskopf

 Emisión de clusters:

Donde *=_max-E es la energía máxima que puede llevarse cada fragmento y que puede calcularse como:

Por tanto la densidad de estados finales vendrá dada por la convolución de estados finales del núcleo residual y del fragmento emitido, pudiendo describirse la probabilidad de emisión como:

En este caso el cluster (fragmento de masa intermedia) emitido puede estar en un estado excitado :

Modelo de Weisskopf

 Emisión gamma:

En el caso de la emisión de fotones debemos tener en cuenta que y por tanto:

Introduciendo la expresión de la densidad de estados para un gas de Fermi a temperatura constante:

Donde ^_ces la sección eficaz de captura de un fotón. Como esta sección eficaz es bastante pequeña, la probabilidad de desexcitación emitiendo fotones también lo es frente a la emisión de nucleones o clusters y sólo sea dominante cuando la energía de excitación del núcleo compuesto es inferior a la energía de ligadura de neutrones y protones.

Modelo de Weisskopf

 Simulación Monte Carlo de la cascada de evaporación:

Ejemplo de un nucleo que se desexcita emitiendo neutrones, protones y alphas.

A A

A

S S , E E , 2 Z , 4 A P P P random P

P

S S , E E , 1 Z , 1 A P P random P

S S , E E , 0 Z , 1 A P random random

P , P

, P

E ), S , E , Z , A (

E ), S , E , Z , A (

E ), S , E , Z , A (

1,10000 i

E , Z , A

p NC NC

p p

p n p

n

p p

p p

p n n

n n

p p

n

p n p

n p p

p n

n n

NC NC NC

p p NC NC NC p

n n NC NC NC n

NC NC NC































































 











 











 

















 











Desexcitación por fisión

 El potencial de la fisión:

El grado de libertad que describe el potencial que gobierna el proceso de fisión es la deformación nuclear.

modelo de la gota líquida modelo realista con efectos de estructura

Desexcitación por fisión

 El modelo estadístico de fisión:

Según este modelo la fisión es un proceso competitivo con la evaporación de nucleones, clusters o gammas siempre y cuando la energía de excitación de núcleo compuesto sea superior a la altura de la barrera.

Desexcitación por fisión

 Modelo estadístico de Bohr y Wheeler:

El modelo estadístico que determina la probabilidad de fisión presenta dos peculiariades:

- El proceso de fisión es irreversible una vez que el núcleo

alcanza el valor de deformación que corresponde con el máximo de la barrera (saddle point). Por tanto la densidad de estados finales debida a excitaciones intrínsecas del núcleo en realidad corresponde con la densidad de estados que el sistema tiene cuando alcanza el máximo de la barrera.

- Por otra parte, la fracción de la densidad de estados finales debida al movimiento se restringe a una sola dimensión (la deformación o elongación)

h dqdp h

dp p V4

3

2



 

Desexcitación por fisión

 Modelo estadístico de Bohr y Wheeler:

El número de microestados finales en un intervalo de momento (p,p+dp) y de elongación (q,q+dq) sobre la barrera (B_f) puede determinarse como:

)

*

int

(

f sad

sad

E B

h

d   dqdp  

Integrando la variable elongación en un intervalo alrededor del máximo de la barrera (-vt,0):

) (

*) (

*)

(

0 int

0 0

0

int ^max

max

    



t v

p

sad sad

f

d

h E t

h tdp E v

h

dqdp  

 

 

 



A partir de estas expresiones podemos determinar la anchura asociada al proceso de fisión como:

Desexcitación por fisión

 Modelo estadístico de Bohr y Wheeler:

Para resolver la integral anterior pasamos a forma logarítmica:

Desarrollando en serie ln_sadalrededor de E*-B_f:

De esta forma, la integral que debemos resolver se transforma en:

Desexcitación por fisión

 Modelo estadístico de Bohr y Wheeler:

Teniendo en cuenta que:

La integral que queda por resolver es:

Aplicando el cambio de variable:

Por tanto la expresión final que obtenemos para la anchura de fisión es:

Desexcitación por fisión

 Competición fisión-evaporación:

A partir de las expresiones que nos dan la anchura para cada uno de estos procesos obtenemos:

Y utilizando la expresión de la densidad de niveles que obtenemos para un gas de Fermi a temperatura constante:

donde: