Conjetura de Poincaré y conjetura de Thurston

Conjetura de Poincaré y

conjetura de Thurston

Joan Porti (UAB)

Las Conjeturas del Milenio

Instituto de Matem ´atica Interdisciplinar 12, 13 y 14 de mayo de 2009

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.1/41

Jules Henri Poincaré

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.2/41

Jules Henri Poincaré

“...nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade.

Au moment où je mettais le pied sur le marchepied, l’idée me vint,...”

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.2/41

Jules Henri Poincaré

“...nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade.

Au moment où je mettais le pied sur le marchepied, l’idée me vint,...”

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.2/41

Poincaré y el analysis situs

• Poincaré, H. Analysis situs. J. de l’Éc. Pol. (2) I. 1-123 (1895)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.3/41

Poincaré y el analysis situs

• Poincaré, H. Analysis situs. J. de l’Éc. Pol. (2) I. 1-123 (1895)

• Poincaré, H. Complément à l’Analysis situs. Palermo Rend. 13, 285-343 (1899)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.3/41

Poincaré y el analysis situs

• Poincaré, H. Analysis situs. J. de l’Éc. Pol. (2) I. 1-123 (1895)

• Poincaré, H. Complément à l’Analysis situs. Palermo Rend. 13, 285-343 (1899)

• Poincaré, H. Second complément à l’analysis situs Lond. M. S.

Proc. 32, 277-308 (1900).

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.3/41

Poincaré y el analysis situs

• Poincaré, H. Analysis situs. J. de l’Éc. Pol. (2) I. 1-123 (1895)

• Poincaré, H. Complément à l’Analysis situs. Palermo Rend. 13, 285-343 (1899)

• Poincaré, H. Second complément à l’analysis situs Lond. M. S.

Proc. 32, 277-308 (1900).

• Poincaré, H. Sur certaines surfaces algébriques. III^ième

complément à l’analysis situs. S. M. F. Bull. 30, 49-70 (1902).

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.3/41

Poincaré y el analysis situs

• Poincaré, H. Analysis situs. J. de l’Éc. Pol. (2) I. 1-123 (1895)

• Poincaré, H. Complément à l’Analysis situs. Palermo Rend. 13, 285-343 (1899)

• Poincaré, H. Second complément à l’analysis situs Lond. M. S.

Proc. 32, 277-308 (1900).

• Poincaré, H. Sur certaines surfaces algébriques. III^ième

complément à l’analysis situs. S. M. F. Bull. 30, 49-70 (1902).

• Poincaré, H. Sur l’Analysis situs. C. R. 133, 707-709 (1902).

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.3/41

Poincaré y el analysis situs

• Poincaré, H. Analysis situs. J. de l’Éc. Pol. (2) I. 1-123 (1895)

• Poincaré, H. Complément à l’Analysis situs. Palermo Rend. 13, 285-343 (1899)

• Poincaré, H. Second complément à l’analysis situs Lond. M. S.

Proc. 32, 277-308 (1900).

• Poincaré, H. Sur certaines surfaces algébriques. III^ième

complément à l’analysis situs. S. M. F. Bull. 30, 49-70 (1902).

• Poincaré, H. Sur l’Analysis situs. C. R. 133, 707-709 (1902).

• Poincaré, H. Cinquième complément à l’analysis situs.

Palermo Rend. 18, 45-110 (1904)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.3/41

Pregunta de Poincaré

En “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):

Sea M³ variedad cerrada tridimensional.

¿Si M³ es simplemente conexa (π₁(M³) = 0), es M³ homeomorfa a S³?

S³ = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴ | x²₁ + x²₂ + x²₃ + x²₄ = 1}

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.4/41

Pregunta de Poincaré

En “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):

Sea M³ variedad cerrada tridimensional.

¿Si M³ es simplemente conexa (π₁(M³) = 0), es M³ homeomorfa a S³?

S³ = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴ | x²₁ + x²₂ + x²₃ + x²₄ = 1}

π₁(M³) = 0:

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.4/41

Pregunta de Poincaré

En “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):

Sea M³ variedad cerrada tridimensional.

¿Si M³ es simplemente conexa (π₁(M³) = 0), es M³ homeomorfa a S³?

S³ = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴ | x²₁ + x²₂ + x²₃ + x²₄ = 1}

π₁(M³) = 0:

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.4/41

Pregunta de Poincaré

En “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):

Sea M³ variedad cerrada tridimensional.

