LOS POLINOMIOS Y SU FACTORIZACIÓN
Un monomio en R en una variable es el producto de una constante real a por una variable elevada a una potencia entera no negativa k, es decir,
a:x k Se dice que k es el grado del monomio.
Observación: cualquier número real distinto de cero es un monomio de grado cero.
Un polinomio en R en una variable 1 es una expresión algebraica de la forma a n :x n + a n 1 :x n 1 + ::: + a 1 :x 1 + a 0
donde a n ; a; :::a 1 ; a 0 son constantes reales, llamadas coe…cientes del poli- nomio, n 0 es un entero y x una variable. Si a n 6= 0; se le llama coe…ciente principal del polinomio, y n es el grado del polinomio.
Si todos los coe…cientes del polinomio son cero, se lo llama polinomio nulo y no se le asigna grado.
Factorizar un polinomio en R signi…ca escribirlo como el producto de poli- nomios en R de menor grado. Llamamos polinomios irreducibles en R a aquellos que no se pueden factorizar en R: Éstos son:
- Los monomios
- Los polinomios de grado menor ó igual que 1.
- Los polinomios de grado 2 que no tienen raíces reales (Se dice que un número a es una raíz del polinomio P (x) si P (a) = 0; es decir, si es solución de la ecuación P (x) = 0)
Factorizar totalmente en R un polinomio de grado n que no sea ir- reducible en R; P (x) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ::: + a n x n ; es escribirlo como producto de su coe…ciente principal a n 6= 0 por polinomios irreducibles en R de grados menores que n:
En el proceso de factorizar polinomios, frecuentemente necesitamos dividir polinomios de cualquier grado por polinomios de grado 1 con coe…ciente prin- cipal 1. Esto se puede hacer de la manera tradicional ó bien aplicando la regla de Ru¢ ni
La Regla de Ru¢ ni es una regla práctica para resolver aquellas divisiones en las cuales el divisor es de la forma x a con a 2 R: Vamos a recordarla
1
Se llama polinomio en Z a un polinomio cuyos coe…cientes son todos enteros; se llama polinomio en C a un polinomio cuyos coe…cientes son todos complejos; etc.
(Los polinomios en Z , por ejemplo, son también polinomios en Q; R y C)
efectuando la división del polinomio P (x) = 4x 5 6x 3 +4x 2 2 por Q (x) = x 3:
Cada número de la segunda …la se obtiene multiplicando el número de la tercer
…la de la columna anterior por el término independiente de Q (x) cambiado de signo. (3 en nuestro ejemplo). En cada columna, el número de la tercer …la se obtiene sumando los números de la primer y segunda …la correspondientes a esa columna. Se obtienen todos los números correspondientes a una columna antes de pasar a la siguiente.
coe…cientes de P (x) completo y ! 4 0 -6 4 0 -2 ordenado decrecientemente
término independiente de Q (x) ! 3 12 36 90 282 846
cambiado de signo. 4 12 30 94 282 844
-
% resto
coe…cientes del cociente C (x)
Así, el resultado de dividir P (x) por Q (x) es C(x) = 4x 4 + 12x 3 + 30x 2 + 94x + 282; y su resto es R(x) = 844:
Ejercicio: Realice la "prueba de la división" veri…cando que P (x) = Q (x) :C(x)+
R(x) en el ejemplo anterior.
Teorema del resto: El resto R de la división de un polinomio P (x) entre un polinomio de la forma (x a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor x = a; es decir R = P (a).
Por lo tanto, si a es una raíz real de P (x);el resto de dividir P (x) por (x a) es R(x) = 0 y como consecuencia podemos escribir P (x) = Q (x) :(x a) (¿Por qué?). Ésta es una factorización en R (no necesariamente completa) de P (x):
Para continuar, deberíamos factorizar Q(x): Esto podría hacerse identi…cando alguna raíz real b, si existiera, del polinomio Q(x) y dividiendo Q(x) por (x b):
De este modo, obtendríamos P (x) = S (x) :(x b):(x a) donde S (x) es el cociente de la división de Q(x) entre (x b). Observemos que b es también raíz del polinomio P (x) (¿Por qué?) y si se diera el caso de que b fuera igual a a; se trataría de una raíz repetida de P (x): Si S(x) es irreducible en R, la última factorización de P (x) es completa en R: Si S(x) no es irreducible en R;
el proceso se repite...
Teorema: Todo polinomio de coe…cientes reales y grado n tiene exacta- mente n raíces (las cuales pueden ser algunas reales y otras complejas, y se pueden rapetir).
Teorema: Si Z 2 C es raíz de un polinomio en R; P (x), entonces su conju- gado Z 2 C también es raíz de dicho polinomio.
