PROBLEMAS DE ONDAS. Funci´on de onda, energ´ıa.

(1)

PROBLEMAS

DE ONDAS.

Funci´on de onda, energ´ıa.

Autor: Jos´e Antonio Diego Vives

Documento bajo licencia Creative Commons (BY-SA)

(2)

Problema 1

Escribir la función de una onda arm ónica que avanza haciax negativas, de amplitud 0,01 m, frecuencia 550 Hz y velocidad 340 m/s. ¿Qué distancia hay entre los dos puntos más próximos que tienen un desfase de 60ô? ¿Cuál es la diferencia de fase entre dos desplazamientos del mismo punto en un intervalo de tiempo de10⁻³s?

Función de onda: La función que describe una perturbación ’y’ viajera de tipo arm ónico simple que se desplaza por el medio haciax positivas (’−ct’ en la fórmu- la) ox negativas (’+ct’ en la fórmula) es:

y = y0sin(k(x ∓ ct)) y = y0sin(kx ∓ ωt)

Perturbaci´on propag´andose haciax positivas.

Dondey0es la amplitud de la onda,k el n´umero de onda, c la velocidad de la onda yω = kc su frecuencia angular. Para las ondas arm´onicas se cumple:

ω = k c, f = ω

2π, T = 1

f, λ = c

f, k = 2π λ , siendof la frecuencia de la onda, T su periodo y λ la longitud de onda.

Encontrar la funci´on de onda

Como la onda avanza haciax negativas, la función de onda tendrá el término +ωt:

y = y0sin(kx + ωt)

Con los datos que proporciona el enunciado del problema obtenemos los par´ametros de esta ecuaci´on:

y0 = 0,01 m, k = 2π

λ = 2πf

c = 2π 550 Hz

340 m/s = 10,16 m⁻¹, ω = 2πf = 2π 550 Hz = 1100π rad/s

La funci´on de onda es por lo tanto (en metros y segundos):

y = 0,01 sin(10,16 x + 1100π t)

(3)

Existe una relación lineal entre la distancia entre dos puntos, relativa a la longitud de onda, y el desfase entre éstos. Es decir, dos puntos separados una longitud de onda,λ, presentarán un desfase de 2π rad; si están separadosλ/2 tendrán un desfase de 2π/2 rad, etc.

λ → ∆φ = 2π

∆x → ∆φ = 2π∆x λ

Desfase entre puntos seg ´un su separaci´on.

Exigiendo que el desfase entre dos puntos sea∆φ = 60^o= π/3 rad, y sustituyendo el resto de datos del problema, obtenemos la distancia∆x entre los puntos:

∆x = λ ∆φ

2π = c ∆φ

f 2π = 0,103 m

¿Cu´al es la diferencia de fase entre dos desplazamientos del mismo punto en un intervalo de tiempo de 10⁻³s?

El desfase vendr´a dado por:

∆φ = φ2−φ1 = (

10,16 x + 1100π t2) − (

10,16 x + 1100π t1) → ∆φ = 1100π (t2−t1)

Sustituyendot2−t1= 10⁻³ s, queda finalemte:

∆φ = 3,456 rad

(4)

Problema 2

Atamos un alambre al extremo de un diapasón para generar ondas transversales. La frecuencia del dia- pasón esf = 440 Hz y lo hacemos oscilar con una amplitud A = 0,5 mm. El alambre tiene una densidad linealµ = 0,01 kg/m y está sometido a una tensión F = 1000 N. Para este sistema se pide:

(a) Encontrar el periodo y la frecuencia de las ondas en el alambre.

(b) ¿Qu´e velocidad tienen las ondas?

(c) Escribir la funci´on de la onda que se propaga por el alambre.

(d) Calcular la velocidad y aceleraci´on m´aximas de un punto del alambre.

(e) ¿Qu´e potencia debemos suministrar al diapas´on para que oscile con amplitud constante?

(a) Encontrar el periodo y la frecuencia de las ondas en el alambre.

Diapas´on que genera ondas en un alambre

El diapasón generará un perturbación arm ónico simple en la cuerda con la frecuencia propia del diapasón.

Por lo tanto las ondas generadas tendr´an una frecuenciaf = 440 Hz y un periodo T = 1/f .

f = 440 Hz, T = 1

f = 2,273 × 10⁻³s

(b) ¿Qu´e velocidad tienen las ondas?

