1
Ángulos
D e f i n i c i ó n d e á n g u l o
U n á n g u l o e s l a r e g i ó n d e l p l a n o c o m p r e n d i d a e n t r e d o s s e m i r r e c t a s c o n o r i g e n c o m ú n . A l a s s e m i r r e c t a s s e l a s l l a m a l a d o s y a l o r i g e n c o m ú n v é r t i c e .
M e d i d a d e á n g u l o s
P a r a m e d i r á n g u l o s u t i l i z a m o s e l g r a d o s e x a g e s i m a l ( ° )
G r a d o s e x a g e s i m a l e s l a a m p l i t u d d e l á n g u l o r e s u l t a n t e d e d i v i d i r l a c i r c u n f e r e n c i a e n 3 6 0 p a r t e s i g u a l e s .
1 º = 6 0 ' = 3 6 0 0 ' '
1 ' = 6 0 ' '
D e f i n i c i ó n d e r a d i á n
R a d i á n ( r a d ) e s l a m e d i d a d e l á n g u l o c e n t r a l d e u n a c i r c u n f e r e n c i a c u y a l o n g i t u d d e a r c o c o i n c i d e c o n l a l o n g i t u d d e s u r a d i o .
1 r a d = 5 7 ° 1 7 ' 4 4 . 8 ' '
2
Clasificación de ángulos
C l a s i f i c a c i ó n d e á n g u l o s s e g ú n s u m e d i d a
A g u d o < 9 0 ° R e c t o = 9 0 ° O b t u s o > 9 0 °
C o n v e x o < 1 8 0 ° L l a n o = 1 8 0 ° C ó n c a v o > 1 8 0 °
N u l o = 0 º C o m p l e t o = 3 6 0 °
N e g a t i v o < 0 º M a yo r d e 3 6 0 °
C l a s i f i c a c i ó n d e á n g u l o s s e g ú n s u p o s i c i ó n
Á n g u l o s c o n s e c u t i v o s
Á n g u l o s c o n s e c u t i v o s s o n a q u e l l o s q u e t i e n e n e l v é r t i c e y u n l a d o c o m ú n
3 Á n g u l o s a d y a c e n t e s
Á n g u l o s a d y a c e n t e s s o n a q u e l l o s q u e t i e n e n e l v é r t i c e y u n l a d o c o m ú n , y l o s o t r o s l a d o s s i t u a d o s u n o e n p r o l o n g a c i ó n d e l o t r o .
F o r m a n u n á n g u l o l l a n o .
Á n g u l o s o p u e s t o s p o r e l v é r t i c e
S o n l o s q u e t e n i e n d o e l v é r t i c e c o m ú n , l o s l a d o s d e u n o s o n p r o l o n g a c i ó n d e l o s l a d o s d e l o t r o .
L o s á n g u l o s 1 y 3 s o n i g u a l e s . L o s á n g u l o s 2 y 4 s o n i g u a l e s .
C l a s i f i c a c i ó n d e á n g u l o s s e g ú n s u s u m a
Á n g u l o s c o m p l e m e n t a r i o s
D o s á n g u l o s s o n c o m p l e m e n t a r i o s s i
s u m a n 9 0 ° .
Á n g u l o s s u p l e m e n t a r i o s
D o s á n g u l o s s o n s u p l e m e n t a r i o s s i s u m a n 1 8 0 ° .
4 Á n g u l o s r e s u l t a n t e s d e l c o r t e e n t r e d o s r e c t a s p a r a l e l a s y p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s í
Á n g u l o s c o r r e s p o n d i e n t e s
L o s á n g u l o s 1 y 2 s o n i g u a l e s .
Á n g u l o s a l t e r n o s i n t e r n o s
L o s á n g u l o s 2 y 3 s o n i g u a l e s .
Á n g u l o s a l t e r n o s e x t e r n o s
L o s á n g u l o s 1 y 4 s o n i g u a l e s .
5 T i p o s d e á n g u l o s d e u n p o l í g o n o r e g u l a r
𝜶 = á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 𝜷 = á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝜸 = á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓
Á n g u l o c e n t r a l d e u n p o l í g o n o r e g u l a r
E s e l f o r m a d o p o r d o s r a d i o s c o n s e c u t i v o s .
