EC 2322 Guías de Onda Rectangulares pdf

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(1)EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. 4.3.1 Geometría y condiciones de frontera Una guía de ondas metálica de sección rectangular es un caso particular de guía de ondas metálica en el cual la sección transversal es rectangular, como se muestra en la figura 4.3. 4.3. GUÍA DE ONDAS METÁLICA DE SECCIÓN RECTANGULAR y Conductor metalico b Dielectrico x 0. a>b. a. Fig. 4.3: Sección transversal de una guía de ondas metálica de sección transversal rectangular Nótese que en la figura 4.3 las dimensiones a y b corresponden a las dimensiones transversales internas del conductor, cuyo grosor no se considera en el análisis (basta suponer que el grosor es mucho mayor que la profundidad de penetración a la frecuencia de operación). La razón para la restricción a>b se explica más adelante. Como se vio en la sección 4.2.3, las condiciones de frontera correspondientes a los modos TE de una guía de ondas metálica de conductores ideales son ∂ hˆz ± ∂ n = 0 en cada una de las superficies. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 130.

(2) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. conductoras internas, mientras que las correspondientes a los modos TM son eˆ z ± = 0 en las mencionadas superficies. Al aplicar estas condiciones de frontera a la geometría de la guía de ondas metálica de sección rectangular, se obtienen las condiciones de frontera de la tabla 4.1. Tabla 4.1: Condiciones de frontera para los modos TE y TM de una guía de ondas metálica de sección rectangular.. (. MODOS TE eˆ z ± = 0, hˆz ± ≠ 0 ∂ hˆz ± ∂ x ∂ hˆz ± ∂ x. ∂ hˆz ± ∂ y ∂ hˆz ± ∂ y. x =0 x=a. y =0 y =b. ). (. MODOS TM eˆ z ± ≠ 0, hˆz ± = 0. = 0, 0 < y < b. eˆ z ± (0, y ) = 0, 0 < y < b. = 0, 0 < y < b. eˆ z ± (a, y ) = 0, 0 < y < b. = 0, 0 < x < a. eˆ z ± ( x,0) = 0, 0 < x < a. = 0, 0 < x < a. eˆ z ± ( x, b) = 0, 0 < x < a. ). 4.3.2 Solución de los modos TE y TM en una guía de ondas metálica de sección rectangular Como se vio en la sección 4.2.2, en primer lugar se resuelve la ecuación de onda escalar para las funciones axiales hˆz± ( x, y ) de los modos TE y eˆ z± ( x, y ) de los modos TM (ecuaciones 4.12 y 4.16, respectivamente), luego con éstas se determinan las funciones transversales hˆ t ± (u1, u 2 ) y eˆ t ± (u1 , u 2 ) (ecuaciones 4.13 y 4.14b para los modos TE, ecuaciones 4.17 y 4.18b para los modos TM).. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 131.

(3) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. Teniendo las funciones axiales y transversales y la constante de propagación de cada modo (ecuación 4.4) se procede a construir los campos en el dominio fasorial, aplicando la ecuación 4.1. Sin embargo, es un requisito previo a todo el procedimiento descrito conocer los autovalores kc de la ecuación de onda, los cuales dependen de las condiciones de frontera y de la estructura de la solución a la ecuación de onda. A continuación se resuelve la ecuación de onda escalar transversal en coordenadas rectangulares, y se aplica el procedimiento descrito por separado para los modos TE y TM, partiendo desde el cálculo de los correspondientes autovalores. Se supone, como en el caso de guías de onda metálicas de sección arbitraria, que los conductores y los dieléctricos son ideales. Solución de la ecuación de onda escalar en coordenadas rectangulares. En el sistema de coordenadas rectangular, la ecuación de onda transversal escalar es, para cada modo (se omite provisionalmente la referencia específica a modos TE ó TM): ∇ t2 fˆz± m, n ( x, y ) + k c 2 (m, n) fˆz± m, n ( x, y ) = 0 Sustituyendo el operador Laplaciano transversal, se tiene: ∂ 2 fˆz± m, n ( x, y ) ∂ x2. +. ∂ 2 fˆz± m, n ( x, y ) ∂ y2. + kc 2 (m, n) fˆz± m, n ( x, y ) = 0. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (4.38). 132.

