RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO-LINEALES CON UN ALGORITMO RESIDUAL

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RESOLUCI ´ ON DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO-LINEALES CON UN ALGORITMO RESIDUAL

WILLIAM LA CRUZ^∗

Departamento de Electr´onica, Computaci´on y Control Universidad Central de Venezuela

Caracas, Venezuela email: lacruzw@ucv.ve

RESUMEN

Se presenta la aplicación de un nuevo método libre de derivadas para sistemas de ecuaciones no- lineales, en la resolución numérica de ecuaciones diferenciales no-lineales. Se incluyen algunos experimentos numéricos preliminares donde se comprueba que el método propuesto y su versión precondicionada, son efectivos y compiten favo- rablemente con el método de Newton de puntos interiores-reflexivo, implementado en la función fsolvedel Toolbox de optimización de MAT- LAB.

PALABRAS CLAVE

Ecuaciones diferenciales no-lineales, M´etodo de diferencias finitas, Sistema de ecuaciones no- lineales, M´etodo de Newton, Algoritmo libre de derivadas.

1 Introducci´on

En este art´ıculo consideramos el problema de encontrar una funci´on v : Σ 7→ R que satisfaga la ecuaci´on en derivadas parciales no-lineal

−∇²v + p(v) = h(x, y) (1) con condiciones de borde, donde

Σ = [a1, b1] × [a2, b2] ⊂ R², p : R 7→ R,

a1 < a2, yb1 < b2.

∗El autor est´a soportado por el proyecto No. PI-08-14- 5463-2006 del CDCH-UCV.

Muchos problemas f´ısicos se pueden mo- delar usando ecuaciones en derivadas parciales de la forma (1). Por ejemplo, problemas re- lacionados con el estudio de procesos de con- vección-difusión: ignición térmica y combustión, reacción qu´ımica, y crecimiento de poblacio- nes ([1, 8, 13]).

Con frecuencia no es posible encontrar la solución exacta de (1). En los casos que no se puede hallar expl´ıcitamente la solución exacta, se utiliza un método numérico para aproximar el valor de la función v(x, y) en un número finito de puntos(xi, yi) ∈ Σ. Generalmente el método uti- lizado para este proceso es el método de diferen- cias finitas.

Si se aplica a la ecuación en derivadas parciales (1) el método de diferencias finitas, consi- derando diferencias centrales enn = N² puntos internos de Σ, se obtiene una ecuación en diferencias de la forma

F (u) ≡ Au + G(u) = 0, (2) dondeA es una matriz real de orden n, G : Rⁿ7→

Rⁿ es una funci´on continuamente diferenciable, u = (u1, u2, . . . , un)^T es un vector de Rⁿ, y ui

es el valor aproximado dev(x, y) en un punto interno (xi, yi) ∈ Σ. La ecuación (2) representa un sistema de ecuaciones no-lineales conn ecuaciones y n incógnitas. De esta forma, una so- lución del sistema de ecuaciones no-lineales (2) representa una solución aproximada de (1) en un número finito de puntos internos deΣ.

Normalmente, para la resoluci´on del sistema de ecuaciones (2) se utilizan m´etodos tipo

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Newton o Casi-Newton ([14, 6, 7]). El inconve- niente de estos m´etodos es que se tornan compu- tacionalmente costosos cuando la dimensi´on del sistema es muy grande.

Recientemente La Cruz [9] presenta el algoritmo NDF-SANE que es una variante de los métodos SANE [12] y DF-SANE [11] para sistemas de ecuaciones no-lineales. El método NDF- SANE es un algoritmo libre de derivadas que emplea sistemáticamente el vector residual∓F (uk) como dirección de búsqueda. Estos métodos libre de derivadas han demostrado ser efectivos y competitivos en comparación con los bien cono- cidos métodos Newton-Krylov [2, 3, 7].

El objetivo principal de este art´ıculo es la aplicación del método NDF-SANE en la reso- lución del sistema de ecuaciones no-lineales (2) asociado a la ecuación diferencial no-lineal (1).

El art´ıculo está estructurado de la siguiente forma. En la Sección 2 se describe el algoritmo NDF-SANE y su versión precondicionada.

