PARTE SEGUNDA: PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS

PARTE SEGUNDA: PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS

TEMA VI: INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

VI.1.- Introducción

VI.2.- La regularidad estadística VI.3.- Concepto de probabilidad

VI.3.1.- Definición clásica

VI.3.2.- Concepto frecuencialista de la probabilidad VI.3.3.- Definición axiomática de la probabilidad VI.3.4.- Definición de probabilidad condicionada VI.4.- Teoremas de probabilidad

VI.4.1.- Teorema de las probabilidades totales VI.4.2.- Teorema de Bayes

VI.4.3.- Regla del producto VI.5.- Problemas

Anexo VI.1.- Conceptos básicos de la teoría de conjuntos Anexo VI.2.- Análisis combinatorio

VI.1.- Introducción

La primera cuestión que nos tenemos que plantear es por qué se introduce el estudio de la probabilidad en esta fase del trabajo y que relación guarda con la estadística.

Mendenhall, W. y Beaver, R. (1991) establecen la relación entre la estadística y la probabilidad en los siguientes términos: " En esencia, la probabilidad es el vehículo que capacita al estadístico para usar la información de una muestra , para hacer inferencia o para describir la población de la cual se ha obtenido la muestra.

Por tanto, dos son los objetivos que el estadístico persigue al utilizar la probabilidad: a) Describir la población mediante un razonamiento deductivo utilizando modelos matemáticos, b) interpretar los resultados de las mediciones realizadas a través de un razonamiento inductivo o inferencial.

Realmente el primer objetivo es la finalidad de la teoría de la probabilidad, esta permite razonar desde la población hacia la muestra.

Como primera fase estableceremos las bases para su estudio.

Como ya se ha hecho en la parte descriptiva, partiremos del estudio de los fenómenos. Estos se pueden clasificar en deterministas y aleatorios.

Fenómenos deterministas: Son aquellos que al realizar un experimento siempre sabremos de antemano el resultado del fenómeno. Existe una relación causa efecto entre ellos.

Ejemplo: Conociendo la velocidad y el tiempo usado por un coche, siempre sabremos el espacio recorrido.

Fenómenos Estocásticos o Aleatorios: Son aquellos que al realizar un experimento, existe siempre incertidumbre en el resultado del mismo, siendo imposible conocer el resultado en sí del experimento antes de realizarlo. Por ejemplo, al lanzar una moneda no cargada al aire podemos saber que saldrá cara o cruz, pero nunca el resultado del experimento.

A los experimentos realizados con fenómenos estocásticos se les denominan experimentos aleatorios. Estos experimentos tienen las siguientes características:

- Se conocen previamente los posibles resultados del experimento.

- Es imposible saber el resultado del experimento antes de realizarlo.

- Con las mismas condiciones iniciales, los resultados son distintos.

Como ejemplos de experimentos aleatorios tenemos:

a) El lanzamiento de un dado.

b) El lanzamiento de una moneda.

c) El consumo diario de agua.

d) El tiempo de vida de una bombilla.

Espacio muestral asociado a un experimento aleatorio.

Llamaremos espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, y lo denotaremos por W, al conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio. De esta manera, el espacio W del experimento lanzar un dado al aire será W={1,2,3,4,5,6}).

En función del tamaño de W podemos clasificar a los espacios muestrales en:

- Espacio muestral finito: El espacio muestral contiene un número finito de resultados.

- Espacio muestral infinito numerable: El espacio muestral tiene infinitos resultados, pero estos se pueden ordenar numéricamente. (Ejemplo: Todos los subconjuntos posibles que se puedan formar con números naturales).

- Espacio muestral infinito: El espacio muestral está formado por infinitos resultados no numerables.

Sucesos. Concepto y propiedades.

Definición: Dado un experimento aleatorio, llamaremos suceso a cualquier acontecimiento que se pueda producir en la realización de un experimento. Obsérvese que el resultado del experimento es un suceso pero, todos los sucesos no son resultados. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado, los resultados del experimento son {1,2,3,4,5,6}, por tanto son sucesos, pero podemos definir el suceso salir par, este no coincide con ningún resultado del experimento y es un suceso. A los sucesos los denotamos en general por letras mayúsculas: A,B,C,D...

Tipos de sucesos:

- Suceso seguro: Es el suceso que sea cual sea el resultado siempre ocurre. Se produce siempre cuando un suceso cualquiera es igual al espacio muestral, A = W. Ejemplo: Si lanzamos una moneda al aire, definimos al suceso A "salir cara o cruz", siempre ocurrirá ese suceso.

- Sucesos distintos: Si podemos encontrar un resultado posible del experimento, para el cual uno de ellos ocurra y el otro no: A … B.

