MA 1111 Montezuma Práctica Para Semana 10 pdf

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(1)Enero-Marzo 2010. UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS MATEMÁTICA I (MA-1111) Fecha de publicación: 03-03-2010. Contenido Tercer Parcial. PRÁCTICA DE APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS II. Contenidos. • • •. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio Formas indeterminadas y regla de L’Hopital.. Repaso en una Corchea. RECUERDE QUE:. Las situaciones en las que no es posible conocer, de antemano, el valor de la operaciones con límites son: Lo que sucede con los límites de f yg. Expresión reducida. Lim. f →∞ = g →∞. ∞ ∞. Lim. f →0 = g →0. 0 0. Lim f − g = (→ ∞ ) − (→ ∞ ) Lim f ⋅ g = (→ 0) ⋅ (→ ∞ ). ∞−∞. 0.∞. Técnicas para hallar el límite • Estudio de los grados del numerador denominador (3) •Regla de L’Hôpital (2) • Descomponer el factores • Infinitésimos equivalentes (1) •Regla de L’Hôpital (2) • Realizar las operaciones indicadas • Análisis del grado de f y g •Multiplicar y dividir por (f + g) • Realizar las operaciones indicadas. Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar. y. del.

(2) ∞ f → 1 ∞ g g o → • Convertir a f • g = 1 o f Ln f + Ln g → e∞ ± ∞ Convertir f • g = e. • Convertir a:. Lim f g = (→ 1). →∞. Lim f g = (→ 0 ). →0. Lim f g = (→ ∞ ). →0. f •g =. 1∞. • Lim f g = (e ). 00. • Lim f g = (e ). ∞0. • Lim f g = (e )lim g . Lnf =→ e 0.∞. lim ( f −1) g lim g . Lnf. =→ e 0.∞. →0 →∞ se puede y →0 →∞ f f' aplicar la que se conoce como Regla de L’Hopital: Lim = Lim g g'. Regla de L’Hôpital: En los casos de indeterminación del tipo. Ejercicios. Limites donde se aplica la regla de L’Hopital. 1.Aplicando la Regla de L’hopital calcule los siguientes límites: a) lim. x →0. x 3 − 3x 2. b) lim. 3x 4 − 2 x. c) lim x →1. x +1 − 2 x −1. x→2. 2 x 2 − 5x + 2 5x 2 − 7 x − 6. ln( x − 1) x→2 x − 2. d) lim. Observación: Hay ejercicios que no hace falta aplicar L’Hopital, lo recomendable es que deriven para que practiquen.. 2 Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar.

(3) 4 x 2 + 3x − 1 =2 lim 2 x →+∞ 2 x + x + 2 3x − 1 + 4 x 2 =2 lim 2 x →+∞ 2 x − x + 5 2x 2 + x −1 =0 lim x3 −1 x →−∞ 2x 2 + x −1 = +∞ lim −x+2 x →−∞. 2x2 − x + 5 = 0'5 lim 2 x → +∞ − 1 + 3 x + 4 x 5 + 2 x + 3x 2 = −0'5 lim 2 x → +∞ 2 x − 6 x + 5 2x 2 + x −1 = +∞ lim x+2 x → +∞ 3x 3 − 2 x 2 − 1 = +∞ lim x2 + 2 x → +∞. 16 x 2 − x = +2 2x −1. lim x → +∞. 4x −1. lim. =2. 3. lim x → +∞. x 2 − x 3x − 1 × =∞ lim 4x − 2 x→∞ 2 x + 7. lim. 3x + 1 =1 x+2. n. x→∞. = −0'5. lim. lim x →∞.   lim  x →∞  2 3  3 3 x −4 x 3 = −∞ lim  5 x −3 4−5 x x →∞ . lim x → +∞. x. =0. lim (. ). lim. 16 x 2 − x =0 2x3 −1. x → −∞. lim. 4 − 8x 3 = −2 x −1. lim. 16 x 2 − x =0 2x 2 −1. 3 x → −∞. x → +∞. (x − 1)(x + 1) = 1 x2 +1. x →∞. lim. =0. 2x 2 + x −1 =0 lim x 3 −1 x →+∞ 2x 2 + x −1 = −∞ lim x+2 x →−∞ 2 x − 3x 3 = −∞ lim 2 x →+∞ x + 2. lim. 0'25 x + 1 = 0'5 x2 +1. 2. x2 +1 =∞ 3x + 1 3. x. x →∞. 4x −1 =2 x−3. 2 − 3x   1 − x . )(. x →−∞. 4. x 2 + x  x 2 − 1 . x→∞. =∞. 16 x 2 − 1 3 4 − 8x3 = −2 lim x −1 x → +∞. 16  4x − 1    = lim 9 x→∞  3 x − 4 . 2. lim 1 − 3x. x → +∞. 3x. x →∞. 3x − 1. =0. 2x 2 −1. 3x 3 − 1 1 × 2 =0 lim 4 x −x x →∞ x + 1. lim (x + 2). 2. 2x − 6x2 + 5 = −2 lim 2 x →−∞ 3 − 2 x + 3 x 2x2 + x −1 = −∞ lim 2− x x →+∞ 3x 3 − 2 x 2 − 1 = −∞ lim x2 + 2 x →−∞. 16 x 2 − 1 4x2 −1 =2 lim x → −∞ x 2 −1 3 4 − 8x 6 = −2 lim 1− x2 x → −∞. x 2 −1 4 − 8x 6 =2 1− x2. x → +∞. x →+∞. x → −∞. 2. lim. 2x −1. 3x − 1. lim 1 − 3x. lim x →∞. x. x2 + 3 =1 4x 2 − 2. 3 Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar.