En esta sección también se dan algunos detalles de su convergencia e implementación. En la Sección 3 se presentan algunas experiencias numéricas en la resolución de ecuaciones diferenciales no-lineales, donde se compara el comportamiento de los métodos NDF-SANE y su versión predondicionada, con el método de New- ton de puntos interiores-reflexivo implementado en la función fsolve del Toolbox de optimi- zación de MATLAB ([5], [4]). Finalmente, en la Sección 4 se dan algunos comentarios finales.

Utilizamos la siguiente notaci´on. La norma Euclideana la denotamos por k · k. Dada una funci´on H : Rⁿ 7→ R^m, escribimos H^′(u) para el Jacobiano deH en u (si H es diferenciable).

2 Algoritmo Libre de Derivadas

En esta sección describimos el Algoritmo NDF- SANE y su versión precondicionada. Luego da- mos algunos detalles de la implementación de NDF-SANE.

Sea F : Rⁿ 7→ Rⁿ una funci´on continuamente diferenciable en Rⁿ. Se define la funci´on

m´erito asociada aF como

f (u) = kF (u)k². (3) El algoritmo NDF-SANE, igual que los métodos SANE [12] y DF-SANE [11], puede considerarse como un método Casi-Newton donde un múltiplo de la matriz identidad αkI se utiliza como aproximación del Jacobiano F^′(x).

El n´umero realαk puede interpretarse como una aproximaci´on del inverso de un cociente de Ray- leigh de la matriz Jacobiana promedio

Z ¹

0

F^′(xk−1+ t(xk− xk−1))dt.

En el esquema de NDF-SANE se usan los siguientes par´ametros:

• una sucesi´on de n´umeros positivos {ηk} tal que

∞

X

k=0

ηk < η, (4)

• α0 > 0,

• αmax lo suficientemente grande y αmin lo suficientemente peque˜no tales que

αmax > αmin > 0,

• γ ∈ (0, 1) lo suficientemente peque˜no,

• 0 < σmin < σmax < 1 (par´ametros del proceso de “Backtracking”).

El método NDF-SANE emplea sistemáti- camente el vector residual ∓αkF (uk) como di- rección de búsqueda. De esta forma, NDF-SANE comienza conu0 ∈ Rⁿy genera los iterados

uk+1= uk+ λd⁻ ´o uk+1 = uk+ λd+, donde λ ∈ (0, 1), d⁻ = −αkF (uk), y d+ = αkF (uk), satisfacen alguna de las siguientes de- sigualdades:

f (uk+ λd−) ≤ f (uk) + ηk− λ²kd−k² (5)

´o

f (uk+ λd+) ≤ f (uk) + ηk− λ²kd+k², (6)

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Las condiciones (5) y (6) conforman una b´usqueda lineal no-mon´otona necesaria para ga- rantizar la convergencia de NDF-SANE.

En el Algoritmo 2.1 se describe el m´etodo NDF-SANE. Aqu´ı se muestra como se generan los iteradosuk+1y cuando termina el proceso.

Algoritmo 2.1 (Algoritmo NDF-SANE).

Paso 0. Escoger u0 ∈ Rⁿ, {η_k}, 0 < γ < 1, 0 < αmin < α_max <∞, y 0 < σmin <

σ_max <1. Asignar k := 0.

Paso 1. Si F(u_k) = 0 parar el proceso;

Paso 2. escoger αktal que|αk| ∈ [αmin, α_max];

Paso 3. asignar d:= −α_kF(u_k);

Paso 4. asignar λ:= 1;

Paso 5. si f(uk+ λd) ≤ f (uk) + ηk− γλ²kdk², definir d_k= d, e ir al Paso 8;

Paso 6. si f(u_k− λd) ≤ f (u_k) + η_k− γλ²kdk², definir dk= −d, e ir al Paso 8;

Paso 7. (Proceso de Backtracking)

escoger λ_new∈ [σ_minλ, σ_maxλ], asignar λ:= λnew, e ir al Paso 5;

Paso 8. definir λ_k = λ, u_k+1 = u_k + λ_kd_k, asignar k:= k + 1, e ir al Paso 1.

