Una Implementación para la Construcción del Objeto Geométrico Parábola, a Partir del Trabajo con el Software de Geometría Dinámica Carmetal

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UNA IMPLEMENTACIÓN PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL OBJETO

GEOMÉTRICO PARÁBOLA, A PARTIR DEL TRABAJO CON EL SOFTWARE DE

GEOMETRÍA DINÁMICA CARMETAL

MODALIDAD PROFUNDIZACIÓN

JULIÁN HUMBERTO SANTOS TORRES

DIRECTOR:

DR. MARTÍN ACOSTA G.

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS

FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN

ÉNFASIS EN MATEMÁTICAS

BOGOTÁ

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UNA IMPLEMENTACIÓN PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL OBJETO

GEOMÉTRICO PARÁBOLA, A PARTIR DEL TRABAJO CON EL SOFTWARE DE

GEOMETRÍA DINÁMICA CARMETAL

Trabajo de profundización para optar al título de Magister en Educación de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Por Julián Humberto Santos Torres.

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Eres lo más especial de mi vida, tú nunca tendrás reemplazo alguno.

Por ti vivo, a ti te debo todo lo que soy. Estoy totalmente agradecido

a la vida de que seas mi madre y no olvides alcahueta, tú fuiste mi

primer amor. Gracias por ser mi apoyo, mi amor y mi vida entera.

Este triunfo es tuyo. Espérame en cielo, te llevaré un helado de

chocolate con chocolate. Te amo.

Martín, gracias por invitarme a compartir su tiempo, su

conocimiento y su disciplina. Lo que he aprendido de usted es

inmedible. Gracias por regalarle un nuevo camino a mi vida.

Gracias a mi familia, espero que este triunfo los llene de orgullo. Los

amo.

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RESUMEN

TÍTULO:

UNA IMPLEMENTACIÓN PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL OBJETO GEOMÉTRICO PARÁBOLA, A PARTIR DEL TRABAJO CON EL SOFTWARE DE GEOMETRÍA DINÁMICA CARMETAL.

AUTOR: SANTOS TORRES, Julián Humberto.

DESCRIPCIÓN:

Propongo implementar una Ingeniería Didáctica para definir una parábola como dos lugares geométricos: el lugar de todos los espejos que reflejan rayos paralelos sobre un punto, y el lugar de todos los puntos equidistantes de un punto y de una recta.

Se utiliza el Software de Geometría Dinámica CaRMetal para modelar un experimento con Espejos y rayos láser. Este trabajo de modelación con Software permite invalidar algunas de las estrategias de los estudiantes y presentar el análisis geométrico como un método de resolución de problemas.

Me ubico desde la Teoría de Situaciones Didácticas, pues considero que permite identificar claramente el papel de los instrumentos tecnológicos en el aprendizaje de los estudiantes, describir de manera precisa el rol del profesor y predecir el efecto que tendrán las actividades en el aprendizaje, además de permitir interpretar el Software de Geometría Dinámica como medio para la construcción matemática.

PALABRAS CLAVE:

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Tabla de contenido

Pág.

1. Planteamiento del proyecto ... 10

1.1 Problemática ... 10

1.2 Antecedentes ... 11

1.3 Preguntas de investigación ... 15

1.4 Objetivos ... 16

1.4.1 Objetivo general ... 16

1.4.2 Objetivos específicos ... 16

2. Marco teórico ... 17

2.1 El Software de Geometría Dinámica ... 17

2.2 La Teoría de las Situaciones Didácticas ... 18

2.2.1 Aprendizaje por adaptación ... 18

2.2.2 Situación a-didáctica vs situación didáctica ... 19

2.2.3 Proceso de validación ... 21

2.2.4 Proceso de devolución ... 22

2.2.5 Proceso de institucionalización ... 22

2.2.6 El tiempo didáctico ... 23

2.2.7 Efectos didácticos: efecto Topacio y efecto Jourdain ... 24

2.3 La aparición de la parábola: ¨espejos quemadores¨ ... 25

2.4 El método de análisis para la solución de problemas ... 27

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3.1 Diseño metodológico ... 28

3.2 Los instrumentos de recolección de datos ... 29

3.3 La organización y sistematización de la información ... 30

3.4 Categorías ... 31

4. Análisis a posteriori ... 36

4.1 Tarea 1 ... 37

4.1.1 Introducción de la tarea ... 38

4.1.2 Análisis de la fase a-didáctica 1 ... 38

4.1.3 Análisis de la puesta en común 1 ... 42

4.2 Tarea 2 ... 59

4.3 Tarea 3 ... 68

4.3.1 Introducción de la tarea ... 70

(7)

4.5 Conclusión del análisis ... 125

5. Conclusiones ... 127

6. Reflexiones finales ... 136

Bibliografía ... 139

Anexos ... 143

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Tabla de figuras

Pág.

Ilustración 1: diagrama de interacción entre el sujeto y el medio para producir aprendizaje por

adaptación. ... 19

Ilustración 2: diagrama de relación entre situación didáctica y situación a-didáctica. ... 21

Ilustración 3: método de Athemius para construir una superficie que refleja los rayos paralelos desde el sol a un punto dado. ... 26

Ilustración 4: lista de convenciones de la transcripción de la tarea 1. ... 37

Ilustración 5: deducción de la relación entre ángulos. ... 47

Ilustración 6: cambio de nomenclatura en la puesta en común sobre la relación de los ángulos. 55 Ilustración 7: lista de convenciones de la tarea 2. ... 59

Ilustración 8: lista de convenciones de la tarea 3 ... 69

Ilustración 9: plano con el primer rayo láser sobrepuesto sobre la primera línea y reflejado sobre los Espejos con destino de O. Análisis a priori. ... 144

Ilustración 10: hoja dinámica de la tarea 1. Análisis a priori. ... 146

Ilustración 11: estrategia 1, tarea 1. Análisis a priori. ... 147

Ilustración 13: ángulo entre el Rayo Incidente y el Espejo igual al ángulo entre el Espejo y el Rayo Reflejado. Análisis a priori. ... 149

Ilustración 14: relaciones entre los ángulos formados por el Espejo, El Rayo Reflejado y el Rayo Incidente. Análisis a priori. ... 150

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Ilustración 18: tarea 2 terminada. Análisis a priori. ... 154

Ilustración 20: suposición del Espejo 2 y el Rayo Reflejado 2. Análisis a priori. ... 156

Ilustración 21: suposición del punto O'. Análisis a priori. ... 157

Ilustración 22: suposición del segmento OO` perpendicular al Espejo 2. Análisis a priori. ... 157

Ilustración 23: Espejo 2 bisectriz del ángulo OFO'. Análisis a priori. ... 158

Ilustración 24: construcción de los 10 Espejos y los 10 Rayos Reflejados. Análisis a priori. ... 159

Ilustración 27: punto cualquiera sobre el Rayo Incidente. Análisis a priori. ... 162

Ilustración 29: posición de los puntos O'. Análisis a priori. ... 163

Ilustración 30: construcción del punto O' sobre el Rayo Incidente cualquiera. Análisis a priori. ... 164

Ilustración 31: construcción de la tarea 4. Análisis a priori. ... 164

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1. Planteamiento del proyecto

1.1 Problemática

El trabajo en el aula que he realizado, haciendo uso de las tecnologías informáticas, me ha demostrado que contar con el recurso no garantiza un mejor aprendizaje. Me cuestiono, entonces, sobre qué hace falta para que estas funcionen como un medio para contribuir al aprendizaje.

Para intentar dar respuesta a este cuestionamiento, he decidido realizar un proyecto de implementación, del cual espero retroalimentar mi práctica docente. Centro mi atención particularmente en el Software de Geometría Dinámica como la tecnología que me permitirá llevar a cabo la ejecución de estas actividades, motivado, en primera instancia, por las facilidades que presenta el Software geométrico para la construcción a partir del arrastre, la aproximación, la modelación y el diseño de figuras. Este recibe el nombre de Geometría Dinámica, porque permite realizar construcciones geométricas por medio de la manipulación directa de objetos en la pantalla y también permite la manipulación de objetos ya construidos, redibujándolos en tiempo real.