S i n e s e l n ú m e r o d e l a d o s d e u n p o l í g o n o : Á n g u l o c e n t r a l = 3 6 0 ° : n
E j e m p l o : Á n g u l o c e n t r a l d e l p e n t á g o n o r e g u l a r = 3 6 0 ° : 5 = 7 2 º
Á n g u l o i n t e r i o r d e u n p o l í g o n o r e g u l a r E s e l f o r m a d o p o r d o s l a d o s c o n s e c u t i v o s .
Á n g u l o i n t e r i o r = 1 8 0 ° − Ángulo central
E j e m p l o : Ángulo interior del pentágono regular = 180° − 72º = 108º
Á n g u l o e x t e r i o r d e u n p o l í g o n o r e g u l a r
E s e l f o r m a d o p o r u n l a d o y l a p r o l o n g a c i ó n d e u n l a d o c o n s e c u t i v o .
6 L o s á n g u l o s e x t e r i o r e s e i n t e r i o r e s s o n s u p l e m e n t a r i o s , e s d e c i r , q u e s u m a n 1 8 0 º .
Á n g u l o e x t e r i o r = Á n g u l o c e n t r a l
E j e m p l o : Á n g u l o e x t e r i o r d e l p e n t á g o n o r e g u l a r = 7 2 º
Circunferencia y círculo
E s u n a l í n e a c u r v a c e r r a d a c u y o s p u n t o s e s t á n t o d o s a l a m i s m a d i s t a n c i a d e u n p u n t o f i j o l l a m a d o c e n t r o .
C e n t r o
P u n t o d e l q u e e q u i d i s t a n ( e s t á n a l a m i s m a d i s t a n c i a ) t o d o s l o s p u n t o s d e l a c i r c u n f e r e n c i a .
R a d i o
S e g m e n t o q u e u n e e l c e n t r o d e l a c i r c u n f e r e n c i a c o n u n p u n t o c u a l q u i e r a d e l a m i s m a .
E l e m e n t o s d e l a c i r c u n f e r e n c i a C u e r d a
S e g m e n t o q u e u n e d o s p u n t o s d e l a c i r c u n f e r e n c i a .
D i á m e t r o
C u e r d a q u e p a s a p o r e l c e n t r o .
7 A r c o
C a d a u n a d e l a s p a r t e s e n q u e u n a c u e r d a d i v i d e a l a c i r c u n f e r e n c i a . S e s u e l e a s o c i a r a c a d a c u e r d a e l m e n o r a r c o q u e d e l i m i t a .
S e m i c i r c u n f e r e n c i a
C a d a u n o d e l o s a r c o s i g u a l e s q u e a b a r c a u n d i á m e t r o .
C í r c u l o
E s l a f i g u r a p l a n a c o m p r e n d i d a e n e l i n t e r i o r d e u n a c i r c u n f e r e n c i a .
E l e m e n t o s d e u n c í r c u l o S e g m e n t o c i r c u l a r
P o r c i ó n d e c í r c u l o l i m i t a d a p o r u n a c u e r d a y e l a r c o c o r r e s p o n d i e n t e .
S e m i c í r c u l o
P o r c i ó n d e l c í r c u l o l i m i t a d a p o r u n d i á m e t r o y e l a r c o c o r r e s p o n d i e n t e . E q u i v a l e a l a m i t a d d e l c í r c u l o .
8 S e c t o r c i r c u l a r
P o r c i ó n d e c í r c u l o l i m i t a d a p o r d o s r a d i o s .
C o r o n a c i r c u l a r
P o r c i ó n d e c í r c u l o l i m i t a d a p o r d o s c í r c u l o s c o n c é n t r i c o s .
T r a p e c i o c i r c u l a r
P o r c i ó n d e c í r c u l o l i m i t a d a p o r d o s r a d i o s y u n a c o r o n a c i r c u l a r .
Á n g u l o s d e l a c i r c u n f e r e n c i a Á n g u l o c e n t r a l
Á n g u l o q u e t i e n e s u v é r t ic e e n e l c e n t r o d e l a c i r c u n f e r e n c i a y s u s l a d o s s o n d o s r a d i o s .
L a m e d i d a d e u n a r c o e s l a d e s u á n g u l o c e n t r a l c o r r e s p o n d i e n t e .
9 Á n g u l o i n s c r i t o
S u v é r t i c e e s t á e n l a c i r c u n f e r e n c i a y s u s l a d o s s o n s e c a n t e s a e l l a .
M i d e l a m i t a d d e l a r c o q u e a b a r c a .