Ejemplo: Lanzar una moneda al aire, que ocurra el suceso

"salir cara" es distinto que ocurra "salir cruz".

- Sucesos iguales: Siempre que ocurra uno de ellos ocurre el otro: A = B.

Ejemplo: Lanzar una moneda al aire, que ocurra el suceso

"salir cruz" es igual que ocurra el suceso "no salir cara".

- Suceso imposible: Es el suceso que no puede ocurrir nunca. Lo denotamos por i. Por ejemplo al lanzar una moneda al aire que no salga nada ni cara ni cruz.

- Sucesos complementarios: Se dicen que el suceso A^c es complementario de A sí y solo si su unión es el espacio muestral (A c A^c = W).

Ejemplo: lanzamos una moneda al aire, si el suceso A es

"salir cara", el complementario de A será A^c = "salir cruz".

- Sucesos Disjuntos ó incompatibles: Se dice que dos sucesos A y B son incompatibles si no pueden ocurrir a la vez. Dos sucesos complementarios son incompatibles, pero todos los sucesos incompatibles no son complementarios.

Ejemplo: Se lanza al aire una moneda dos veces, definimos A

= " Salir una vez cara" y B = "salir dos cruces", A y B son incompatibles pero no complementarios.

- Sucesos Incluidos: Decimos que el suceso A está incluido en B, y lo denotamos por A d B, si cada vez que ocurre A también ocurre B. La inclusión tiene las siguientes propiedades:

1ª) i d A d W ; para cualquier suceso A.

2ª) Si A d B y B d A ⇒ A = B.

3ª) Si A d B y B d C ⇒ A d C.

4ª) Si A d B ⇒ B^c d A^c.

Como se puede observar, los sucesos tienen las mismas propiedades que los conjuntos y se puede operar con ellos de una forma similar. Si el alumno no recuerda al trabajo con conjuntos, sería conveniente que repasase el anexo VI.1 antes de estudiar los sucesos.

A continuación definiremos una serie de conjuntos de sucesos que tienen unas propiedades concretas.

Algebra de Boole de sucesos.

Si tenemos una colección de sucesos α, que cumple las siguientes propiedades:

1ª) _{i 0} α.

2ª) œ A,B 0 α => A ₁ B ₀ α. 3ª) œ A,B 0 α => A c B 0 α. 4ª) œ A 0 α => A^c 0 α.

decimos que α tiene estructura de álgebra de Boole de sucesos. El concepto de algebra de Boole de Sucesos será de gran ayuda para la formalización matemática de la probabilidad. En la práctica se suele considerar α= P(W).

Obsérvese, por tanto, que una álgebra de Boole no es más que un conjunto de sucesos que garantizan que la unión, la intersección entre cada dos de sus elementos pertenece al mismo conjunto. Además, el complementario de cualquier elemento de ese conjunto también pertenece al conjunto y el

i es uno de sus elementos.

Para clarificar el concepto puede ser conveniente volvernos a referir a la teoría de conjuntos. Volvemos a recordar que es conveniente estudiar el anxo VI.1 en el caso de que el alumno no recuerde los elementos básicos de la teoría de conjuntos.

Algebra de conjuntos. Concepto y propiedades.

Por existir una estrecha relación entre el álgebra de Boole y el algebra de conjuntos, definimos este concepto que nos va a permitir considerar los sucesos como subconjuntos de W.

Sea W un conjunto no vacío, y consideremos la clase formada por todos los subconjuntos de W que llamaremos P(W)(conjunto de las partes de W). En P(W) están todos los subconjuntos posibles de W, incluyendo el conjunto _i y al conjunto total W.

Sea β un subconjunto de P(W) no vacío, es decir, sea β d P(W), β … i. Diremos que β es un álgebra de conjuntos si se cumplen las condiciones:

1ª) i 0 β.

2ª) œ A 0 β ⇒ A^c 0 β.

3ª) œ A,B 0 β ⇒ A c B 0 β.

Sea β un álgebra sobre W, entonces se puede demostrar que posee las siguientes propiedades:

1ª) W 0 β. 2ª) i 0 β.

3ª) œ A,B 0 β, A 1 B 0 β.

4ª) Dados A₁,A₂,....,A_n 0 β, ( un número finito de elementos de ), se cumple:

El siguiente paso es definir el concepto de σ -Algebra de σ conjuntos.

Sea W un conjunto no vacío cualquiera, sea β un subconjunto de P(W), tal que β ≠ i. Definimos β como una σ-Algebra sobre W si cumple:

1º) W 0 β.

