Correlación y regresión lineal simple

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(1)r*.r|;;;. VII.. C O R R E L A CYI O RN E G R E S ILOI N E A LS I I ' 4 P L E. INTRODUCCION. Un modelode regr"esiónes una relación de dependencia,así que se tienen nndelosde regresíón para las diversas ciencias físicas y del comportam i e n t o . S e d i c e q u e e l t é r m i n od e r e g r e s i ó ns i g n i f i c a u n a r e ' l a c i ó nd e d e p e n d e n c i as ,i n e n b a r g oe s t a d e f i n i c i ó n e s d e m a s i a daom p l i a ; p a r a d a r un entendimientomejor y mástécnico a regresión y comose entiende en e l c o n t e x t om o d e r n do e l a c i e n c i a , s e a n o t a r á l o s i g u i e n t e : A l r e v i s a r l a l i t e r a t u r a e s t a d í s t i c a , s e o b s e r v aq u e e l t é r m i n or e g r e s i ó r rs e r e f i e r e a l f e n ó m e npoo r e l c u a l l a a l t u r a d e l o s h i j o s d e p a d r e sa l t o s y l a d e l o s h i j o s d e p a d r e sb a j o s t e n d í a nh a c i a u n p r o m e d i od e a l t u r a c o m os i g u e : c o n s i d e r eu n c o n j u n t od e d e s c e n d i e n t eas l o s c u a l e s s e n i d e s u a l t u r a y c l a s i f l q u e n s ed e a c u e r d oa l a a l t u r a d e s u s p a d r e s . [ n c o n t r a r e m oqsu e padresaltos tienden a producir descendientesaltos y padres bajos a tener descendientesbajos, aún más, e'l promediode altura de los descendientes altos es menorque el promediode sus padres mientras que los padresbajosr el promediode altura de sus hijos es mayorque e1 prome'de dio l o s p a d r e s . A s í g u e e x i s t e u n a t e n d e n c i ad e l o s h i j o s a l t o s y bajos hacia el promediode altura de todos los padres. Este fenómeno f u e d e s c r i t o p o r G a l t o nc o m oI a l e y d e r e g r e s i ó n , r e t r o g r e s i 6 nd e u n o a c i a l a m e d i o c r i d a d .P o r s u e s t a d oa n t e r i o r d e d e s a r r o l l o o m o v i m i e n t h puesto que el fenómeno de alturas es posible deb'idoa hechosbiológicos c o m oe s e l d e l a e x i s t e n c i ad e l í m i t e s s u p e r i o r e se i n f e r i o r e s e n l a estatura de los humanos. ,i. r¡ -. ¡i. F3. !f. s-y::$!¡{|l.

(2) 101. d e regresión dada En 1a figura s i guiente 5e observa1a concePtualización por Galton.. Regresiónde la estatura del hiio en la de1 Padre. 1=33./+0.52X. (1). ,2 '-2. ,--r. --<-. de dePendencial El conceotoÍpderno de regresión se refiere a una re]ación de regresión existe cuandolos padresson divididos decimosque el fenómeno engruposdeacuerdoasusaiturasy.|asalturasdelosh.ijossoncomparadasconladelospadresdecadagrupo.rnestac.lasedecomparación'se a espera que las alturas de los hiios cuyos padres pertenecenpor eiemplo o a una clase alta' Se esperatambiér una clase alta, tiendan en prornedi que que padres altos tiendan a tener hijos cuya a'ltura promediosea mayor diversas ine1 promediode la de hijos de padresbajos. En fín, existen y ellas terDretacionesde dependencia,en el contexto actual de la ciencia' tl t. del SnedecorPá9. 192. Tomado.

(3) 102. particular que se esté observando' Por ahora, podependerán del fenórneno dremosdecir que un nndelo de regresión es un modeloestadístico que posee entre una supuestosy/o hip6tesis acerca de una relación de dependencia v a r i a b l e ( v a r i a b l e d e p e n d i e n t ey) u n a o m á sv a r i a b l e s ( v a r i a b l e i n d e p e n di ente) .. MODELO DEREGRESION LINEALSIMPLE Considérese el siguiente nodelo: Y¡ =86+8.X; +g¡ I'. donde:. ,i=1r...'n. Yi. :. variable aleatoria observable. X¡. :. c o n s t a n t ec o n o icd a. ei. :. v a r i a b l e a l e a t o r i a n o c o r r e i a c i o n a d cao n m e d i ac e r o y varianza comúno2, se asumenormalidadpara pruebas de hipótesis.. 39,81 :. o parárntros del modelo. constantesdesconocidas. E'l modeloasí descrito se conocecon el nombrede "modelode regt"esión '|ineal s i n o le " . TERMI NOLOGIA.. .,. i. Teniendoen cuenüaque el análisis de regresión st usa en gran variedad il. d e s i t u a c i o n e s ,e n l a s d i v e r s a s c i e n c i a s e s n a t u r a l q u e t é n n in o s d i f e t e s s e h a y a nu s a d op a r a i d e n t i f i c a r l a s v a r i a b l e s d e l a d o i z q u i e r d oy d e 1. i.

