EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I Primera evaluación (Recuperación) 1

1º Bachillerato CS

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EXAMEN DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

Primera evaluación (Recuperación)

1. (0,7 puntos) Expresa en notación de intervalos y representa gráficamente el conjunto de números reales que verifican la inecuación 2 x − < . 3 7

2. (0,8 puntos) Calcula, racionalizando y simplificando: 4 3 3 2

5 2 18

−

− .

3. (1 punto) Calcula y simplifica: ^{3 5 2 1 2} ( ^{4 5} ) ^{1 2 2 7}

5   x − 2   − x −   6 x − 5 x + 10  

    .

4. a) (0,7 puntos) Opera y simplifica el resultado: ^{5 2 3 2} ₂ ²

1 1 1

x x

x x x

− −

− +

− + − .

b) (0,8 puntos) Resuelve la ecuación 4 x ³ − 8 x ² − + = . x 2 0

5. (1,5 puntos) Un grifo llena un depósito en 10 horas, y otro en 8 horas.

a) ¿Cuánto llenan entre los dos en una hora?

b) ¿Cuánto tardarían en llenarlo entre los dos?

6. (1 punto) Resuelve el sistema

2 2

2 1

4 13

x y

x y

 − =

 + =

 .

7. (1 punto) Representa gráficamente el conjunto de soluciones correspondiente al sistema:

2 5 20

4 2 16

x y

x y

− + ≥

  − ≥ −



Indica el vértice de la región de soluciones.

8. (1,5 puntos) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) ^{log 2} ( ^x − = (0,3 puntos) b) ³ ) ² 3

^2x

= 531441 (0,3 puntos) c) 9

^x

− 8·3

^x+

¹ − 81 = (0,9 puntos) 0

9. (1 punto) Un banco ofrece préstamos hipotecarios al 6 % anual por un período de 10 años. Si una familia paga 600 euros mensuales para amortizar dicho préstamo, ¿a cuánto ascendió la cantidad prestada?

Dato ( 1 ) 1

· ) 1 (

− +

= +

_n ⁿ

r

r r a D

: La fórmula que da la amortización mensual es

Alcalá de Henares, 19 de diciembre de 2016.

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SOLUCIONES

1. (0,7 puntos) Expresa en notación de intervalos y representa gráficamente el conjunto de números reales que verifican la inecuación 2 x − < . 3 7

Solución 2 x − < 3 7

:

⇒ − < 7 2 x − < ⇒ − < 3 7 4 2 x < 10 ⇒ − < < 2 x 5 ⇒ ^{x ∈ −} ( ^{2, 5} ) ^.

2. (0,8 puntos) Calcula, racionalizando y simplificando: 4 3 3 2

5 2 18

−

− .

Solución 4 3 3 2

5 2 18

−

− :

= ( )

( )

4 3 3 2 2

4 3 3 2 4 3 3 2 4 3 3 2 4 6 3·2 3

4 6 2

5 2 9·2 5 2 3 2 2 2 2 2 · 2

− − − − −

= = = = = −

− − .

3. (1 punto) Calcula y simplifica: ^{3 5 2 1 2} ( ^{4 5} ) ^{1 2 2 7}

5   x − 2   − x −   6 x − 5 x + 10  

    .

Solución

( )

2

2 2

3 1 1 2 7

5 4 5

5    x − 2    − x −    6 x − 5 x + 10    :

=

= ³ 25 ⁴ 5 ^{2 1 4 3 8 2 28 5 2} 2 ³⁵

5   x − x + 4     − 6 x − 5 x + 10 x − 6 x + x − 10  

    =

= 15 ⁴ 3 ^{2 3 4 3 8 2 28 5 2} 2 ³⁵ 15 ^{4 2 3 17 2 24 73}

20 6 5 10 6 10 3 30 5 20

x − x + − x + x − x + x − x + = x − x − x − x + .

4. a) (0,7 punto) Opera y simplifica el resultado: ^{5 2 3 2} ₂ ²

1 1 1

x x

x x x

− − − +

− + − .

b) (0,8 puntos) Resuelve la ecuación 4 x ³ − 8 x ² − + = . x 2 0 Solución

a)

:

2

5 2 3 2 2

1 1 1

x x

x x x

− − − +

− + − = ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ²

5 2 1 3 2 1 2

1 1 1 1 1

x x x x

x x x x x

− + − −

− +

− + + − − =

=

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

5 3 2 5 2 3 2 5 3 2 5 2 3 2 7 2 3

1 1 1 1 1

x x x x x x x x x x

x x x x x

+ − − − − + = + − − + + + = − +

− − − − − .

b) Las soluciones de la ecuación 4 x ³ − 8 x ² − + = son las raíces del polinomio x 2 0

3 2

( ) 4 8 2

P x = x − x − + x .

Una solución hay que buscarla entre los divisores del término independiente.

3 2

4 x − 8 x − + = → Posibles soluciones: ±1, ±2:. x 2 0 Sustituyendo:

Para x = 1: 4 – 8 – 1 + 2 = –3 ⇒ x = 1 no es solución.

Para x = –1: –4 – 8 – 2 + 2 = –12 ⇒ x = –1 no es solución.

Para x = 2: 32 – 32 – 2 + 2 = 0 ⇒ x = 2 sí es solución.