2º) œ A 0 β ⇒ A^c 0 β. 3º) Si [A_n]_n=1^∞ 0 β,

I

=

∈

1 n

An β

Es inmediato demostrar que toda σ-Algebra tiene estructura de álgebra, y por tanto las σ-Algebra poseen todas las propiedades mencionadas anteriormente. Es importante señalar que toda álgebra finita tiene estructura de σ- Algebra.

Si el concepto de σ-álgebra de conjuntos está claro, no debe de haber dificultad para definir una σ-álgebra de sucesos. La única diferencia, es que lo que hemos llamado conjuntos y los denotamos por A, B, ... ahora son sucesos posibles al realizar un experimento aleatorio.

El alumno se puede preguntar por qué se introducen estos conceptos cuando queremos estudiar la probabilidad?. La

²ⁿi'¹A

i'^A₁^{^ A}₂^{^....^A}_n0$ y

³ⁿi'¹A

i'^A₁^_A₂^{_ ...._A}_n0^$

razón es sencilla y se verá cuando definamos el conceto de probabilidad axiomática. Por ahora únicamente obsérvese que la estructura de la σ-álgebra garantiza que cualquier operación que se haga de unión, intersección y complementario con los sucesos de la σ-álgebra, me da como un resultado un suceso que también pertenece a la σ- álgebra.

VI.2.- Regularidad estadística

Como ya hemos comentado al principio del tema la finalidad de la teoría de la probabilidad es describir un fenomeno aleatorio mediante razonamiento deductivo utilizando modelos matemáticos, y ser usada como base para la realización de inferencia estadística. Sin embargo, el objetivo que se marcó en un principio el estudio de las probabilidades era menos ambicioso. Su nacimiento se relaciona con el estudio de los juegos de azar siendo sus impulsores De Mére y Pascal. Su finalidad era calcular la probabilidad de obtener un determinado resultado en un juego de azar. Por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado saliese un 5? Está claro que el experimento que estamos realizando es un experimento aleatorio dado que por mucho que pensemos y repitamos el experimento las veces que sean, nunca sabremos cual será el resultado del siguiente lanzamiento. Sin embargo, si podemos deducir que si lanzásemos el dado infinitas veces la proporción de veces que sale cada uno de las caras es la misma, y además, esa proporción es igual a 1/6. Esto no se cumple si el número de lanzamientos es pequeño, sin embargo, según vamos incrementando el número de lanzamientos la proporción de veces que sale cada resultado tiende a estabilizarse en torno a 1/6. Cuando esto se produce se dice que el experimento tiene regularidad

estadística, y si esto se cumple, la probabilidad se puede definir como la frecuencia relativa de un determinado suceso.

VI.3.- Concepto de probabilidad

Para llevar a cabo un acercamiento progresivo al concepto de probabilidad empezaremos con la definición más sencilla pero menos general para llegar al concepto axiomático de probabilidad.

VI.3.1.- Definición Clásica (de Laplace) de la probabilidad.

Tiene su origen en el auge de los juegos de azar en Europa, intentando explicar de forma teórica o ideal la frecuencia de los distintos resultados. Una ventaja que tiene esta definición es que no necesita experimentación. La probabilidad de que ocurra un suceso será:

Ejemplo: Lanzamos un dado al aire, todos los resultados posibles serán W = {1,2,3,4,5,6}, se deduce que la probabilidad de que ocurra el suceso A= obtener el 2 al lanzar el dado será:

Un elemento importante para la aplicación de esta definición es que es necesario que todos los resultados sean equiprobables, es decir, tengan la misma probabilidad de suceder.

P(A)' casosfavorables casosposibles

p(2)' ¹ 6

Para la aplicación de este concepto de probabilidad, y para la resolución de muchos problemas de cálculo de probabilidades es conveniente dominar el análisis combinatorio. En el anexo VI.2 se recuerdan los conceptos más generales del cálculo combinatorio.

VI.3.2.- Definición frecuencial de la probabilidad.

Su origen se encuentra en el siglo XIX, y se define la probabilidad de un suceso como el valor límite de su frecuencia relativa al repetir indefinidamente el experimento, siempre y cuando se cumpla la regularidad estadística. Es decir,

siendo nA el número de veces que ocurre A en las n repeticiones del experimento. Para el cálculo de esta probabilidad, a diferencia de la definición anterior, es necesario realizar el experimento.

VI.3.3.- Definición axiomática de la probabilidad.

Sea W un espacio muestral, y sea β una σ-álgebra sobre W.

La probabilidad se define como una aplicación, que denotaremos por P, desde β al conjunto de los números reales. Es decir,

P: β ⇒ ú que cumple los siguientes axiomas:

1º) œ A 0 β; P(A) $ 0.

2º) P(W)=1.