(4) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. Aplicando el método de separación de variables, se postula la solución de la forma: fˆz± m, n ( x, y ) = fˆm±, n X m ( x) Yn ( y ). (4.39). Al sustituir la ecuación 4.39 en la ecuación 4.38 se obtiene: 2 ˆf m±, nYn ( y ) d X m ( x) + d x2. 2 ˆf m±, n X m ( x) d Yn ( y ) + kc2 (m, n) fˆm±, n X m ( x) Yn ( y ) = 0 d y2. Dividiendo la ecuación anterior por fˆm±, n X m ( x) Yn ( y ) (lo cual requiere. que X m ( x) ≠ 0 y Yn ( y ) ≠ 0 ), queda: 1 d 2 X m ( x) 1 d 2 Yn ( y ) + + k c2 (m, n) = 0 2 2 X m ( x) Yn ( y ) dy dx. (4.40). Al variar sólo la coordenada x en la ecuación 4.40, el segundo y el tercer sumando son constantes, por lo que el primero también debe serlo para que la suma sea constante. De manera análoga se concluye que el segundo sumando debe ser constante al variarse sólo la coordenada sólo la coordenada. y. Esto permite escribir: 1 d 2 X m ( x) = −k x2 (m) 2 X m ( x) dx. (4.41a). 1 d 2 Yn ( y ) = − k y2 (n) Yn ( y ) dy 2. (4.41b). Al sustituir las ecuaciones 4.41 en la ecuación 4.40, se obtiene que: kc2 (m, n) = k x2 (m) + k y2 (n). Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (4.42). 133.

(5) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. Las ecuaciones 4.41 conducen a las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden para las funciones X m (x) e Yn ( y ) : d 2 X m ( x) + k x2 (m) X m ( x) = 0 2 dx d 2 Yn ( y ) dy 2. (4.43a). + k y2 (n) Yn ( y ) = 0. (4.43b). Las ecuaciones diferenciales 4.43 tienen soluciones trigonométricas, exponenciales o lineales, dependiendo de la escogencia de los parámetros k x (m) y k y (n) . Dado que las condiciones de frontera de la tabla 4.1 exigen que las funciones X m (x) e Yn ( y ) o sus derivadas se anulen en dos sitios distintos, sólo las soluciones trigonométricas satisfacen las condiciones de frontera, por lo cual debe cumplirse que los parámetros k x (m) y k y (n) sean reales y positivos. Bajo estas condiciones: X m ( x) = Am cos(k x (m) x ) + Bm sen (k x (m) x ). (4.44a). Yn ( y ) = Cn cos k y (n) y + Dn sen k y (n) y. (4.44b). (. ). (. ). Soluciones para los modos TE Como es sabido, para los modos TE se tiene que Eˆ z± (u1 , u 2 , z ) = 0 y Hˆ z± (u1 , u 2 , z ) ≠ 0 . De acuerdo con las ecuaciones 4.34 y 4.35a, se tiene:. Hˆ z± ( x, y, z ) =. ∑∑ m n. ± m γˆ hˆz m , n X m ( x ) Yn ( y ) e 14442444 3. TE m, n. z. (4.45). ± hˆz m , n ( x, y ). Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 134.

(6) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. Las condiciones de frontera establecidas en la tabla 4.1 para las ± funciones axiales hˆz m , n ( x, y ) se satisfacen si de las ecuaciones 4.44 se. escogen las soluciones con la función coseno ( Am = Cn = 1 , Bm = Dn = 0 ), por lo cual:. (. ± ± hˆz m , n ( x, y ) = hˆz m, n cos(k x ( m) x )cos k y ( n) y. ). (4.46). Para que la solución dada por la ecuación 4.46 satisfaga las condiciones de frontera de la tabla 4.1 en x = a y en y = b , se requiere adicionalmente que: k x ( m) =. mπ ,m≥0 a. (4.47a). k y ( n) =. nπ ,n≥0 b. (4.47b). Al sustituir las ecuaciones 4.47 en la ecuación 4.42, se obtiene: 2 2 TE m, n m n kc =π   +  . a. TE m, n. Dado que kc. b. (4.48). no puede ser nulo, los índices m y n no pueden ser. simultáneamente nulos (es decir, debe cumplirse m + n > 0 ). Como en la ecuación 4.45 se incluyen sólo los índices correspondientes a los modos cuyas frecuencias de corte son inferiores a la frecuencia de operación, es importante obtener la frecuencia de corte para los modos TE.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 135.