Propongo implementar una Ingeniería Didáctica para la construcción del objeto geométrico parábola, en la que se utiliza el Software CarMetal como medio, con el fin de identificar los aspectos técnicos y didácticos que contribuyen a un mejor aprendizaje. He decidido trabajar sobre la construcción del objeto geométrico parábola debido a que es frecuente que se discuta sobre las propiedades algebraicas de la parábola, más no sobre su construcción geométrica. La implementación se llevará a cabo con estudiantes de grado 9 del colegio Gimnasio de los Cerros, ubicado en la ciudad de Bogotá.

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estudiantes, porque permite también describir de manera precisa el rol del profesor y predecir el efecto que tendrán las actividades en el aprendizaje además de permitir interpretar el Software geométrico como medio para la construcción matemática.

1.2 Antecedentes

El trabajo realizado por el Dr. Martín Acosta es un referente vital en el desarrollo de este proyecto, se consideran los siguientes artículos y escritos publicados por el Dr. Acosta:

Geometría experimental con Cabri: una nueva praxeología matemática: publicado el 3 de

diciembre del 2005 en la revista Educación Matemática, de la editorial Santillana. Presenta, a partir de un estudio de geometría experimental, las dificultades que los profesores de matemáticas experimentan al momento de integrar las nuevas tecnologías en la enseñanza.

En este artículo se expone la falta de una práctica de referencia como una de las causas de esta situación. Se propone, entonces, la geometría experimental como práctica de referencia de la geometría dinámica, mediante un ejemplo de resolución de problemas.

Este documento es útil para el proyecto porque permite identificar algunas de las causas del uso equívoco de las tecnologías informáticas, cuando se desconoce la falta de una práctica misma de la matemática y la didáctica que presente el uso del Software de Geometría Dinámica como una producción válida para la construcción de objetos matemáticos.

Lugares geométricos en la solución de un problema de construcción: presentación de una

posible técnica de una praxeología de geometría dinámica: publicado en el año 2013 por la red

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Se presenta un ejemplo de resolución de un problema de construcción en el que se utiliza el Software de Geometría Dinámica para encontrar la solución y la demostración de dicha construcción. En ese proceso, se utiliza la herramienta lugar geométrico del Software. Se muestra, además, la articulación de los aspectos intuitivos y formales de la actividad matemática de resolución de problemas y el papel del Software en dichos procesos.

Este documento será útil para el desarrollo del proyecto porque se presenta una implementación de actividades que, a partir de la resolución de problemas y usando el Software de Geometría Dinámica, propone una técnica de praxeología matemática.

Situaciones a-didácticas para la enseñanza de la simetría axial utilizando Cabri como medio:

publicado en el año 2010 por la revista Integración. En el documento se presenta una actividad de una Ingeniería Didáctica que utilizó la Teoría de las Situaciones Didácticas para la creación y experimentación de situaciones a-didácticas, utilizando Cabri como medio.

El análisis a priori y a posteriori de la actividad presentada permite concluir que la interacción con el medio condujo a que los estudiantes construyeran conocimientos intuitivos relativos a la simetría axial. Este documento será útil para el desarrollo de este proyecto porque se presenta un diseño de situaciones a-didácticas para construir el objeto matemático de simetría axial, usando el Software de Geometría Dinámica Cabri, permitiendo apreciar técnicas frente al uso de Software como medio para generar aprendizaje por adaptación.

Frente a la necesidad de reflexionar sobre los posicionamientos de algunos pensadores de la didáctica francesa, especialmente de la Teoría de Situaciones Didácticas y la Ingeniería Didáctica, se consideran principalmente los textos:

La importancia de lo verdadero y lo falso en la clase de matemática, de Claire Margolinas,

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proceso de validación, lo cual conduce a la autora a realizar un intento de síntesis y de análisis en didáctica de las matemáticas. Este texto permite tener una visión global de ese campo de investigación, y entrar en una problemática particular, la de la validación.

Ingeniería Didáctica en la educación matemática, un esquema para la investigación y la

innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Un libro de Michele Artigue,

Regine Douday y Luis Moreno publicado por el grupo editorial Iberoamericana en el año 1995, en la ciudad de Bogotá. Este documento está compuesto por seis artículos cortos de los autores, donde se ponen de manifiesto las definiciones más importantes de la Ingeniería Didáctica, las fases de una Ingeniería Didáctica, el nacimiento y desarrollo de la didáctica francesa y además muchos aspectos que relacionan la educación matemática con el desarrollo de una Ingeniera Didáctica.

Iniciación al estudio de la teoría de situaciones didácticas de Guy Brousseau, traducido en

Argentina por Dilma Fregona para la editorial Zorzal en el año 2010. El texto tiene la particularidad de abordar decididamente aspectos de la teoría de las situaciones didácticas como: situaciones didácticas, situaciones a-didácticas, medio, sujeto, acción y devolución.

Frente a la necesidad de clarificar cómo se concibe el objeto matemático parábola como lugar geométrico, se abordarán algunos documentos:

El proceso de objetivación del concepto de parábola desde el uso de artefactos realizado por

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específicamente desde la Teoría de la Actividad, la Teoría de la Objetivación y las Investigaciones Matemáticas en el Aula de Clase. En este proyecto el Software jugó un papel importante en la objetivación del concepto de parábola por parte de los estudiantes, pues permitió modelar situaciones reales como el funcionamiento de una antena parabólica.

Este documento contribuye al desarrollo de este proyecto porque prioriza en la necesidad de que el estudiante produzca sentidos y significados para el concepto de parábola, desde la comprensión de fenómenos del contexto sociocultural. También porque logra relacionar el saber matemático (la parábola), con el entorno cultural y tecnológico de los estudiantes (las antenas parabólicas), llegando a definir la parábola como dos lugares geométricos, pero priorizando en la definición importante para este proyecto, el lugar de todos los rayos paralelos que se reflejan sobre un punto.

Una propuesta didáctica para abordar la parábola utilizando un procesador geométrico del

autor Luis de la Rosa, en el año 2010. En este artículo se presenta la construcción del concepto parábola como un lugar geométrico, que depende en palabras del autor únicamente de la relación de equidistancia de los puntos de la directriz y su foco; después, se lleva a los estudiantes a discutir temas adicionales como son la distancia de un punto a una recta, la mediatriz de un segmento o la construcción de un lugar geométrico utilizando un Software. Finalmente se encuentra la ecuación de la parábola en distintas posiciones con respecto a los ejes coordenados. En esta investigación se utiliza el Software de Geometría Dinámica GeoGebra para apoyar la realización de las actividades propuestas.

Enfoque didáctico para la conceptualización de la parábola como lugar geométrico

integrando Cabri Géomètre II Plus de los autores Claudia Moncayo, José Pantoja y Edinsson

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2012. Este estudio es una propuesta didáctica que acercó a los estudiantes a la comprensión del significado de parábola como lugar geométrico, mediante el diseño e implementación de una micro ingeniería basada en la integración del ambiente de geometría dinámica Cabri Géomètre II Plus. Se diseñaron cuatro situaciones que respondían a la construcción de la parábola como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto y de una recta. Esta construcción en palabras de los autores, propició el reconocimiento del carácter dinámico y de dependencia lógica de los puntos del lugar geométrico respecto del foco y de los puntos sobre la directriz.

Algebra y trigonometría del autor Michael Sullivan del año 2014 y Algebra yTrigonometría

con Geometría analítica de los autores Earl Swokowski y Jeffery Cole del año 2014. Ambos

textos definen la parábola como un grupo o colección de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto fijo que se conoce como foco de la parábola y una recta fija que se conoce como directriz. Esta definición es similar a la definición encontrada en otros textos de Geometría Analítica.