¿Si M³ es simplemente conexa (π₁(M³) = 0), es M³ homeomorfa a S³?

S³ = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴ | x²₁ + x²₂ + x²₃ + x²₄ = 1}

π₁(M³) = 0:

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.4/41

Pregunta de Poincaré

En “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):

Sea M³ variedad cerrada tridimensional.

¿Si M³ es simplemente conexa (π₁(M³) = 0), es M³ homeomorfa a S³?

S³ = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴ | x²₁ + x²₂ + x²₃ + x²₄ = 1}

π₁(M³) = 0:

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.4/41

Pregunta de Poincaré

En “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):

Sea M³ variedad cerrada tridimensional.

¿Si M³ es simplemente conexa (π₁(M³) = 0), es M³ homeomorfa a S³?

S³ = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴ | x²₁ + x²₂ + x²₃ + x²₄ = 1}

π₁(M³) = 0:

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.4/41

Pregunta de Poincaré

En “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):

Sea M³ variedad cerrada tridimensional.

¿Si M³ es simplemente conexa (π₁(M³) = 0), es M³ homeomorfa a S³?

S³ = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴ | x²₁ + x²₂ + x²₃ + x²₄ = 1}

En dim 2, π₁(F²) = 0 caracteriza la esfera entre las superficies.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.4/41

Pregunta de Poincaré

En “Cinquiéme complement à l’Analysis Situs" (1904):

Sea M³ variedad cerrada tridimensional.

¿Si M³ es simplemente conexa (π₁(M³) = 0), es M³ homeomorfa a S³?

S³ = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴ | x²₁ + x²₂ + x²₃ + x²₄ = 1}

π₁(M³) = 0:

...mais cette question nous entrainerait trop loin.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.4/41

Kneser y la suma conexa (1929)

Hellmut Kneser (1898-1973)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.5/41

Kneser y la suma conexa (1929)

M₁ M₂ M₁#M₂

M₁#M₂ = (M₁ − B³) ∪∂ (M₂ − B³)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.5/41

Kneser y la suma conexa (1929)

M₁ M₂ M₁#M₂

M₁#M₂ = (M₁ − B³) ∪∂ (M₂ − B³)

Teorema de Kneser (1929) M³ cerrada y orientable

=⇒ M³ ∼= M₁³# · · · #M_k³ . M₁³, . . . , M_k³ primas y únicas.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.5/41

Seifert y las variedades fibradas (1933)

Herbert Seifert (1907-1996)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.6/41

Seifert y las variedades fibradas (1933)

Variedades particionadas en círculos, con modelos locales:

pegamos la base y la tapa del cilindro per una 2π^p_q-rotación, ^p_q ∈ Q

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.6/41

Seifert y las variedades fibradas (1933)

Variedades particionadas en círculos, con modelos locales:

pegamos la base y la tapa del cilindro per una 2π^p_q-rotación, ^p_q ∈ Q

H. Seifert (1933): Classificación de las variedades fibradas de Seifert.

En particular, satisfacen la conjetura de Poincaré

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.6/41

Seifert y las variedades fibradas (1933)

Variedades particionadas en círculos, con modelos locales:

pegamos la base y la tapa del cilindro per una 2π^p_q-rotación, ^p_q ∈ Q

H. Seifert (1933): Classificación de las variedades fibradas de Seifert.

En particular, satisfacen la conjetura de Poincaré Ejemplos:

• T³ = S¹ × S¹ × S¹

• S³ = {z ∈ C² | |z| = 1} fibración de Hopf: S¹ → S³ → CP¹ ∼= S²

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.6/41

Jaco-Shalen y Johannson (1979)

W.H. Jaco P.B. Shalen K. Johannson

(1940) (1946) (1948)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.7/41

Jaco-Shalen y Johannson (1979)

Teorema de descomposición en toros (JSJ 1979).

M³ prima, cerrada y orientable.

Hay una familia canónica de toros T² que cortan M³ en trozos que son o bien fibrados de Seifert o bien simples.

M³

T² T²

T² T²

N simple: no es Seifert y cada Z × Z ⊂ π₁(N³) viene de π₁(∂N³).

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.7/41

Jaco-Shalen y Johannson (1979)

Teorema de descomposición en toros (JSJ 1979).

M³ prima, cerrada y orientable.

Hay una familia canónica de toros T² que cortan M³ en trozos que son o bien fibrados de Seifert o bien simples.