(7) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. Utilizando la ecuación 4.28, se obtiene: 2. m n   +  2 a b. v TE f c m, n =. 2. (4.49). El resto del procedimiento de solución para los modos TE consiste en aplicar sucesivamente las ecuaciones 4.13 y 4.14b para obtener las funciones transversales magnética y eléctrica, respectivamente, y luego construir los campos eléctricos y magnéticos totales con dichas funciones y la exponencial de propagación de cada modo. Soluciones para los modos TM Para los modos TM se tiene que Eˆ z± (u1 , u 2 , z ) ≠ 0 y Hˆ z± (u1 , u 2 , z ) = 0 . Según las ecuaciones 4.34 y 4.35b, se tiene: Eˆ z± ( x, y, z ) =. ∑∑ m n. ± m γˆ eˆz m , n X m ( x) Yn ( y ) e 14442444 3. TM m, n. z. (4.50). ± eˆz m , n ( x, y ). Las condiciones de frontera establecidas en la tabla 4.1 para las ± funciones axiales eˆz m , n ( x, y ) se satisfacen si de las ecuaciones 4.44 se toman. las soluciones con la función seno ( Am = Cn = 0 , Bm = Dn = 1 ), por lo que:. (. ± ± eˆz m , n ( x, y ) = eˆz m, n sen (k x ( m) x )sen k y (n) y. ). (4.51). Para que la solución dada por la ecuación 4.51 satisfaga las condiciones de frontera de la tabla 4.1 en x = a y en y = b , se requiere también que: k x ( m) =. mπ ,m>0 a. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (4.52a). 136.

(8) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. k y ( n) =. nπ ,n>0 b. (4.52b). Al sustituir las ecuaciones 4.52 en la ecuación 4.42, se obtiene: 2 2 m n TM kc (m, n) = π   +  . a. b. (4.53). Nótese que los autovalores para los modos TM y los modos TE son idénticos, excepto por el hecho de que para los modos TM ninguno de los parámetros m ó n puede ser nulo. Por lo tanto, la ecuación para las frecuencias de corte es igual a la que se obtuvo para los modos TE: 2. m n   +  2 a b. v TM f c m, n =. 2. (4.54). El resto del procedimiento de solución para los modos TE consiste en aplicar sucesivamente las ecuaciones 4.17 y 4.18b para obtener las funciones transversales eléctrica y magnética, respectivamente, y luego construir los campos eléctricos y magnéticos totales con dichas funciones y la exponencial de propagación de cada modo. 4.3.3 Modo dominante en una guía de ondas metálica de sección rectangular. Frecuencia de corte del modo dominante El modo dominante es por definición el único que puede propagarse aisladamente, y corresponde al de menor frecuencia de corte. Las expresiones para las frecuencias de corte de los modos TE y TM son idénticas, sin Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 137.

(9) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. embargo, para los modos TE es posible que uno de los parámetros m ó n sea nulo, lo cual es imposible para los modos TM. Por lo tanto, el modo dominante debe ser un modo TE, específicamente el modo TE1,0 o el modo TE0,1. Como a>b, el modo de menor frecuencia de corte es el modo TE1,0, por lo que éste es el modo dominante. La frecuencia de corte del modo dominante es entonces: TE1,0. fc. =. v 2a. (4.55). Nótese que la restricción a>b impide que los modos TE1,0 y TE0,1 tengan la misma frecuencia de corte, lo cual haría que no existiera modo dominante, ya que habría dos modos con la mínima frecuencia de corte. Ejemplo 4.1: Determinación del ancho de una guía de onda rectangular para una frecuencia de corte especificada. Calcular el ancho de una guía de onda rectangular hueca para que la frecuencia de corte del modo dominante sea a) 300 MHz, b) 6 GHz y c) 75 GHz. Solución Despejando el ancho a de la guía a partir de la ecuación 4.55, se tiene: a=. v TE1,0. 2 fc. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 138.