The geometry of burning-mirror in Antiquity, del autor Wilbur Knorr, de la Universidad de

Chicago del año 1983. Este estudio es un recorrido por la obra y aportes de Diocles y Anthemius al respecto de the Burning-Mirrors (espejos quemadores). En este artículo se describen cronológicamente los aportes de estos autores para discutir desde una perspectiva geométrica la leyenda de Arquímedes sobre cómo logró colocar espejos planos para captar la luz del sol y quemar por completo una flota romana que asediaba Siracusa.

1.3 Preguntas de investigación

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¿Cómo contribuye el Software de Geometría Dinámica al aprendizaje de los estudiantes del objeto geométrico parábola como lugar geométrico de los espejos que reflejan rayos paralelos en un punto?

1.4 Objetivos

1.4.1 Objetivo general

Implementar y evaluar una Ingeniería Didáctica para la enseñanza de la parábola como lugar geométrico, para estudiantes de grado noveno, en la que se utiliza el Software CarMetal como medio, con el fin de identificar los aspectos técnicos y didácticos que contribuyen a un mejor aprendizaje por parte de los estudiantes.

1.4.2 Objetivos específicos

Analizar el Software de Geometría Dinámica como un medio con el cual los estudiantes interactúan, medio que facilita un aprendizaje por adaptación.

Analizar el trabajo del profesor estudiando la relación entre los procesos de devolución y de validación para identificar intervenciones adecuadas o inadecuadas desde el punto de vista de la Teoría de Situaciones Didácticas.

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2. Marco teórico

2.1 El Software de Geometría Dinámica

Distintos autores han estudiado el uso del Software de Geometría Dinámica para la enseñanza de las matemáticas, sus ventajas y dificultades. Algunas de estas ventajas no radican únicamente en la posibilidad de realizar dibujos rápidamente.

Algunas de las ventajas son:

1. La posibilidad de visualizar las propiedades geométricas, pues aparecen como relaciones entre los objetos geométricos que permanecen invariantes cuando se someten al arrastre (Laborde, 1993).

2. La posibilidad de realizar mediciones y observaciones sobre un gran número de ejemplos (Gutierrez, 2005).

3. La posibilidad de organizar una actividad matemática en clase que enfatiza en la experimentación, el descubrimiento de propiedades geométricas, la elaboración de conjeturas y la confirmación de las mismas (Mariotti, (2002); Leung et al (2002); Marrades et al (2000); Barroso (2013)).

El uso del Software de Geometría Dinámica en la enseñanza de las matemáticas produce cambios significativos en el papel del profesor, en el conocimiento que construye el alumno y en la constitución de nuevos estilos de razonamiento (Goldenberg (1995); Laborde et al (1994); Balacheff (2000); Falcade et al (2007)). Para organizar una actividad matemática, debemos pensar en qué nuevos elementos trae la Geometría Dinámica misma. Según Acosta (2005) “para

poder enseñar matemáticas utilizando la Geometría Dinámica, primero debemos hacer

matemáticas utilizando la Geometría Dinámica” (p. 123), ya que ésta constituye un nuevo

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se desarrollan normalmente. Acosta propone una geometría experimental como la práctica de referencia de la Geometría Dinámica.

Una de las dificultades frente al uso del Software geométrico en el aula es un desequilibrio entre el punto de vista matemático y el punto de vista didáctico: al estar la Geometría Dinámica destinada para la enseñanza no se la reconoce como una herramienta legítima para hacer matemáticas (Acosta, 2005) lo que desvirtúa su potencialidad para la construcción matemática.

Otra dificultad en el uso del Software es la carencia de una orientación teórica clara que posibilite analizar lo sucedido. De allí la necesidad de que este proyecto se sustente sólidamente desde una teoría que permita identificar claramente el papel de las tecnologías informáticas en el aprendizaje de los estudiantes.

2.2 La Teoría de las Situaciones Didácticas

La Teoría de Situaciones Didácticas permite identificar el Software de Geometría Dinámica como un medio con el cual los estudiantes interactúan, recibiendo retroacciones que les permiten validar o invalidar sus acciones y desarrollar de esta manera un aprendizaje por adaptación (Acosta, 2010). Igualmente, permite analizar la relación profesor-Software-estudiante desde el punto de vista de la devolución y la institucionalización, identificando intervenciones adecuadas o inadecuadas del profesor.

2.2.1 Aprendizaje por adaptación

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Ilustración 1: diagrama de interacción entre el sujeto y el medio para producir aprendizaje por adaptación.

Según Acosta (2010):

¨El sujeto tiene una intención y realiza una acción sobre el medio. El medio reacciona a esa

acción. El sujeto interpreta esta retroacción para poder validar o invalidar su acción. Si la

acción que realizó el sujeto no alcanza lo que él quería, entonces la validación es negativa, y el

sujeto modifica su acción para poder alcanzar lo que se propone. Si la acción sí alcanzó lo que

el sujeto quería, la validación es positiva y el sujeto refuerza dicha acción¨ (p. 175).

Existe, entonces, aprendizaje por adaptación cuando el estudiante valida o invalida una acción. Los indicios de aprendizaje son: el cambio de acción cuando la validación es negativa y el refuerzo de la acción cuando la validación es positiva.

2.2.2 Situación a-didáctica vs situación didáctica

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aprendizaje por adaptación, por medio de lo que se llama una situación a-didáctica. Una situación a-didáctica es entonces aquella que privilegia la interacción del estudiante con un medio para resolver un problema. Como el medio es impersonal y no tiene ninguna intención didáctica de enseñar, se presenta una situación a-didáctica.

Según Acosta (2010), en esta figura (Véase ilustración 2):

¨La situación global es la situación didáctica, pues comprende las relaciones entre el

profesor, el alumno y el saber. El profesor desea enseñar el saber al alumno, no

comunicándoselo directamente, sino planteándole una situación a-didáctica (en el interior de la

situación didáctica), planeada para producir un aprendizaje por adaptación. Con este fin, el

profesor prepara cuidadosamente un medio con el cual el alumno podrá interactuar, y un

problema que produzca en el alumno una intención y desencadene unas acciones sobre el medio.

El producto de esa situación a-didáctica es un conocimiento: una estrategia que permite

resolver el problema. Según la Teoría de Situaciones Didácticas, el conocimiento es diferente

del saber. El conocimiento es personal y contextualizado, mientras que el saber es impersonal y

descontextualizado. Por lo tanto, una vez finalizada la situación a-didáctica, el profesor debe

explicitar las relaciones entre el conocimiento construido por el alumno gracias a la situación

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Ilustración 2: diagrama de relación entre situación didáctica y situación a-didáctica.

La Teoría de las Situaciones Didácticas propone tres procesos importantes: el proceso de validación, el proceso de devolución y el proceso de institucionalización.

2.2.3 Proceso de validación

Según (Margolinas, 2008), el elemento determinante del aprendizaje en las situaciones a-didácticas es la posibilidad de validación. El estudiante, luego de la interpretación de las retroacciones del Software, decide si su acción alcanza lo que quería; es allí cuando está en la capacidad de validar o invalidar una acción y resolver por su propia cuenta un problema.

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La validación es, entonces, el proceso principal en el aprendizaje por adaptación y le corresponde directamente al estudiante. Si el estudiante valida o invalida por las retroacciones del Software, aprende no por imitación o por autoridad, sino por adaptación.

2.2.4 Proceso de devolución

El proceso de devolución centra su mirada en las acciones del profesor durante la situación a-didáctica, examinando cómo acompaña el proceso de validación de sus estudiantes y cómo interviene para que el estudiante tenga un aprendizaje por adaptación. Toda intervención del profesor durante la situación a-didáctica que refuerce el proceso de validación del estudiante hace parte del proceso de devolución. Pero existen intervenciones que interrumpen la interacción del sujeto con el medio y por lo tanto también el proceso de validación. Estas intervenciones son inadecuadas desde el punto de vista de la Teoría de Situaciones Didácticas. En este sentido, se propone analizar en este trabajo las intervenciones adecuadas y las intervenciones no adecuadas en el proceso de devolución que tiene el profesor frente a la interacción del estudiante con el medio.

