PRUEBA DE HIPÓTESIS CONCEPTOS GENERALES
Partiremos de un ejemplo, supóngase que el equipo de empaque en un proceso de producción de llenado de paquetes de cereal de 368 gramos se ajusta en forma tal que la cantidad de cereal en la caja tiene un distribución normal con una media de 368 gramos. El gerente de producción debe de enfrentar los tres siguientes temas:
1. ¿Funciona el proceso de modo que asegure que, en promedio, en cada caja se está depositando la cantidad apropiada (es decir, 368 gramos)?
2. Puesto que este proceso está sujeto a inspecciones periódicas por representantes de la Oficina local de protección a los consumidores, quienes únicamente les interesa la “falta de peso" en los productos ¿existe evidencia alguna de que la cantidad promedio podría ser inferior a los 368 gramos?
3. Una vez que se llenan las cajas, cada envase queda cerrado herméticamente. Con en la
experiencia anterior se sabe que el 0.10 de los envases no cumple con los estándares de sellado y tienen que ser reprocesados, para poder pasar la inspección. Se ha desarrollado un nuevo
Se seleccionará una muestra de 25 cajas para contestar las dos primeras preguntas. Por lo tanto para contestar cada una de estas preguntas se tiene que tomar una decisión sobre la base de la información muestral. En la primera pregunta se llegará a una de las dos conclusiones siguientes:
1).- El llenado promedio es de 368 gramos o bien.
2).- El llenado promedio no es de 368 gramos; o es inferior a los 368 gramos o excede a los 368 gramos.
Desde la perspectiva estadística de las pruebas de hipótesis, estas dos conclusiones se representarían en la forma siguiente:
(hipótesis nula)
H
o:
µ
x= 368
(hipótesis alternativa)
H
1: µ
x≠ 368
En un procedimiento de prueba de Hipótesis siempre se prueba la hipótesis nula H0, Si esta hipótesis fuera rechazada como cierta entonces se considerará cierta la hipótesis Alterna o Alternativa. H1
1) La hipótesis nula siempre se refiere a un valor especificado del parámetro de la población (µx, σx, p), no a una muestra estadística (, S, Ps).
2) La declaración de la hipótesis nula siempre contiene una igualdad (es decir, Ho: µx = 368 gramos). 3) La declaración de la hipótesis alternativa nunca contiene una igualdad (es decir, H1:µx≠368 gramos)
Se puede desarrollar la lógica en que se fundamenta el procedimiento de la prueba de hipótesis al ver cómo se puede determinar, sobre la base de una sola muestra, si el promedio de la población es o no de 368 gramos. Por ejemplo, si el promedio de la muestra es 367.6 se concluiría que aquél no ha cambiado
Puesto que este proceso está sujeto a inspecciones periódicas por representantes de la Oficina local de
protección a los consumidores, quienes únicamente les interesa le la “falta de peso" en los productos ¿existe evidencia alguna de que la cantidad promedio podría ser inferior a los 368 gramos?
Si analizamos esta segunda pregunta las hipótesis quedarían de la siguiente manera:
𝐻
0:
𝜇
𝑥=
368
Hipótesis Nula
𝐻
1:
𝜇
𝑥≤
368
Hipótesis Alterna
Otro ejemplo: Si se analiza el tiempo que tarda un vehículo en una estación de servicio, se espera que
en promedio cada vehículo tarde 6 min. si se toma una muestra de 16 vehículos y su media
muestral es de 6.5 min, ¿Es esto evidencia que los vehículos tardan mas de 6 min. en la estación?
