OBJETIVO DE LA SESIÓN
Gestionar de forma eficiente los sistemas de filas de espera .
Por tanto…
• Al finalizar la sesión, estará en capacidad de modelar algunas situaciones comunes de filas y estimará la utilización del servicio y longitud de una fila, promediará el tiempo de espera de los clientes.
Definición y estructura de las
filas de espera
Generalidades:
• Las filas de espera se forman cuando llegan los clientes a un servicio a un ritmo más rápido que la tasa a la cual pueden ser atendidos.
Debido a que la tasa de llegada de los clientes varia es posible que se formen largas filas de espera a pesar que la tasa de servicio prevista en el diseño del sistema sea apreciablemente más alta que la tasa promedio de llegada de los clientes.
• Los elementos de filas de espera son :población de clientes, una fila de espera, un sistema de servicio y una regla de prioridad para determinar a qué cliente se atiende luego.
• Filas de espera en fábricas, en el banco , en el hospital , en restaurantes, en todas partes.
Distribución de
Probabilidades, distribución de llegadas y tiempo de
servicio
Distribución de llegadas
• Cuando se describe un sistema de espera es preciso definir el orden de los clientes o las unidades que esperan.
• Tasa de llegadas: Número esperado de clientes que llegan en cada período(ejemplo : un promedio de 1 cada 6 minutos)
• Una distribución constante de llegada es periódica, y el tiempo que transcurre entre las llegadas sucesivas es exactamente el mismo . Ejemplo en los sistema de producción las llegadas que tienen intervalos constantes son las sujetas al control de una máquina.
• Las distribuciones variables de llegadas (aleatorias) son muchos más comunes y son distribuciones estadísticas.
Distribución estadística
Distribución Exponencial
• Cuando las llegadas a un local de servicios se presentan en forma enteramente aleatoria, un plan de tiempos entre llegadas produce una distribución exponencial. Donde 𝜆 es la media de las llegadas por período
𝐹 𝑡 = 𝜆ⅇ−𝜆𝑡; donde 𝜆 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜
Distribución Poisson
• El número de llegadas en un periodo T , se obtiene al encontrar la probabilidad exacta de n llegadas durante T.
• 𝑃𝑇 𝑛 = 𝜆𝑇 𝑛𝑒−𝜆𝑡
𝑛! ; donde n! se define como n(n-1)(n-2)…. (2)(1)
Ejercicios – Distribución Exponencial
En el caso de llegadas únicas a una línea de espera 𝜆 = 1 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
𝐹 𝑡 = 𝜆ⅇ−𝜆𝑡
t (minutos) Probabilidad de que se presente la próxima llegada en t minutos o más
Probabilidad de que se presente la próxima llegada en t minutos o menos ( 1 – columna 2)
0.5 0.61 0.39
1 0.37 0.63
1.5 0.22 0.78
Distribución Poisson
• Si la media de las llegadas de unidades al sistema es de 3 por minuto 𝜆 = 3 y se quiere encontrar la probabilidad de que lleguen exactamente 5 unidades en un período de un minuto (n =5, T=1)
𝑃1 5 = 3𝑥1 5𝑒−3𝑥1
5! = 35𝑒−3
120 = 2.025𝑒−3 = 0.101
Es decir hay una probabilidad de 10.1% de que haya cinco llegadas en un intervalo de un minuto
Características de las llegadas
• Patrones de llegada: Las llegadas a un sistema son controlables. Ejemplo : Los peluqueros pueden disminuir la tasa de llegadas los sábados si cobran un dólar mas por los cortes de adulto ; La demanda de algunos servicios son incontrolables como las urgencias médicas en un hospital.
• Tamaño de las unidades de llegada: Una llegada única se puede considerar una unidad . Ejemplo: la llegada a un restaurante 1 persona. La llegada en grupo es múltiplo de la unidad como un grupo de 5 personas que llega a un restaurante
• Grado de paciencia: La llegada paciente que espera tanto tiempo como sea necesario para el servicio ; Las personas impacientes que llegan y se van .
Tiempo de servicio
• Una característica importante de la estructura de la espera es el tiempo que el cliente o la unidad pasa con el servidor una vez iniciado el servicio. Es la capacidad del servidor para cubrir un número de unidades por período ( como 12 servicios terminados por hora).
• El tiempo de servicio constante indica que cada servicio tarda exactamente el mismo tiempo. Ej operaciones contraladas por máquinas
• Cuando el tiempo de servicio es aleatorio se calcula un aproximado con la distribución exponencial ; se calcula 𝜇. Es el número promedio de unidades o clientes atendidos por período.
Modelos de filas de espera
• Los modelos de líneas de espera usan distribuciones de probabilidad para ofrecer estimaciones del tiempo de retraso promedio de los clientes, la longitud promedio de las filas de espera y la utilización del centro de trabajo.
• El flujo de elementos que reciben servicio puede avanzar por una sola fila, por múltiples filas , o por una combinación de ambas.
• Canal único fase única: Es la estructura más sencilla , se aplican fórmulas simples Ejemplo una peluquería con un solo empleado
• Canal único fase múltiples: Un negocio de lavado de autos tiene una serie de servicios ( aspirar, mojar, lavar, enjuagar, secado, limpiar ventanas) es una secuencia uniforme. La cantidad acumulada de elementos que se permite frente a cada servicio constituye líneas separadas de espera.