(4) x4 − 1 x 6 + 3x − 2 − 5 =0 + 2x − 3 x − 6x2 + 1. lim x. 3. lim. 2 + x −1 =1 x. x→∞. x→∞. lim x →∞. x4 − 5x − 1 − 4x4 + 1 =∞ x 2 − 3x + 1. lim 4 x − x →∞. 3x 9x2 − 2. lim x→∞. (x. ). − 1 9x2 − 1 3 = 4 x3 − 6 x 2 − 2 4 2. =3. Repaso en una SemiCorchea RECUERDE QUE:. Teorema de Rolle: Si f es una función en la que se cumple: (i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b] (ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) (iii) f (a) = 0 y f (b) = 0 Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que f '(c) = 0 E l Teorema de Rolle se atribuye al matemático francés Michel Rolle (16521719). Teorema del Valor medio: Si f es una función en la que se cumple que: (i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b] (ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b) Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que. Ejercicios. Teoremas: Valor medio derivadas y Rolle.. 3 a) Halla la C del de la función f (x )= T.V.M.. − x2 +1 en el intervalo [2, 2 + h ]. 3. 4 Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar.

(5) b) Con el resultado obtenido, calcula f '(2).. 4 3 a) Halla la C del de la función f (x )= en el intervalo [1, 1 + h ]. +1 x T.V.M. b) Con el resultado obtenido, calcula f '(1).. 5. Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 3, verifique que las condiciones (i), (ii) y (iii) de la hipótesis del Teorema de Rolle se cumplen para la función indicada en el intervalo dado. Luego halle un valor adecuado para c que satisfaga la conclusión del teorema de Rolle. En los ejercicios 4 a 9, compruebe que la hipótesis del Teorema del Valor medio se cumple para la función dada en el intervalo indicado. Luego halle un valor adecuado para c que cumpla la conclusión del Teorema del valor medio. En los ejercicios 10 a 12, (a) trace la gráfica de la función dada en el intervalo indicado; (b) compruebe las tres condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle y determine cuáles se cumplen y cuáles, de haberlas, no se cumplen; (c) si las tres condiciones se cumplen, determine un punto por el cual pase una recta tangente horizantal. En los ejercicios 13 y 14, calcule un valor de c que satisfaga la conclusión del teorema del valor medio, trace la gráfica de la función y la recta que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).. 5 Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar.

(6) Ejercicios Tipo Selección Simple: I. En cada caso, selecciona el valor del límite indicado. .. arcsen ( x) x →0 2x. 1. lim. 2. lim. x → +∞. a) 0. a) + ∞. b) + ∞. b). 1 2. c). c) −. d). 1 2. e) Ninguna anteriores. x 3 + 2x 2 + 7. 3. lim (2 x − 1) tan (π x ). 3. 2x − 6. x→. a). 2 2. las. 1 2. c) −. e). Ninguna anteriores. a) + ∞ − ∞. 2 π. b) 0 2 π. d) + ∞. d) No existe. de. 1 2. de. las. e). Ninguna anteriores. 1  5. lim+  cs cx −  x →0  x. 1   6 6. lim+  2 −  x →3  x − 9 x−3. 7. lim. a) 0. a) + ∞. a) 7. b) senx. b). 1 6. x   18 − 4. lim+  2 x →3  x − 9 x − 3 . 2 3. c). 3 2. d) − de. las. 7x 2 + 4 x →0 xsenx. b). b). 1 7. 3 2. e) Ninguna anteriores. 8. lim. π x→ 2. de. las. 5 sec x + 1 tan x. a) 0. b) 10. 6 Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar.

