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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. DISCONTINUIDADES

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Academic year: 2022

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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

 Marta Martín Sierra

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. DISCONTINUIDADES

07 Comprueba si la función f(x) =





− ≥

−+ <

0 1

2

0 1

2

x x si

xx si x

es continua. En caso de ser discontinua, comenta qué tipo de discontinuidad se trata. Define, si es posible, la función de nuevo para que sea continua.

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA:

(A) f(x) será "conflictiva" para x = 0

Estudiaremosla función en:

Para x < 0 es continua ya que se trata de una función polinómica (f(x) = 2x +1) Para x > 0 es continua excepto para x = 1 (ya que anula el denominador)

(B) *Diremos que la función Real f(x) es continua en x = 0 cuando verifica Lím f(x)

x0 = f(0), es decir, se verifican las 3 condiciones siguientes:

(I) Existe Lím f(x)

x0

) x ( Lím

x

1 2

0 +

=

= 1

1 2

0

+ x Lím x

x =

= 1 2

− = 2

) x ( Lím

x

1 2

0 +

1 2

0

+ x Lím x

x

La (II) y la (III) ya no las comprobamos.

Presenta una discontinuidad inevitable de primera especie con salto finito para x=0 y otra discontinuidad inevitable de salto infinito para x = 1

016 Halla el valor de "k" para que la función f(x) sea continua en x = 1 f(x) =



>

≤ +

1 1 1

2

x si k

x si x

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA:

Para que la función f(x) sea continua en x = 1 han de verificarse 3 condiciones:

(I) Existe Lím f(x)

x1

) x ( Lím

x

1 2

1 +

=

= 3

k Lím

x1+

=

= k )

x ( f Lím

x1+

= Lím f(x)

x1

k = 3 (II) Existe f(1)

f(1) = 2·1 + 1 = 3 (III) Lím f(x)

x1 = f(1)

3 = 3

Podemos deducir que la función f(x) será continua en x =1 para k = 3

0

(2)

Continuidad de una función. Discontinuidades

© Marta Martín Sierra 026 Sea la función f(x) definida del siguiente modo:

f(x) =





<

<

− +

≤ +

5 9

5 1

1

2 5

x si

x si

a x

x si x

(a) Calcula "a" para que la función sea continua en x = – 1

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA:

Para que f(x) en x = – 1 sea continua han de verificarse las siguientes condiciones:

(I) Existe Lím f(x)

x1

) x ( Lím

x

2 5

1 − +

=

= – 1 + 5 =

= 4

) a x ( Lím

x + +

1

=

= – 1 + a =

= a – 1 )

x ( Lím

x

2 5

1 − +

= Lím (x a)

x + +

1

a – 1 = 4 a = 5 (II) Existe f(– 1)

f(– 1) = 4 (III) Lím f(x)

x1 = f(– 1)

4 = 4

La función f(x) es continua en x = – 1 cuando a = 5 032 Halla el valor de "k" para que la función f(x) sea continua en x = 5

f(x) =





>

5 2

5 2 2

x si k x

x si k x

RESOLUCIÓN ALGEBRAICA:

Para que la función f(x) sea continua en x = 5 han de verificarse 3 condiciones:

(I) Existe Lím f(x)

x5

) k x ( Lím

x

2 5

2 =

= 49 – k

) k x ( Lím

x

2

5

+

=

= – 5 – 2k )

x ( f Lím

x5

= Lím f(x)

x5+

49 – k = – 5 – 2k 2k – k = – 5 – 49

k = – 54 (II) Existe f(5)

f(5) = 103 (III) Lím f(x)

x3 = f(5)

103 = 103

Podemos deducir que la función f(x) será continua en x = 5 para k = – 54

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