• El tensor de tensiones.

(El tensor de tensiones)

EL SÓLIDO ELÁSTICO (El tensor de tensiones)

• Introducción.

• Componentes intrínsecas del vector tensión.

• El tensor de tensiones.

• Ecuaciones de equilibrio interno.

• Reciprocidad de las tensiones tangenciales.

• Lema de Cauchy.

• Cambio de sistemas de referencia.

• Tensiones y direcciones principales.

• Representación gráfica del tensor de tensiones. Círculos de Möhr

• Tensiones tangenciales máximas.

uuuu

P(x) P(x) P(x) P(x)

PPPP ₂

PPPP ₁ PPPP _i

PPPP _n

Ω

Γ

Diagrama de sólido libre

= 0

∑ ^F

0 M =

∑

¿Qué ocurre en el interior?

z

y

x

¿Qué ocurre en el interior?

z

y

x z

y

x P(x,y,z)

¿Qué ocurre en el interior?

z

y

x

z

y

x

0 z lim

S

F

∆ → S

= ∆ T ∆

z

y

x

y

x

z

y x

P(x,y,z)

z

y

P(x,y,z)

x z

y

x

z

y

P(x,y,z)

lim 0

y S

F

∆ → S

= ∆ T ∆

x y

x

P(x,y,z) z

y

x

P(x,y,z) y

x

z

y

x P(x,y,z) z

y

x

z

y

P(x,y,z)

z

y

x

lim 0

x S

F

∆ → S

= ∆ T ∆

y

x

x

z

y

x

P(x,y,z) z

y

x

y

x

P(x,y,z) y

x

T xy

T xx

T x

( , , )

yx zx

yy xx

xy xz

zy

yx zz

T T T T T

y

T x

T

z T

T

 

 

=  

 

 

T

z

y

x

z

y

x

P(x,y,z)

T xy

T xx

T xz

T x

y

x

P(x,y,z) y

x

T y

T yx

T yz

T yy

( , , )

yx zx

yy xx

xy xz

zy

yx zz

T T T T T

y

T x

T

z T

T

 

 

=  

 

 

T

z

y

x

P(x,y,z) z

y

x

( , , )

yx yy

zx z xx

y zz

x yz

xy z

T T T

T

z T

x T

T

T y

T

 

 

=  

 

 

T

T y

T yx

T yz

T yy

y

x

P(x,y,z) y

x

T zz

T zy

T zx

T z

( , , )

yx yy

zx z xx

y zz

x yz

xy z

T T T

T

z T

x T

T

T y

T

 

 

=  

 

 

T

z

y

x

P(x,y,z) z

y

x

T zz

T zy

T zx

T z

( , , )

yx yy

zx z xx

y zz

x yz

xy z

T T T

T

z T

x T

T

T y

T

 

 

=  

 

 

T

z

y

x xx

T

T xz

T xy P(x,y,z)

T yx

T yz

T yy

T zz

T zy

T zx

La representación gráfica de todas las componentes juntas

no tiene ningún sentido ni interés práctico

y

x

( , , )

yx yy

zx z xx

y zz

x yz

xy z

T T T

T

z T

x T

T

T y

T

 

 

=  

 

 

T

P(x,y,z) P(x,y,z)

T yx

T yz

T yy

T zz

T zy

T zx

Pero su representación en el llamado

paralelepípedo elemental nos permite “ver”

el estado tensional en el entorno del punto

z

y

x

T xx

T xz

T xy

( , , )

yx yy

zx z xx

y xy

T T

T

z T

x T

T y

 

 

=  

T

T yx

T yz

T yy

T zz

T zy

T zx

en el llamado

paralelepípedo elemental nos permite “ver”

el estado tensional en el entorno del punto

P(x,y,z) z

x y

P(x,y,z) y

x

T xx

T xz

T xy

( , , )

yx yy

zx z xx

y zz

x yz

xy z

T T T

T

z T

x T

T

T y

T

 

 

=  

 

 