M³

T² T²

T² T²

N simple: no es Seifert y cada Z × Z ⊂ π₁(N³) viene de π₁(∂N³).

Conjectura de Thurston: simple ⇒ hiperbólica.

Hiperbólica: int(M³) métrica de Riemann completa curvatura ≡ −1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.7/41

Conjetura de geometritzación de Thurston

W.P. Thurston (1946).

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.8/41

Conjetura de geometritzación de Thurston

M³ cerrada admite una descomposición canónica en trozos geométricos

• Descomposición canónica: suma conexa y toros JSJ

• Variedad geométrica: métrica localmente homogénea.

(dos puntos qualesquiera tienen entornos isométricos)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.8/41

Conjetura de geometritzación de Thurston

M³ cerrada admite una descomposición canónica en trozos geométricos

• Descomposición canónica: suma conexa y toros JSJ

• Variedad geométrica: métrica localmente homogénea.

(dos puntos qualesquiera tienen entornos isométricos)

• L. Bianchi (1897): classificación local de las métricas localmente homogéneas en dimensión tres.

• Geométrica ⇔ fibrada de Seifert, hiperbólica ó T² → M³ → S¹. Ex: S³, T³ = S¹ × S¹ × S¹ (fib. Seifert y homogéneas)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.8/41

Conjetura de geometritzación de Thurston

M³ cerrada admite una descomposición canónica en trozos geométricos

• Descomposición canónica: suma conexa y toros JSJ

• Variedad geométrica: métrica localmente homogénea.

(dos puntos qualesquiera tienen entornos isométricos)

• L. Bianchi (1897): classificación local de las métricas localmente homogéneas en dimensión tres.

• Geométrica ⇔ fibrada de Seifert, hiperbólica ó T² → M³ → S¹. Ex: S³, T³ = S¹ × S¹ × S¹ (fib. Seifert y homogéneas)

• Implica Poincaré.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.8/41

Bianchi y las métricas homogéneas

Luigi Bianchi (1856-1928)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.9/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el círculo S¹

S¹ = R/Z

Z actúa por translaciones (que preservan la distancia).

x 7→ x + 1

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.10/41

Ejemplo: el toro T²

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.11/41

Ejemplo: el toro T²

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.11/41

Ejemplo: el toro T²

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.11/41

Ejemplo: el toro T²

T² = R²/Z²

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.11/41

Embaldosado del espacio euclídeo T³ = R³/Z³

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.12/41

Euclides según Raffaello Sanzio

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.13/41

Ejemplo: superficie F₂

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.14/41

Ejemplo: superficie F₂

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.14/41

Ejemplo: superficie F₂

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.14/41

Ejemplo: superficie F₂

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.14/41

Ejemplo: superficie F₂

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.14/41

Ejemplo: superficie F₂

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.14/41

Ejemplo: superficie F₂

F₂ = H²/Γ ^4(dx

2+dy²) (1−x²−y²)²

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.14/41

Embaldosados del plano hiperbólico

4(dx² + dy²) (1 − x² − y²)²

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.15/41

Embaldosados del plano hiperbólico

4(dx² + dy²) (1 − x² − y²)²

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.15/41

Embaldosados del espacio hiperbólico

Dodecaedros regulares de ángulos diédricos rectos.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.16/41

Variedades de Riemann

Bernhard Riemann(1826-1866)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.17/41

Variedades de Riemann

Conferencia de habilitación (10 de junio de 1854) en Göttingen.

Sobre las hipótesis en que se fundamenta la geometría

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.17/41

Variedades de Riemann

Conferencia de habilitación (10 de junio de 1854) en Göttingen.

Sobre las hipótesis en que se fundamenta la geometría

• Texto fundacional de la geometría de Riemann

• Dirigido al claustro de la facultad de filosofía.

¿Dónde están los cálculos?

• Desarrollo posterior del cálculo tensorial.

• Básico para la relativitad general.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.17/41

Geometría de Riemann

En el tangente de cada punto, tenemos un producto escalar.

u

v hu, vi

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.18/41

Geometría de Riemann

En el tangente de cada punto, tenemos un producto escalar.

u

v hu, vi

En coordenadas (x¹, . . . , xⁿ), g_ij(x) = h∂_i, ∂_ji ∂_i = ^∂_∂xi

u = P uⁱ∂_i v = P v^j∂_j

9

=

;

hu, vi = P uⁱg_ij(x)v^j = (u¹ · · · uⁿ) 0 B B B

@

g₁₁(x) · · · g_1n(x) ..