Conocida la tensi´on en la cuerda y la densidad lineal podemos calcular la velocidad de la onda:

c = sF

µ =r 1000

0,01 = 316,2 m/s

(5)

La onda se propaga en el alambre haciax positivas, por lo que su funci´on de onda ser´a del tipo:

y = A sin(kx − ωt)

Podemos determinar los par´ametros de esta ecuaci´on con los datos del problema:

A = 5 × 10⁻⁴m, k = 2π

λ = 2πf

c = 8,742 m⁻¹, ω = 2πf = 2π 440 Hz = 880π rad/s

Y sustituyendo:

y = 5 × 10⁻⁴sin(8,742 x − 880π t) en m y s

(d) Calcular la velocidad y aceleraci´on m´aximas de un punto del alambre.

Cada puntox del alambre realiza un MAS de frecuencia angular ω = 880π. Su velocidad y aceleraci´on ser´a por lo tanto:

v = dx

dt = − ωA cos(− ωπ t) → v^max= ωA a = dv

dt = ω²A sin(− ωπ t) → amax= ω²A Sustituyendo los datos del problema:

vmax= 1,382 m/s, amax = 3819,9 m/s²

(6)

(e) ¿Qu´e potencia debemos suministrar al diapas´on para que oscile con amplitud constante?

Densidad de energ´ıa y potencia de la onda: Una cuerda por la que se propaga una onda mec´anica tiene una cierta energ´ıa asociada con el movimiento de los puntos. Adem´as, a medida que la onda se propaga, hay nuevos puntos del medio en movimiento por lo que el emisor debe suministrar una cierta energ´ıa por unidad de tiempo (potencia) para mantener el movimiento ondulatorio. La densidad lineal de energ´ıaη (energ´ıa por unidad de longitud) de la onda y la potencia P suministrada por el emisor es:

η = 1

2 µ ω² y0²

P = η c = 1

2 µ ω²y0² c

Movimiento de los puntos de la cuerda.

Dondey0es la amplitud de la onda,µ la densidad lineal de la cuerda, c la velocidad de la onda yω su frecuencia angular.

Podemos obtener la potencia que suministra el diapas´on sustituyendo directamente los datos del problema en la f´ormula de teor´ıa:

P = 1

2 µ ω²A²c = 3,02 W

(7)

Una barra de acero transmite ondas longitudinales generadas mediante un oscilador acoplado en un extremo. La barra tiene un di´ametro D = 4 mm. La amplitud de las oscilaciones es A = 0,1 mm y la frecuencia esf = 10 oscilaciones por segundo. Para este sistema se pide:

(a) Funci´on de la onda que se propaga por la barra.

(b) Energ´ıa por unidad de volumen en la barra.

(c) Potencia media que se propaga a trav´es de una secci´on cualquiera de la barra

(a) Funci´on de la onda que se propaga por la barra.

Tenemos que determinar los parámetros de la función de onda arm ónica, que es del tipo:

y = A sin(kx − ωt)

De acuerdo con los datos del problema:A = 0,1 mm y ω = 2πf = 20π rad/s.

Para determinark = ω/c necesitamos determinar la velocidad de las ondas de presi´on longitudinales en el acero (c), que viene dada por:

c = sE

ρ,

dondeE es el m´odulo de Young del acero y ρ su densidad. Obteniendo estos valores a partir de las tablas nos queda:

c = s

E ρ =

s

2 × 10¹¹N/m²

7700 kg/m³ = 5096,5 m/s

Finalmente,k = ω/c = 0,01233 m⁻¹y la funci´on de onda queda:

y = 1 × 10⁻⁴sin(0,01233 x − 20π t) en m y s

(b) Energ´ıa por unidad de volumen en la barra.

La densidad de energ´ıa por unidad de longitud en ondas unidimensionales viene dada por:

η = ∆E

∆l = 1

2 µ ω² y0²,

dondey0es la amplitud de la onda,µ la densidad lineal del medio y ω la frecuencia angular de la onda.

Podemos relacionar la densidad de energ´ıa por unidad de longitud (∆E/∆l) con la densidad volum´etrica (∆E/∆V ) conociendo la secci´on de la barra S.

Considerando un segmento de la barra∆l de volumen ∆V :

(8)

∆E

∆V = ∆E

∆l S = µ ω² y²0

2S

Relaci´on entre∆l y ∆V .