2.2.5 Proceso de institucionalización

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La institucionalización supone establecer relaciones entre las producciones de los estudiantes y el saber cultural. Cuando el estudiante termina el proceso de solución del problema, el profesor debe lograr que los estudiantes generen conclusiones a partir de su trabajo. Según Panizza (2003), el profesor ¨debe recapitular, sistematizar, ordenar, vincular lo que se produjo en

diferentes momentos del desarrollo de la secuencia-didáctica¨ (p. 15), a fin de poder establecer

relaciones entre las producciones de los estudiantes y el saber cultural. Este proceso no debe reducirse a una presentación del saber cultural en sí mismo, sino que debe establecer conexiones entre este y la experiencia personal de los estudiantes (conocimiento).

En este sentido, en este proyecto se propone analizar las intervenciones adecuadas y las intervenciones no adecuadas del profesor en el proceso de institucionalización. El lugar natural del proceso de institucionalización son los momentos que llamamos puestas en común. La puesta en común es un espacio dirigido y propuesto por el profesor donde después de una fase a-didáctica se organiza un intercambio de conocimientos con todo el grupo.

2.2.6 El tiempo didáctico

Según (Godino, 2013), el tiempo de aprendizaje puede ser definido como la duración que un estudiante requiere para lograr los objetivos de aprendizaje relativos a un contenido dado. Esta duración temporal es obviamente diferente del tiempo de enseñanza, tendrá un desfase temporal respecto de la enseñanza y será específica de cada estudiante o de cada grupo de estudiantes.

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antes de que termine la clase, se produce una distancia entre el conocimiento de los estudiantes y el saber propuesto por el profesor. Me refiero a este fenómeno como el ¨profesor hace avanzar el tiempo didáctico¨.

Para hacer avanzar el tiempo didáctico, el profesor puede tener acciones como: pedir a los estudiantes ¨buenos¨ qué enuncien la respuesta que los otros no pueden dar, no cerciorarse de que los estudiantes han alcanzado los objetivos de aprendizaje o creer por convicción que los elementos que componen el significado sistémico del objeto son entendidos y tienen sentido para el estudiante.

2.2.7 Efectos didácticos: efecto Topacio y efecto Jourdain

Brousseau estudia cuatro efectos del contrato didáctico: el efecto Topacio, el efecto Jourdain, deslizamiento metacognitivo y el uso abusivo de la analogía (Chavarría, 2006). A continuación se describen los dos primeros efectos que serán discutidos en los análisis de esta Ingeniería.

El efecto Topacio se produce cuando el profesor le da pistas al estudiante para que produzca la respuesta correcta (Brousseau, 2007). El profesor da información al estudiante para hacer más fácil la solución de la tarea y el estudiante acaba por aceptar las condiciones de esta información, sin comprender. El profesor retoma estas respuestas del estudiante en el sentido del saber, sin verificar si el estudiante le da el sentido que él esperaba que tuviera.

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2.3 La aparición de la parábola: ¨espejos quemadores¨

Las formas parabólicas están presentes en la vida cotidiana de los seres humanos en artefactos como: antenas parabólicas, espejos parabólicos y reflectores de luz. Uno de los objetivos que debería tener el currículo de matemáticas es relacionar las propiedades geométricas de la parábola con el funcionamiento de estos artefactos. Estos artefactos funcionan o bien concentrando rayos de luz u ondas en un solo punto, o bien reflejando rayos de luz u ondas desde un solo punto; sin embargo, la definición geométrica que se da a la parábola en las aulas o que se encuentra con frecuencia en los libros de Geometría, es la de un lugar de puntos que equidistan de un punto y de una recta llamada directriz. Esto hace que el concepto no se conecte con la explicación de por qué estos artefactos funcionan.

Algunos documentos han demostrado que los griegos ya se habrían pronunciado al respecto de los llamados ¨espejos quemadores¨ (Knorr, 1983), para responder al interrogante de cómo Arquímedes habría logrado disponer enormes espejos para incendiar la flota romana anclada en Siracusa durante la invasión entre el 215 y 212 A.C.

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Ilustración 3: método de Athemius para construir una superficie que refleja los rayos paralelos desde el sol a un punto dado.

Diocles fue el primero en plantear que la parábola es el lugar de todos los puntos que equidistan de un punto y de una recta y afirmaba que gracias a esa propiedad podía demostrarse que los espejos de Arquímedes tenían forma parabólica. Sin embargo, en su demostración no utiliza esa propiedad. Knorr propone el texto de Anthemius como un posible análisis que relaciona la parábola como lugar geométrico de todos los puntos que equidistan de un punto y de una recta con la disposición de espejos planos que reflejan rayos paralelos en un solo punto.

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definiciones de parábola, posibilitando la comprensión del funcionamiento de los artefactos parabólicos.

2.4 El método de análisis para la solución de problemas

Según Gergonne (como se citó en Rabu-boyé, 2009) ¨el Análisis o Método Analítico consiste en descender de las verdades más elevadas a las más elementales, con el fin de hacer ver que las

primeras se reducen en el fondo a estas¨ (p. 14). El método de análisis consiste entonces en

suponer un problema resuelto y partir de esta suposición para construir una cadena lógica que permita resolver el problema, partiendo de las verdades más elevadas para llegar a las más elementales.

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3. Marco metodológico

3.1 Diseño metodológico

La metodología escogida es la Ingeniería Didáctica. Como metodología de investigación, según (Artigue, 1995), se caracteriza en primer lugar por ser un esquema experimental basado en las realizaciones didácticas en clase, es decir, sobre el diseño, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza. En segundo lugar por la confrontación de un análisis a priori con un análisis a posteriori.

En el análisis a priori se describen con precisión las variables que se considerarán en la implementación y cómo estas variables inciden en el aprendizaje, basándose en un estudiante genérico. La intención del análisis a posteriori es buscar evidencias que sirven para confirmar o refutar esas hipótesis sobre un grupo concreto de individuos. Para el desarrollo de este proyecto el análisis recaerá sobre dos estudiantes tomados del grupo.

Para poder confrontar estos análisis la Ingeniería Didáctica propone cuatro fases: 1. Análisis preliminar.

2. Diseño y análisis a priori.

3. Experimentación y recolección de datos. 4. Análisis a posteriori.

En esta implementación no se desarrollará la fase uno: Diseño preliminar ya que ha sido desarrollada con anterioridad, además se presenta la fase dos: Diseño y análisis a priori como anexo (Ver anexo 1).

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Dentro del diseño y los análisis a priori y a posteriori se describirán cada una de las variables que pueden surgir en la implementación, estas variables estarán referidas a:

 Los tres procesos estudiados: el proceso de la validación, el proceso de devolución y el proceso de institucionalización planteadas por (Brousseau, 1998), dentro del marco de la Teoría de Situaciones Didácticas.

 El medio: que dentro del marco de la teoría de situaciones didácticas permite al estudiante aprender por adaptación y que desde una interpretación de (Acosta, 2005), puede ser imbricado con el Software de Geometría Dinámica.

3.2 Los instrumentos de recolección de datos

Se ha escogido la filmación como la técnica de recolección de información por su capacidad única para capturar fenómenos visibles objetivamente, atendiendo al hecho de que en esta investigación, el investigador es el mismo maestro que lleva a cabo la implementación de la Ingeniería Didáctica. La filmación entonces permite según (Pino, 2008) acceder a la información tantas veces como se desee, la posibilidad de paralizar o lentificar los sucesos y la precisión y sutilidad de las observaciones realizables.

La filmación permite la conservación y el estudio de datos a partir de sucesos no recurrentes, desaparecidos o raros. Además, la filmación permite la interpretación de información por parte de un par externo que puede discutir sobre las consideraciones de los datos. Esta filmación recaerá sobre:

 El trabajo de una pareja durante las fases a-didácticas.