T

T yx

T yz

T yy

T zz

T zy

T zx

Pero su representación en el llamado

paralelepípedo elemental nos permite “ver”

el estado tensional en el entorno del punto

P(x,y,z) P(x,y,z)

z

y x

P(x,y,z) z

T xx

T xz

T xy

( , , )

yx yy

zx z xx

y xy

T T

T

z T

x T

T y

 

 

=  

T

z

y x

( , , )

yx yy

zx x

zy x

xy

yz

xz zz

x y z

σ σ σ

 

=  

 



σ σ

σ σ

 σ

σ σ

σ yx

τ yx

σ yz

σ yy

σ zz

σ zy

σ zx

τ yz

σ zz

τ zy

τ zx P(x,y,z)

P(x,y,z)

σ xx

σ xz

σ xy

σ xx

τ xz

τ xy

( , , )

yx yy

zx x

zy x

xy

yz

xz zz

x y z

σ τ τ

 

 

=  

 



τ τ σ σ

 τ

τ σ

σ yy

τ xy P(x,y,z)

z

y x

τ yx zz

τ zy

τ zx

σ xx

τ xz

τ xy

τ yz

σ yy

τ yx

τ yz

σ yy

σ zz

τ zy

τ zx

En las caras ocultas están, OBVIAMENTE,

las mismas componentes del tensor de tensiones

P(x,y,z) z

y x

σ xx

τ xz

τ xy

π

TTTT

TTTT

π σσσσ

ττττ

σσσσ ττττ

ηηηη

S P

ηηηη

2 = σ + τ 2 2

T

P(x,y,z)

τ xy

τ xz

τ yx

τ yz

σ σ

τ zy

τ zx τ σ

τ τ

= σ + τ T

π

TTTT

TTTT

π σσσσ

ττττ

σσσσ ττττ

ηηηη

S P

ηηηη

P(x,y,z)

π

ηηηη

−−−−ηηηη

Conocidas las c.i.

no podemos determinar

π

TTTT

TTTT

π σσσσ

ττττ

σσσσ ττττ

ηηηη

S P

ηηηη

dy dx

dz

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

z

y

x

dy dx

dz

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

z

y x

P(x,y,z)

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

yy ( ) Q

σ

yx ( ) Q

τ

yz ( ) Q

τ

zz ( ) Q

σ

zx ( ) Q

τ τ _zy ( Q )

xx ( ) Q

σ

xy ( ) Q

τ

xz ( ) Q

τ ^z

y x

dx dy

dz

zz ( ) P

σ

zx ( ) P

τ

( )

zy P

τ

xx ( ) P ( ) σ

xy P

τ

xz ( ) P

τ

yy ( ) P

σ _{( )}

yx P

τ

yz ( ) P

τ

z

y x

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

dx

dy dz

P(x,y,z)

P(x,y,z) Q(x+dx,y+dy,z+dz)

z

y x

cdg

P(x,y,z) Q(x+dx,y+dy,z+dz)

z

y x

cdg

F _v

P(x,y,z) Q(x+dx,y+dy,z+dz)

z

y x

Z

X Y

cdg

F _v

yx 0

xx zx X

x y z

∂σ + ∂τ + ∂τ + =

∂ ∂ ∂

xy yy zy 0

x y z Y

∂τ ∂σ ∂τ

+ + + =

∂ ∂ ∂

yz 0

xz zz

x y z Z

∂τ + ∂τ + ∂σ + =

∂ ∂ ∂

de fuerzas

equilibrio interno

x 0 F =

∑

y 0 F =

∑

z 0 F =

∑

( ) Q dydz ( ) Q dxdz ( ) Q dxdy

σ + τ + τ −

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

xx yx zx

xx yx zx

Q Q Q

P P P

dydz dxdz dxdy

dydz dxdz dxdy X dxdydz

σ + τ + τ −

− σ + τ + τ + =

z

y

x

yx 0

xx zx X

x y z

∂σ + ∂τ + ∂τ + =

∂ ∂ ∂

xy yy zy 0

x y z Y

∂τ ∂σ ∂τ

+ + + =

∂ ∂ ∂

yz 0

xz zz

x y z Z

∂τ + ∂τ + ∂σ + =

∂ ∂ ∂

de fuerzas

x 0 F =

∑

y 0 F =

∑

z 0 F =

∑

( ) Q dydz ( ) Q dxdz ( ) Q dxdy

σ + τ + τ −

equilibrio interno

El problema elástico El problema elástico El problema elástico El problema elástico El problema elástico El problema elástico El problema elástico El problema elástico