(10) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. Como la guía de onda es hueca, v=c. La tabla 4.2 de la siguiente página muestra los resultados obtenidos para a correspondientes a cada frecuencia. Tabla 4.2: Resultados del ancho a de la guía para el ejemplo. TE1, 0. fc. a. 300 MHz. 6 GHz. 100 GHz. 0,5 m. 2,5 cm. 1,5 mm. Comentarios:. • En primer lugar, debe recordarse que la dimensión a es el ancho del agujero rectangular de la guía, por lo que el ancho total de ésta, considerando el grosor del metal, es mayor.. • Resulta impráctico construir guías de onda para frecuencias de corte inferiores a 1 GHz, puesto que las dimensiones de la guía son excesivamente grandes, lo cual adicionalmente implica un gasto enorme de material en comparación con el requerido para construir una línea de transmisión que opere en la misma banda de frecuencias.. • Para frecuencias de corte entre 1 y 100 GHz las dimensiones son manejables, aunque por encima de unos 60 GHz comienzan a presentarse dificultades de fabricación por lo reducido de las dimensiones del agujero rectangular de la guía, del orden de los milímetros. Para frecuencias de corte superiores a 150 GHz las dimensiones son menores a 1 mm, y puede resultar extremadamente difícil construir la guía. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 139.

(11) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. Ancho de banda teórico El ancho de banda teórico es la diferencia entre la frecuencia de corte del segundo modo y la del modo dominante. Para calcularlo es necesario entonces conocer cuál es el segundo modo en la secuencia de frecuencias de corte de una guía de onda rectangular. Como el modo TM de menor frecuencia de corte es el TM1,1, el segundo modo también debe ser un modo TE, pudiendo ser el TE0,1 o el TE2,0. La frecuencia superior del ancho de banda teórico es entonces: TE TE  v v f sup = min  f c 0,1 , f c 2,0  = min  ,     2b a . (4.56). y el ancho de banda teórico es entonces: TE1, 0. ABteórico = f sup − f c.  v v v = min  ,  −  2b a  2a. (4.57). Suponiendo que se fija la frecuencia de corte del modo dominante, el ancho de banda teórico puede maximizarse si se maximiza f sup dado por la ecuación 4.56. Es importante saber que al fijarse la frecuencia de corte del modo dominante, lo cual se hace mediante la escogencia del ancho a de la guía de onda, se fijan también las frecuencias de corte de todos los modos TE m, 0. TEm,0, los cuales satisfacen f c. TE1,0. = m fc. . Por lo tanto, lo único que. puede cambiarse para ajustar el ancho de banda es la frecuencia de corte del modo TE0,1, lo cual se hace variando la altura b de la guía de onda.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 140.

(12) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. Para maximizar el ancho de banda teórico, debe hacerse que TE0,1. fc. TE 2, 0. ≥ fc. (. ). TE 2,0. , con lo cual max f sup = f c. y el ancho de banda. máximo es: max ( ABteórico ) = f c. TE2,0. TE1, 0. − fc. TE1, 0. = fc. =. v 2a. (4.58). Puede fácilmente comprobarse que para lograr el máximo ancho de banda teórico es necesario que b ≤ a / 2 . Es importante mencionar que aunque según esta expresión podría tomarse la altura b de la guía de onda arbitrariamente pequeña, en las guías de onda prácticas la atenuación aumenta al disminuir b, como se verá más adelante, por lo cual se elige para b un valor cercano a a/2. Muchas guías de ondas rectangulares estándar utilizan. b = 0,45a . Ejemplo 4.2: Diseño de una guía de onda para una frecuencia de corte y un ancho de banda especificados. Diseñar una guía de onda rectangular hueca para que la frecuencia de corte del modo dominante sea 5 GHz y el ancho de banda teórico: a) sea máximo, b) sea de 2,5 GHz. Solución En primer lugar, se determina el ancho a de la guía: a=. c TE 2 f c 1,0. =. 3 × 108 2 × 5 × 109. = 3 cm. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 141.