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Por otro lado, durante el desarrollo de la experimentación el estudiante deberá recurrir a las acciones, hipótesis, conjeturas y saberes que ha construido con anterioridad, recogidos frecuentemente en textos y apuntes de clase. Esta es la razón por la cual, para este proyecto es importante analizar las muestras de trabajo de los estudiantes (muestras en el Software de Geometría Dinámica). Para esto se grabarán las figuras producidas por los estudiantes con el Software, estas figuras servirán para triangular la información con la filmación de las puestas en común y con la filmación del trabajo realizado por la pareja seleccionada.

3.3 La organización y sistematización de la información

La información fue organizada de acuerdo a los siguientes criterios:

 La tarea: una vez recogida la información se organizó según en el número de tareas propuestas en el análisis a priori (4 tareas).

 La sesión de clase: hubo algunas tareas que no fueron resueltas en una sola sesión de clase, así que como segundo criterio de organización se tuvo en cuenta dentro de cada tarea el número de sesiones de clase (cada sesión en un tiempo de 35 a 40 minutos).  La fase a-didáctica y puestas en común: como tercer criterio de organización se tuvo

en cuenta dentro de cada tarea y cada sesión de clase si la grabación se llevaba a cabo en una fase a-didáctica (trabajo de la pareja de estudiantes) o en una puesta en común (espacio de comunicación con todo el grupo).

Para lograr sistematizar la información se llevó a cabo la trascripción de los videos usando el Software ELAN 4.9.1. Esta sistematización se llevó a cabo mediante los siguientes criterios:

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 Se utilizan las siguientes claves para distinguir el tipo de intervención: () Entre paréntesis: describe las acciones de los sujetos.

[.] Entre paréntesis rectos: Hace referencia a comentarios del transcriptor. Literal: describe los cometarios de cada uno de los sujetos.

 Se discriminan cuatro columnas para la transcripción de la información: Columna 1: Número de intervención.

Columna 2: Sujeto que hace la intervención. Columna 3: Intervención.

Columna 4: Imagen que da muestra de la intervención.

Una vez realizadas las transcripciones de todas las sesiones de la Ingeniería Didáctica fueron interpretadas a la luz de las categorías de análisis, categorías que se refieren a los tres procesos planteados por (Brousseau, 1998), en la Teoría de Situaciones Didácticas y se considerará además dentro de cada una de las categorías el papel del Software y de cómo este desde la imbricación que (Acosta 2005), hace con el medio, mejora el aprendizaje de los estudiantes.

3.4 Categorías

(32)

1. PROCESO DE VALIDACIÓN.

1.1 VALIDACIÓN ADECUADA.

1.1.1 Luego de las retroacciones del software, el estudiante decide que sus acciones alcanzan lo que él quería, en este caso la validación es positiva y él refuerza dicha acción. Además el problema que resuelve es el que el profesor pretendía que él resolviera. 1.2 INVALIDACIÓN

ADECUADA.

1.2.1 Luego de la retroacción del Software, el estudiante decide que su acción no alcanza lo que él quería, entonces la validación es negativa y él modifica su acción para poder alcanzar lo que se propone. Además el problema que él resuelve es el problema que el profesor pretendía que él resolviera.

1.3 VALIDACIÓN INADECUADA.

1.3.1 Luego de las retroacciones del software, el estudiante identifica que sus acciones alcanzan lo que él quería pero lo que él quiere no cumple las condiciones para terminar una tarea. Además el problema que él resuelve no es el problema que el profesor pretendía que él resolviera.

1.4 INVALIDACIÓN INADECUADA.

1.4.1 Luego de las retroacciones del software, el estudiante identifica que su acción no alcanza lo que él quería, pero lo que él quería no era correcto para solucionar una tarea. Además el problema que él resuelve no es el problema que el profesor pretendía que él resolviera.

2. PROCESO DE

DEVOLUCIÓN.

2.1

INTERVENCIONES ADECUADAS EN LA FASE A-DIDÁCTICA.

2.1.1 Animar al estudiante: motivar al estudiante a solucionar la tarea.

2.1.2 Situar al estudiante en otro contexto: aludir a tareas anteriores para recordar conocimientos o saberes que permiten solucionar las tareas actuales.

2.1.3 Intervención sobre la Intención: interviene para negociar el problema; alude a concepciones establecidas en la actividad propia de cada tarea para que la intención corresponde al problema que se planteó.

(33)

2.1.5 Intervención para la interpretación: hacer que el estudiante tome conciencia de las retroacciones del medio.

2.1.6 Intervención para la validación: solicitar al estudiante que valide; que decida sobre el problema, absteniéndose de hacer evaluación.

2.2

INTERVENCIONES NO ADECUADAS EN LA FASE A-DIDÁCTICA.

2.2.1 Intervención sobre la Intención: interviene para imponer un problema.

2.2.2 Intervención para la acción: no hace tomar conciencia al estudiante de que él puede realizar acciones sobre el medio.

2.2.3 Intervención para la interpretación: no hace que el estudiante tome conciencia de las retroacciones del medio.

2.2.4 Intervención para la validación: no solicita al estudiante que valide; no solicita al estudiante decidir sobre el problema, en cambio entrega información sobre la solución del problema cuando el estudiante estaba en capacidad de encontrar esa información por su cuenta.

2.2.5 Afirmar: el estudiante hace una afirmación en forma de pregunta y el profesor responde esa pregunta con un sí o con un no.

2.2.6 Transmitir: desechar el conocimiento construido en la situación a-didáctica y presentar el saber lejano de dicha construcción.

2.3

INTERVENCIONES ADECUADAS EN LA PUESTA EN COMÚN.

2.3.1 Regular el comportamiento: regula el comportamiento de los estudiantes para reforzar las actitudes de escucha y respeto por la palabra.

2.3.2 Compartir: solicita al estudiante que describa su experiencia con el Software.

2.3.3 Propiciar el intercambio de conocimiento: solicita la comunicación de resultados de algunos estudiantes con el fin de que otros logren superar alguna dificultad.

(34)

tareas anteriores para poder solucionar tareas actuales.

2.3.5 Cuestionar sobre concepciones de los estudiantes: aludir a concepciones establecidas en la actividad propia de cada tarea.

2.4

INTERVENCIONES NO ADECUADAS EN LA PUESTA EN COMÚN.

2.4.1 Evaluar: el estudiante hace una afirmación en forma de pregunta y el profesor responde esa pregunta con un sí o con un no.

2.4.2 Dar respuesta directa a los cuestionamientos: entrega información sobre la solución del problema cuando el estudiante estaba en capacidad de encontrar esa información por su cuenta.

2.4.3 Efecto topacio: retoma una afirmación del estudiante en el sentido del saber sin verificar si el estudiante le da ese sentido.

2.4.4 Transmitir: desecha el conocimiento construido en la situación a-didáctica y presenta el saber lejano de dicha construcción.

2.4.5 Hacer avanzar el tiempo didáctico: pide a los estudiantes ¨buenos¨ qué enuncien la respuesta que los otros no pueden dar.

3. PROCESO DE

INSTITUCIONALIZA CIÓN.

3.1

INTERVENCIONES ADECUADAS.

3.1.1 Reformular: reformula lo que dicen los estudiantes sobre su proceso de solución, para proponerlo como un acuerdo social sobre una estrategia valida.

3.1.2 solicitar: solicitar a los estudiantes que identifiquen un saber necesario para establecer una estrategia valida.

3.1.3 Desarrollar una continuidad deductiva: desarrolla una continuidad deductiva para resolver un problema.

3.1.4 Desarrollar un acuerdo colectivo: discute el conocimiento propio de las fases a-didácticas para llegar a acuerdos colectivos con el grupo.

(35)

análisis para solucionar las tareas.

3.2

INTERVENCIONES INADECUADAS.