F(x,y,z) u(x,y,z)

εεεε (x,y,z)

Rel. cinemáticas

Comportamiento Equilibrio

σσσσ (x,y,z) 0

x + y + z + = X

∂ ∂ ∂

xy yy zy 0

x y z Y

∂τ ∂σ ∂τ

+ + + =

∂ ∂ ∂

yz 0

xz zz Z

x y z

∂τ + ∂τ + ∂σ + =

∂ ∂ ∂

yz zy

τ = τ

de momentos

tensiones tangenciales

xz zx

τ = τ

xy yx

τ = τ

El tensor de tensiones es SIMÉTRICO

x 0 M =

∑

y 0 M =

∑

z 0 M =

∑

( , , )

xx xy xz

yy yz

zz

x y z

sim

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

P(x,y,z) z

y

x

z

y

x

z

y

x

ηηηη

P(x,y,z)

z

y

cos ηηηη

cos l

m

α

   

   

=    = β  η

γ

α β

z

y

x

cos ηηηη

cos cos l

m n

α

   

   

=    = β 

   γ 

   

η

γ α β

z

y

x

T ^ηηηη

T

z

y

cos ηηηη

cos l

m

α

   

   

=    = β  η

γ α β

z

y

x

ηηηη

xx xy xz

yy yz

zz

l m

sim n

σ τ τ

   

   

= =  σ τ   

 σ   

   

T σ η Cauchy

Equilibrio en el contorno

2 2 2

1

l + m + n =

El problema elástico El problema elástico El problema elástico El problema elástico El problema elástico El problema elástico El problema elástico El problema elástico

F(x,y,z) u(x,y,z)

εεεε (x,y,z)

Rel. cinemáticas

Comportamiento Equilibrio

σσσσ (x,y,z)

Equilibrio en el contorno

yx 0

xx zx X

x y z

∂σ + ∂τ + ∂τ + =

∂ ∂ ∂

xy yy zy 0

x y z Y

∂τ ∂σ ∂τ

+ + + =

∂ ∂ ∂

yz 0

xz zz Z

x y z

∂τ + ∂τ + ∂σ + =

∂ ∂ ∂

xx xy xz

yy yz

zz

l m

sim n

σ τ τ

   

   

= =  σ τ   

 σ   

   

T σ η

z

y x

xx xy xz

yy yz

sim zz

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

σ xx

τ xy

σ yy

σ zz

τ xz

τ yz

2 3

1

11 12 13

22 23

33

'

sim

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

σ 22

σ 11 τ ¹² τ 23

τ 13

2 3

1

τ 13

z

xx xy xz

yy yz

sim zz

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

11 12 13

22 23

33

'

sim

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ σ xx

τ xy

σ yy

σ zz

τ xz ^yz

τ

2 3

1

σ 22

σ 11 τ 12

τ 23

τ 13

τ 13

z

y x

xx xy xz

yy yz

sim zz

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

11 12 13

22 23

33

'

sim

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

2 3

1

¿f , ′ 0?

′ ′ ′

′

′

Sea una matriz

P tal que

z

y x

xx xy xz

yy yz

sim zz

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

11 12 13

22 23

33

'

sim

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

2 3

1

¿f , ′ 0?

′ ′ ′

′

′

Sea una matriz

P tal que

z

y x

xx xy xz

yy yz

sim zz

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

11 12 13

22 23

33

'

sim

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

2 3

1

¿f , ′ 0?

′ ′ ′

′

′

Sea una matriz

P tal que

z

y x

xx xy xz

yy yz

sim zz

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

11 12 13

22 23

33

'

sim

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

2 3

1

¿f , ′ 0?