(4) I. 103. lado derechode la ecuaciónde regresión. No se enurerantodos ios térÍrinos, pero se señalarán unos pocos que son los másfrecuentementeusadosy se haránalgunoscomentariossobre los mismos. - inde,luizá, el término más frecuentementeobservadoes el de dependencia p e n d e n c i a .E s t e v i e n e p r o b a b l e m e n d t ee l a s m a t e m á t i c a sd,o n d el a v a r i a b l e d e l l a d o i z q u i e r d oe n u n a f u n c i ó n , u s u a l m e n tsee r e f i e r e c o m od e p e n d i e n t e y a q u e l l ad e l l a d o d e r e c h oc o m oi n d e p e n d i e n t e .A q u í , e l s i g n i f i c a d o e s q u e l a v a r i a b l e d e ' l l a d o d e r e c h oc a m b i ad e u n a m a n e r ac o n o c i d ao c o n t r o l a b l e y d a o p o r t u n i d a da c a m b i a ra l a d e l l a d c i z q u i e r d od e a c u e r d oa l a aor Bl). f o r m ad e l a r e l a c i ó n ( e x p r e s a d p. P o r -c o n s i g u i e n t el a d e l i a d o d e -. r e c h oe s u n a c a u s ay l a d e l i z q u i e r d oe s u n e f e c t o . S i m i l a r a I o a n t e r j o r , e x i s t e l a f o r m u l a c i ó ne s t í m u l o - r e s p u e s t ac,o n f r e c u e n c í as e o b s e r v ae n i n v e s t i g a c i o n e sn é d i c a s ,i n g e n i e r í a , q u í m i c a ,i n v e s t i g a c i ó n a g r í c o l a y p e c u a r i a ,e t c . e n g u e l a ( s ) v a r i a b l e ( s ) d e l I a d o d e r e chorepresentan l o s e s t í m u l o s , t a l e s c o m ol a s d i f e r e n t e s d o s i s d e u n a d r o g a o i n s u m oy l a v a r i a b l e d e l l a d o i z q u i e r d or e p r e s e n t al o s d i f e r e n t e s g r a d o s d e r e s p u e s t aa é l o l o s e s t í m u l o ( s ) . O t r a f o r m u l a c i ó np r e s e n t a d ae n e l m o d e l od e r e g r e s i ó ne s l a d e n o m i n a dl aa relación: explicatoria-explicadae , s asf que las variablesdel lado derec h o s e d e n o m i n aenx p l i c a t o r i a s p o r q u eé l l a s s o n u n a c a u s ad e e x p l i c a c i ó n d e l e f e c t o r e f l e j a d o e n l a v a r i a b ' l ed e l l a d o i z q u i e r d oo p o r q u eu n c a m b i o e n é s t a e s " e x p l i c a d o "p o r e l c a m b i od e l a s v a r i a b l e s d e l l a d o d e r e c h o . Unaconcepci6nfinal es la de " regresores- regresando,, , no inporta en este.

(5) concéptoqué es causao efecto, qué es estlmulo y qué es repuesta, simplementelas del lado derechose denominan "regresores"y la del lado izquierdo "regresando". ESTII'IACION E INTERPRETACTON. Conpse mencÍonóanteriorÍente, el conceptode regresión es el de relación de_dependencia.Ahora bien. en el modelode regresión lineal simp 1 e , l a f o r m ao r e l a c i ó n d e d e p e n d e n c ieas t á d a d ap o r : Y . ¡ =B o +3 1 X ¡ +g i ' dondeFo, Elespecifican la relación, éstos son los paránetrosdel modelo' se tiene un coniunto de n observaciones,el métodode míninpscuaCuando dradosproporcionala estimaciónde los parámetrosfov 81.. Los estima-. d o r e ss e e s p e c i f i c a np o t ? o v ? 1 ; e n o t r a s o c a s i o n e sp o r " a " y " b " , e n toncesla ecuaciónestimadade regresión se expresa y. =¡+bX. (Ver fi gura).