P(A)'^lim_n64^nA

n '^lim_n64^f_A

3º) Para cualquier sucesión {A_n} (n=1,...,4)d β de sucesos excluyentes dos a dos ( Ai 1 Aj = i , i … j), se cumple:

Obsérvese que la definición solo tiene sentido por que la estructura de σ-álgebra garantiza que la unión de infinitos sucesos de ella pertenece a la propia σ-álgebra.

Veamos algunos resultados que se cumplen para el concepto de probabilidad axiomática en forma de teorema.

Teorema 1. P(i)=0.

La demostración es inmediata. Sean A₁=i, A2=i,....,A4=i, por el axioma 3º tenemos que:

Para que se pueda cumplir que una cantidad es igual a la suma de ella misma varias veces, la única solución es que esa cantidad sea cero.

Teorema 2. Sean dos sucesos A y B cualesquiera, la probabilidad de la unión será:

œ A,B 0 β, si A 1 B … i ⇒ P(A c B)=P(A)+P(B)-P(A 1 B)

La demostración es inmediata mediante diagramas de conjuntos.

Corolario del teorema 2: (desigualdad de Boole)

P(A c B) # P(A) + P(B)

P(²⁴n'¹A

n)'j⁴n'¹P(A

n)

P(i⁾'^P[²⁴n'¹A

n]'j⁴n'¹P(A

n)'j⁴n'¹P(i⁾'^P(i⁾%^P(i⁾%^P(i⁾%^...'^{0 c.q.d.}

Demostración de corolario: Su demostración es inmediata puesto que por definición se tiene que cumplir que P(A1B)$

0.

Corolario del teorema 2: Si A, B y C son tres sucesos cualesquiera se tiene

P(A c B c C) # P(A) + P(B) + P(C)

Teorema 3: Si A d B, entonces P(A) # P(B).

Demostración: Como B=B 1 A c B 1 A^c, y puesto que B 1 A = A, se tiene B= A c B 1 A^c. Por lo tanto,

P(B)= P(A)+P(B 1 A^c)

Y, observando que P(B 1 A^c)$ 0,nos permite demostrar el teorema.

Corolario al teorema 3: Para cualquier suceso A, se cumple que P(A)#1.

Demostración al corolario: Para cualquier suceso A, A es un subconjunto de W, es decir, A d W, y dado que se debe de cumplir que P(W)=1, el corolario queda demostrado.

VI.3.4.- Probabilidad condicionada.

Sea W el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, y sean A y B dos sucesos pertenecientes a ese espacio muestral:

Sea N_A el nº de veces que aparece el suceso A.

Sea N_B el nº de veces que aparece el suceso B.

Sea N_AB el nº de veces que aparece el suceso A conjuntamente con B.

Sea N el nº de veces que se repite el experimento.

N_AB/N_B= es la proporción de veces que aparecen conjuntamente A y B con respecto al número de veces que aparece B.

Podemos definir P(A/B) como

A P(A/B) lo llamaremos probabilidad de A condicionada a B, y es igual a la probabilidad de A 1 B dividido por la probabilidad de la condición B.

En base a esta definición frecuencialista podemos definir axiomáticamente el concepto de probabilidad condicionada como: Sean A,B 0 β, tal que P(B)>0. La probabilidad de que se verifique el suceso A condicionado a que se haya cunplido el suceso B lo podemos definir como:

Demostremos que esto es una verdadera probabilidad. Para ello es necesario que P(A/B) cumple los axiomas de la probabilidad:

1) P(W/B) = P(W 1 B)/P(B) = P(B)/P(B)=1.

2) P(A/B) = P(A 1 B)/P(B) $ 0.

P(A/B)' ^NAB N_B '

NAB

N N_B

N

' ^P(A_B) P(B)

P(A/B)' ^P(A_B) P(B)

;P(B)™⁰

Como P(B)>0 por definición y P(A 1 B) es tabién mayor o igual a cero, el cociente entre ambos debe de ser mayor o igual a cero.

3) {A_i}_i0ù d β tal que A_r 1 As = i; œr,s tal que r…s, entonces

Por tanto, es una verdadera probabilidad.

Ejemplo: Realizamos el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire, se pide hallar la probabilidad de que el suceso A ="salir el 1" condicionado a que B="sea impar". El espacio muestral es W = {1,2,3,4,5,6}, la probabilidad de que ocurra el suceso A y el suceso B será: P(A1B)=1/6, la probabilidad de que ocurra "salir 1" y "que sea par" P(B)=

3/6. Por tanto:

Un concepto importante relacionado con la probabilidad condicionada es el concepto de sucesos estadísticamente independientes. Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidadades. Es decir, A y B son dos sucesos independientes si la P(A1B)=P(A)*P(B).