(13) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. En segundo lugar, se calcula la altura b de la guía. Para el caso en que se requiere que el ancho de banda teórico sea máximo, basta con elegir b ≤ a / 2 = 1,5 cm , por ejemplo b = 1,48 cm . Para el caso en que se requiere un ancho de banda inferior al máximo (el máximo es igual a la frecuencia de corte del modo dominante, es decir, 5 GHz), debe calcularse la frecuencia de corte del modo TE0,1, ya que en estos casos éste es el segundo modo en la secuencia de frecuencias de corte. Con esta frecuencia de corte se calcula la altura de la guía de ondas, como se muestra a continuación. TE0,1. fc. TE1,0. = fc. + ABteórico = 7,5 GHz =. c 3 × 108 ⇒b= = 2 cm 9 2b 15 × 10. Campos del modo dominante Para el modo TE1,0 se tiene que la función axial magnética está dada por la ecuación 4.46 con m=1 y n=0: hˆz± ( x) = hˆ0±z cos[π ( x a )]. (4.59). Con la función axial magnética se calcula la función transversal magnética (ecuación 4.13): TE. 1,0 ˆh ± ( x) = m γˆ ∇ t 2 t TE  k 1,0  c 1 424 3. (hˆz± ( x)) = ±1x γ1ˆTE4243 hˆ0±z sen[π ( x a )] 1, 0. (4.60). hˆ0±x. π /a. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 142.

(14) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. Ahora se calcula la función transversal eléctrica en función de la función transversal magnética (ecuación 4.14b):. eˆ t ± ( x) = m1z ×. (. ). jω µ ˆ ± h ( x) = 1y − jω µ hˆ0±z sen[π ( x a )] TE1, 0 t 144244 3 γˆ ±. (4.61). eˆ0 y. Los campos eléctrico y magnético en el dominio fasorial son: ˆ ± ( x, z ) = 1y eˆ0±y sen[π ( x a )] e m γˆ E. {. TE1,0 z. (4.62). }. ˆ ± ( x, z ) = 1x hˆ0±x sen[π ( x a )] + 1z hˆ0±z cos[π ( x a )] e m γˆ H. TE1, 0 z. (4.63). Es importante destacar que las componentes transversales de los campos eléctrico y magnético están en fase sólo si la constante de propagación γˆ. TE1,0. es imaginaria pura, lo cual ocurre cuando la frecuencia de operación es mayor que la frecuencia de corte del modo dominante. La componente transversal del campo eléctrico está desfasada 90° con respecto a la componente axial del campo magnético, por lo que sólo las componentes transversales contribuyen a la densidad de potencia promedio, la cual resulta paralela a la dirección de propagación. En las figuras 4.4, 4.5 y 4.6 de la siguiente página se muestran dibujos aproximados de los campos electromagnéticos del modo dominante en el interior de una guía de onda rectangular. Se supone que la frecuencia de operación es mayor que la frecuencia de corte del modo dominante, lo cual. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 143.

(15) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. hace que las dos componentes del campo magnético estén en cuadratura espacial y temporal, formando su combinación líneas cerradas. y. Campo eléctrico Campo magnético x. Fig. 4.4: Campos electromagnéticos del modo dominante dentro de una guía de onda de sección rectangular para z=0, t=0. y Campo eléctrico Campo magnético z. Fig. 4.5: Campos electromagnéticos del modo dominante dentro de una guía de onda de sección rectangular para x=a/2, t=0. x. Campo magnético Campo eléctrico z. Fig. 4.6: Campos electromagnéticos del modo dominante dentro de una guía de onda de sección rectangular para y=cte, 0<y<b, t=0.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 144.

(16) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. Función de transferencia de potencia del modo dominante. Rango práctico de frecuencias de operación En la sección 4.2.3 se estableció que la potencia transmitida para cualquier modo a una frecuencia de operación mayor que la frecuencia de corte viene dada por la ecuación 4.33:. ∫∫. eˆ t ±. 2. da z. P ± ( z ) = ± S .T . 2 ηˆTE ,TM Aplicando esta ecuación al modo dominante de la guía de onda rectangular, se tiene: ba. ∫∫. 2. eˆ0±y sen[π ( x a )] dx dy. P ± ( z) = ± 0 0. 2 ηˆTE1,0. 2. =±. eˆ0±y ab. (4.64). 4 ηˆTE. 1,0. A fin de hacer evidente el comportamiento de la potencia transmitida en función de la frecuencia, se sustituye la impedancia del modo TE1,0 por su expresión en términos de la frecuencia de corte (ecuación 4.30): 2. P ± ( z) = ±. eˆ0±y ab 4 µ ε. (. 1 − f cTE1,0 f. )2 = P0±. (. 1 − f cTE1,0 f. )2. (4.65). La gráfica de la potencia transmitida en función de la frecuencia es la función de transferencia de potencia, y se muestra para el intervalo de. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 145.