Comentarios.

(i) El Algoritmo 2.1 est´a bien definido. En efecto, por la continuidad def y dado que ηk > 0, las condiciones de los Pasos 5 o 6 se satisfacen con finitas reducciones deλ.

(ii) La sucesi´on {uk} generada por el Algo- ritmo 2.1 est´a contenida en el conjunto ce- rrado

Ω0 = {u ∈ Rⁿ : 0 ≤ f (u) ≤ f (u0) + η} . (iii) En el Algoritmo 2.1 no es necesario almace-

nar el Jacobiano de F o una aproximaci´on del mismo.

(iv) Se observa que no es necesario la reso- lución de un sistema de ecuaciones lineales en cada iteración para generar una di- rección de búsqueda, que es lo t´ıpico en los métodos tipo Newton o Casi-Newton. Esta caracter´ıstica de NDF-SANE puede ser de gran utilidad en la resolución de sistemas de gran escala.

(v) En la práctica, los parámetros asociados con la estrategia de búsqueda lineal se escogen para reducir el número de backtrackings tanto como sea posible, garantizando las propiedades de convergencia del método.

Por ejemplo, el parámetroγ > 0 se escoge como un número muy pequeño (γ ≈ 10⁻⁴), y ηk se escoge lo suficientemente grande cuando k = 0 y se va reduciendo lenta- mente asegurando que se cumpla (4) (por ejemplo,ηk = 10⁴(1 − 10⁻²)). Finalmente, 0 < σmin < σmax son parámetros clásicos en los procesos de búsquedas lineales (por ejemplo,σmin = 0.1 y σmax = 0.5).

Los siguientes resultados de convergencia se encuentran en La Cruz [9, Cap´ıtulo 3].

Teorema 2.1. Asumamos que Ω0 es acotado, F es continuamente diferenciable sobre un con- junto abierto O que contiene a Ω0, y {uk} es la sucesi´on generada por el Algoritmo 2.1. Enton- ces todos los puntos l´ımitesu∗de{uk} satisfacen

F (u∗)^TF^′(u∗)F (u∗) = 0.

Corolario 2.1. Asumamos que Ω0 es acotado, F es continuamente diferenciable sobre un con- junto abierto O que contiene a Ω0, y {uk} es la sucesi´on generada por el Algoritmo 2.1. Supon- gamos queu∗ es un punto l´ımite de{uk} tal que para todov ∈ Rⁿ, v 6= 0,

v^TF^′(u^∗)v 6= 0.

Entonces,F (u∗) = 0.

Definición 2.1. SiF^′(u) es definida positiva para todo u ∈ Rⁿ decimos que el mapeo F es estrictamente monótono. Si F es estrictamente monótono o−F es estrictamente monótono, decimos que el mapeo F es estricto. Si un mapeo es estricto y admite una solución, esta es única (ver [14], Cap´ıtulo 5).

Corolario 2.2. Asumamos que Ω0 es acotado, F es continuamente diferenciable sobre un con- junto abierto O que contiene a Ω0, y {uk} es la sucesi´on generada por el Algoritmo 2.1. Si el ma- peo F is estricto, entonces {uk} converge a la soluci´on deF (u) = 0.

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Teorema 2.2. Asumamos que Ω0 es acotado, F es continuamente diferenciable sobre un con- junto abierto O que contiene a Ω0, y {uk} es la sucesi´on generada por el Algoritmo 2.1. Supon- gamos que existe un punto l´ımite u∗ de{uk} tal que F (u^∗) = 0. Entonces las siguientes condi- ciones se cumplen:

(i) La sucesi´on {F (uk)} converge a 0.

Adem´as, todo punto l´ımite de {uk} es soluci´on deF (u) = 0.

(ii) Si existe δ > 0 tal que F (u) 6= 0 siempre que0 < ku − u^∗k ≤ δ, entonces la sucesi´on {uk} converge a u^∗.

2.1 Versi´on Precondicionada

A continuaci´on presentamos la versi´on precondicionada de NDF-SANE que denominamos PNDF-SANE.