𝐻
0:
𝜇
𝑥=
6
Hipótesis Nula
𝐻
1:
𝜇
𝑥≥
6
Finalmente podemos concluir que las hipótesis pueden ser planteadas de las tres formas siguientes:
Hipótesis Nula: Hipótesis Alterna:
𝐻
1:
𝜇
𝑥≤
𝜇
0𝐻
1:
𝜇
𝑥≥
𝜇
0Prueba de dos colas Prueba de cola
izquierda
Prueba de cola derecha
DEFINICIÓN DE ZONAS DE RECHAZO
DEFINICIÓN DE ZONAS DE RECHAZO
1
-α α/2
α/2
No Rechazo
0 Z
─Z
PRUEBA DE DOS COLAS
PRUEBA DE DOS COLAS
PRUEBA DE COLA DERECHA
PRUEBA DE COLA DERECHA
1 - α
No Rechazo α
0 Z No Rechazo 1 - α 0 ─Z α
PRUEBA DE COLA IZQUIERDA
TIPOS DE ERRORES.
Error Tipo I.- Consiste en Rechazar una H0 siendo cierta. La probabilidad de cometer este error se llama α.
Un ejemplo: que se mandara a ajustar la maquina llenadora de cajas de cereal, cuando realmente no es necesario.
Error Tipo II.- Consiste en no Rechazar una H0 siendo falsa. La probabilidad de cometer este error se llama β.
Un ejemplo: que se no mandara a ajustar la maquina llenadora de cajas de cereal, cuando realmente si es necesario.
Decisión Estadística H Situación real
0 Verdadera H0 falsa
No rechazar H0 1-α Error tipo II (β)
1. Expresar la hipótesis nula, H0.
2. Expresar la hipótesis alternativa, H1.
3. Seleccionar el nivel de significación, α.
4. Determinar la técnica estadística apropiada y la prueba estadística correspondiente a utilizar.
5. Establecer los valores críticos que dividen las regiones de rechazo y de no rechazo.
6. Determinar si la prueba estadística ha caído en la región de rechazo o en la de no rechazo.
7. Tomar la decisión estadística.
8. Expresar la decisión estadística en términos del problema.
Supóngase que el equipo de empaque en un proceso de producción de llenado de paquetes de cereal de 368 gramos se ajusta en forma tal que la cantidad de cereal en la caja tiene un distribución normal con una media de 368 gramos y una desviación
estándar de 15 gramos. Se selecciona una muestra de 25 cajas y se encuentra una media
muestral de 364.1 gramos. Se acepta como probabilidad de mandar a ajustar la máquina cuando no es necesario, de 0.05. ¿Es necesario mandar a ajustar la máquina?
Datos: µ0 =368 σx =15 n=25 α=0.05
Hipótesis: H0 : µx =368 H1 : µx ≠368
Tipo de prueba: Dos colas
Estadístico a usar: Distribución Z
Valores críticos: -1.96 +1.96
0
1-α =0
.95 α/2 =0.25
α/2 =0.2
5
-1.96 1.96
No rec hazo
Estadístico real:
Decisión:
PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA PROPORCIONES.
El concepto de prueba de hipótesis se puede usar también para probar hipótesis sobre datos cualitativos. Por ejemplo, en un estudio el gerente de control de calidad querría determinar si es probable que (con un nuevo sistema) la proporción de envases defectuosos se hubiera reducido a menos de 0.10. En términos de proporciones en lugar de porcentajes, las hipótesis nula y alternativa se pueden expresar en la forma siguiente:
Ho: p = .10 H1: p < .10
Recuerde que aunque el número de éxitos sigue una distribución binomial, si el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande (tanto np ≥ 5 Y n (1 - p) ≥ 5),la distribución normal proporciona una buena aproximación a la distribución binomial. En este caso la prueba estadística se puede expresar como:
Estadística II
𝑍
≅
𝑝
𝑠−
𝑝
√
¿ ¿ ¿ ¿
Estadística II Suponga que los resultados de una muestra de 200 envases señala que es necesario reprocesar 11. Si se selecciona un nivel de significación α de 0.05, las regiones de rechazo y de no rechazo se establecerían como se muestra en la figura y la regla de decisión sería : Rechazar H0 si Z < - 1.645; de lo contrario no se rechaza H0
P=0.10 Z=-1.64
ps=11/200 = 0.055