3.2.1 El conocimiento se ignora: se presenta el saber desvinculado del conocimiento construido por los estudiantes en las fases a-didácticas.

3.2.2 Error de interpretación: comete un error de interpretación entre lo que dice el estudiante y lo que él entiende.

3.2.3 No se desarrolla una continuidad deductiva: desecha el conocimiento propio construido en la fase a-didáctica y pierde la continuidad deductiva para institucionalizar el saber.

3.2.4 No se desarrolla un acuerdo colectivo: asume las opiniones de algunos como el acuerdo de todo el grupo.

3.2.5 No verifica la comprensión de los acuerdos: no verifica que los demás estudiantes estén entendiendo lo que él u otros estudiantes proponen.

(36)

4. Análisis a posteriori

Se presenta a continuación el análisis de los datos obtenidos. Aunque las categorías de análisis se reparten en tres clases diferentes, en la exposición se decidió privilegiar la secuencia temporal para apreciar tanto el camino recorrido por los estudiantes como el recorrido por el profesor.

Para cada una de las tareas se hace una breve descripción con una ilustración y convenciones que se usan para describir las construcciones. Luego se presenta una síntesis de los eventos observados más importantes, dentro de la cual se resaltan los indicadores de las diferentes categorías, con referencias a los extractos de transcripción que se presentan enseguida. En algunos casos se incluyen descripciones de los episodios sin un análisis, pues se considera necesario para la comprensión de la secuencia.

No se presenta un análisis de la experimentación con rayos laser y espejos ya que en esta tarea los estudiantes no interactúan con el Software de Geometría Dinámica. Cabe resaltar que todas las parejas de estudiantes lograron terminar el experimento y tenían un dibujo en una hoja de papel que sirvió como insumo para la modelación en el Software.

(37)

4.1 Tarea 1

Dado el primer Rayo Incidente y el primer Espejo, construir el primer Rayo Reflejado. El objetivo de la tarea es que tomen conciencia de que se trabaja con una imagen dinámica y que para lograr la construcción del Rayo Reflejado hay que lograr establecer una relación entre los tres objetos: Rayo Reflejado, Rayo Incidente y Espejo.

Se espera con el desarrollo de esta tarea que sea posible institucionalizar que: el ángulo entre el Rayo Incidente y el Espejo es igual al ángulo entre el Rayo Reflejado y el Espejo. Además, que el Rayo Reflejado es simétrico del Rayo Incidente con respecto al Espejo y se construye como una simetría axial. Se espera, por otra parte, que los estudiantes comprendan la importancia que para la tarea tiene el proceso de análisis como una estrategia matemática para la resolución de problemas.

Lista de convenciones (Véase ilustración 4). Punto A: punto de intersección entre el Rayo Incidente y el Espejo.

Punto B: punto de un extremo del Espejo. Punto C: punto de un extremo del Espejo.

Punto D: punto sobre el Rayo Incidente por encima de A.

Punto E: punto sobre el Rayo Incidente por encima de A.

Punto G: punto sobre el Rayo Incidente por debajo de A.

(38)

4.1.1 Introducción de la tarea

El profesor introduce la tarea (líneas 1 a 14), describiendo las figuras con las que los estudiantes deberán interactuar.

Una vez terminada la explicación de la tarea y sin preguntas al respecto, el profesor da paso al desarrollo de la tarea (línea 15). Este inicio de clase se había previsto en el análisis a priori donde se proponía que antes de empezar a desarrollar la actividad, el profesor planteara a los estudiantes interactuar con los objetos sobre la pantalla realizando desplazamientos.

1. Prof Lo primero que vamos a hacer es mover cada uno de los objetos que aparecen en la pantalla, muévalos

2. Prof En la parte de abajo de la pantalla aparecen tres pestañas

3. Prof Pestaña con el nombre de un Espejo, la otra con el nombre de dos Espejos y la otra con el nombre de diez Espejo, esas son las tareas

4. Prof ¿Alguien me puede contar que ven en la pantalla de la tarea 1? 5. Est 4 Tres puntos

6. Prof Y que parecen simular esos tres puntos 7. Prof ¿A qué se les parece esa construcción? 8. Est 5 Al Espejo

9. Prof ¿Dónde está el Espejo? 10. Est 6 Es el segmento

11. Prof Parece que ese segmento es el Espejo [hace referencia al segmento del punto O al punto de intersección entre el Rayo Incidente y el Rayo Reflejado]

12. Prof ¿Y que será la línea? [señala el Rayo Incidente ] 13. Est 5 El rayo de luz

14. Prof Entonces tengo el Espejo y el rayo de luz, cual es la primera tarea, construir el rayo que se refleja

15. Prof Es decir que vamos a construir es el rayo que aparecía luego del rebote con el Espejo, comience con su tarea

4.1.2 Análisis de la fase a-didáctica 1

(39)

parece ser el rayo que se refleja, es decir que ha validado inadecuadamente ¨profesor ya terminamos la tarea¨ (línea 20).

19. Est 2 (Selecciona la herramienta bisectriz, hace clic sobre el Rayo Incidente en la parte superior del Espejo, aparece un punto sobre el Rayo Incidente [D], luego clic sobre el punto A y luego clic en el extremo del segmento que representa el Espejo [C], aparece la bisectriz del ángulo [DAB])

20. Est 2 Profesor ya terminamos la tarea

21. Est 1 Profesor ya terminamos somos los mejores

El profesor le pide que mueva uno de los puntos sobre el Rayo Reflejado y pregunta sobre los ángulos que allí se forman para que él logre comparar el experimento con la construcción ¨¿Qué pueden observar de los ángulos que se forman cuando mueve el Espejo?¨ (línea 28); esta es una

intervención adecuada para la invalidación de la acción. El estudiante aparentemente comprende que debe existir una relación entre los ángulos que aparecían en el experimento con los ángulos que deben aparecer en la construcción tras la pregunta del profesor ¨¿Puedes comparar ese ángulo con la construcción que hiciste en la hoja de papel?¨ (línea 30). Concluimos que la intervención fue efectiva.

22. Prof ¿Cómo lo hicieron?

23. Est 2 Usamos bisectriz, colocamos un clic sobre la línea (señala el Rayo Incidente ) luego tocamos acá (señala el punto A) y luego tocamos acá (señala el punto [C])

24. Prof ¿La bisectriz que encuentra?

(40)

26. Prof ¿Puedes seleccionar la herramienta mover?, mueve el Espejo. 27. Est 2 (El estudiante mueve el punto B hacia

abajo)

28. Prof ¿Que pueden observar de los ángulos que se forman cuando mueve el Espejo? 29. Est 2 Es como un ángulo casi recto

30. Prof ¿Puedes comparar ese ángulo con la construcción que hiciste en la hoja de papel? 31. Est 2 No, ni se parecen

32. Prof (Se aleja de la pareja de estudiantes)

33. Est 1 Aquí lo que nos toca mirar es cuantos grados mide el ángulo 34. Est 1 Si eso es lo que toca

35. Est 2 Cuando la línea se cierra el ángulo se hace más pequeño 36. Est 1 Profesor ya tenemos nuestra conclusión

37. Est 1 Si sobreponemos el Espejo al rayo láser se pone un ángulo recto, pero si lo subimos el ángulo se va cerrando (el estudiante mueve el punto B en sentido anti-horario hasta sobreponer el segmento con la recta y sigue el movimiento hasta que B pasa al otro lado de la recta)

38. Prof Si tú tienes un Espejo de forma vertical, sobrepuesto con el láser, ¿es posible que se refleje formando un ángulo recto?

39. Est 2 No 40. Est 1 No

(41)

48. Est 1 (Selecciona la herramienta mediatriz, hace clic en el punto A y luego sobre el punto D, aparece la mediatriz del segmento AD)

49. Est 1 (Elimina la mediatriz)

La tercera acción del estudiante con el Software es trazar una perpendicular al Rayo Incidente por el punto A (línea 52). Luego mueve el punto B y decide borrar la perpendicular que construyó (línea 54), lo cual constituye una invalidación adecuada. Podemos concluir que ha reconocido que el Rayo Reflejado debe moverse si se mueve el Espejo, es decir ha entendido que la representación debe ser dinámica y no estática.