(6) 105. CuandX o = 0' Y = a' e l d e l a s a b c i s a sy e l Y d e l a s o r d e n a d a s ' \es eie Y' en otras palabras a así que "a" es el punto dondela I fnea corta el = va a través del origen' Si I se e s e l i n t e r c e p t o ' C u a n d ao 0 , l a l í n e a ' ien sea posi' i n c r e m e n tean u n a u n i d a d ! Y s e i n c r e m e n t ae n " b " u n i d a d e s b p e n d i e n t ed e l a l í n e a ; t i v a o n e g a t i v a m e n t ea 's f q u e b e s u n a m e d i d ad e l a b e s n e g a t i v ou n a v a r i a c u a n d ob e s p o s i t i v a a m o a sv a r i a b l e s a u m e n t a ns, i. El eje. b l e a u m e n tY a la otra disminuYe' a un conjuntode másde dos cuandouna línea recta se proponecomoajuste q u e " m e i o r "a i u s t a p a r e sd e o b s e r v a c i o n e ss,e d e b ee l e g Í r c u á l e s l a l í n e a 'los dor. proporcionael estimadatos. El criterio de "mejor" para nosotros lo tal línea de ajuso r i g i n a d op o r e l m é t o d od e m í n i m o sc u a d r a d o s ' P a r a. a 1a línea se denomina t e , a " b " s e l e l l a m ae l c o e f i c i e n t e d e r e g r e s i ó n , l a e s t i m a c i ó ne s l í n e a .d e r e g r e s i ó ny l a e c u a c i 6 n ,e c u a c i ó nd e r e g r e s i ó n ; tá dada por:. a. = Y- bX-. r ( Y i - Y) (xi- X ). =tYixi. r (xi -'f )' = txl. _ry n. -T)'=. trYT. ¿ (yi. ¡Yi. n. TYi EXJ.

(7) Unaobservación adici onal que se puedehacer al modelode regresión lineal y restando Bfl se obtiene: s i m p l e , e s l a s i g u i e n t e : Sumando. Y 1= B o + 8 1 X + g t ( x i - I ' ) + e i. Haciendo Bo + Bli. = ¡. y aplicando el métodode mlninroscuadradosl a. estimaciónes: = E Y.¡/n. x(Yi-n(xi-n E (xi - f)'? L a t r a n s f o r m a c i óann t e r i o r s i m p l i f i c a l a s o l u c i ó ny e s t e a r t i f i c f o e s d e I. b a s t a n t eu t i l i d a d p a r a e l c a s o d e r e g r e s i 6 nm ú l t i p l e '. l aI contenidode cobre (Y) A contjnuacíón,mediantedatos que corresponden y molibdeno (X) en gramfneaspara la regidn de Casanare,¡e ilustra el cálculo del coeficiente de regresión'. 4.3. o.t. ?.I. 4.0. 5.0. 4.0. 3.0. qñ. 4.0. 4.8. 1.6. 0.3. 1.8. 1.1. 1.3. 3.0. 3.0. 8.0. 5.0. 5.0. 7.O. X. 0.4. 0.5. 0.3. Y. 4.0. 9,0. 2.0. X:. 2.7. 2.7. Y. 2.4. 4.0. 16.

(8) 0.4 x 4.0 + 0.5 x 9.0 + ...+1.3x7.0. E xiYi. 150.4. lXt. 0 . 4 2+ 0 .S 2 + . .+. l . 3 2 2. rxi. 144.39. EYI. 4 . 0 2 +9 . 0 ¿ +... + 7. O 2. rYl. 393. xxi. s8.3 f = 2.39. rYi. 73 Y - 4.56 -24.34 = -0.46 -5TTÍ. a. = 4 . 5 6 - ( - 0 . 4 6x 2 . 3 9 ) = $ . 5 7. La ecuaciónde regresiónes: f' = 5.6/ -0.46X El amento en el cobre es pronosticable, puesto que por cada parte por millón dp aunEntoen el nolibdeno corresponde -0.46 de aumnto en partes por millón de cobre. PRUEBAS DEHIPOTESIS. de la estfnación de los parámetros86,9l en el modelode regresión Adenrás.