• Canales múltiples fase única: Los cajeros en los bancos y las cajas de las tiendas de departamentos que manejan gran volumen
MODELOS DE FILA DE ESPERA
Modelo Distribución Población Ejemplo Habitual
1 Canal único Infinita Cajero para automóviles en un banco
; puente de peaje
2 Canal único Infinita Viajes en la montaña rusa de un parque de diversiones
3 Múltiples canales Infinita Mostrador de refacciones en una agencia de automóviles
4 Canal único Finita Máquina que se descompone y se repara en una fábrica
Ecuaciones para resolver cuatro
problemas modelo
EJEMPLO Modelo 1
• Western National Bank considerar abrir un servicio para que los clientes hagan sus operaciones desde su automóvil. La gerencia estima que el ritmo de llegada de los clientes será de 15 por hora, el cajero que trabajará en la ventanilla pueden atenderlos con un ritmo de uno cada 3 minutos.
• Si se suponen llegadas de Poisson y servicio exponencial encuentre,
• La utilización del cajero
1. El número promedio de automóviles en la fila de espera 2. El numero promedio en el sistema
3. El tiempo promedio de espera en la fila
4. El tiempo promedio de espera en el sistema , incluso el servicio
Ejemplo Modelo 2
• Las franquicias de Robot Company son una combinación de gasolinera y servicio de lavado de automóviles a lo largo y ancho de Estados Unidos. Robot lava un auto gratis cuando llena su tanque de gasolina, y solo el lavado cuesta 0.50 dólares. La experiencia indica que el número de clientes que solicitan un lavado de automóvil después de llenar el tanque es más o menos igual al de los que solo lo lavan. La utilidad promedio de un tanque lleno de gasolina es alrededor de 0.70 dólares, y el costo de un lavado de auto para Robot es de 0.10 dólares. Robot esta abierto 14 horas al día
• Robot tiene 3 unidades eléctricas y piezas de movimiento, y el franquiciatario debe elegir la unidad que prefiere. La unidad I lava un auto cada 5 minutos y su renta cuesta 12 dólares al día.
La Unidad II una unidad más grande, lava un auto cada 4 minutos, pero cuesta 16 dólares por día . La unidad III, la más grande cuesta 22 dólares por día, y lava un auto en 3 minutos.
• El franquiciatario estima que los clientes no esperarán más de 5 minutos en una fila para lavar su auto. Una espera más larga provocará que Robot pierda ventas de gasolina y también de lavado de automóviles .
• Si el cálculo de las llegadas de clientes que terminan en lavados es de 10 por hora ¿Qué unidad de lavado debe escoger?
Ejemplo Modelo 3
• En el departamento de servicios de Glenn- Mark Auto Agency, los mecánicos que requieren refacciones para reparar o dar servicio a los automóviles presentan sus solicitudes en el mostrador del departamento de refacciones. El dependiente llena una solicitud mientras el mecánico espera. Los mecánicos llegan de manera aleatoria (Poisson) con un ritmo de 40 por hora, y un dependiente llena las solicitudes con un ritmo de 20 por hora (exponencial). Si el costo de un dependiente de refacciones es 6 dólares por hora y el costo de un mecánico es de 12 dólares por hora, determine el número óptimo de dependientes que debe haber en el mostrador.(Por la elevada tasa de llegadas, cabe suponer una fuente infinita).
Ejemplo Modelo 4
• Algunos estudios de cuatro telares de la textilera Loose Knit revelan que en promedio un telar se debe ajustar cada hora y que el técnico actual tarda 7 ½ minutos por ajuste. Si se suponen llegadas de Poisson, servicio exponencial y costo de la máquina parada de $40 por hora, determine si se debe contratar a un segundo técnico ( que también tarda un promedio de 7 ½ minutos por ajuste) con un costo de 7 dólares por hora.
Ejercicio para desarrollar
• En la garita aduanal de la frontera de California, los vehículos llegan con un ritmo de 10 por minuto y una distribución Poisson. Para
simplificar el problema, suponga que solo hay un carril y un agente
aduanal que inspecciona los vehículos con un ritmo de 12 por minuto, con una distribución exponencial.
a) Cual es la longitud promedio de la fila de espera?
b) Cual es el tiempo promedio que un vehículo debe esperar para pasar por el sistema ?
c) Cual es la utilización del agente aduanal?
Ejercicio
• American Vending Inc (AVI) suministra alimentos para las máquinas vendedoras de una universidad muy grande. Como los estudiantes muchas veces patean las máquinas por frustración, la gerencia afronta el problema de sus constantes reparaciones. Estas máquinas se descomponen con un promedio de 3 por hora , y las descomposturas se distribuyen en forma Poisson. El tiempo que las máquinas están paradas cuesta a la empresa $25 por hora por unidad, y cada trabajador de mantenimiento gana $4 por hora . Un Trabajador da servicio a las maquinas con un ritmo promedio de 5 por hora, con distribución exponencial, 2 trabajadores juntos dan servicio a 7 por hora, con dist exponencial, y un equipo de 3 trabajadores da servicio a 8 por hora, también con dist exponencial.
• ¿Cuál es el tamaño optimo de la cuadrilla de mantenimiento para dar servicio a las máquinas?
CONCLUSIONES
• Mediante las fórmulas permite a los administradores analizar requerimientos del servicio y establecer condiciones adecuadas para mejorar el nivel de servicio con respecto a tiempo de espera.
Bibliografía de la sesión:
• Administración de Operaciones Producción y Cadena de Suministros, Treceava Edición, Richard B. Chase, F. Robert Jacobs, Editorial MC Graw Hill, México , 2014.