APLICACIONES DE MÁXIMOS Y
MÍNIMOS
APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Para encontrar los máximos o mínimos de una función utilizaremos tres criterios:
Criterio de la primera derivada,
Criterio de la segunda deriva, y
Teorema del valor extremo.
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Se llama Criterio de la primera
derivada al método o teorema utilizado
frecuentemente en el cálculo
matemático para determinar los mínimos y
máximos relativos que pueden existir en
una función mediante el uso de la
primera derivada o derivada principal, donde
se observa el cambio de signo, en un
intervalo abierto señalado que contiene
al punto crítico C.
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Supongamos que f s continua en un intervalo abierto I que contiene el número crítico x = c y que f es
diferenciable I excepto posiblemente en el número x = c.
Si f '(x) cambia de positiva a negativa cuando x crece al pasar por x = c, entonces f tiene un máximo relativo
cuando x = c.
Si f '(x) cambia de negativa a positiva cuando x crece al pasar por x = c, entonces f tiene un mínimo relativo
cuando x = c.
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema del cálculo matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba debe de tener un mínimo relativo. De manera similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo debe de tener un máximo relativo de. La segunda derivada se escribe como la doble prima de f
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Supongamos que f '(c) = 0 y también
que f ''(x) existe en todo x en el dominio de la función f.
Si f ''(c) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en x = c.
Si f ''(c) > 0, entonces f tiene un mínimo
relativo en x = c.
TEOREMA DEL VALOR EXTREMO
Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces la función tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en el intervalo cerrado [a, b].
Este valor máximo o valor mínimo puede
ocurrir en los valores x = a, o x = b o en
cualquiera de los números críticos de la
función f.
p 42 4 x
2 80
c x
Utilidad. Para el producto de un monopolista la ecuación de demanda es
y la ecuación de costo promedio es
a) Encuentre el nivel de producción x que maximiza la utilidad.
b) Utilice criterios de derivación para verificar que tal valor encontrado en el inciso anterior realmente maximiza la utilidad.
c) Encuentre la utilidad máxima y el precio al que ocurre.
Ejemplo
2 2
2
4 2 4
4 0 8
2 8 0
0
C ( :
( ) ( ) ( ) R ( )
( ) ( ) ( )
( ) 4 2 4 ( 2 8 0 )
( ) 4 2 4 2 8 0
( )
x )=
4
x x
x
U x R x C x
x x
x U x R x C x
U x x x x
U x x x x
U x x
F u n c ió n d e u tilid a d
a) Encuentre el nivel de producción x que maximiza la utilidad.
2 4 0 8 0
8 4 0
8 4 0 0
4 0
5 N ive l d e p ro d u ccio n q u e m ax im iza la u t ilid ad
( ) m ax , ' 4
8
( ) 0 ( )
'( )
x x
x x
x
U x U x
U x U x
x
b) Criterio de la segunda derivada
2 40 80
8 40 8
5 8 0.
( ) '( ) ''( ) ''(
4
) U x U x U
U
x x
x x
El valor máximo absoluto de la función de utilidad ocurre en x = 5.
b) Utilice criterios de derivación para verificar que tal valor encontrado en el inciso anterior realmente maximiza la utilidad.
42 4 5 ( ) 42 20 22
p
22 Lempiras . p
(5) 4( ) 5
240 ( ) 5 80 100 200 80 20 .
U Lempiras
Precio:
La utilidad máxima es
:c) Encuentre la utilidad máxima y el precio al que ocurre.
42 4
p x
2 40 80
( ) 4
U x x x
EJEMPLO 2
2
) d e p ro d u c c io n q u e m a x im iz a la u tilid a d :
( ) ( ) ( ) 5 0 .0 2 C
R ( ) 3 1 .1 0
( ) ( ) ( )
( ) 5 0 .0 2 ( 3 1 .1 0 )
( ) 5 0 .0 2
(x )=
a N iv e l
U x R x C x
x x x
U x R x C x
U x x x x
U x x x
x
F u n c ió n d e u tilid a d
2
2