(9) de interés e1 Plantear l i n e a l s i m p l e ,e n l a t o t a l i d a dd e l o s c a s o s 'e s mnci onados. Al gunos de y probaralgunashipdtesis sobrelos parámetros. que surgenson: los planteamientos. I. Ho:. go =o. Vs. Ha. 9ol. o. II. Ho:. 81 = o. Vs. Ha. Btl. 0. III. Ho:. Bo =K. vs. Ha. Bol. K, K = constante. Hoi. BI. Vs. Ha. 81 |. K. IV. = K. son II y IV' aunqueIII y IV cubrena Delas anterioreslas máscomunes I y II. e s la fo rmamásusual L a t a b l a d e a n á l i s i s d e v a r i a n z ap a r a 1 a r e g r e s i ó n ' = 0 vs Ha : 3 1 1 0 . L a t a y rnejor comocriterio de pruebapara Ho : 8l bla es: isis de variancia. Tabla. F. de V. i ón Regres Error Total. 1T. G.L.. ra la Fc. er. (vi - T) (x¡ - X'). !r. 'n-Z. DIFERENCIA. ?l. n-1. (vi - D". I. ' C . l { . R E G= S . C . R E G / 1. 2l. = s.c. Emor/(n-Z) c.il. ERRoR. al. Fc. -Ct"lREG CMERROR. JI.

(10) E l v a l o r d e F c , s e c o n p a r ac o n F 1 P a r ao d e s i g n i f i c a n c i a c o n 1 y n - 2 g . l . L a r e g l a d e d e c i s i ó ne s : Si. Fc. r. FT. rechace. Ho. Si. Fc. .. FT. acePte. Ho. P a r ae l c a s o d e l e j e m p l od e. 'los. e l e m e n t o s5 e t i e n e .. T a b l ad e a n á l i s i s d ev a r i a n z a p a r a l a r e g r e s i ó n 6.1.. S.C.. c.M.. Regresión. 1. 11.243. 1r.243. Error. 14. 48.695. 3.478. Total. 15. 59.938. F. de V.. F^ ^u'u1,1,14. Fc. 3.23. = 4.60. p o r t a n t o l o s d a t o s s o p o r t a nl a h i p ó t e s i s H o : g t = ¡ P a r a e s t e t i p o d e d a t o s n o e x i s t e s u f i c i e n t e e v i d e n c i ap a r a c o n c l u í r q u e e x i s t e u n a r e l a c i ó n I i n e a l e n t r e e l c o b r ey e l . m o l i b d e n o. El CMEes una estimadorinsesgadode o2 y corllose observanos sirvió p a i a d e f i n i r e l c r i t e r i o d e p r u e b a( F ) p a r a l a h i p ó t e s i s s e ñ a l a d a '.

(11) 110. Existe otro nétodode prueba,un pocomásgeneral, sobre las hipótesis , s t e c r i t e r i o e s t á d a d op o r T a s f : I I I y i V p l a n t e a d a as n t e r i o r f i e n t e e. s^' =-t-cxi s2 " - T), donde52 = CHE P o r c o n s f g u i e n t e , s si e p l a n t e a :. Tc. Ho : B, = k. vs.. Ha: Bll k. b-k tb. E s t e v a l o r T c s e c o m p a r cao n u n v a l o r d e T ¿ p a r a o d e s i g n i f i c a n c i ay n - 2 g r a d o sd e I i b e r t a d , L a r e g l a d e d e c i s i ó n e s i g u a l a l a s a n t e r i o r m e n t e estudiadas. P a r ae l e j e m p l os e t i e n e : Ho: B¡.= 0 es decir, i Tc. Ha: Bf l0. K=0 -0.46 - 0 = -1.80. s6 = li.$/SJ$f.ff-=. o'?57. T o . o 5 , 1 4= z . i 5 Comose observaT, Í. ¡.;. ,.1. > Tc, y por tanto la pruebade T es equivalentea. l a d e F p a r a H o . : B = 0 , e n e s t e c a s o K = 0 , p e r o T e s m á sa m p l i a puestoque K puedeser cualquier númeroreal ..