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Esto significa que x – 2 es un factor del polinomio P x ( ) = 4 x ³ − 8 x ² − + . x 2 Dividiendo:

Por tanto: ^{P x ( ) = 4 x 3 − 8 x 2 − + = x 2} ( ^{x − 2 4} ) ( ^{x 2 − = 1} ) ^{( x − 2 2 )( x − 1 2 )( x + 1 )}

Las otras dos soluciones son ¹

x = 2 y ¹ x = − 2 .

5. (1,5 puntos) Un grifo llena un depósito en 10 horas, y otro en 8 horas.

a) ¿Cuánto llenan entre los dos en una hora?

b) ¿Cuánto tardarían en llenarlo entre los dos?

Solución

a) Si la capacidad del depósito es x, el primer grifo llena en 1 hora :

10

x de su capacidad; el segundo,

llenará 8 x .

Ambas conclusiones pueden deducirse mediante una regla de tres simple inversa:

Si en 10 horas llena x, en 1 hora llenará __? ⇒ ?

10

= x .

Entre los dos llenan: ⁹ 10 8 40

x x x

+ = .

b) La respuesta es inmediata: entre los dos grifos llenan el depósito en 40

9 horas → 4 h 24 min 40 s Otra regla de tres, directa en este caso, permite obtener la solución:

Si entre los dos llenan ⁹ 40

x en 1 hora,

para llenar x necesitarán –––– ? horas ⇒ ? ⁴⁰

9 9

40 x

= x = horas.

6. (1 punto) Resuelve el sistema

2 2

2 1

4 13

x y

x y

 − =

 + =

 .

Solución :

2 2

2 1

4 13

x y

x y

 − =

 + =

 ⇒

( ) ^{2 2 2 2}

2

2 1

4 4 4 1 13 8 4 12 0

4 2 1 13

y x

x x x x x

x x

= −

 ⇒ + − + = ⇒ − − =

 + − =

 ⇒

⇒ ^{4 16 384 4 20 3 / 2}

1

16 16

x x

x

 =

± + ±

= = ⇒   = −

Si ³

x = 2 ⇒ y = 2. Solución: punto ³ , 2 2

 

 

  . Si x = –1 ⇒ y = –3. Solución: punto (–1, –3).

4 –8 –1 2

2 8 0 –2

4 0 –1 0

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7. (1 punto) Representa gráficamente el conjunto de soluciones correspondiente al sistema:

2 5 20

4 2 16

x y

x y

− + ≥

  − ≥ −



Indica el vértice de la región de soluciones.

Solución La inecuación

:

2 x 5 y 20

− + ≥ determina el semiplano que está por encima (a la izquierda) de la recta − + 2 x 5 y = 20 (incluidos los puntos de ella).

Dos de sus puntos son A(–10, 0) y B(0, 4)

La inecuación 4 x − 2 y ≥ − 16 determina el semiplano que está por debajo (a la derecha) de la recta

4 x − 2 y = − 16 (incluidos los puntos de ella). Dos de sus puntos son C(–4, 0) y D(0, 8).

Por tanto, la región de soluciones es la sombreada en la figura adjunta.

Las coordenadas del vértice se calculan resolviendo el sistema 2 5 20

4 2 16

x y

x y

− + =

  − = −

 . Su solución es V(–5/2, 3).

8. (1,5 puntos) Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) ^{log 2} ( ^x − = (0,3 puntos) b) ³ ) ² 3

^2x

= 531441 (0,3 puntos) c) 9

^x

− 8·3

^x+

¹ − 81 = (0,9 puntos) 0

Solución a)

:

3

3

1 1 1 1

log 3 10 1000

10 x

x x x

= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = .

b) Aplicando logaritmos: ^{log 3} ( )

^2x

^{= log 531441 ( )} ⇒ 2x log 3 = log 531441 ⇒ 6 3 log 2

531441

log =

=

x .

c) 9

^x

− 8·3

^x+

¹ − 81 = ⇒ 0 ( ) ^{3 2}

^x

^{− 8·3·3}

^x

^{− 81 = ⇒ 0} ( ) ³

^x

^{2 − 24·3}

^x

^{− 81 = ⇒ 0} ( ³

^x

^{= ⇒ t} )

⇒ ² 24 81 0 ^{24 24 2 4·( 81) 24 30 27}

2 2 3

t t t ± − − ± 

− − = ⇒ = = =   −

Si t = 27 ⇒ 3

^x

= 27 ⇒ x = 3.

Si t = –3 ⇒ 3

^x

= –3, que no puede ser.

9. (1 punto) Un banco ofrece préstamos hipotecarios al 6 % anual por un período de 10 años. Si una familia paga 600 euros mensuales para amortizar dicho préstamo, ¿a cuánto ascendió la cantidad prestada? Dato

1 ) 1 (

· ) 1 (

− +

= +

_n ⁿ

r

r r a D

: La fórmula que da la amortización mensual es Solución

Un interés anual del 6 % equivale a una tasa mensual de r = 0,06/12 = 0,005.

:

El número de meses es n = 10 · 12 = 120.

Por tanto:

(

¹²⁰

)

120

120 120

600 (1 0, 005) 1 (1 0, 005) ·0, 005

600 (1 0, 005) 1 (1 0, 005) ·0, 005

D + D + −

= ⇒ =

+ − + = 54026,15 €

Alcalá de Henares, 19 de diciembre de 2016.