La diferencia entre los algoritmos NDF- SANE y PNDF-SANE es que en PNDF-SANE se definen las direcciones de b´usqueda como d = ∓αkM⁻¹F (uk), donde M es una matriz sim´etrica definida positiva (SDP) de orden n.

Para revisar las propiedades de convergencia de PNDF-SANE se recomienda [10].

Algoritmo 2.2 (Algoritmo PNDF-SANE).

Paso 0. Escoger u0 ∈ Rⁿ, {ηk}, 0 < γ < 1, 0 < α_min < α_max < ∞, 0 < σ_min <

σ_max <1, y una matriz SDP M de orden n. Asignar k:= 0.

Paso 1. Si F(u_k) = 0 parar el proceso;

Paso 2. escoger α_ktal que|α_k| ∈ [α_min, α_max];

Paso 3. asignar d:= −αkM⁻¹F(uk);

Paso 4. asignar λ:= 1;

Paso 5. si f(u_k+ λd) ≤ f (u_k) + η_k− γλ²kdk², definir dk= d, e ir al Paso 8;

Paso 6. si f(u_k− λd) ≤ f (u_k) + η_k− γλ²kdk², definir d_k= −d, e ir al Paso 8;

Paso 7. (Proceso de Backtracking)

escoger λnew∈ [σminλ, σmaxλ], asignar λ:= λ_new, e ir al Paso 5;

Paso 8. definir λk = λ, uk+1 = uk + λkd_k, asignar k:= k + 1, e ir al Paso 1.

Comentarios.

(i) Con la incorporación de la matrizM en el Algoritmo 2.2 se pretende que la dirección de NDF-SANE se aproxime a la dirección de Newtond = −F^′(uk)⁻¹F (uk).

(ii) En la pr´actica para determinar la direcci´on d = −αkM⁻¹F (uk), no se calcula la in- versa deM . Simplemente d se obtiene re- solviendo el sistema de ecuaciones lineales M d = −αkF (uk).

2.2 Implementaci´on

Implementamos los Algoritmo 2.1 y 2.2 con los siguientes par´ametros:

• ηk= θ(1 − 10⁻²)^k, donde

θ =½ kF (u⁰)k², kF (u0)k² ≤ 1, 10⁴, kF (u0)k² > 1.

• α0 = 1

• αmin = 10⁻¹⁰

• αmax = 10¹⁰

• γ = 10⁻⁴

• σmin = 0.1

• σmax = 0.5

El coeficiente espectral normalmente se define a trav´es de la f´ormula:

αk =µ s^t_kyk

s^t_ksk

¶⁻¹

parak ≥ 1, (7) dondesk= uk− uk−1yyk = F (uk) − F (uk−1).

Esta expresi´on no es muy eficiente para calcular al coeficiente espectral. De (7) y de las definicio- nes desk,yk, yuk, podemos escribir:

s^t_kyk

s^t_ksk

= ∓µ F (u_k−1)^TF (uk) − f (uk−1) λk−1αk−1f (uk−1)

¶ , donde los signos “−” o “+” se toman respectivamente si la direcci´on es dk−1 = −αk−1F (uk−1)

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o si esdk−1 = αk−1F (uk−1). Por tanto, el coeficiente espectral se puede definir como:

αk = ∓µ F (uk−1)^TF (uk) − f (uk−1) λk−1αk−1f (uk−1)

¶⁻¹ . (8) En el cálculo de αk utilizando la ecuación (8) se realiza un producto interno; en cambio, en la ecuación (7) se necesitan dos productos internos. Por ello, la obtención deαk a través de (8) es más eficiente. En consecuencia, calculamos el coeficiente espectral empleando (8).

Ahora, si |αk| 6∈ [αmin, αmax] reemplaza- mos el coeficiente espectral por

αk=







1 sikF (uk)k > 1,

kF (uk)k⁻¹ si10⁻⁵ ≤ kF (uk)k ≤ 1, 10⁵ sikF (uk)k < 10⁻⁵. Para escoger λnew en los Algoritmos 2.1 y 2.2, utilizamos el siguiente procedimiento descrito en [11]: dado λ > 0, tomamos λnew > 0 como

λnew =







σminλ siλc< σminλ, σmaxλ siλc> σmaxλ, λc de lo contrario, donde

λc= λ²fc

fc+ (2λ − 1)f (uk), y

fc= max{f (uk+ λd), f (uk− λd)}.