.

.. . g_n1(x) · · · gnn(x)

1 C C C A

0 B B B

@ v¹

.. . vⁿ

1 C C C A

Es un ejemplo de tensor

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.18/41

Geometría de Riemann

u = P uⁱ∂_i v = P v^j∂_j

9

=

;

hu, vi = P uⁱg_ij(x)v^j = (u¹ · · · uⁿ) 0 B B B

@

g₁₁(x) · · · g_1n(x) ..

.

.. . g_n1(x) · · · g_nn(x)

1 C C C A

0 B B B

@ v¹

.. . vⁿ

1 C C C A

Longitud de curvas γ(t) = (x₁(t), . . . , xn(t)), a ≤ t ≤ b L =

Z b a

|γ^′(t)|dt = Z b

a

sX

ij

x^′_i(t)gij(γ(t))x^′_j(t)dt

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.18/41

Riemann y la curvatura de ... Riemann

Empieza escogiendo unas buenas coordenades para calcular

• Coordenadas geodésicas o normales

La aplicación exponencial geodésica identifica

— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.19/41

Riemann y la curvatura de ... Riemann

Empieza escogiendo unas buenas coordenades para calcular

• Coordenadas geodésicas o normales

La aplicación exponencial geodésica identifica

— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.19/41

Riemann y la curvatura de ... Riemann

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• Coordenadas geodésicas o normales

La aplicación exponencial geodésica identifica

— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

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Riemann y la curvatura de ... Riemann

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• Coordenadas geodésicas o normales

La aplicación exponencial geodésica identifica

— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

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Riemann y la curvatura de ... Riemann

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• Coordenadas geodésicas o normales

La aplicación exponencial geodésica identifica

— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

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• Coordenadas geodésicas o normales

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— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

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— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

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— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

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— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

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— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

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— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

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— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

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• Coordenadas geodésicas o normales

La aplicación exponencial geodésica identifica

— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

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Riemann y la curvatura de ... Riemann

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• Coordenadas geodésicas o normales

La aplicación exponencial geodésica identifica

— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

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Riemann y la curvatura de ... Riemann

Empieza escogiendo unas buenas coordenades para calcular

• Coordenadas geodésicas o normales

La aplicación exponencial geodésica identifica

— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.19/41

Riemann y la curvatura de ... Riemann

Empieza escogiendo unas buenas coordenades para calcular

• Coordenadas geodésicas o normales

La aplicación exponencial geodésica identifica

— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.19/41

Riemann y la curvatura de ... Riemann

Empieza escogiendo unas buenas coordenades para calcular

• Coordenadas geodésicas o normales

La aplicación exponencial geodésica identifica

— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.19/41

Riemann y la curvatura de ... Riemann

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— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

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• Coordenadas geodésicas o normales

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— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

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Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.19/41

Riemann y la curvatura de ... Riemann

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• Coordenadas geodésicas o normales

La aplicación exponencial geodésica identifica

— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

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Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.19/41

Riemann y la curvatura de ... Riemann

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• Coordenadas geodésicas o normales

La aplicación exponencial geodésica identifica

— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.19/41

Riemann y la curvatura de ... Riemann

• Coordenadas geodésicas o normales

La aplicación exponencial geodésica identifica

— rectas radiales que parten del origen, en el tangente,

— con geodésicas (minimizantes) que salen del punto, en la variedad.

Coordenadas normales ←→ coordenadas rectilíneas del tangente

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.20/41

Riemann y la curvatura de ... Riemann

En coordenadas geodésicas Riemann encuentra:

g

(x) = δ

+ P

α β 1

3

R

x

x

+ O(|x|

)

• R_iαβj = −R_iαjβ = −R_αiβj = R_βjiα

• R_iαβj + R_iβjα + R_ijαβ = 0.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.21/41

Riemann y la curvatura de ... Riemann

En coordenadas geodésicas Riemann encuentra:

g

(x) = δ

+ P

α β 1

3

R

x

x

+ O(|x|

)

• R_iαβj = −R_iαjβ = −R_αiβj = R_βjiα

• R_iαβj + R_iβjα + R_ijαβ = 0.

• R_iαβj es el tensor de curvatura de Riemann

Acualmente se define mediante derivadas covariantes.