′ ′ ′

′

′

Sea una matriz

P tal que

z

y x

xx xy xz

yy yz

sim zz

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

11 12 13

22 23

33

'

sim

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

2 3

1

′ ′ ′

Si P es una matriz ′

tal que

′

′ ′

Si P es una matriz

tal que

z

y x

xx xy xz

yy yz

sim zz

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

11 12 13

22 23

33

'

sim

σ τ τ

 

 

=  σ τ 

 σ 

 

σ

2 3

1

¿f , ′ 0?

′ ′ ′

Sea una matriz ′

P tal que

¿Es posible encontrar un plano como este?

π ^P(x,y,z)

T

l m

n

   

=  

    η

− η

l m

n

   

= =  

   

T T η T

π ^P(x,y,z)

− η

Lema de Cauchy

¿Es posible encontrar un plano como este?

l m

n

   

=  

    η

l m

n

   

= = λ  

    T T η

=

T σ η

π ^P(x,y,z)

− η

= = λ

T σ η η ⇒ σ η − λ = η 0 ⇒ ( σ − λ I η ) = 0

Lema de Cauchy

¿Es posible encontrar un plano como este?

l m

n

   

=  

    η

l m

n

   

= = λ  

    T T η

=

T σ η

π ^P(x,y,z)

− η

= = λ

T σ η η ^⇒ σ η − λ = η 0 ^⇒

Lema de Cauchy

¿Es posible encontrar un plano como este?

l m

n

   

=  

    η

l m

n

   

= = λ  

    T T η

=

T σ η

2 2 2

1 l + m + n =

0

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

l m

n

 σ − λ τ τ   

 τ σ − λ τ    =

   

 τ τ σ − λ     

 

( σ − λ I η ) = 0

π ^P(x,y,z)

∃ ^solución ⇔

¿Es posible encontrar un plano como este?

l m

n

   

=  

    η

− η

l m

n

   

= = λ  

    T T η

0

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

l m

n

 σ − λ τ τ   

 τ σ − λ τ    =

   

 τ τ σ − λ     

 

det 0

xx xy xz

xy yy yz

  σ − λ τ τ  

   

τ σ − λ τ =

   

 

 

π ^P(x,y,z)

− η

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

¿Es posible encontrar un plano como este?

l m

n

   

=  

    η

l m

n

   

= = λ  

    T T η

det 0

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

  σ − λ τ τ  

   

τ σ − λ τ =

   

 

  τ τ σ − λ  

  ^{3 2}

2 3

1 I 0

I I

λ − λ + λ − =

( ) _{xx yy zz} tr σ = σ + σ + σ

[ ]

det σ

2 2 2

( σ σ − τ xx yy xy ) ( + σ σ − τ xx zz xz ) ( + σ σ − τ yy zz yz )

2 2 2

1

l + m + n =

π ^P(x,y,z)

− η

⇒ η η 1 , 2 , η 3

∃ λ λ λ ₁ , ₂ , ₃ ⇒ ( σ − λ _i I η ) _i = 0

ECUACIÓN CARACTERÍSTICA

Tres raíces reales

¿Es posible encontrar un plano como este?

l m

n

   

=  

    η

l m

n

   

= = λ  

    T T η

3 2

2 3

1 I 0

I I

λ − λ + λ − =

1 0 0

0 1 0 0

0 0 1

xx xy xz i

xy yy yz i i

xz yz zz i

l m

n

  σ τ τ      

  τ σ τ  − λ      =

       

   

 

  τ τ σ      

 

π ^P(x,y,z)

− η

SÍ

Tres planos

¿Es posible encontrar un plano como este?

l m

n

   

=  

    η

l m

n

   

= = λ  

    T T η

, ,

I II III

η η η

π ^P(x,y,z)

− η

SÍ

Tres planos

¿Es posible encontrar un plano como este?

l m

n

   

=  

    η

l m

n

   

= = λ  

    T T η

, ,

I II III

η η η

Además las direcciones forman una base

i ⋅ j = 0

η η

π ^P(x,y,z)

