Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I
Marta Martín Sierra
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. DISCONTINUIDADES
07 Comprueba si la función f(x) =
− ≥
−+ <
0 1
2
0 1
2
x x si
xx si x
es continua. En caso de ser discontinua, comenta qué tipo de discontinuidad se trata. Define, si es posible, la función de nuevo para que sea continua.
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA:
(A) f(x) será "conflictiva" para x = 0
Estudiaremosla función en:
Para x < 0 es continua ya que se trata de una función polinómica (f(x) = 2x +1) Para x > 0 es continua excepto para x = 1 (ya que anula el denominador)
(B) *Diremos que la función Real f(x) es continua en x = 0 cuando verifica Lím f(x)
x→0 = f(0), es decir, se verifican las 3 condiciones siguientes:
(I) Existe Lím f(x)
x→0
) x ( Lím
x
1 2
0− +
→ =
= 1
1 2
0 −
−
→ + x Lím x
x =
= 1 2
−
− = 2
) x ( Lím
x
1 2
0− +
→ ≠
1 2
0 −
−
→ + x Lím x
x
La (II) y la (III) ya no las comprobamos.
Presenta una discontinuidad inevitable de primera especie con salto finito para x=0 y otra discontinuidad inevitable de salto infinito para x = 1
016 Halla el valor de "k" para que la función f(x) sea continua en x = 1 f(x) =
>
≤ +
1 1 1
2
x si k
x si x
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA:
Para que la función f(x) sea continua en x = 1 han de verificarse 3 condiciones:
(I) Existe Lím f(x)
x→1
) x ( Lím
x
1 2
1− +
→ =
= 3
k Lím
x→1+
=
= k )
x ( f Lím
x→1+
= Lím f(x)
x→1−
k = 3 (II) Existe f(1)
f(1) = 2·1 + 1 = 3 (III) Lím f(x)
x→1 = f(1)
3 = 3
Podemos deducir que la función f(x) será continua en x =1 para k = 3
0 ℜ
Continuidad de una función. Discontinuidades
© Marta Martín Sierra 026 Sea la función f(x) definida del siguiente modo:
f(x) =
≥
−
<
<
− +
−
≤ +
−
5 9
5 1
1
2 5
x si
x si
a x
x si x
(a) Calcula "a" para que la función sea continua en x = – 1
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA:
Para que f(x) en x = – 1 sea continua han de verificarse las siguientes condiciones:
(I) Existe Lím f(x)
x→−1
) x ( Lím
x
2 5
1− − +
−
→ =
= – 1 + 5 =
= 4
) a x ( Lím
x + +
−
→ 1
=
= – 1 + a =
= a – 1 )
x ( Lím
x
2 5
1− − +
−
→ = Lím (x a)
x + +
−
→ 1
a – 1 = 4 a = 5 (II) Existe f(– 1)
f(– 1) = 4 (III) Lím f(x)
x→−1 = f(– 1)
4 = 4
La función f(x) es continua en x = – 1 cuando a = 5 032 Halla el valor de "k" para que la función f(x) sea continua en x = 5
f(x) =
>
−
−
≤
−
5 2
5 2 2
x si k x
x si k x
RESOLUCIÓN ALGEBRAICA:
Para que la función f(x) sea continua en x = 5 han de verificarse 3 condiciones:
(I) Existe Lím f(x)
x→5
) k x ( Lím
x
− −
→
2 5
2 =
= 49 – k
) k x ( Lím
x
2
5
−
+ −
→ =
= – 5 – 2k )
x ( f Lím
x→5−
= Lím f(x)
x→5+
49 – k = – 5 – 2k 2k – k = – 5 – 49
k = – 54 (II) Existe f(5)
f(5) = 103 (III) Lím f(x)
x→3 = f(5)
103 = 103
Podemos deducir que la función f(x) será continua en x = 5 para k = – 54