(12) 111. se puedeprocederpara el parámtro B¡ ¡ Análogamente. (- a 2 _ s 2 t x i. núi. -t)'. =s2 r**. (r)" IXI'. Fs. ra c o n T t p a r a n i v e l o d e s i g n i f i c a n c i a y n-2 grados de El Tc se compa 'I i bertad.. P R E D I C C IY0 C N I N T U R 0DNEC 0 N F I A N Z AU.n od e l o s u s o s d e l a r e g r e s i ó n , de establecer la relación de dependencia,es la de predicción. adernás En iiertas oportunidades,el investigador deseaínferir sobre un valor p a r i i c u l a r t a l c o n r oe i n í n i m od e X , e l m á x i n oó b i e n c u a l q u i e rv a l o r d e X i m p o s i b l eo i r n p r á c t i c od e o b s e r v a r . ü e o t r o l a d ó e s t a m b i é n ' d e ' i ¡ i t e r é se s t a b l e c e re l g r a d o d e ' e o n f j a n z a , d e d i c h a p r e d i c c i ó n ,e n t a l c a s o " l a m e t o d o l o g íeas t a d í t i c a h a e s t a b l e c i d o l o s c i n t u r o n e sd e c o n f i a n z a( l í m i t e s ) p a r a l o s v a l o r e s X a s í :. L.C, =a+bX+. S. x Ta/2,n-Z.

(13) 112. donde. Dr = (X _ X-),. s.c.= I(x¡-F)'? C0EFICIENTE DE DETERHINACI0N. Un estadístico de gran importanciaen el n n d e l od e r e g r e s i ó nl i n e a l s i m p l e e s e l d e n o m i n a dcoo e f i c i e n t ed e d e t e r ni naci ónr* denotadopor R2. Se interpreta o explica cono la pr"oporciónde la v a r i a c i ó nt o t a l. d e b i d aa l a r e g r e s i ó n . E s t a i n t e r p r e t a c i ó ne s u n a c o n -. s e c u e n c i ai n r n e d i a t ad e s u d e f i n i c i ó n a s í :. R 2= s u m ad e c u a d r a d o sd e l a r e g r e s i ó n / s u mdae c u a d r a d o tso t a l . E n e l e j e m p l os e t í e n e : R2 = 11.243/59.938 = 0.1876 E n t o n c e s , e1l 8 . 7 6 1d e l a v a r i a c i ó n t o t a l s e d e b ea l a r e g r e s i ó n . E n e s t e c a s op a r t i c u l a r e l p o r c e n t a j ee s b a j o . '. R E G R E S-IP0O NR E L 0 R I G E N' :E n c i e r t a s o p o r t u n i d a d e ss,e t i e n e j u s t i f i c a c i ó n t e ó r i c a p a r a a s u m i r , q u e l a l í n e a d e r e g r e s . i ó np u e d ei r o o r e l ori gen. E n t a l i a s o e l m o d e l o p o s t u l a d oe s e l d e y i = B X i + e i .. Lógicamente. el valon estinndo para g difiere ar estudiadoanteriormente. si al nodeloanterior se le aplica el métodode mínimoscuadradosse tiene:.

(14) 113. o=,lld, Al igual que en el modelode regresión lineal simple se puedeplantecr 'logra nediante la tab'la del anáHo : B = O contra Ha: B # 0. ESto se lisis de varianza asl: T a b l ad e l a n á l i s i s d e v a r i a n z a p a r a l a r e g r e s i ó n. Resresión. t. Error. n-l. Total. n. bf\Yi. Ll. DIFERENCIA. 2 /. I Yr2 i. U. = s.c. REG/I C MR E G C M= E s.c. tRR0R/(n-r). 3l. Fc = CMREc/CtlE. U. A. C0RRELACIoN LINEALSII'IPLE:Anteriormentese present6 el análisis de reg r e s i 6 nl i n e a l s i m p l e , s e e n f a t i z ó e n l a s s u p o s i c i o n e se, n s u s i g n i f i c a do, origen, procedirnientode cálculó, la interpretación det mismoy definió comouna estrategia de relación..