Ello nos lleva a que si A y B son dos sucesos independientes, la probabilidad de A condicionada a B es igual a la probabilidad de A.

Y^P(²^A_i^/B)' ^P[(^A

i)_B]

P(B) ' j ^P(Ai_B)

P(B) 'j ^P(Ai_B

P(B) 'j ^P(A_i^/B)

P(A/B)' ^P(A_B)

P(B) ' ^1/6 3/6' ¹

3

Y su demostración es inmediata si se tiene en cuenta que al ser independientes el numerador se puede expresar como el producto de probabilidades.

VI.4.- Teoremas de probabilidad.

VI.4.1.- Teorema de las probabilidades totales.

Sea una colección de sucesos H={A₁,...,A_n}={A_i};

i=1,....,n, todos ellos pertenecientes a β, que cumplen los siguientes condiciones:

Sea B un suceso perteneciente a β, entonces se cumple:

El Teorema de la probabilidad total dice que un suceso B puede ocurrir por algunos de las causas A_i. La probabilidad de que B ocurra es la suma (ΣP(A_i) de la probabilidades de

P(A/B)' ^P(A_B)

P(B) '^P(A);P(B)™⁰

1º) Uⁿ

i'¹A

i'^T 2º) A

i_A

j'i^; i…^j;i,j'^1,...,n

3º) P(A

i)™⁰

P(B)'jⁿi'¹P(A

i)(^P(B/A_i⁾

las causas por la probabilidad del suceso B condicionado a dichas causas A_i,[P(B/A_i)].

La demostración no presenta dificultades. Para simplificar la misma partamos de que n=5. Veremos que la generalización a cualquier n no presenta problemas. En consecuencia, partimos de una colección de cinco sucesos W={A₁,A₂,A₃,A₄,A₅}. Sea un suceso B relacionado con el espacio muestral W. Como muestra la siguiente figura 1, podemos expresar el suceso B en función de las intersecciones de A_i1B, para i = 1,...5.

Por lo que la probabilidad de que ocurra B será igual a:

Figura 1

Una vez vista la demostración, se puede observar que la generalización a n sucesos no presenta ninguna dificultad.

B'^[(A₁_B)(^(A₂_B)%^(A₃_B)%^(A₄_B)%^(A₅_B)]

P(B)'^[P(A₁_B)(^P(A₂_B)%^P(A₃_B)%^P(A₄_B)%^P(A₅_B)] c.q.d.

A¹ A²

A3 A4

A⁵ B B1A2

B1A₁

B1A₃

B1A⁴

B1A⁵

T

VI.4.2.- Teorema de Bayes.

Sea una colección de sucesos ={A1,...,An}={Ai};i=1,....,n que cumplen las mismas propiedades que para el teorema de las probabilidades totales.

El teorema de Bayes nos permite conocer la probabilidad de que ocurrido el suceso B y conocida P(B), la causa que lo haya producido sea Ai Su formulación es la siguiente:

Para demostrarlo partimos de la definición de la probabilidad condicionada:

Sabemos que:

Por otro, en base al teorema de la probabilidad total tenemos:

Sustituyendo (II) y (III) en (I) tenemos:

resultado que conocemos como Teorema de Bayes.

VI.4.3.- Regla del producto.

P(Ai/B)' ^P(B/Ai)(^P(A_i⁾

P(B) ' ^P(B/Ai)(^P(A_i⁾ j ^P(Ai)(^P(B/A_i⁾

(I) P(A/B)' ^P(A_B) P(B)

(II) P(A

i_B)'^P(B/A_i⁾(^P(A_i⁾

(III) P(B)'jⁿi'¹P(A

i)(^P(B/A_i⁾

P(Ai/B)' ^P(Ai)(^P(B/A_i⁾ jⁿⁱ'¹P(A

i)(^P(B/A_i⁾

Sea A₀,A₁,A₂,....,A_n sucesos tal que P(A_i)>0, œ i=0,...n, la regla del producto establece que la probabilidad de la intersección de los n sucesos se puede expresar como:

P(A₀1A11...1An)=P(A₀)*P(A₁/A₀)*P(A₂/A₀A₁)*..*P(A_n/A₀A₁...A_n-1)

Para demostrar este resultado partimos del cumplimiento de las siguientes condiciones:

- P(A/B)= P(A1B)/P(B) - P(B)>0

Sabemos que:

A₀1A11...1An-1 d A01A11...1An-2 d .... d A01A11A2 d A01A1 d A0

En base a las propiedades de la función probabilidad sabemos que si A d B, P(A)# P(B), por lo que podemos escribir:

P(A₀1A11...1An-1) # ... # P(A01A1) # P(A0)

Si partimos de que se cumplen - P(A₀1A11...1An-1) > 0

...