52. Est 1 (Selecciona la herramienta recta perpendicular hace clic sobre el Rayo Incidente y luego sobre el punto A, aparece una línea perpendicular al Rayo Incidente sobre el punto A)

53. Est 1 (Mueve el punto B, el segmento que representa el Espejo se mueve y la línea que representa el Rayo Reflejado no se mueve)

(42)

La cuarta acción del estudiante consiste en construir la perpendicular al Espejo por A (línea 55). Esta acción fue considerada en el análisis a priori. El estudiante mueve el Espejo probablemente para verificar que el Rayo Incidente también se mueve (línea 55). Luego compara los ángulos de la figura dinámica con los ángulos obtenidos en el experimento: ¨si este [ángulo entre el Espejo y el Rayo Incidente] está más cerrado, este [ángulo entre el Espejo y el Rayo Reflejado] también está más cerrado¨ (línea 57) [como en la figura dinámica el ángulo entre el Rayo Reflejado y el Espejo no cambia], el estudiante invalida adecuadamente (línea 58). El estudiante reconoce que los ángulos que se forman en la figura dinámica deben parecerse a los ángulos que ve en el dibujo.

55. Est 1 (Selecciona la herramienta perpendicular hace clic sobre el Espejo y luego sobre el punto A, aparece una línea perpendicular al Espejo sobre el punto A, mueve el punto B, el Espejo se mueve, la perpendicular también se mueve)

56. Est 1 Pero no; tampoco sirve porque pasa lo mismo

57. Est 1 (Señala el dibujo en la hoja de papel) si este está más cerrado, este también está más cerrado [probablemente se refiere a los ángulos formados por el Espejo el Rayo Incidente y el Espejo y el Rayo Reflejado]

58. Est 1 (Borra la perpendicular)

4.1.3 Análisis de la puesta en común 1

(43)

compartir lo construido en la fase a-didáctica. Se comparten tres acciones (líneas 63, 68 y 72) y tres invalidaciones como consecuencia de las retroacciones del Software y la comparación del dibujo dinámico y el resultado del experimento.

62. Prof Vamos a parar para hacer una puesta en común

63. Prof La primera estrategia de algunos fue trazar un segmento, pero ¿qué pasaba cuando se trazaba el segmento?

64. Est 3 Que el rayo no se movía 65. Prof ¿Funcionaba esta estrategia?

66. Est 3 No porque el rayo siempre se movía con el Espejo [parece hacer referencia al dibujo en la hoja de papel]

67. Prof ¿Qué otra estrategia intentaron usar algunos? 68. Est 3 Una perpendicular

69. Prof Y ¿qué pasaba con la perpendicular, funcionaba?

70. Est 7 Forma un ángulo recto, pero en el dibujo no era un ángulo recto 71. Prof No funciona la perpendicular entonces ¿cuál es el problema ahora?

72. Est 2 Espere, había otra opción, nosotros usamos bisectriz y el rayo [hace alusión al Rayo Reflejado] se movía, pero nos confundimos porque cuando apuntábamos el láser y el Espejo estaba sobrepuesto con la línea el láser reflejaba un ángulo recto

73. Prof Y ¿qué conclusión sacaron?

74. Est 2 Que eso no puede pasar en la vida real

El profesor propone a los estudiantes que observen las relaciones entre los ángulos del dibujo resultado de la experimentación. Se considera una intervención adecuada en la puesta en común cuyo fin es propiciar el intercambio de conocimiento.

76. Prof Los invito a que revisen el dibujo, que intenten encontrar relaciones entre lo que necesitan ahora, ¿Qué necesitan saber?

77. Est 2 La inclinación del Espejo

78. Prof ¿Y qué de la inclinación del Espejo? 79. Est 2 El ángulo del Espejo

80. Prof Necesitamos observar en la figura que hicieron en el papel, ¿cómo son esos ángulos? Dediquémosle unos 10 minutos a mirar qué encontramos en esos ángulos

(44)

la institucionalización del saber: aunque algunos estudiantes en el episodio anterior habían hablado de ángulos iguales o de inclinación del Espejo, el profesor pasa de largo sobre estas discusiones e impone el desarrollo de un proceso de análisis. Esta es una intervención inadecuada en la puesta en común.

86. Prof Vamos a realizar una segunda puesta en común, por favor cerramos los computadores 87. Prof Los griegos trabajaron en un método de resolución de problemas que llamaron el método

de análisis, que consistía en imaginar el problema resuelto

88. Prof Vamos a suponer que este problema está resuelto y vamos a hacer un dibujo 89. Prof Tenemos la línea que representa el rayo láser

(dibuja en el tablero una línea) y el segmento que representa el Espejo(dibuja en el tablero un segmento)

90. Prof Sabemos además que se está reflejando un rayo sobre el Espejo (dibuja en el tablero un segmento)

91. Prof Sabemos que no puede ser un segmento cualquiera por que no se movería y sabemos que no puede ser una perpendicular por que no se relaciona con el dibujo

92. Prof Entonces, como algunos grupos ya lo dijeron [en la fase a-didáctica], vamos a concentrarnos en los ángulos

El profesor propone discutir sobre qué relación deberían guardar los ángulos que se forman en la construcción (línea 93), esta se considera una intervención adecuada en la puesta en común con el fin de intercambiar conocimientos construidos en la fase a-didáctica.

(45)

94. Est 4 Este ángulo es igual a este (señala en el tablero uno de los ángulos entre el Rayo Incidente y el Espejo y el ángulo entre el Rayo Reflejado y el Espejo)

95. Est 4 Y que hay otros dos iguales (señala en el tablero el ángulo formado por el Rayo Incidente y el Rayo Reflejado y uno de los ángulos formados por el Rayo Incidente y el Espejo)

96. Prof Su compañero dice que parece ser que estos dos ángulos son iguales (señala uno de los ángulos entre el Rayo Incidente y el Espejo y el ángulo entre el Rayo Reflejado y el Espejo) ¿ustedes creen que es cierto?

97. Est 3 Eso no es cierto

98. Prof Observen sus dibujos ¿Qué podemos decir de lo que dice su compañero? (no hay respuesta a la pregunta)

Como se había previsto en el análisis a priori, luego del cuestionamiento del profesor sobre los ángulos que se forman en la construcción, los estudiantes pueden identificar relaciones entre ángulos en el dibujo y recuerdan que ¨los ángulos opuestos por el vértice deben ser iguales¨ (linea 102). Aquí termina la sesión 1 de clase.

99. Prof Tienen otra idea al respecto de los ángulos 100. Est 5 Este ángulo es igual a este (señala los ángulos

opuesto por el vértice)

101. Prof ¿Ustedes creen que eso puede ser cierto?

102. Est 3 Eso es cierto y además tienen un nombre, lo vimos el año pasado y se llaman ángulos opuestos por el vértice y son iguales

(46)

104. Est 3 Sí, eso es cierto

105. Prof Bueno, pero además de esto tenemos otra conjetura que no debemos dejar a un lado y es que los otros dos ángulos son iguales

106. Est 3 (Mide los ángulos usando un transportador )

Se da inicio a la sesión número dos para solucionar la tarea uno. El profesor invita a los estudiantes a compartir las conjeturas propuestas en la sesión anterior (línea 107), esta se considera una intervención adecuada en la puesta en común con el fin de intercambiar conocimientos discutidos en la sesión anterior.

Como se había previsto en el análisis a priori, se genera un intercambio de opiniones (líneas 115 a 122). El profesor propone discutir sobre la igualdad de los ángulos 2 y 3, hay un estudiante que asegura que los ángulos 1 y 3 no son iguales, hay otros dos que aseguran que sí son iguales; uno de ellos justifica su afirmación diciendo que los midió (línea 119) y el otro asegura que son iguales porque eso ya lo han visto (línea 122).