Á n g u l o s e m i i n s c r i t o
S u v é r t i c e e s t á e n l a c i r c u n f e r e n c i a , u n l a d o s e c a n t e y e l o t r o t a n g e n t e a e l l a .
M i d e l a m i t a d d e l a r c o q u e a b a r c a .
Á n g u l o i n t e r i o r
S u v é r t i c e e s i n t e r i o r a l a c i r c u n f e r e n c i a y s u s l a d o s s e c a n t e s a e l l a .
M i d e l a m i t a d d e l a s u m a d e l a s m e d i d a s d e l o s a r c o s q u e a b a r c a n s u s l a d o s y l a s p r o l o n g a c i o n e s d e s u s l a d o s .
Á n g u l o e x t e r i o r
S u v é r t i c e e s u n p u n t o e x t e r i o r a l a c i r c u n f e r e n c i a y l o s l a d o s d e s u s á n g u l o s s o n : o s e c a n t e s a e l l a , o u n o t a n g e n t e o t r o s e c a n t e , o t a n g e n t e s a e l l a :
10 M i d e l a m i t a d d e l a d i f e r e n c i a e n t r e l a s m e d i d a s d e l o s a r c o s q u e a b a r c a n s u s l a d o s s o b r e l a c i r c u n f e r e n c i a .
Triángulos
U n t r i á n g u l o e s u n p o l í g o n o c o n t r e s l a d o s .
P r o p i e d a d e s d e l o s t r i á n g u l o s
1 U n l a d o d e u n t r i á n g u l o e s m e n o r q u e l a s u m a d e l o s o t r o s d o s y m a yo r q u e s u d i f e r e n c i a .
2 L a s u m a d e l o s á n g u l o s i n t e r i o r e s d e u n t r i á n g u l o e s i g u a l a 1 8 0 ° . 3 E l v a l o r d e u n á n g u l o e x t e r i o r e s i g u a l a l a s u m a d e l o s d o s i n t e r i o r e s n o a d y a c e n t e s .
T i p o s d e t r i á n g u l o s S e g ú n s u s l a d o s
T r i á n g u l o e q u i l á t e r o
T r e s l a d o s i g u a l e s .
T r i á n g u l o i s ó s c e l e s
D o s l a d o s i g u a l e s .
11
T r i á n g u l o e s c a l e n o
T r e s l a d o s d e s i g u a l e s S e g ú n s u s á n g u l o s
T r i á n g u l o a c u t á n g u l o
T r e s á n g u l o s a g u d o s
T r i á n g u l o r e c t á n g u l o
U n á n g u l o r e c t o
E l l a d o m a yo r e s l a h i p o t e n u s a . L o s l a d o s m e n o r e s s o n l o s c a t e t o s . T r i á n g u l o o b t u s á n g u l o
U n á n g u l o o b t u s o .
12
Elementos notables en un triángulo .
A l t u r a s , m e d i a n a s , m e d i a t r i c e s y b i s e c t r i c e s d e u n t r i á n g u l o A l t u r a s d e u n t r i á n g u l o
A l t u r a e s c a d a u n a d e l a s r e c t a s p e r p e n d i c u l a r e s t r a z a d a s d e s d e u n v é r t i c e a l l a d o o p u e s t o ( o s u p r o l o n g a c i ó n ) .
O r t o c e n t r o
E s e l p u n t o d e c o r t e d e l a s t r e s a l t u r a s .
M e d i a n a s d e u n t r i á n g u l o
M e d i a n a e s c a d a u n a d e l a s r e c t a s q u e u n e e l p u n t o m e d i o d e u n l a d o c o n e l v é r t i c e o p u e s t o .
B a r i c e n t r o
E s e l p u n t o d e c o r t e d e l a s t r e s m e d i a n a s .
E l b a r i c e n t r o d i v i d e a c a d a m e d i a n a e n d o s s e g m e n t o s , e l s e g m e n t o q u e u n e e l b a r i c e n t r o c o n e l v é r t i c e m i d e e l d o b l e q u e e l s e g m e n t o q u e u n e b a r i c e n t r o c o n e l p u n t o m e d i o d e l l a d o o p u e s t o .
B G = 2 G A
13 M e d i a t r i c e s d e u n t r i á n g u l o
M e d i a t r i z e s c a d a u n a d e l a s r e c t a s p e r p e n d i c u l a r e s t r a z a d a s a u n l a d o p o r s u p u n t o m e d i o .