Veamos algunos ejemplos concretos sobre cómo factorizar:
Si el polinomio P (x) es de grado 2; la ecuación P (x) = 0 para hallar las raíces de P (x) = ax 2 + bx + c se resuelve mediante la fórmula resolvente obte- niendo
x 1 = b + p 2a b2 4ac y x 2 = b p 2a b
2 4ac :
- En caso de que dichas soluciones fueran complejas, se concluye que el polinomio P (x) es irreducible en R:
- Si las soluciones son reales (repetidas o no), la factorización completa de P (x) en R queda así:
P (x) = a:(x x 1 ): (x x 2 )
En particular, si las raíces reales son repetidas (x 1 = x 2 ), diremos que x 1 es una raíz de multiplicidad 2 y escribiremos:
P (x) = a:(x x 1 ) 2
Atención! No olvidar el factor a:
Las identidades notables nos permiten realizar factorizaciones rápidas en casos muy especiales:
trinomio cuadrado perfecto: x 2 2ax + a 2 = (x a) 2 diferencias de cuadrados: x 2 a 2 = (x a)(x + a)
cuatrinomio cubo perfecto: x 3 3ax 2 + 3a 2 x a 3 = (x a) 3
Si el polinomio p (x) es de grado 3 o más veamos cómo se procede a través de unos ejemplos.
Ejemplo 1: Dado el polinomio p(x) = 2x 3 + 3x 2 5x 6, buscamos por tanteo una solución para la ecuación p(x) = 0. En particular, si se trata de un polinomio en Z podemos aplicar la prueba de la raíz racional, que se explicará más adelante.
Así, encontramos que 1 es una raíz de p(x).
Entonces, dividimos p(x) por (x ( 1)) utilizando Ru…ni y obtenemos como resultado c(x) = 2x 2 + x 6 resto cero. Entonces (x+1) p(x) = 2x 2 + x 6; lo cual implica
p(x) = 2x 2 + x 6 : (x + 1)
Luego aplicamos la fórmula resolvente para polinomios de grado dos, obte- niendo la factorización 2x 2 + x 6 = 2(x + 2)(x 3 2 ):
Finalmente, reescribimos
p(x) = 2:(x + 2):(x 3
2 ): (x + 1)
Por lo tanto p(x) tiene tres raíces reales distintas: 1; 2 y 3 2 :
Ejemplo 2: Dado el polinomio q(x) = x 4 3x 3 + 3x 2 x; en primer lugar, debemos sacar factor común si es posible (en el ejemplo de arriba no se podía, por eso no lo hicimos como primer paso). De este modo:
q(x) = x: x 3 3x 2 + 3x 1
Ahora debemos factorizar el polinomio x 3 3x 2 +3x 1: Podríamos proceder como en el ejemplo anterior, pero hay un camino más directo en este caso: usar las identidades notables (observe que no fue posible aplicar esto en el ejemplo de arriba). Particularmente utilizaremos la identidad llamada "trinomio cubo perfecto", según la cual x 3 3x 2 + 3x 1 = (x 1) 3 Por lo tanto,
q(x) = x: (x 1) 3 = x: (x 1) : (x 1) : (x 1)
Un razonamiento análogo al del ejemplo anterior nos permitirá concluir que q(x) tiene una raíz real 0 de multiplicidad uno y una raíz real 1 de multiplicidad tres.
Los dos polinomios anteriores (y en general todos los polinomios que se dan en el práctico) podrían factorizarse como se muestra más adelante en el Ejemplo 3, para ello utilizamos el siguiente resultado:
Si los coe…cientes del polinomio p (x) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + ::: + a n x n son todos enteros, la prueba de la raíz racional indica que si el término independiente a 0 es diferente de cero, entonces cada raiz racional x, se puede escribir como una fracción x = s q tal que el numerador s es un divisor positivo de a 0 , y el denominador q es un divisor positivo del coe…ciente principal a n :
En el Ejemplo 1, a 0 = 6 (siendo sus divisores positivos 1,2,3,6) y a n = 2 (siendo sus divisores positivos 1 y 2). Luego, en caso de que p(x) tuviera al- guna raíz racional (observe que la prueba de la raíz racional no detecta raíces irracionales ni complejas), la/s misma/s sería/n alguna/s de la/s siguientes :
1
1 ; 2 1 ; 3 1 ; 6 1 ; 1 2 ; ( 2 2 ); 3 2 ; ( 6 2 ) (las fracciones que pusimos entre paréntesis son equiva- lentes a alguna fracción anterior, no es necesario considerarlas nuevamente) y sus opuestos aditivos 1 1 ; 2 1 ; 3 1 ; 6 1 ; 1 2 y 3 2 : Los listados de fracciones anteriores incluyen todos los candidatos posibles a ser raíces racionales de p(x):
Ahora deberíamos evaluar p(x) para identi…car cúales de ellas efectivamente son raíces de p. 2 Por ejemplo, p( 3 2 ) = 0 lo cual implica que 3 2 es raíz de p; y p( 6) 6= 0 lo cual implica que 6 no es raíz de p:
En el Ejemplo 2, no se puede aplicar directamente la prueba de la raíz racional al polinomio q(x) porque su término independiente es a 0 = 0: Entonces se sacafactor común de modo que q(x) = x: x 3 3x 2 + 3x 1 y luego se aplica la prueba de la raíz racional al polinomio x 3 3x 2 + 3x 1 :
2