− η

SÍ

Tres planos

¿Es posible encontrar un plano como este?

l m

n

   

=  

    η

l m

n

   

= = λ  

    T T η

, ,

I II III

η η η

Además las direcciones forman una base

σ I

σ II

σ III

0 0

0 0

0 0

I

II

III

σ

 

 

 σ 

 σ 

 

i ⋅ j = 0

η η

π ^P(x,y,z)

− η

SÍ

Tres planos

¿Es posible encontrar un plano como este?

l m

n

   

=  

    η

l m

n

   

= = λ  

    T T η

, ,

I II III

η η η

Además las direcciones forman una base

III

σ II

σ III

η III

η II

0 0

0 0

0 0

I

II

III

σ

 

 

 σ 

 σ 

 

i ⋅ j = 0

η η

P(x,y,z)

π

ηηηη

2 2

= σ + τ T

z

y

x

ηηηη

γ α β

T σ

τ

P(x,y,z)

π

ηηηη

2 = σ + τ 2 2

T T σ τ

Circunferencias de Möhr

( ) τ T η

z

y

x

ηηηη

γ

α β

¿Estos puntos describen algún

lugar geométrico variando la normal?

P(x,y,z)

π

ηηηη

2 2

= σ + τ T

T σ τ

( 1 ) T η

( 6 )

5 T η ( ) T η

( 4 ) T η

( 3 ) T η ( 2 )

T η

( _n ) T η

σ

τ

Circunferencias de Möhr

SÍ

¿Estos puntos describen algún

lugar geométrico variando la normal?

P(x,y,z)

π

ηηηη

= σ + τ T

T σ τ

σ

τ

SÍ

¿Estos puntos describen algún

lugar geométrico variando la normal?

P(x,y,z)

π

ηηηη

T σ τ

σ I

σ II

σ III σ

τ

Circunferencias de Möhr

0 0 0

( , , )

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

x y z

 σ τ τ 

 

= τ  σ τ 

 τ τ σ 

 

σ

0 0 0

0 0

( , , ) 0 0

0 0

I

II

III

x y z

σ

 

 

=  σ 

 σ 

 

σ

¿Máxima?

tensión normal

¿Mínima?

tensión normal

σ τ

σ III σ _II σ _I

0 0 0

( , , )

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

x y z

 σ τ τ 

 

= τ  σ τ 

 τ τ σ 

 

σ

0 0 0

0 0

( , , ) 0 0

0 0

I

II

III

x y z

σ

 

 

=  σ 

 σ 

 

σ

Circunferencias de Möhr

¿Máxima?

tensión normal

¿Mínima?

tensión normal

σ τ

σ III σ _II σ _I

0 0 0

( , , )

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

x y z

 σ τ τ 

 

= τ  σ τ 

 τ τ σ 

 

σ

0 0 0

0 0

( , , ) 0 0

0 0

I

II

III

x y z

σ

 

 

=  σ 

 σ 

 

σ

¿Máxima?

tensión normal

¿Mínima?

tensión normal

Cuidado con el signo

σ

σ III σ _II σ _I

0 0 0

( , , )

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

x y z

 σ τ τ 

 

= τ  σ τ 

 τ τ σ 

 

σ

0 0 0

0 0

( , , ) 0 0

0 0

I

II

III

x y z

σ

 

 

=  σ 

 σ 

 

σ

!!!

Circunferencias de Möhr

Máxima tensión tangencial

0 0 0

( , , )

xx xy xz

xy yy yz

xz yz zz

x y z

 σ τ τ 

 

= τ  σ τ 

 τ τ σ 

 

σ

0 0 0

0 0

( , , ) 0 0

0 0

I

II

III

x y z

σ

 

 

=  σ 

 σ 

 

σ

σ τ

τ max

max 2

I III

σ − σ

τ =

I

II III

cos 0 sen

α

 

 

=  

 α 

 

η

Sea una normal contenida

en un plano principal

sen 0 cos

α

 

 