(17) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. frecuencias f cTE1,0 ≤ f ≤ 2 f cTE1,0 (correspondiente al ancho de banda teórico máximo) en la figura 4.7, normalizada para P0± = 1 .. 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0. Fig. 4.7: Función de transferencia de potencia del modo dominante en el intervalo de frecuencias correspondiente al ancho de banda máximo. Se observa en la figura 4.7 que la función de transferencia de potencia es bastante no lineal, lo cual produce distorsión de amplitud, la cual afecta sobre todo a señales analógicas de banda ancha. Por esta razón se utiliza comúnmente a la guía de onda para transmitir señales digitales (modulación por pulsos), o señales analógicas de banda estrecha, tales como audio telefónico analógico multiplexado en frecuencia. Adicionalmente, puede verse que para frecuencias cercanas a la frecuencia de corte la potencia transmitida tiende a ser nula. Hasta f = 1,25 f cTE1,0 , en que la función de transferencia normalizada vale 0,6, es de poca utilidad la guía de onda. Por esta razón, se define el siguiente intervalo de frecuencias como rango práctico de frecuencias de operación para la guía de onda rectangular: Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 146.

(18) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. 1,25 f cTE1,0 ≤ f ≤ 1,9 f cTE1,0. (4.66). 4.3.4 Descomposición de los modos TE o TM como modos TEM que se propagan de forma oblicua. Los modos TE o TM que se propagan dentro de una guía de onda rectangular pueden descomponerse como modos TEM que se propagan en una dirección de propagación que forma cierto ángulo Θ con el vector 1z . A continuación se hará la demostración de la mencionada descomposición para el caso de modos TEm,0. Descomposición del campo eléctrico de los modos TEm,0 como superposición de modos TEM El campo eléctrico de un modo TEm,0 viene dado por: ± ± ˆm E ,0 ( x, z ) = 1y eˆ0 y. m, 0. x  − jβ m , 0 z  sen mπ  e a . (4.67). Escribiendo la función seno en términos de exponenciales, se tiene:. ˆ ±m,0 ( x, z ) = 1y eˆ ± E 0y. m, 0. e jmπx / a − e − jmπx / a − jβ m,0 z ˆ + e = E1 ( x, z ) + Eˆ +2 ( x, z ) 2j. donde: ˆ 1+ ( x, z ) = 1y E. eˆ0±y. ˆ 2+ ( x, z ) = −1y E. m ,0. 2j eˆ0±y. e. m ,0. 2j. − j (β m,0 z − mπx / a ). e. − j (β m, 0 z + mπx / a ). Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (4.68a). (4.68b). 147.

(19) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. ˆ +2 ( x, z ) asumen la forma de ondas ˆ 1+ ( x, z ) y E Los campos eléctricos E TEM si se hace:. β m,0 = βTEM cos Θ. (4.69a). mπ / a = βTEM sen Θ. (4.69b). donde Θ es el ángulo que forma el vector de propagación de cada onda con respecto al eje z. Se sabe que si la frecuencia de operación es mayor que la frecuencia de corte del modo, la constante de fase es (ecuación 4.29 particularizada para el modo TEm,0): 2π f βTE m,0 ( f ) = v.  f cTE m,0 1−   f . 2.   = β TEM  .  f cTE m,0 1−   f .    . 2. (4.70). Igualando con la ecuación 4.69a, se tiene:  f cTE m,0 cos Θ = 1 −   f . 2. f   ⇒ senΘ = cTE m,0  f . (4.71). Al sustituir la ecuación 4.71 en la ecuación 4.69b, se verifica ésta última: mπ / a = βTEM sen Θ =. 2π f f cTE m,0 2π  v  π = m  = m v f v  2a  a. Queda demostrado que el campo eléctrico de un modo TEm,0 puede ˆ 1+ ( x, z ) y descomponerse como la suma de dos campos eléctricos TEM E ˆ +2 ( x, z ) que se propagan en la dirección del vector 1v1 = 1z cos Θ + 1x sen Θ y E Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 148.