• Y Riemann encuentra la curvatura de Gauß K para superficies:

K = R₁₂₁₂ = −R₁₂₂₁ = −R₂₁₁₂ = R₂₁₂₁

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.21/41

Otras curvaturas

En coordenadas geodésicas

• Curvatura de Ricci R_ij = P

αβ

R_iαβj

• Curvatura escalar R = P

ii

Rii

• Curvatura seccional del plano x₃ = · · · = xn = 0, K = R₁₂₁₂.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.22/41

Otras curvaturas

En coordenadas geodésicas

• Curvatura de Ricci R_ij = P

αβ

R_iαβj

• Curvatura escalar R = P

ii

Rii

• Curvatura seccional del plano x₃ = · · · = xn = 0, K = R₁₂₁₂.

• “Ricci es el Hessiano del volumen”

d vol = pdet(g_ij)_ijdx¹ ∧ · · · ∧ dxⁿ

d vol(x) =



1 − 1 6

X

ij

Rijxⁱx^j + O(|x|³)



dx¹ ∧ · · · ∧ dxⁿ.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.22/41

Otras curvaturas

En coordenadas geodésicas

• Curvatura de Ricci R_ij = P

αβ

R_iαβj

• Curvatura escalar R = P

ii

Rii

• Curvatura seccional del plano x₃ = · · · = xn = 0, K = R₁₂₁₂.

• “Ricci es el Hessiano del volumen”

d vol = pdet(g_ij)_ijdx¹ ∧ · · · ∧ dxⁿ

d vol(x) =



1 − 1 6

X

ij

Rijxⁱx^j + O(|x|³)



dx¹ ∧ · · · ∧ dxⁿ.

Ecuación de Einstein: Rij − ¹₂Rgij = Tij

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.22/41

Curvatura de Ricci

En coordenadas geodésicas

• Rij = Rji = P

αβ Riαβj

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.23/41

Curvatura de Ricci

En coordenadas geodésicas

• Rij = Rji = P

αβ Riαβj

• Como forma cuadrática, puerde ser definida positiva Rij > 0.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.23/41

Curvatura de Ricci

En coordenadas geodésicas

• Rij = Rji = P

αβ Riαβj

• Como forma cuadrática, puerde ser definida positiva Rij > 0.

d vol(x) =



1 − 1 6

X

ij

Rijxⁱx^j + O(|x|³)



dx¹ ∧ · · · ∧ dxⁿ.

Rij = 0 Rij > 0 R_ij < 0

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.23/41

Hamilton y el Flujo de Ricci (1982)

R.S. Hamilton (1943).

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.24/41

Hamilton y el Flujo de Ricci (1982)

∂g

∂t = −2 R

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.24/41

Hamilton y el Flujo de Ricci (1982)

∂g

∂t = −2 R

• En coordenadas armónicas {xⁱ}, ∆xⁱ = 0.

∂gij

∂t = ∆(g_ij) + Q_ij(g⁻¹, ∂g

∂x)

on







∆(g_ij) = laplaciano de la función escalar g_ij Qij = expressión cuadrática

Es una ecuación de difussión-reacción.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.24/41

Hamilton y el Flujo de Ricci (1982)

∂g

∂t = −2 R

• En coordenadas armónicas {xⁱ}, ∆xⁱ = 0.

∂gij

∂t = ∆(g_ij) + Q_ij(g⁻¹, ∂g

∂x)

on







∆(g_ij) = laplaciano de la función escalar g_ij Qij = expressión cuadrática

Es una ecuación de difussión-reacción.

• Heurística del programa de Hamilton:

“O bien g(t) converge a una métrica localment homogénea ó bien crea singularidades corresp. a la suma conexa".

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.24/41

Hamilton y el Flujo de Ricci (1982)

∂g

∂t = −2 R

• Heurística del programa de Hamilton:

“O bien g(t) converge a una métrica localment homogénea ó bien crea singularidades corresp. a la suma conexa".

•Hamilton/DeTurck:

Existencia en tiempo corto y unicidad

cuando Mⁿ es compacta hay una única solución definida por t ∈ [0, T ), T > 0.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.24/41

Hamilton y el Flujo de Ricci (1982)

∂g

∂t = −2 R

• Heurística del programa de Hamilton:

“O bien g(t) converge a una métrica localment homogénea ó bien crea singularidades corresp. a la suma conexa".

•Hamilton/DeTurck:

Existencia en tiempo corto y unicidad

cuando Mⁿ es compacta hay una única solución definida por t ∈ [0, T ), T > 0.

Teorema de Nash-Moser para variedades de Fréchet “tames”.