=  

 − α 

 

t

0 0

0 0

II

III

=  σ 

 σ 

 

σ

α

Circunferencias de Möhr

I

II III

cos 0 sen

α

 

 

=  

 α 

 

η

Sea una normal contenida

en un plano principal

sen 0 cos

α

 

 

=  

 − α 

 

t

0 0

0 0

II

III

 

=  σ 

 σ 

 

σ

cos 0 sen

I

III

σ α

 

 

= =  

 σ α 

 

T σ η

α

I

II III

cos 0 sen

α

 

 

=  

 α 

 

η

Sea una normal contenida

en un plano principal

sen 0 cos

α

 

 

=  

 − α 

 

t

Componentes intrínsecas

0 0

0 0

II

III

=  σ 

 σ 

 

σ

cos 0 sen

I

III

σ α

 

 

= =  

 σ α 

 

T σ η

2 2

( ) ^t _I cos _III sen

σ = σ η η = σ α + σ α =

2 1 cos 2

cos 2

+ α

α =

2 1 cos 2

sen 2

− α

α =

sen 2 sen cos

2 α α = α

α

Circunferencias de Möhr

I

II III

cos 0 sen

α

 

 

=  

 α 

 

η

Sea una normal contenida

en un plano principal

sen 0 cos

α

 

 

=  

 − α 

 

t

Componentes intrínsecas

0 0

0 0

II

III

 

=  σ 

 σ 

 

σ

cos 0 sen

I

III

σ α

 

 

= =  

 σ α 

 

T σ η

α

cos 2

2 2

I III I III

σ + σ σ − σ

= + α

2 2

( ) ^t _I cos _III sen

σ = σ η η = σ α + σ α =

2 1 cos 2

cos 2

+ α

α =

2 α = 1 cos 2 − α

I

II III

cos 0 sen

α

 

 

=  

 α 

 

η

Sea una normal contenida

en un plano principal

sen 0 cos

α

 

 

=  

 − α 

 

t

Componentes intrínsecas

0 0

0 0

II

III

=  σ 

 σ 

 

σ

cos 0 sen

I

III

σ α

 

 

= =  

 σ α 

 

T σ η

( ) ^t ( _{I III} ) sen cos τ = σ η t = σ − σ α α =

α

cos 2

2 2

I III I III

σ + σ σ − σ

= + α

2 2

( ) ^t _I cos _III sen

σ = σ η η = σ α + σ α =

2 1 cos 2

cos 2

+ α

α =

2 1 cos 2

sen 2

− α

α =

sen 2 sen cos

2

α α = α

Circunferencias de Möhr

I

II III

cos 0 sen

α

 

 

=  

 α 

 

η

Sea una normal contenida

en un plano principal

sen 0 cos

α

 

 

=  

 − α 

 

t

Componentes intrínsecas

0 0

0 0

II

III

 

=  σ 

 σ 

 

σ

cos 0 sen

I

III

σ α

 

 

= =  

 σ α 

 

T σ η

cos 2

2 2

I III I III

σ + σ σ − σ

= + α

α

2 2

( ) ^t _I cos _III sen

σ = σ η η = σ α + σ α =

( ) ^t ( _{I III} ) sen cos τ = σ η t = σ − σ α α =

2 1 cos 2

cos 2

+ α

α =

2 α = 1 cos 2 − α

sen 2 2

I III

σ − σ

τ = α

cos 2

2 2

I III I III

σ + σ σ − σ

σ = + α

Circunferencias de Möhr

cos 2

2 2

I III I III

σ + σ σ − σ

σ = + α

x 0

x y

y 0 R

2 2 2

0 0

( x − x ) + ( y − y ) = R

2 2

2 2 2

(cos 2 sen 2 )

2 2

I III I III

σ + σ σ − σ

   

σ − + τ = α + α

   

   

1

sen 2 2

I III

σ − σ

τ = α

cos 2

2 2

I III I III

σ + σ σ − σ

σ = + α

x 0

x y

y 0 R

2 2 2

0 0

( x − x ) + − ( y y ) = R