C i r c u n c e n t r o
E s e l p u n t o d e c o r t e d e l a s t r e s m e d i a t r i c e s .
E s e l c e n t r o d e u n a c i r c u n f e r e n c i a c i r c u n s c r i t a a l t r i á n g u l o .
B i s e c t r i c e s d e u n t r i á n g u l o
B i s e c t r i z e s c a d a u n a d e l a s r e c t a s q u e d i v i d e a u n á n g u l o e n d o s á n g u l o s i g u a l e s .
I n c e n t r o
E s e l p u n t o d e c o r t e d e l a s t r e s b i s e t r i c e s .
E s e l c e n t r o d e u n a c i r c u n f e r e n c i a i n s c r i t a e n e l t r i á n g u l o .
R e c t a d e E u l e r
E s l a r e c t a q u e p a s a p o r e l c i r c u n c e n t r o , b a r i c e n t r o y o r t o c e n t r o .
14
Polígonos
U n p o l í g o n o e s l a r e g i ó n d e l p l a n o l i m i t a d a p o r t r e s o m á s s e g m e n t o s .
E l e m e n t o s d e u n p o l í g o n o
L a d o s
S o n l o s s e g m e n t o s q u e l o l i m i t a n .
V é r t i c e s
S o n l o s p u n t o s d o n d e c o n c u r r e n d o s l a d o s .
Á n g u l o s i n t e r i o r e s d e u n p o l í g o n o
S o n l o s d e t e r m i n a d o s p o r d o s l a d o s c o n s e c u t i v o s .
S u m a d e á n g u l o s i n t e r i o r e s d e u n p o l í g o n o
S i n e s e l n ú m e r o d e l a d o s d e u n p o l í g o n o :
Suma de ángulos de un polígono = (n − 2) · 180°
D i a g o n a l
S o n l o s s e g m e n t o s q u e d e t e r m i n a n d o s v é r t i c e s n o c o n s e c u t i v o s
15 N ú m e r o d e d i a g o n a l e s d e u n p o l í g o n o
S i n e s e l n ú m e r o d e l a d o s d e u n p o l í g o n o :
Número de diagonales = n · (n − 3) : 2
4 · (4 − 3) : 2 = 2 5 · (5 − 3) : 2 = 5 6 · (6 − 3) : 2 = 9
P o l í g o n o s r e g u l a r e s
U n p o l í g o n o r e g u l a r e s e l q u e t i e n e s u s á n g u l o s i g u a l e s y s u s l a d o s i g u a l e s .
E l e m e n t o s d e u n p o l í g o n o r e g u l a r
C e n t r o
P u n t o i n t e r i o r q u e e q u i d i s t a d e c a d a v é r t i c e
R a d i o
E s e l s e g m e n t o q u e v a d e l c e n t r o a c a d a v é r t i c e .
A p o t e m a
D i s t a n c i a d e l c e n t r o a l p u n t o m e d i o d e u n l a d o .
16 P o l í g o n o i n s c r i t o
U n p o l í g o n o e s t á i n s c r i t o e n u n a c i r c u n f e r e n c i a s i t o d o s s u s v é r t i c e s e s t á n c o n t e n i d o s e n e l l a .
C i r c u n f e r e n c i a c i r c u n s c r i t a
E s l a q u e t o c a a c a d a v é r t i c e d e l p o l í g o n o S u c e n t r o e q u i d i s t a d e t o d o s l o s v é r t i c e s . S u r a d i o e s e l r a d i o d e l p o l í g o n o .
C i r c u n f e r e n c i a i n s c r i t a
E s l a q u e t o c a a l p o l í g o n o e n e l p u n t o m e d i o d e c a d a l a d o .
S u c e n t r o e q u i d i s t a d e t o d o s l o s l a d o s . S u r a d i o e s l a a p o t e m a d e l p o l í g o n o .
17
Teorema de Thales
S i d o s r e c t a s c u a l e s q u i e r a s e c o r t a n p o r v a r i a s r e c t a s p a r a l e l a s , l o s s e g m e n t o s d e t e r m i n a d o s e n u n a d e l a s r e c t a s s o n p r o p o r c i o n a l e s a l o s s e g m e n t o s c o r r e s p o n d i e n t e s e n l a o t r a .
E j e m p l o :
1 .L a s r e c t a s a , b y c s o n p a r a l e l a s . H a l l a l a l o n g i t u d d e x .