Empleamos el criterio de parada

kF (uk)k ≤ εkF (u0)k, (9) donde0 < ε << 1.

3 Experiencias Num´ericas

Comparamos el comportamiento numérico de las implementaciones en MATLAB de los algoritmos NDF-SANE y PNDF-SANE con la función fsolvedel Toolbox de optimización de MAT- LAB, para un conjunto de ecuaciones diferenciales no-lineales. Todas las corridas se realizaron

en un Computador Pentium IV de 3.0 GHz con epsilon de m´aquina2 × 10⁻¹⁶.

Para la función fsolve del Toolbox de op- timización de MATLAB empleamos la opción:

options=optimset(’LargeScale’,’on’,...

’MaxFunEvals’,10000,’MaxIter’,2000,...

’TolFun’,1.0d-8,’TolX’,1.0d-8).

La función fsolve, con la opción LargeScale seleccionada con optimset, usa un algoritmo de gran-escala. Este algoritmo es un método de regiones de confianza, basado en el método de Newton de puntos interiores- reflexivo descrito en [5], [4]. En cada iteración de Newton se utiliza el método gradiente conjugado precondicionado para obtener una solución aproximada de un sistema de ecuaciones lineales de gran-escala.

Para PNDF-SANE usamos la factorizaci´on LU incompleta de A como estrategia de precondicionamiento, es decir, la matriz precondiciona- dora esM = U⁻¹L⁻¹ donde las matricesL y U se obtienen con el comando de MATLAB

[L, U ] = luinc(A, 1.0d-6).

En el estudio numérico consideramos dos ecuaciones en derivadas parciales (1) de gran importancia en el campo de la f´ısica (electroma- gnetismo y transporte): Ecuación de Poisson y Ecuación de Convección-Difusión. A continua- ción describimos una familia particular de ecuaciones de Poisson y otra familia de ecuaciones de Convección-Difusión.

Problemas de Poisson

−∇²v + β v³

1 + x + y² = g(x, y) (10) Problemas de Convecci´on-Difusi´on

−∇²v + βv(vx+ vy) = g(x, y) (11) En todas las ecuaciones en derivadas parciales tomamosΣ = [0, 1] × [0, 1] y dividimos [0, 1]

en N = 32 subintervalos. Consecuentemente, obtuvimos 32 × 32 = 1024 puntos de red. Las

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incógnitas del sistema discretizado son los valores de v en esos puntos de red. Todas las derivadas se aproximaron usando diferencias centrales. Sustituyendo en (1) la funcióng, las apro- ximaciones de las derivadas y usando las condiciones de borde v = 0, obtuvimos un sistema de ecuaciones no-lineales F (u) = Au + G(u), donde el número de ecuaciones e incógnitas es igual al número de puntos de red internos y A es una matriz de orden N² resultante de la dis- cretización de la ecuación de Poisson con el ope- rador de 5 puntos. Las incógnitas v(ih, jh) se ordenaron lexicográficamente en el vector u = (u1, u2, . . . , un)^T, dondeh = 1/(n + 1).

Usamos una soluci´on conocida de los problemas (10) y (11). Esta soluci´on es

v⋆(x, y) = xy(x − 1)(y − 1).

En este caso la función g(x, y) queda determi- nada, además, u⋆ es la discretización de v⋆. En todos los problemas el iterado inicialu0es el vector nulo. Empleamos el criterio de parada (9) con ε = 10⁻⁸.

Para todos los problemas generamos dife- rentes instancias con

β ∈ {−60, −50, . . . , 50, 60}.

En las Tablas 1-6 mostramos en forma de- tallada los resultados numéricos para los algoritmos NDF-SANE, PNDF-SANE y fsolve. En estas tablas reportamos el número de iteraciones (IT), número de evaluaciones de la función (EF), tiempo de CPU en segundos (T), y el error e⋆ = ku⋆ − ukk, donde uk es la solución hallada por el algoritmo. También en estas tablas reportamos para los algoritmos NDF-SANE y PNDF- SANE, el número de iteraciones donde se activa la búsqueda lineal (BL).