(20) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. del vector 1v 2 = 1z cos Θ − 1x sen Θ , respectivamente, como se muestra en la figura 4.8.. E1+. x 1v1 a. 1v1 Θ Θ 1v2. 1v2. E2+ z 0. Fig. 4.8: Descomposición de un modo TEm,0 como la superposición de dos ondas planas que se propagan con un ángulo Θ. La onda “1” al incidir sobre el conductor se refleja totalmente, convirtiéndose en la onda “2” (puede verificarse que los módulos de las magnitudes de los campos eléctricos dados por las ecuaciones 4.68 son iguales). Por su parte la onda “2” se convierte en la onda “1” cuando incide sobre el conductor y se refleja totalmente. Por lo tanto, la propagación en dirección z de los modos TEm,0 es equivalente a la de un par de ondas TEM que se propagan oblicuamente reflejándose en las paredes conductoras ubicadas en x=0 y en x=a. El resultado para modos TE0,n es similar, con la diferencia de que la reflexión se produce en el otro par de conductores, y=0 y y=b. Para un modo. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 149.

(21) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. TEm,n o TMm,n, la onda se descompone en dos pares de ondas TEM, cada par reflejándose sobre un par de conductores paralelos. Cuando la frecuencia de operación es inferior a la frecuencia de corte, se tiene que sen Θ > 1 , por lo que los vectores de propagación son complejos:. vˆ 1 = − j 1z sen 2 Θ − 1 + 1x sen Θ y vˆ 2 = − j 1z sen 2 Θ − 1 − 1x sen Θ . Esta situación corresponde a ondas planas no uniformes, las cuales se propagan en dirección x y se atenúan en dirección z. Longitud de onda en la guía, velocidad de fase y velocidad de grupo La longitud de onda en la guía, que se denota como λg o λz, es la distancia entre dos superficies equifase consecutivas, medida en la dirección del eje z. Como se ve en la figura 4.9 de la siguiente página, esta distancia difiere de la longitud de onda que tiene una onda TEM en el mismo medio a la misma frecuencia, por efecto del ángulo de propagación de las ondas TEM dentro de la guía de onda. De la figura 4.9 se tiene:. λg =. λ0. cos Θ. =. λ0 1 − ( fc f ). 2. ≥ λ0. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. (4.72). 150.

(22) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. λg Θ. z. λ0 1v Superficies equifase consecutivas. Fig. 4.9: Longitud de onda en la guía y longitud de onda TEM en la guía La velocidad de fase, que se denota v z ó v p , es la velocidad con la que aparentemente se mueven los frentes de onda en dirección z, y se obtiene en términos de la longitud de onda en la guía y el período de la onda:. vz =. λg. λ ≥ 0 T T. (4.73). En el caso de que la guía de onda sea hueca, la velocidad de fase resulta mayor que la velocidad de la luz, lo cual no tiene sentido físico. Por ello dicha velocidad es una velocidad aparente, producto de haber tomado para su cálculo una longitud de onda que no se definió en la dirección de propagación de las ondas TEM. La velocidad con la que realmente viaja la energía en dirección z, llamada velocidad de grupo v g , es la proyección de la velocidad de la onda TEM sobre el eje z, como se muestra en la figura 4.10 de la página siguiente.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 151.

(23) EC232 TEORIA DE ONDAS UNIDAD 4: GUÍAS DE ONDAS METÁLICAS UNIFORMES. vg. vz. Θ. v0. Fig. 4.10: Velocidad de fase y velocidad de grupo De la figura 4.10, se tiene:. v g = v0 cos Θ ≤ v0 vp =. v0 ≥ v0 cos Θ. (4.74a) (4.74b). Combinando las ecuaciones 4.74, se obtiene:. v g v p = v0 2. (4.75). Es importante mencionar que los conceptos de longitud de onda en la guía, velocidad de fase y velocidad de grupo aplican a cualquier modo en la guía de onda, no sólo al modo dominante. Inclusive son aplicables a cualquier guía de onda de ondas de sección transversal arbitraria.. Profesor Orlando J. Sucre Rosales, ®2006-2007 Departamento de Electrónica y Circuitos, Universidad Simón Bolívar, Caracas, Venezuela. 152.

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