2 .L a s r e c t a s a , b s o n p a r a l e l a s . ¿ P o d e m o s a f i r m a r q u e c e s p a r a l e l a a l a s r e c t a s a y b ?
18 S í , p o r q u e s e c u m p l e e l t e o r e m a d e T h a l e s .
E l t e o r e m a d e T h a l e s e n u n t r i á n g u l o
D a d o u n t r i á n g u l o A B C , s i s e t r a z a u n s e g m e n t o p a r a l e l o , B ' C ' , a u n o d e l o s l a d o s d e l t r i a n g u l o , s e o b t i e n e o t r o t r i á n g u l o A B ' C ' , c u y o s l a d o s s o n p r o p o r c i o n a l e s a l o s d e l t r i á n g u l o A B C .
E j e m p l o : H a l l a r l a s m e d i d a s d e l o s s e g m e n t o s a y b .
19 A p l i c a c i o n e s d e l t e o r e m a d e T h a l e s
E l t e o r e m a d e T h a l e s s e u t i l i z a p a r a d i v i d i r u n s e g m e n t o e n v a r i a s p a r t e s i g u a l e s .
E j e m p l o
D i v i d i r e l s e g m e n t o A B e n 3 p a r t e s i g u a l e s
1 . S e d i b u j a u n a s e m i r r e c t a d e o r i g e n e l e x t r e m o A d e l s e g m e n t o .
2 . T o m a n d o c o m o
u n i d a d c u a l q u i e r m e d i d a , s e s e ñ a l a n e n l a s e m i r r e c t a 3 u n i d a d e s d e m e d i d a a p a r t i r d e A .
3 . P o r c a d a u n a d e l a s d i v i s i o n e s d e l a s e m i r r e c t a s e t r a z a n r e c t a s p a r a l e l a s a l s e g m e n t o q u e u n e B c o n l a ú l t i m a d i v i s i ó n s o b r e l a s e m i r r e c t a . L o s p u n t o s o b t e n i d o s e n e l s e g m e n t o A B d e t e r m i n a n l a s 3 p a r t e s i g u a l e s e n q u e s e d i v i d e .
20
Figuras semejantes
.De manera intuitiva, diremos que dos figuras son semejantes cuando tienen "igual forma", aunque puedan tener distinto tamaño:
21
Semejanza de triángulos
D a d o s l o s t r i á n g u l o s A B C y A ' B ' C ' , l o s l a d o s a y a ' , b y b ' , c y c ' s e l l a m a n l a d o s h o m ó l o g o s .
L o s á n g u l o s h o m ó l o g o s s o n :
D o s t r i á n g u l o s s o n s e m e j a n t e s c u a n d o t i e n e n s u s á n g u l o s h o m ó l o g o s i g u a l e s y s u s l a d o s h o m ó l o g o s p r o p o r c i o n a l e s .
L a r a z ó n d e l a p r o p o r c i ó n e n t r e l o s l a d o s d e l o s t r i á n g u l o s s e l l a m a r a z ó n d e s e m e j a n z a .
L a r a z ó n d e l o s p e r í m e t r o s d e l o s t r i á n g u l o s s e m e j a n t e s e s i g u a l a s u r a z ó n d e s e m e j a n z a .
L a r a z ó n d e l a s á r e a s d e l o s t r i á n g u l o s s e m e j a n t e s e s i g u a l a l c u a d r a d o d e s u r a z ó n d e s e m e j a n z a .
22 E j e m p l o s p r á c t i c o s
1 . D e t e r m i n a r l a a l t u r a d e u n e d i f i c i o q u e p r o y e c t a u n a s o m b r a d e 6 . 5 m a l a m is m a h o r a q u e u n p o s t e d e 4 . 5 m d e a l t u r a d a u n a s o m b r a d e 0 . 9 0 m .
2 .L o s c a t e t o s d e u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o q u e m i d e n 2 4 m y 1 0 m .
¿ C u á n t o m e d i r á n l o s c a t e t o s d e u n t r i á n g u l o s e m e j a n t e a l p r i m e r o c u y a h i p o t e n u s a m i d e 5 2 m ?
23 C r i t e r i o s d e s e m e j a n z a
1D o s t r i á n g u l o s s o n s e m e j a n t e s s i t i e n e n d o s á n g u l o s i g u a l e s .