(15) 114. Ahora, se procuraráen presentar el conocirnientobásico de la correlación, su netodología de cómputo,significado e interpretación del misrno. c o r r e l a c i ó nl i n e a l s i m p l e s e c o n c e p t u a l í z a c o m oe l g r a d od e a s o c i a c i ó n , o el grado de dependencia mutua, entre dos variables cualquiera sean X, y X,. Aqul el investigador no se preguntasi X dependede X, o. v i c e v e r s a ;é l e s t á i n t e r e s a d oe n e l g r a d od e c o v a r í a c i ó ne n t r e l a s d o s v a r i a b l e s , l a d i r e c c i ó n d e l a c a u s a c i ó ne n t r e X , y X 2 n o e x i s t e o n 6 es de importancia.. Ld. m e d i d ad e l a a s o c i a c i ó ne n t r e d o s v a r i a b l e s o d e l a c o v a r i a c i ó ne n t r e. l a s m í s m a se, st á d a d ap o r e l c o e f i c i e n t e d e c o r r e l a c i ó n . L a e s t i m a c i ó n del coefi ci ente para una nuestra de n pares de observacionesestá dada por: j. x (Yi _ n (xi_j). = li. (*, D, ¡ (yi _ y).. CARACTERISTICAS DELCOEFICIENTE DECORRELACION E l c o e f i c i e n t e d e c o r r e l a c i ó nn o t i e n e u n i d a d e s El valor del coeficiente no puedeser mayora +l ni menorque -1 S i ' e l c o e f i c i e n t et i e n e s i g n o p o s i t i v o , i n d i c a q u e l a s d o s c a r a c t e r í s t i c a s e s t u d i a d a s ,t i e n d e na v a r i a r e n e l m i s m os e n t i d o , e s d e c i r , si una se incrernentala otra tambÍén, Si el signo es negativo q u i e r e d e c i r g u e l a s c a r a c t e r í s t i c a s v a r f a n e n s e n t i d oc o n t r a r i o ,.

(16) 115. es decir, que s'i se incrementae l v a l o r d e una variable di sminuye 'la otra o viceversa. USOS:El uso principal que se dá al coeficiente de correlación es el de o el e s t a b l e c e re l g r a d od e a s o c i a c i ó n . E n l a p r á c t i c a , e l p l a n t e a m i e n tes d e c o n c l u f r s i 1 a s d o s v a r i a b l e s X , V X , s o n i n d e p e n d i e n t eos n o e n u n s e n t i d o p r o b a bIií s t i c o . C i e r t a m e n teel c o e f i c i e n t e e s e l m e j o r c r i t e r i o p a r a e s t a b l e c e rs i X r y X, son independientes o no, pero para pocierilacer este tipo de inferenc i a l a s d o s v a r i a b l e st i e n e n q u e s e r A L E A T O R IyA qSu e s i g a n u n a d i s t r i b u c i ó n N O R I YBAILV A R I A DcAu; a n d oe s t e r e q u i s i t o s e c u m p l e , d e c i r q u e e l c o e f i c i e n t ed e c o r r e l a c i ó ne s c e r o e s e q u i v a l e n t ea d e c i r q u e l a s d o s v a r i a b l e ss o n I N D E P T N D I E N TSEi Sl .a s v a r i a b l e s X ¡ y X 2 n o s e d i s t r i b u y e n BIVARIAD0, correlación cero no es equivalentea independencia NORMAL orobabilística. I N T E R P R E T A C IE0nNl a : s f i g u r a s d a d a sa c o n t i n u a c i ó ni l u s t r a n l a i n t e r p r e t a c i ó nd e l c o e f i c i e n t e d e c o r r e l a c i ó n .. r=0 tata¡a t¿t..r.a.t. . . tta.. C. ..o..rraa i..r..tra..a..' | e r ).¡. r= 1 l¡ r'. ¡ ',,1.Í.:."'.

(17) 116. r=-f. PRUEBAS DEHIP0TESIS:En caso d e q u e X t y X2,comose a n o t ó s, i g a n d i s t: ibución norma'lbivariada' la pruebade h i pótesis de i n t e r é s e s :. Ho: p = 0. pl0. L a H o a n t e r i o r e s e q u i v a l e n t ea d e c i r X , y X 2 s o n i n d e p e n d i e n t e s ' s i rechazaconcluireros que no son Í n d e p e n d i e n t e sp,o r l o t a n t o e x i s t e cierto grado de asociacl6n entre l a s m i s m a se, l g r a d oe s t á d a d oP o r e l valor del coefi ci ente. El criterio de prueba está dado por un coeficiente de corre'lacióntabul a d o r ¿ , s e b u s c ae n l a s t a b l a s r t p a r a o d e s i g n i f i c a n c i a y n - 2 g r a d o s d e l i b e r t a d , s i r e s m a y o rq u e r a s e r e c h a z aH o , e s d e c i r , s i e x i s t e a s o c i a c i ó ne n t r e l a s d o s v a r i a b l e s , e n o t r a s p a l a b r a sn o s o n i n d e p e n di entes. ,. Parael eiemplode los elementosse tiene:.