- P(A₀1A1) > 0 - P(A0) > 0

Tiene sentido ahora la expresión anterior.

Demostraremos la regla del producto por inducción.

Supongamos que solo tenemos dos sucesos, A₀ y A₁. Es decir, n=1. En este caso, la regla del producto se deduce de forma inmediata a partir de la probabilidad condicionada ya que sabemos que se cumple

) (

) ) (

/ (

0 1 0 0

1 P A

A A A P

A

P = ∩

de donde es inmediato demostrar que

) / (

* ) ( )

( A

A

P A

P A

A

P ∩ =

Apliquemos ahora el razonamiento inductivo. Supongamos que hemos demostrado que se cumple para n-1, es decir se verifica

P(A₀1A11...1An-1)=P(A₀)*P(A₁/A₀)*P(A₂/A₀A₁)*..*P(A_n/A₀A₁...A_n-2)

Tenemos que demostrar la regla del producto se cumple para n. Para ello denotemos por b al suceso

b = A₀1A11...1An-1

Podemos escribir

P(A₀1A11...1An)=P(A₀1A11...1An-11An)=P(b1An)

Expresión esta última que podemos desarrollar como

P(b1An)=P(b)*P(An/b)=P(A0)*P(A1/A0)*...*P(An/A0A1..An-1)

dado que hemos supuesto que el teorema se cumple para n-1.

VI.5.- Problemas

1. ¿ De cuántas maneras pueden seleccionarse un presidente, un vicepresidente, un secretario y un tesorero en un club de 12 miembros? Solución; 11880 maneras.

2. Demostrar que la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades de ambos menos la probabilidad de su intersección.

3. Un producto es fabricado por tres máquinas. Se sabe que la primera máquina produce el doble de artículos que la segunda, y que esta y la tercera producen el mismo número de artículos. Además, se sabe que el 2% de los artículos producidos por las dos primeras máquinas son defectuosos, mientras que el 4% de las fabricadas por la tercera lo son. ¿Cuál es la probabilidad de producir artículos defectuosos? Solución: 0.025

4. Con los datos del ejercicio anterior, ¿cuál es la probabilidad de que el producto defectuoso lo produjese la máquina primera?. Solución: 0.4

5. Consideramos el lanzamiento de dos monedas equilibradas.

Calcular: a) la probabilidad de salir alguna cara; b) la probabilidad de que salgan dos cruces; c) la probabilidad de que salga una cara y una cruz. Solución:

a) 0.75; b) 0.25; c) 0.5

6. Se ha estudiado el servicio que ofrecen 200 distribuidores de neumáticos de una ciudad. Los resultados son los siguientes:

Buen servicio de garantía

Servicio deficiente de garantía

Distribuidor de marca conocida

84 36

Distribuidor de marca poco conocida

38 42

Se pide:

a) Al seleccionar un servicio al azar, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar entre los distribuidores uno que ofrezca un buen servicio de garantía?

b) ¿Y de seleccionar uno de marca de prestigio?

c) ¿Y de seleccionar uno que ofrezca un buen servicio y represente una marca de servicio?

d) Supongamos que solo se tiene en cuenta los distribuidores de marca de prestigio. ¿Cuál es la probabilidad de escoger a un distribuidor que ofrezca un buen servicio de garantía dado que se trata de un distribuidor de marcas de prestigio ¿.

Solución: a) 0.61; b) 0.60 c) 0.42 d) 0.7

7. Una empresa de fabricación de coches tiene cinco coches para entregar. Ellos no saben que dos de los coches son defectuosos. En un día determinado dos distribuidores piden cada uno de ellos uno de los coches y el fabricante los entrega eligiéndolos al azar entre los cinco de que dispone. Determine el espacio muestral, calcule la probabilidad de que los dos coches entregados no sean defectuosos y calcule la probabilidad de que sabiendo que uno ha salido defectuoso, el otro no sea defectuoso.

8. En el lanzamiento de un dado se consideran los siguientes sucesos: A, salir un número impar; B, salir un número par; C, salir un 1 o un 2. Se pide:

a) ¿Son A y B dos sucesos independientes?

b) ¿Son A y C dos sucesos independientes?

Solución: a) NO, b) Si

9. La gripe y el stress son dos enfermedades comunes de los habitantes de las ciudades actuales. Se sabe que el 10%

de la población de una determinada ciudad contraerá la gripe y el 15% tendrá stress. Además, el 3% contraerán las dos enfermedades. Se pide:

a) La probabilidad de que una persona elegida al azar contraiga al menos una enfermedad de las dos.

b) La probabilidad condicional de que una persona escogida al azar de esta ciudad contraiga ambas enfermedades dado que ya sabemos que ha contraído una de ellas.