2 D o s t r i á n g u l o s s o n s e m e j a n t e s s i t i e n e n l o s l a d o s p r o p o r c i o n a l e s .
3 D o s t r i á n g u l o s s o n s e m e j a n t e s s i t i e n e n d o s l a d o s p r o p o r c i o n a l e s y e l á n g u l o c o m p r e n d i d o e n t r e e l l o s i g u a l .
24 E j e m p l o s
D e t e r m i n a r s i s o n s e m e j a n t e s l o s s i g u i e n t e s t r i á n g u l o s :
S o n s e m e j a n t e s p o r q u e t i e n e n l o s l a d o s p r o p o r c i o n a l e s .
180º − 100º − 60º = 20º
S o n s e m e j a n t e s p o r q u e t i e n e n d o s á n g u l o s i g u a l e s .
25 S o n s e m e j a n t e s p o r q u e t i e n e n d o s l a d o s p r o p o r c i o n a l e s y u n á n g u l o i g u a l .
Mapas y Planos
Los mapas, planos, fotografías, etc... son representaciones de la realidad por medio de figuras semejantes, la escala de un mapa o plano es la razón de semejanza entre una medida de la representación y su correspondiente en la realidad.
Así por ejemplo si en un mapa leemos “ESCALA 1:200.000” significa que los objetos en la realidad son 200.000 veces más grandes que en el mapa o lo que es lo mismo que los objetos en el mapa son 200.000 veces más pequeños que en la realidad.
Para transformar medidas de la realidad a su representación o viceversa nos fijaremos en el siguiente cuadro:
X ESCALA
REPRESENTACION REALIDAD : ESCALA
Para encontrar la escala de la representación nos fijaremos en la siguiente relación:
𝐸𝑆𝐶𝐴𝐿𝐴 = 𝑀𝐸𝐷𝐼𝐷𝐴 𝐸𝑁 𝐿𝐴 𝑅𝐸𝐴𝐿𝐼𝐷𝐴𝐷 𝑀𝐸𝐷𝐼𝐷𝐴 𝐸𝑁 𝐿𝐴 𝑅𝐸𝑃𝑅𝐸𝑆𝐸𝑁𝑇𝐴𝐶𝐼Ó𝑁
Ejemplo 1:
En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 20 cm, si la escala del mapa es 1:25.000
¿Cuál es la distancia real en Km. entre las dos ciudades?
20 x 25000 = 500000 cm, 500000 : 100000 = 5 Km.
26 Ejemplo 2: En un plano realizado a escala la longitud de una habitación que en la realidad es de 6 metros está representada por una línea de 3 cm. ¿Cuál es la escala del plano?
6 x 100 = 6 cm, Escala = 600
3
= 200
Escala 1 : 200 ACTIVIDADES:1) El plano de una finca está dibujado a escala 1 : 250 ¿Cuál es en la realidad expresada en metros una distancia que en el plano es de 3 cm?
2) En un mapa la distancia entre dos ciudades es de 7’5 cm, sabiendo que en la realidad hay 37’5 Km. entre las dos ciudades ¿Cuál es la escala del mapa?
3) Una pista polideportiva mide 80 m. de largo y 50 m. de ancho ¿Qué largo y ancho tendrá la pista en un plano hecho a escala 1 : 200? Expresa el resultado en centímetros.
4) Dos ciudades en un mapa están a una distancia de 85 cm. si la distancia real entre las dos ciudades es de 127’5 Km. ¿Cuál es la escala del mapa?
SOLUCIONES 1) 7,5 m
2) 1 : 500000 3) 40 cm y 25 cm 4) 1 : 150000
Teorema de Pitágoras
E l t e o r e m a d e P i t á g o r a s e s t a b l e c e q u e e n u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o , e l c u a d r a d o d e l a h i p o t e n u s a e s i g u a l a l a s u m a d e l o s c u a d r a d o s d e l o s c a t e t o s .
E j e m p l o s d e a p l i c a c i o n e s d e l t e o r e m a d e P i t á g o r a s
C o n o c i e n d o l o s l a d o s d e u n t r i á n g u l o , a v e r i g u a r s i e s r e c t á n g u l o P a r a q u e u n t r i á n g u l o s e a r e c t á n g u l o e l c u a d r a d o d e l a d o m a y o r h a d e s e r i g u a l a l a s u m a d e l o s c u a d r a d o s d e l o s d o s m e n o r e s .
D e t e r m i n a r s i e l t r iá n g u l o e s r e c t á n g u l o .