En la Figura 1 observamos el comportamiento de NDF-SANE y PNDF-SANE para el problema de Convecci´on-Difusi´on conβ = −60.

Notamos que NDF-SANE y PNDF-SANE po- seen un comportamiento no-monótono. Además, apreciamos que el número de iteraciones y evaluaciones de la función de NDF-SANE duplica el número de iteraciones y evaluaciones de la función de PNDF-SANE.

En las Figuras 2, 3 y 4, observamos la solución exacta del problema de Convección- Difusión con β = −60, y la solución encontrada por NDF-SANE, PNDF-SANE y fsolve, respectivamente. Se observa que las soluciones halladas por NDF-SANE y MATLAB correspon- den a la solución con signo contrario de la so- lución exacta. Mientras que la solución hallada por PNDF-SANE se aproxima muy bien a la so- lución exacta. Este mismo hecho se repite para los problemas de Poisson y Convección-Difusión con todos los valores deβ.

β IT EF BL T e_⋆

-60 527 1071 207 17.031 2.19e0 -50 462 924 187 14.719 2.19e0 -40 480 926 173 14.672 2.19e0 -30 574 1184 239 18.750 2.20e0 -20 273 501 84 8.016 2.20e0 -10 492 1076 223 17.203 2.20e0 0 456 950 182 15.094 2.20e0 10 546 1096 211 17.422 2.20e0 20 466 848 153 13.453 2.20e0 30 580 1250 261 19.828 2.20e0 40 418 868 169 13.766 2.21e0 50 438 940 194 14.953 2.21e0 60 407 733 121 11.672 2.21e0

Tabla 1. Resultados de NDF-SANE para los problemas de Poisson

β IT EF BL T e_⋆

-60 93 147 26 2.438 8.96e-3 -50 89 143 26 2.375 7.53e-3 -40 90 144 26 2.391 6.11e-3 -30 92 146 26 2.422 4.69e-3 -20 98 152 26 2.563 3.32e-3 -10 99 153 26 2.563 2.07e-3 0 107 161 26 2.688 1.40e-3 10 100 154 26 2.531 2.01e-3 20 103 157 26 2.609 3.25e-3 30 92 146 26 2.406 4.65e-3 40 90 144 26 2.375 6.11e-3 50 89 143 26 2.375 7.59e-3 60 94 144 24 2.391 9.10e-3

Tabla 2. Resultados de PNDF-SANE para los problemas de Poisson

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β IT EF T e_⋆ -60 3 4100 141.594 2.16e0 -50 3 4100 140.031 2.16e0 -40 3 4100 140.234 2.16e0 -30 3 4100 140.094 2.16e0 -20 3 4100 136.422 2.17e0 -10 3 4100 135.438 2.17e0 0 3 4100 136.563 2.17e0 10 3 4100 137.469 2.17e0 20 3 4100 136.078 2.17e0 30 3 4100 140.500 2.17e0 40 3 4100 139.969 2.17e0 50 3 4100 140.141 2.17e0 60 3 4100 140.734 2.18e0

Tabla 3. Resultados de fsolve para los problemas de Poisson

β IT EF BL T e_⋆

-60 508 1018 203 14.813 2.20e0 -50 634 1330 278 19.344 2.20e0 -40 463 977 197 14.234 2.20e0 -30 577 1071 194 15.594 2.20e0 -20 511 1015 203 14.734 2.20e0 -10 483 961 182 14.297 2.20e0 0 456 950 182 13.828 2.20e0 10 570 1172 230 17.078 2.20e0 20 544 1084 197 15.797 2.20e0 30 591 1083 188 15.766 2.20e0 40 602 1256 255 18.547 2.20e0 50 656 1328 268 19.344 2.20e0 60 505 961 177 14.000 2.20e0