Y tambi´en podemos relacionar la densidad lineal de masaµ con la densidad volum´etrica ρ:

µ = ∆m

∆l = ρ S∆l

∆l = ρ S

Utilizando esta relaci´on y sustituyendo los datos del problema queda finalmente:

∆E

∆V = ρS ω²y²0

2S = 0,1520 J/m³

(c) Potencia media que se propaga a trav´es de una secci´on cualquiera de la barra.

De acuerdo con la teor´ıa, la potencia media que transmite una onda unidimensional viene dada por:

P = 1

2 µ ω²y²0 c

Utilizando queµ = ρ S y que, conocido el di´ametro D, S = πD²/4, nos queda:

P = ρ π D²ω² y²0 c 8 Sustituyendo los datos del problema obtenemos finalmente:

P = 9,7334 × 10⁻³W

(9)

Dos alambres de diferente densidad se sueldan uno a continuación del otro y se someten a una cierta tensión. La velocidad de la onda en el primer alambre es el doble que en el segundo. Cuando la onda arm ónica se refleja en la unión entre ambos alambres, la onda reflejada tiene la mitad de amplitud que la onda transmitida. Para este sistema se pide:

(a) Suponiendo que no hay perdidas de energ´ıa, ¿qu´e relaci´on hay entre las amplitudes de las tres ondas?

(b) ¿Qué fracción de la potencia de la onda se transmite y qué fracción se refleja?

Soluci´on

(a) Suponiendo que no hay perdidas de energ´ıa, ¿qu´e relaci´on hay entre las amplitudes de las tres ondas?

Tendremos tres ondas arm ´onicas que se propagan por los alambres;yi: onda incidente desde el alambre 1,y^t: onda transmitida al alambre 2 yy^r: onda reflejada en el alambre 1.

yi= Aisin(k1x − ωt) yt= Atsin(k²x − ωt) yr= Arsin(k¹x + ωt)

Ondas que se propagan en los alambres

donde se ha tenido en cuenta queω depende s´olo de la onda (no del medio), que k depende del medio y que la onda reflejada avanza hacia la izquierda.

La potencia de cada una de estas ondas viene dada por las expresiones:

Pi = 1

2µ1ω²A²iv1

Pt= 1

2µ2ω²A²tv2

Pr= 1

2µ¹ω²A²rv¹

Adem´as por conservaci´on de la energ´ıa se debe cumplir quePi = Pt+ Pr:

1

2µ1ω²A²iv1 =

1

2µ2ω²A²tv2+

1

2µ1ω²A²rv1 → µ1A²iv1 = µ2A²tv2+ µ1A²rv1 (∗) Introduciendo ahora que, de acuerdo con el enunciado,v1= 2v2 y queAr= At/2:

µ1A²i2v2= µ2A²tv2+ µ1

A²t

4 2v2 → A²t

A²_i = 2µ1

µ2+¹₂µ1

(10)

Podemos encontrar una relación entre las densidades lineales de los alambres teniendo en cuenta que v¹ = 2v²y que los dos alambres están sometidos a la misma tensión:

v1 = 2v2 → sT

µ1

= 2 sT

µ2

→ T

µ1

= 4T µ2

→ µ2 = 4µ1

y sustituyendo esta relaci´on enAt/Aiqueda finalmente:

A²t

A²i

= 2µ¹ 4µ1+¹₂µ1

= 4

9 → A^t Ai

= 2 3

Operando de forma an´aloga a partir de la ecuaci´on(∗), pero sustituyendo ahora At = 2Ar, obtenemos paraAr/Ai:

A^r Ai

= 1 3

(b) ¿Qué fracción de la potencia de la onda se transmite y qué fracción se refleja?

Calculamos los cocientesPt/PiyPr/Pi:

Pt

Pi

=

1

2µ²ω²A²tv²

¹

2µ¹ω²A²iv¹ = µ2

µ1

A²t

A²_i v2

v1

Pr

Pi

=

1

2µ1ω²A²rv1

¹

2µ¹ω²A²iv¹ = A²r

A²_i

Teniendo en cuenta las relaciones encontradas anteriormente paraAr/Ai y At/Ai, y que µ² = 4µ¹ y v1 = 2v2, queda finalmente:

P^t Pi

= 8

9 , P^r Pi

= 1 9