El profesor impone la afirmación de que son iguales sin ninguna justificación y solicita a los estudiantes usar el Software para intentar solucionar la tarea conociendo estas conjeturas (línea 123); sin embargo, el análisis no ha terminado, lo que impide que los estudiantes logren solucionar la tarea. En este episodio el profesor interviene inadecuadamente acelerando el tiempo didáctico en detrimento de la construcción de acuerdos para propiciar el desarrollo de la tarea.

107. Prof En la clase anterior ustedes propusieron unas conjeturas para imaginar el problema resuelto, ¿recuerdan cuáles eran?

(47)

109. Prof Correcto, ¿qué otra conjetura habíamos tenido en la sesión anterior? (escribe en el tablero los ángulos opuestos por el vértice)

110. Est 1 Que el ángulo formado por el Rayo Reflejado y lo que queda del otro deben también ser iguales

111. Prof Te refieres a estos dos ángulos (señala los ángulos formados por el Rayo Reflejado y Espejo y el Rayo Incidente y el Espejo, nombra estos ángulos 2 y 3 [el estudiante asiente con la cabeza])

112. Prof Pero hay algunos que aún no están seguros de tener esta conjetura, los invito a que en su hoja revisen si eso puede ser cierto o no

113. Prof Miremos en nuestro dibujo si eso puede o no ser cierto. [pasan más o menos 10 minutos] 114. Prof ¿Qué notaron en la revisión que hicieron en la hoja de papel?

115. Est 4 El ángulo 1 y 3 no son iguales [ángulo entre el Rayo Incidente y el Espejo y ángulo entre el Rayo Reflejado y el Espejo]

116. Prof ¿Alguien está en acuerdo o en desacuerdo? 117. Est 3 Estoy en desacuerdo

118. Prof ¿Por qué, que notaste? 119. Est 3 Los medimos

120. Est 5 Nosotros también los medimos y son iguales y tiene que ver con los rayos que rebotan 121. Prof ¿A qué te refieres con rayos que rebotan?

122. Est 5 Los Rayos Incidentes rebotan y el ángulo que se forma es igual, eso lo vimos [probablemente hace referencia a la clase de física]

123. Prof Bueno, supongamos que sí son iguales, los invito a que usemos el Software intentando construir el Rayo Reflejado y que se cumplan esas dos conjeturas

124. Est 1 ¿Cómo hago que sean iguales? 125. Prof ¿Cómo hacemos?

126. Est 1 (Mueve el cursor por la pantalla sin seleccionar ningún objeto) [parece leer el mensaje que aparece sobre las herramientas cuando el cursor esta sobre estas]

El profesor continúa la puesta en común, proponiendo una discusión considerada en el análisis a priori: pide a los estudiantes que deduzcan una relación entre los ángulos 2 y 3 a partir de las igualdades de los ángulos 1 y 2, 1 y 3 (Véase ilustración 5).

(48)

En el análisis a priori se esperaba que los estudiantes dedujeran que el ángulo 2 es igual al ángulo 3, y que puedieran justificarlo con la transitividad de la igualdad: como 2=1 y 1=3 entonces 2=3; además, que concluyeran que el Espejo biseca el ángulo entre el Rayo Incidente y el Rayo Reflejado. No hay evidencias de este razonamiento en los datos observados.

Un estudiante afirma la igualdad de 2 y 3 (linea 130) y el profesor se vale de su opinión para proponerla al grupo. Se considera una intervención no adecuada donde el profesor nuevamente hace avanzar el tiempo didáctico imponiedo las relaciones un estudiante ha logrado describir a los demas estudiantes del grupo.

El profesor se vale de las afirmaciones de algunos estudiantes para llegar a donde él quiere, pero no hay una discusión entre los estudiantes, generando el riesgo de que muchos no comprendan el desarrollo de la argumentación.

El profesor asume que si los estudiantes no dicen nada es porque estan de acuerdo; esto hace que en vez de obtener un acuerdo social en la clase haya una imposición disfrazada por el profesor. Esta se considera una intervención inadecuada en la puesta en común.

127. Prof Si conjeturamos que el ángulo 1 y 2 son iguales y también que el ángulo 1 y 3 son iguales ¿qué relación guardaría el ángulo 2 y el ángulo 3?

128. Est 5 Dos veces el ángulo 1 va a ser el 2 con el 3 129. Prof Y si 1 y 2 son iguales y 1 y 3 son iguales y

dices que dos veces el 1 forma el 2 con el 3 entonces ¿Qué diríamos del 2 y 3?

(49)

131. Prof ¿Están de acuerdo? [los estudiantes no reaccionan] O sea que podemos conjeturar que 2 y 3 son iguales, (escribe la conjetura en el tablero)

132. Prof Quiero que recuerden el trabajo que hicimos en el experimento 133. Prof ¿Qué podríamos decir del Espejo en el dibujo?

134. Prof Si, del Espejo

135. Est 5 Biseca el ángulo 2 y 3 porque si son iguales pues lo biseca 136. Prof ¿O sea que el Espejo es una bisectriz?

137. Est 4 Sí, el Espejo es una bisectriz porque parte por la mitad

El profesor necesita intervenir para convertir las afirmaciones que tiene (los ángulos 2 y 3 son iguales y el Espejo es la bisectriz del Rayo Incidente y el Rayo Reflejado) en la afirmación: el Rayo Reflejado es simétrico al Rayo Incidente con respecto al Espejo. Para ello trae a colación un conocimiento construido anteriormente aludiendo a tareas pasadas (línea 139 a 157). Esta es considerada una intervención adecuada con el fin de recordar conocimientos (trabajados en actividades anteriores), necesarios para solucionar la tarea.

Hubo participación de más estudiantes, siendo efectiva la intervención del profesor ya que aparentemente existió un acuerdo con respecto a la afirmación de que el Espejo es eje de simetría de los dos rayos (línea 158 a 161). Esta es una intervención adecuada en el proceso de institucionalización donde se desarrolla un acuerdo colectivo.

(50)

ninguna de las categorías de análisis consideramos que es una decisión inadecuada porque se pierde el carácter deductivo de la argumentación y por lo tanto del saber construido.

138. Prof Bueno, pero lo que necesitamos es saber cómo construir esto (señala el Rayo Reflejado)

139. Prof ¿Qué recuerdan de las actividades previas que hicimos antes de comenzar los experimentos, sobre qué estábamos hablando?

140. Prof Recordemos algo, esto era una línea (dibuja una línea en el tablero)

141. Prof Si yo dibujaba este segmento en esta posición (dibuja un segmento en el tablero)

142. Prof ¿Quién puede pasar a dibujar el simétrico de ese segmento con la línea? 143. Est 2 (Dibuja un segmento en el tablero )

144. Est 1 ¿Qué está haciendo?

(51)

147. Est 5 (Dibuja el segmento simétrico al segmento dado)

148. Prof ¿Están de acuerdo? 149. Est 4 Sí, ese sí es 150. Est 5 Sí

151. Prof ¿Qué pasaba si el segmento era más largo y tocaba el eje de simetría? (prolonga el segmento dado hasta tocar al eje de simetría)

152. Est 5 El segmento simétrico también se prolongaba

153. Prof (Prolonga el segmento simétrico hasta tocar el eje de simetría)

154. Prof ¿Se les parece a algo esa imagen? 155 Est 4 Se parece al reflejo

156. Est 4 La línea es como el Espejo y el segmento es como el rayo que se refleja, como parecido al ángulo 2 y 3

157. Prof Recuerden lo que propusieron sobre los ángulos ¿hay alguna relación entre los dos dibujo?(señala el tablero)

158. Est 5 El Espejo es como el eje de simetría 159. Prof ¿Es eje de simetría de qué?

160. Est 5 Es el eje de simetría de los rayos 161. Prof ¿Están de acuerdo? [hay silencio]