(7) c) −. c) π. d) + ∞ d) 5. e) Ninguna anteriores. x →0. c) + ∞. c) 4. d) − ∞. d) + ∞. 9. lim+. 1 6. de. las. arctan x x. e) Ninguna anteriores. 10. lim−. de. las. cos x − 1. Ninguna anteriores. 11. lim. −x. x →0. e).  π x→  −   2. de. las. e). Ninguna anteriores. a) No existe. a) + ∞. a) − ∞. b) 0. b) 1. b) −. π 2. b) + ∞. c) 0. c) 2. d) − ∞. d) 0. 1 2. d) + ∞ e) Ninguna anteriores. 13. lim. x→0. a) 0 b) + ∞. de. las. x - arctan ( x) 8x. 3. las. 1  12. lim+  csc x −  x →0  x. (sec x + tan x) −. a) 1. c). de. c) 0. d) 1. e). Ninguna anteriores. lim. 14.. π x →  2. −. de. las. 3 sec+ 7 tan x. e). Ninguna anteriores. 15. lim x →64. de. las. x −8 3. a). b) 7. b) 0. 16. lim. x −4. 1 3. a) + ∞. e) Ninguna anteriores. x→. π 4. de. las. cos(2 x − π ) 4x - π. a) 0 b). 1 4. 7 Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar.

(8) c) −. d). 1 24. c) −. c) 3. 1 24 de. las. e) Ninguna anteriores. c). d) 2. d) No existe. e) Ninguna anteriores. 1 3. de. las. e) Ninguna anteriores. 1 2. d) − de. las. 1 2. e) Ninguna anteriores. de. las. II. En cada caso, selecciona la afirmación correcta.. ¿Cuáles de las funciones definidas a continuación satisfacen las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo indicado? 1) f ( x ) =. x 2 −1 x. 4. , en [−1 , 1].  3 π 3π  4) f ( x ) = cos x , en ,   2 2. 2) f ( x) = x 8 − 1 , en [-1 , 1] 5) f ( x) =. x2 − 4 x 2 −1. , en [−2 , 2]. 3) f ( x ) = tan x , en [0 , π ] 6) f ( x ) = arctan x en [−1 , 1]. a) Sólo la 2 b) La 2) y la 3) c) La 2), la 3) y la 4) d) Sólo la 2) y la 4) e) Ninguna de las anteriores. ¿Cuáles de las funciones definidas a continuación satisfacen las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo indicado? 1) f ( x ) =. x +1 , en [−3 , − 2] x −1. 2) f ( x) = x + 4 , en [0 , 12]. 3) f ( x) =. x 4 − 3x + 2  π π , en − ,  cos x  4 4. 4) f ( x) = x − 4 + 5 x , en [- 1, 2]. arctan( 2 x) 5) f ( x) = , en [0 , π ] 3− x. cos 2  4 + x8    , en − 4 , 10 6) f ( x) = 3. [. ] 8. Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar.

(9) a) Sólo 1) y 2) b) 1), 2), 4) c) 2) y 5) d) 1), 2), 3) y 6) e) Ninguna de las anteriores. III. Selecciona, en cada caso, el número c garantizado por el Teorema del valor medio. 1. f ( x) = 3 x en [1 , 3]. a). 3 −1. b) 1− 3. c). ( 3 −1). d). 3 −1. 2. f ( x) = arctan x en [0 , 1]. 3. f ( x) =. e) Ninguna de las anteriores. 2 5. a). 4 −1 π. a) −. b). 4 −1 π. b) −2. c). π −1 4. c) −. 2. x2 en [−1 , 1] x+2. 2 3. d) No se cumple el teorema. d) No se cumple el teorema. e) Ninguna de las anteriores. e) Ninguna de las anteriores. IV. Selecciona, en cada caso, el valor o valores de c garantizados por el Teorema de Rolle..  π 5π  1. f ( x) = cos 2 x en − ,   4 4. a) c1 = 0. y. a) c1 = −. c2 = π. b) c1 = 0, c 2 = π. y. 2. f ( x) = (arctan x )2 en [−1 , 1]. c3 = π. b) c = 0. π 4. y. c2 =. π 4. 3. f ( x) =. 1 1+ x 2. en [−1 , 1]. a) c = 0. b) c1 = −1. y. c2 = 1. 9 Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar.

(10) c) c = 0. d) No se cumple el teorema e) Ninguna de las anteriores. c). π −1 4. c) c1 = −. 1 2. y. c2 =. 1 2. d) No se cumple el teorema. d) No se cumple el teorema. e) Ninguna de las anteriores. e) Ninguna de las anteriores. 10 Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar.

(11) Ejercicios Extras. 11 Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar.

(12) Practica elaborada por la Prof: Aida Montezuma. Ampliada por Prof Antonio Di Teodoro. 2010. (Basada en prácticas anteriores de la USB-Matemáticas), en Especial las prácticas de la Profa Diasparra Maikol. Formato doc->Pdf. 12 Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar.

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