Tabla 4. Resultados de NDF-SANE para los problemas de Convecci´on-Difusi´on

β IT EF BL T e_⋆

-60 247 349 50 5.438 1.40e-3 -50 195 295 49 4.453 1.40e-3 -40 162 253 44 3.844 1.40e-3 -30 141 234 45 3.547 1.40e-3 -20 122 216 46 3.281 1.40e-3 -10 109 173 31 2.703 1.40e-3 0 107 161 26 2.500 1.40e-3 10 101 140 18 2.125 1.40e-3 20 99 133 16 2.016 1.40e-3 30 106 138 15 2.125 1.40e-3 40 111 129 9 2.000 1.40e-3 50 111 129 9 1.984 1.40e-3 60 110 126 8 1.953 1.40e-3

Tabla 5. Resultados de PNDF-SANE para los problemas de Convecci´on-Difusi´on

β IT EF T e_⋆

-60 6 7175 192.453 2.17e0 -50 6 7175 192.469 2.17e0 -40 6 7175 195.953 2.17e0 -30 6 7175 192.234 2.17e0 -20 5 6150 177.547 2.17e0 -10 5 6150 178.969 2.17e0 0 3 4100 131.844 2.17e0 10 5 6150 175.266 2.17e0 20 5 6150 174.938 2.17e0 30 6 7175 195.047 2.17e0 40 6 7175 192.469 2.17e0 50 6 7175 193.203 2.17e0 60 6 7175 191.359 2.17e0

Tabla 6. Resultados de fsolve para los problemas de Convecci´on-Difusi´on

Figura 1. Comportamiento de NDF-SANE y PNDF-SANE para el problema de Convecci´on- Difusi´on conβ = −60.

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Figura 2. Solución exacta y solución encontrada por NDF-SANE para el problema de Con- vección-Difusión conβ = −60.

Figura 3. Solución exacta y solución encontrada por PNDF-SANE para el problema de Con- vección-Difusión conβ = −60.

Figura 4. Solución exacta y solución encontrada por fsolve para el problema de Convección- Difusión conβ = −60.

Los resultados num´ericos indican que fsolve siempre realiza menos iteraciones que los algoritmos NDF-SANE y PDF-SANE.

También muestran que para todos los problemas resueltos, PDF-SANE posee el menor número de evaluaciones de la función y menor tiempo de CPU. El número de búsquedas lineales de PNDF-SANE es menor que el de NDF-SANE.

En general, el uso de la estrategia de precondicionamiento mejora significativamente el comportamiento de NDF-SANE. En efecto, para todos los problemas se observó una mejora del orden del 77.23% en iteraciones, 82.89% en evaluaciones de la función, 85.61% en búsquedas lineales y 82.06% en tiempo de CPU.

4 Comentarios Finales

Presentamos la aplicación de un nuevo método, denominado NDF-SANE, para sistemas de ecuaciones no-lineales, en la resolución de ecuaciones diferenciales no-lineales. Por su simplicidad, el método es muy fácil de implementar, requiere un m´ınimo de almacenamiento, y, por eso, es muy atractivo para la resolución de sistemas de gran escala (el código en MATLAB escrito por el autor está disponible si es requerido).

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Comparamos el comportamiento numérico, en la resolución de ecuaciones diferenciales no- lineales, de los métodos NDF-SANE y su versión predondicionada, con el método de Newton de puntos interiores-reflexivo implementado en la función fsolve del Toolbox de optimización de MATLAB. Nuestros resultados preliminares indican que el comportamiento numérico de NDF- SANE y su versión predondicionada, es significativamente mejor que el de fsolve.

Por ´ultimo, constatamos, para los problemas estudiados, que la incorporaci´on de una estrategia de precondicionamiento a NDF-SANE mejora notablemente su comportamiento. Pero,

¿este resultado será el mismo para todo problema? y ¿qué técnica de precondicionamiento se debe utilizar? Estas interrogantes plantean los siguientes trabajos futuros de gran importancia:

• Dise˜nar estrategias de precondicionamiento que se combinen eficientemente con NDF- SANE.

• Diseñar un procedimiento que determine la técnica de precondicionamiento que se de- ber´ıa emplear, según el problema que se de- sea resolver.

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