(cf. Eva Miranda-P. Monnier-T. Zung: Rigidity for Hamiltonian actions on Poisson mflds)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.24/41

Ejemplo

• Suponemos que g(0) tiene curvatura seccional constante K.

⇒ Rij = (n − 1)Kgij(0)

Poniendo gij(t) = f (t)gij(0), entonces ^∂g_∂t^ij = −2Rij

equivale a la ODE

f^′(t) = −2(n − 1)K

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.25/41

Ejemplo

• Suponemos que g(0) tiene curvatura seccional constante K.

⇒ Rij = (n − 1)Kgij(0)

Poniendo gij(t) = f (t)gij(0), entonces ^∂g_∂t^ij = −2Rij

equivale a la ODE

f^′(t) = −2(n − 1)K

g(t) = (1 − 2K(n − 1)t)g(0)











si K < 0 se expande para siempre si K = 0 se mantiene estable

si K > 0 colapsa al tiempo T = _2K(n−1)¹

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.25/41

Ejemplo: Solitones

∂

∂tg_ij = −2R_ij.

Una solución gt es un solitón si g_t = λ(t)Φ^∗_t g₀ .

Contractante si λ < 1, estable si λ = 1 y expansivo si λ > 1.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.26/41

Ejemplo: Solitones

∂

∂tg_ij = −2R_ij.

Una solución gt es un solitón si g_t = λ(t)Φ^∗_t g₀ .

Contractante si λ < 1, estable si λ = 1 y expansivo si λ > 1.

Un solitón gradiente si ^∂

∂tΦ_t = ∇f Equivalentemente:

Rij + Hessij(f ) + c gij = 0

• Solitones con curvatura ≥ 0: después de explotar las singularidades.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.26/41

Ejemplo: Solitón del Cigarro

g = _1+x^dx2+dy2_+y²² = ^dr2_1+r^+r22dθ2 = dρ² + tanh² ρ dθ² a R²

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.27/41

Ejemplo: Solitón del Cigarro

g = _1+x^dx2+dy2_+y²² = ^dr2_1+r^+r22dθ2 = dρ² + tanh² ρ dθ² a R²

• Asintótico a un cilindro (tanh ρ → 1 cuando ρ → ∞)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.27/41

Ejemplo: Solitón del Cigarro

g = _1+x^dx2+dy2_+y²² = ^dr2_1+r^+r22dθ2 = dρ² + tanh² ρ dθ² a R²

• Asintótico a un cilindro (tanh ρ → 1 cuando ρ → ∞)

• K = _cosh²²_ρ > 0 y K → 0 cuando ρ → ∞.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.27/41

Ejemplo: Solitón del Cigarro

g = _1+x^dx2+dy2_+y²² = ^dr2_1+r^+r22dθ2 = dρ² + tanh² ρ dθ² a R²

• Asintótico a un cilindro (tanh ρ → 1 cuando ρ → ∞)

• K = _cosh²²_ρ > 0 y K → 0 cuando ρ → ∞.

• Es un solitón gradiente estable:

f = −2 log cosh ρ cumple Hess(f ) + _cosh²²_ρg = 0

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.27/41

Ejemplo: Solitón del Cigarro

g = _1+x^dx2+dy2_+y²² = ^dr2_1+r^+r22dθ2 = dρ² + tanh² ρ dθ² a R²

• Asintótico a un cilindro (tanh ρ → 1 cuando ρ → ∞)

• K = _cosh²²_ρ > 0 y K → 0 cuando ρ → ∞.

• Es un solitón gradiente estable:

f = −2 log cosh ρ cumple Hess(f ) + _cosh²²_ρg = 0

• Cigarro×S¹ NO debería ocurrir después de explotar singularidades.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.27/41

Más ejemplos

• Cilindro S² × R:

El factor S² colapsa en tiempo finito y R permaneca constante.

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.28/41

Más ejemplos

• Cilindro S² × R:

El factor S² colapsa en tiempo finito y R permaneca constante.

• S³ con un “cuello":

S²×I

cuello

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.28/41

Más ejemplos

• Cilindro S² × R:

El factor S² colapsa en tiempo finito y R permaneca constante.

• S³ con un “cuello":

S²×I

cuello pinchazo

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.28/41

Situación ideal (Dimensión 3)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.29/41

Situación ideal (Dimensión 3)

Conjetura de Poincar ´e y conjetura de Thurston – p.29/41