27 C o n o c i e n d o l o s d o s c a t e t o s c a l c u l a r l a h i p o t e n u s a
L o s c a t e t o s d e u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o m i d e n e n 3 m y 4 m r e s p e c t i v a m e n t e . ¿ C u á n t o m i d e l a h i p o t e n u s a ?
C o n o c i e n d o l a h i p o t e n u s a y u n c a t e t o , c a l c u l a r e l o t r o c a t e t o
L a h i p o t e n u s a d e u n t r i á n g u l o r e c t á n g u l o m i d e 5 m y u n o d e s u s c a t e t o s 3 m . ¿ C u á n t o m i d e o t r o c a t e t o ?
E j e r c i c i o s
U n a e s c a l e r a d e 1 0 m d e l o n g i t u d e s t á a p o y a d a s o b r e l a p a r e d . E l p i e d e l a e s c a l e r a d i s t a 6 m d e l a p a r e d . ¿ Q u é a l t u r a a l c a n z a l a e s c a l e r a s o b r e l a p a r e d ?
H a l l a r e l á r e a d e l t r i á n g u l o e q u i l á t e r o :
28 H a l l a r l a d i a g o n a l d e l c u a d r a d o :
H a l l a r l a d i a g o n a l d e l r e c t á n g u l o :
H a l l a r e l p e r í m e t r o y e l á r e a d e l t r a p e c i o r e c t á n g u l o :
P = 8 + 6 + 1 2 + 6 . 3 2 = 3 2 . 3 2 c m
E l p e r í m e t r o d e u n t r a p e c i o i s ó s c e l e s e s d e 1 1 0 m , l a s b a s e s m i d e n 4 0 y 3 0 m r e s p e c t i v a m e n t e . C a l c u l a r l o s l a d o s n o p a r a l e l o s y e l á r e a .
H a l l a r e l á r e a d e l p e n t á g o n o r e g u l a r :
29 C a l c u l a r e l á r e a d e l c u a d r a d o i n s c r i t o e n u n a
c i r c u n f e r e n c i a d e l o n g i t u d 1 8 . 8 4 m .
E n u n a c i r c u n f e r e n c i a u n a c u e r d a d e 4 8 c m y d i s t a 7 c m d e l c e n t r o . Ca l c u l a r e l á r e a d e l c í r c u l o .
Figuras planas
C u a d r a d o , r e c t á n g u l o , r o m b o y r o m b o i d e P e r í m e t r o d e u n p o l í g o n o
E s l a s u m a d e l a s l o n g i t u d e s d e l o s l a d o s d e u n p o l í g o n o
Á r e a d e u n p o l í g o n o
E s l a m e d i d a d e l a r e g i ó n o s u p e r f i c i e e n c e r r a d a p o r u n a f i g u r a p l a n a
Á r e a d e u n c u a d r a d o
30 Á r e a d e u n r e c t á n g u l o
Á r e a d e u n r o m b o
E j e m p l o :
Á r e a d e u n r o m b o i d e
P = 2 · ( a + b )
A = b · h
31 E j e m p l o :
P = 2 · ( 4 . 5 + 4 ) = 1 7 c m A = 4 · 4 = 1 6 c m2
T r a p e c i o , t r i á n g u l o y p o l í g o n o r e g u l a r
Á r e a d e u n t r a p e c i o
E j e m p l o :
Á r e a d e u n t r i á n g u l o
32 E j e m p l o :
Á r e a d e u n p o l í g o n o
E l á r e a s e o b t i e n e t r i a n g u l a n d o e l p o l í g o n o y s u m a n d o e l á r e a d e d i c h o s t r i á n g u l o s .
A = T 1 + T 2 + T 3 + T 4
E j e m p l o :
A D = B C ; A B = D C R o m b o i d e P = 1 3 + 1 1 + 1 2 + 5 + 1 1 = 5 2 c m
A = A R + A T
A = 1 1 · 1 2 + ( 1 2 · 5 ) : 2 = 1 6 2 c m2
Á r e a d e u n p o l í g o n o r e g u l a r
33 E j e m p l o :
Circulo
L o n g i t u d d e u n a c i r c u n f e r e n c i a
L o n g i t u d d e u n a r c o d e c i r c u n f e r e n c i a
Á r e a d e u n c í r c u l o
Á r e a d e u n s e c t o r c i r c u l a r
34 Á r e a d e u n a c o r o n a c i r c u l a r
E s i g u a l a l á r e a d e l c í r c u l o m a y o r m e n o s e l á r e a d e l c í r c u l o m e n o r .