10.En la ciudad de Las Palmas, el 40% de los votantes votan al partido X, y el 60% al partido Y. El 70% de los votantes de X y el 80% de los votantes de Y están a favor de la emisión de unos bonos municipales. Se selecciona un habitante de Las Palmas al azar, determinar la probabilidad de que este a favor de la emisión de los bonos. Solución: 0.76

11.La Unión Deportiva Las Palmas tiene una probabilidad de 0.75 de ganar a cualquiera de los cuatro equipos que participan junto con ella en un torneo de cinco equipos.

Si los partidos son independientes, ¿cuál es la probabilidad de que Las Palmas gane todos los partidos?

12.Con los mismos datos del problema 9, hemos tomado un individuo al azar y resulta que está a favor de los bonos. Determinar la probabilidad de que la persona seleccionada sea votante de X.

13.Un estudiante contesta una pregunta que ofrece cuatro soluciones posibles en un examen tipo test. Supongamos que la probabilidad de que el estudiante sepa la pregunta es de 0.8 y la probabilidad de que tenga que contestar al azar es 0.2. Suponga además que la probabilidad de seleccionar una respuesta al azar es de 0.25. si el estudiante contesta correctamente la pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que realmente sepa la respuesta correcta?

14. Anexo VI.1.- Elementos básicos de la teoría de conjuntos

Definiciones:

1.- Conjunto de las partes de W. LLamaremos conjunto de las partes de W al conjunto formado por todos los subconjuntos posibles de W. Lo denotaremos por P(W).

Ejemplo: Si W = {A,B},

P(W) = {φ,{A},{B},W}

2.- Conjunto vacío. Llamaremos conjunto vacío a aquel que no contiene ningún elemento (el conjunto vacío no es el cero).Lo denotaremos por φ.

3.- Conjunto universal. Llamaremos conjunto universal a W.

4.- Conjuntos disjuntos. Diremos que los conjuntos a y b son disjuntos si ninguno de los elementos de a está en b, y si ninguno de los de b está en a. Ejemplo: a = {A}; b = {φ}.

5.- Conjuntos complementarios. Diremos que a y b son dos conjuntos complementarios si son disjuntos y además, entre los dos, tienen todos los elementos de W. Ejemplo: a= {A};

b= {B}. Denotaremos por a^c al conjunto complementario de a.

6.- Conjuntos iguales: Diremos que dos conjuntos son iguales cuando están formados por los mismos elementos.

7.- Conjuntos distintos. Diremos que dos conjuntos son distintos cuando al menos tienen un elemento distinto.

Operaciones con conjuntos.

Unión de conjuntos:

Sea a y b dos conjuntos de P(W). Llamaremos unión de a y b, y lo denotaremos por A c B, al conjunto formado por todos los elementos de a y b. Ejemplo: a = {A}; b = {B}

a c b = {A,B}

Propiedades de la unión:

1ª) a c b = a c b.

2ª) a c (b c c) = (a c b) c c.

3ª) a c a^c = W.

4ª) a c W = W.

5ª) a c φ = a, es el elemento neutro de la unión.

Intersección de conjuntos.

Sean a y b dos conjuntos de P(W). Llamaremos conjunto intersección de a y b, y lo denotaremos por a 1 b, al conjunto formado por los elementos comunes de a y b.

Propiedades de la intersección:

1ª) Conmutativa: a 1 b = b 1 a.

2ª) Asociativa: a 1 (b 1 c) = (a 1 b) 1 c.

3ª) a 1 a^c = φ.

4ª) a 1 W = a, W es el elemento neutro de la intersección.

5ª) φ 1 a = φ. 6ª) a 1 a = a.

Diferencia de conjuntos.

Llamaremos diferencia de conjuntos, y lo denotaremos por a- b al conjunto formado por la intersección entre el conjunto a y el complementario de b. Es decir,

a - b = a ₁ b^c

Propiedades conjuntas de la unión y la intersección.

a) Distributiva:

a.1) a 1 ( b c c) = ( a 1 b ) c ( b 1 c).

a.2) a _c ( b ₁ c) = ( a _c c ) ₁ ( b _c c).

b) Simplificativa:

b.1) a c (a 1 b) = a.

b.2) a ₁ (a _c b) = a.

c) Leyes de Morgan:

c.1) (a c b)^c = a^c 1 b^c. c.2) (a 1 b)^c = a^c c b^c

Anexo VI.2.- Análisis combinatorio.