(18) 1,17. = -24.34 r(Yi-Y)(xi-n x (xi - i)'? = 5?.7r t (Yi - T)'z =. 59.94. -?4.34. r =. /--TZ7TT-Eq3[-. r 0 . 0 5r,¿. = -0.a330. = 0.497. Por tanto no existe para este tipo de datosr{evidencia suficiente para c o n c l u í r d e o u e e x i s t e a s o c i a c i ó ne n t r e l o s m i n e r a l e se n e s t u d i o .. EJERC I CIOS. 1,. a dos variedadesde maíz Los datosque se expresancorresponden en nuevesitios experimentales; los valoresX son índices para evaluarestabilidad fenotíoica.. a.. En iada casoestimela ecuaciónde regresión. b.. En cadacasopruete Ho: B = l,. c.. En baseal mayor promedio,cuadradonrediodel emor menorJ B = 1,. use a = 0.05. cuáI genotiposugierecomorrEsestable?.

(19) 118. ?.. En un experimentose determinaronlas siguientes cantidadesde bromurode potasio (Y), disuelto en 100 gramosde agua a diferentes temperaturas(X).. a.. X:. 0. 10. 20. 30. 40. 50. Y:. 52. 60. 64. 73. 76. 81. Estime Bor Bl,. p r u e b eH o : B r = 0 m e d i a n t el a t a b l a d e a n á l i s i s d e. regresi ón. b.. PruebeHo: B¡ = 0 y Ho: 36= 0, use el criterio de T y compare l o s r e s u l t a d o sc o n e l n u m e r a al n t e r i o r .. c,. C a l c u l eu n i n t e r v a l o d e c o n f i a n z ad e l 9 0 %p a r a X = 3 0 .. 3.. U s e l o s d a t o s ¿ e l p r o b l e m ad o s y a i u s t e Y = B X. 4.. a númerode mazorcaspor Los datos que se expresancorresponden planta en dos métodosde mejoramiento,los valores de X son ciclos d e s e le c ci ó n . Ciclo:01234567 1.28. tr. 1.57. 1.55. 1'60. r-62. L-73. 1.80 1.78. 1.36. l.3l. 1.28. l.2l. 1.19. 1.16 1.15. ; Ciclo:01234567 YII:. 1.28.

(20) 119. Ca'lculela ecuaciónde regresiónen cadacasoi compareresul tados, y estimados,concluya gue hagaun gráfico de los valores observados. ¡rétodoes mejor. É. Lha multinacional obtuvo las siguientes gananciasen mi lIones durante e'l perfodo 1967-1973. Gananci a:. 7.7. 8.5. 9.3. 1 1 .2. 12.r. 13.5. Año:. 67. 68. 69. 70. 7l. 72. 15.6 73. Estine la gananciade la conpañíapara el año 76.. 6. ". E'l costo (Y) de nnnufacturade derivado 1ácteo depenledel tamaño d e l p r o c e s o( X ) . C o n s i d e r el o s s i g u i e n t e sv a l o r e s :. Costo:. 3.0. Tamaño:. l.f. 8.0. 13.0 ?7.0 5?,O 105.0 250.0. 502,5. 10.5 2s.5. 500.5. 50.5. 100.5 250.5. Ajuste una lfnea recta a estos datos. Encuentreun intervalo del '90Í para'Bo, el cual puedeinterpretarse coÍroun costo fijo de nanufactura.. R e a i i c e l a t a b l a d e l a n á l i s i s d e v a r i a n z ap a r a l a r e g r e s i ó ny o b t e n g a c o n c ul s i o n e s ..

(21) se obE n u n a i n v e s t i g a c i ó ns o b r e e l v a l o r n u t r i t i v o d e l p a s t o k i k u y o t u v o l o s s i g u ie n t e s d a t o s y v a r i a b le s : l4ateria seca. tl. P o r c e n t a j ed e c e n iz a V. l'lateria orgáni ca. v. Porcentajede protei nas. 3. ||. Porcentaiede grasa. V 5. vI. P o r c e n t a j ed e f i b r a. V. no nitrogenado Elemento. 7. ,¿. í a b r ut a Energ de materia seca Consumo. V. l4ateri a seca excretada. V¡ l. D i g e s t i b i l i d a d d e l a m a t e r i as e c a. VL 2. de ProteSna Consumo. v r.,. Proteina excretada.. l0. H a g al a s c o r r e l a c i o n e se n t r e : ( V r , V z ) ; ( V r ' V s ) ; ( V u ( V u , V u ) ;( V u , V z ) i ( V s , V o ) ; ( v r ' V r ) ; ( V o , V z ) : ( V s V r o ) ; ( V r 2 , V . r 3 )y o b t e n g ac o n c l u s i o n e s . y lo exSi se suponeque hay independenciaentre lo consumido ' c r e t a d oe l c r i t e r i o d e r e g r e s i ó nl o p r u e b a ,h a g ae n t o n c e sl a s r e g r e s i o n e s( V r o , v s . v " ) ; ( V r 3 v s . V 1 2 ) ; q r a f i q u e l a s e c u a c i o n e s e s t j m a d a ys l o s p u n t o s " o b s e r v a d o s " ..