Á r e a d e u n t r a p e c i o c i r c u l a r
E s i g u a l a l á r e a d e l s e c t o r c i r c u l a r m a y o r m e n o s e l á r e a d e l s e c t o r c i r c u l a r m e n o r .
Á r e a d e u n s e g m e n t o c i r c u l a r
Á r e a d e l s e g m e n t o c i r c u l a r A B = Á r e a d e l s e c t o r circular AOB − Área del triángulo AOB
Á r e a d e u n a l ú n u l a C o n s t r u c c i ó n
P a r t i m o s d e u n t r iá n g u l o i s ó s c e l e s r e c t á n g u l o .
35 C o n c e n t r o e n O s e t r a z a e l a r c o A B .
C o n c e n t r o e n M , q u e e s e l p u n t o m e d i o d e l a h i p o t e n u s a , s e t r a z a e l o t r o a r c o .
L a p a r t e e n m a r c a d a p o r e l c o l o r v e r d e s e l l a m a l ú n u l a d e H i p ó c r a t e s .
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos tales que satisfacen una propiedad y que solo estos puntos satisfacen dicha propiedad.
Ejemplo:
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de otro punto que es el que llamamos centro (C en el dibujo) de la circunferencia. Esa distancia que es siempre igual es lo que llamamos el radio de la circunferencia.
Lugares geométricos
36
Cónicas
Una sección cónica es la intersección de un plano y un cono.
Círculo Elipse (h) Parábola (h) Hipérbola (h)
Circunferencia
Cambiando el ángulo y el lugar de la intersección, podemos crear un círculo, un elipse, una parábola o una hipérbola.
Elipse
La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos llamados focos (F1 y F2) es siempre la misma. En el dibujo se puede ver que la suma de los dos segmentos verdes (las distancias del punto a cada uno de los focos) es igual que la de los segmentos marrones y que la suma de los segmentos rojos. Esa suma de distancias que es siempre la misma, es igual a la longitud del eje mayor de la elipse.
37 E l e m e n t o s d e l a e l i p s e
F o c o s : s o n l o s p u n t o s f i j o s F y F ' .
E j e f o c a l : e s l a r e c t a q u e p a s a p o r l o s f o c o s .
E j e s e c u n d a r i o : e s l a m e d i a t r i z d e l s e g m e n t o F F ' .
C e n t r o : e s e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e l o s e j e s .
R a d i o s v e c t o r e s : s o n l o s s e g m e n t o s q u e v a n d e s d e u n p u n t o d e l a e l i p s e a l o s f o c o s : P F y P F ' .
D i s t a n c i a f o c a l : e s e l s e g m e n t o d e l o n g i t u d 2 c , c e s e l v a l o r d e l a s e m i d i s t a n c i a f o c a l .
V é r t i c e s : s o n l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e l a e l i p s e c o n l o s e j e s : A , A ' , B y B ' .
E j e m a y o r : e s e l s e g m e n t o d e l o n g i t u d 2 a , a e s e l v a l o r d e l s e m i e j e m a yo r .
E j e m e n o r : e s e l s e g m e n t o d e l o n g i t u d 2 b , b e s e l v a l o r d e l s e m i e j e m e n o r .
38 E x c e n t r i c i d a d d e l a e l i p s e : E s u n n ú m e r o q u e m i d e e l m a y o r o m e n o r a c h a t a m i e n t o d e l a e l i p s e . Y e s i g u a l a l c o c i e n t e e n t r e s u s e m i d i s t a n c i a f o c a l y s u s e m i e j e m a y o r .
Hipérbola
La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma diferencia de distancias a dos puntos llamados focos (F1 y F2) es siempre la misma. En el dibujo se puede ver que la diferencia de las líneas amarillas es igual que la diferencia entre las líneas rojas e igual que la diferencia entre las líneas verdes.
39
Parábola
En este caso se parte de un solo punto, que es el foco, y de una recta que se llama directriz.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al foco es igual que la distancia a la recta directriz. Aquí se puede ver como los dos segmentos naranjas miden lo mismo, siendo una la distancia de un punto de la parábola al foco (F), y el otro la distancia a la recta directriz (d). Lo mismo ocurre con los segmentos amarillos y los segmentos verdes, que representan lo mismo pero para otros puntos de la parábola.