Entendemos por analisis combinatorio a la utilización de métodos de enumeración. Es una herramienta para el estudio de experimentos aleatorios asociados a un espacio muestral finito.

Sea un conjunto W formado por m elementos distintos.

Sea n un número natural menor o igual que m.

Variaciones.

Variaciones sin repetición:

Llamaremos variaciones de m elementos tomadas de n en n, y la denotamos por V_m,n, al número de subconjuntos posibles de

n elementos que podemos obtener con los m elementos de W, de tal forma que un subconjunto es distinto de otro si :

a) Está formado por elementos distintos.

b) Los elementos están colocados en distinto orden.

c) Los elementos no se pueden repetir.

Formula de cálculo:

Vm,n = m*(m-1)*(m-2)*....*[m-(n-1)]

Ejemplo: Disponemos de cinco colores (azul, blanco, negro, rojo y amarillo) y queremos saber cuantas banderas de tres colores distintos podemos formar.

En este caso W = {azul, blanco, negro, rojo, amarillo}. Por otra parte, la bandera [azul, roja, blanca] es distinta a la bandera [roja, azul, blanca], por tanto son variaciones.

V5,3 = 5*4*(5-(3-1))=5*4*3= 60 banderas

Variaciones con repetición.

Llamaremos variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, y la denotaremos por VR_m,n, al número de subconjuntos posibles de n elementos que podemos obtener con los m elementos de W, de tal forma que un subconjunto es distinto de otro si:

a) Está formado por elementos distintos.

b) Los elementos están colocados en distinto orden.

Formula de cálculo:

VRm,n= mⁿ

Ejemplo: Disponemos de cinco colores (azul, blanco, negro, rojo y amarillo) y queremos saber cuantas banderas de tres franjas podemos formar.

En este caso W = {azul, blanco, negro, rojo, amarillo}. Por otra parte, la bandera [azul, roja, blanca] es distinta a la bandera [roja, azul, blanca], por tanto son variaciones, y, además podemos repetir colores, es decir, una bandera puede ser [roja, amarilla, roja].

VR_5,3= 5³ = 125 banderas.

Combinaciones.

Combinaciones sin repetición.

Llamaremos combinaciones de m elementos tomados de n en n, y lo denotaremos por Cm,n, al número de subconjuntos posibles de W formados con n elementos, de tal forma que un subconjunto es distinto de otro, si está formado por elementos distintos.

Formula de cálculo:

)!

(

!

!

, n m n

m n

C_mn m

= −



 



=

Ejemplo: ¿ Cuantos grupos de dos personas se pueden formar con 10 personas?. Está claro que para que dos grupos sean distintos tienen que estar formados por personas distintas, por tanto, son combinaciones.

)! 45 2 10 (

! 2

! 10 2

10

2 ,

10 =

= −



 



=  C

Combinaciones con repetición.

Llamaremos combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, y lo denotaremos por CR_m,n, al número de subconjuntos de W de n elementos en donde se pueden repetir los elementos, y un subconjunto es distinto a otro cuando los elementos que lo forman son distintos.

Fórmula de cálculo:



 



 + −

= n

n CR_mn m 1

,

Ejemplo: ¿ De cuantas formas se pueden elegir a dos representantes entre un conjunto de 10 candidatos?. Estos dos cargos no son incompatibles. Además en esta primera elección no se asignan los cargos.

)! 55 2 11

!*(

2

! 11 2

1 2 10

2 ,

10 =

= −



 



 + −

= CR

Permutaciones.

Permutaciones sin repetición.

Llamaremos permutaciones de m elementos, y las denotaremos por P_m, a las variaciones de m elementos tomados de m en m.

Es decir:

P_m=V_m,m

Formula de cálculo.

! m P

=

Ejemplo:¿ De cuantas maneras diferentes se pueden sentar cinco personas en una fila de cinco butacas?.

P₅=5*4*3*2*1 = 5! = 120 formas distintas en cuanto a orden.

Permutaciones con repetición.

Llamaremos permutaciones con repetición de k elementos sobre el conjunto W, en donde cada uno de los elementos de W se repiten ni veces, tal que

k n

m

i

i =

∑

y las denotaremos por PR_k, al número de conjuntos de k elementos formados por los m elementos de W en donde cada uno de ellos se repite ni veces.

Fórmula de cálculo:

!

*

!*...

!*

!

2 1 ,...,

, ₂

1

m n

n

n n n n

P n

m =

Ejemplo: ¿Cuantas palabras distintas de cinco letras podemos formar con las letras de la palabra "tonto"?. En este caso W = { t,o,n}

2 30

* 2

1

* 2

* 3

* 4

* 5

! 1

!*

2

!*

2

! 5

1 , 2 ,

2 = = =

P