(22) 121. j i¡qegliqieqE*qqiqi j ERqiEqqiqql{qq{qqA - sNRsssqqqiqqqqqi9:R FáHx :. =sÉ€8S3n=:!FAqsxSE ¡ ; i::"'l. ;. '; i. ^. sRS:33333iRqqqÉRER J ñ ñ *. ;. "i. >. J J ¡.. J..:. "'. :. R. É s É R s É l' : s. "5 ü ;¿. :. J :. :. :. :*:. Ñ J ;. r. t; J. r. RsRsiqsq{{qqq-qliq1. J- r¡tssRi=lRiRS=eeFÑ. RsRRxáEüq{q\iqqii: "*. ¡¡*e¡¡ÉRRddsRÑiiii s3S3SR=33C:53sgt'Ñ "i "i "i ; ; ; ; i i ; ; i "i J ; Ñ "i. .ir. :ss€ssssEqqiqqqqqq Ñ \o'o J <j t¡;"':': J J. J. J. \c \o \c \c. ":. ":. :e3xe3Ésaiqqi¡qqs.q ilñfrr;ñ;;*g;;;s3il*f; =.3S3g3SqxPxRl5€333 .D I ; ¡ J. J. J. .: .: "; ":. ¡. "i "l. d ti. "i "i. s s 3 3:3 $-$.q q q q { i q { I -q jÉsxRrlxlRsRRnR r:iS v). d). .$. n. \o. F. @. ot. c>..{Nr^$ú'!9F:n i. i. J'-l'l. :-r. 7'l. ñ. H.

(23) 122. -. P a r a l a s a n t e r i o r e s r e g r e s i o n e s : H a g ae l a n á l i s i s d e v a r i a n z a p a r a p r o b a r l a H 6 : S ¡ = 0 , H a : B t I O , r e a l i c e l a s m i s m a sp r u e b a s u s a n d oe l c r i t e r i o d e T .. 8.. L o s d a t o s q u e s e e x p r e s a na c o n t i n u a c i ó nc o r r e s p o n d ean l a. res-. p u e s t ad e l s o r g oa l a s a p l i c a c i o n e sd e n i t r ó g e n o . L o s v a l o r e s s o n tsneladasde sorgo por hectáreay kiiogramosde nitrógeno por hectárea. OBSERVAC ION I. OBSERVAC ION. 3. 2.47 2.30 ?.47. 4. ¿ -t1J. t. 3.10 3. 3 0. 6 7. ? n?. 0 n 0 0 ?5 25 25 ?5. 9 t0 t1 I¿. N fU. 3. 4 3 3.08 ? on. 15. 4.?6 4.00. lo. +. JJ. 50 qn. 9U. 100 100 100 100. U s ee l m o d e l od e r e g r e s i ó nl i n e a l y a j u s t e l o s d a t o s a u n l í nea recta. R e a l i c el a p r u e b aH o : B r = 0 v s . 8 . , I 0 , h u b or e s p u e s t aa l a a p li c a c i ó n d e 1 N ? H a g au n g r á f i c o d e l a e c u a c i ó nd e l a recta estimaday sobrepong a e n é 1 l o s r e s u l t a d o so b t e n i d o s ' . d.. C a cl u le R 2 e i n t e r p 1 6 t e l o s . Obtenga c o n c ' l u s i o n egse n e r a l e s ..

(24) t¿5. BI BLI OGRAF IA. t.. DRAPPN ER . Ry H . S m i t h . 1 9 6 6 . A p p i i e dr e g r e s s i o na n a l y s i s . tliley N.Y.. 2,. H U A NDG, S . 1 9 6 9 : R e g r e s s i o a nn d t c o n o r n e t r im c ethods. l.lileyN.Y,.

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