1. Mediante el pago de 2.000 € al final de cada año se pretende cancelar una deuda. Si el tanto anual de valoración es el 10 % , ¿cuál será el nº de pagos a realizar si el valor de la deuda es 11.518, 05 €?.
C i V0 n
2000 0,1 11.518,05 9,00000293 11518,05
0,5759025 0,4240975 -9,00000293
2. A cierta institución se le ha concedido una renta perpetua de cuantía anual constante pospagable de 25.000 €. Se desea saber su valor inicial si se evalúa a rédito anual constante i = 0,12.
C i V0p
25000 0,12 208333,333
3. Calcular el valor inicial de una renta prepagable e inmediata de cuantía anual constante de 500 € y evaluada al tanto i = 0,13 si la duración es:
a) 100 años ; b) indefinida (perpetua).
C n i V0 V0p Diferencia
500 100 0,13 4346,13245 4346,15385 0,02139246
4. Determinar el valor en estos momentos de una renta cuya cuantía anual constante es de 1500 €, si el tipo de interés de valoración es el 5,5 % y comenzó a devengarse hace 12 años en los supuestos: a) pospagable y de 10 términos;
b) prepagable, habiendo vencido el último término hace 4 años.
0 1 2
11.518,05
n 2.000
0 1 2
...
3 25.000
0 1 2 99
500
500 500 500
) 9 1 , 1 (
) 4240975 ,
0 ) (
4240975 ,
0 ( ) 1 , 1 (
4240975 ,
0 1 , 1 1 , 1 1 5759025 ,
1 0 , 0
1 , 1 000 1 . 2 05 , 518 .
0
11
Ln n Ln
Ln Ln
n a C
V
n nn i
n
33 , 333 .
12 208 , 0
000 .
25
0
i V
pC
15385 ,
346 . 4 13 , 13 1 , 0 ) 500 1
(
13245 ,
346 . 4 13 , 13 1
, 0
13 , 1 500 1
) 1 (
0
100 0
i i V C
i a
C V
p
i n
C n i V12a V12b
1500 10 0,055 21495,886 20916,7976
5. Un club deportivo compra unos terrenos adicionales por un valor de 230.000 €, pagando 80.000 € al contado y comprometiéndose a pagar el resto en 6 pagos anuales iguales.
¿Cuál deberá ser el importe de cada pago anual si el tipo de interés pactado es el 10 % anual?.
C Entrada PVC Financiado n i
34441,1071 80.000 230.000 150.000 6 0,10 150.000,00
6. ¿Cuál es el valor de un coche por el que se piden 5.000 € al contado, más 10 anualidades de 3.000 € cada una, si se aplican intereses al 12 % anual.
Entrada C n i V0
5.000 3.000 10 0,12 21950,6691
7. ¿Cuál será el valor inicial de una finca que produce una renta de 2.500 € al principio de cada año si se evalúa a un tipo de interés del 8 % anual?.
0 1 2 10 12
1.500
0 1 2 8 12
1.500
0 1 2 6
230.000 C - 80.000
0 1 2 10
3.000
5.000 3.000 3.000
7976 , 916 . 20 055
, 055 1 , 0
1 055 , 500 1 . 1 ) 1 ( ) 1 (
886 , 495 . 21 055
, 055 1 , 0
1 055
, 500 1 . 1 ) 1 (
4 9
3 9
12
2 10
2 10
12
i i
s C V
i s
C V
i b
i a
11 , 441 . 1 34
, 0
1 , 1 000 1
. 80 000
. 80 000 . 230
6
6
C a
iC
C
67 , 950 . 12 21
, 0
12 , 1 000 1
. 3 000 . 5 000
. 3 000 . 5
10 12
, 0 10
0
a
V
C i V0p
2.500 0,08 33750
8. El valor inicial de una renta perpetua prepagable de 60.000 € anuales es 1.060.000 €.
¿Cuál es el tanto de interés anual de valoración?.
V0p C i
1.060.000 60.000 0,06 1060000
9. Para adquirir una parcela una persona A ofrece 55.000 €; B ofrece 11.000 € al contado y 8.000 € anuales durante 10 años; C ofrece 7.500 € anuales durante 15 años, verificando el primer pago al firmar el contrato. Razonar la oferta más ventajosa para el vendedor, si el tanto de interés de valoración es del 12 % anual.
V0a Entrada C n i V0b
55.000 11.000 8.000 10 0,12 56201,7842
C' n' V0c
7.500 15 57211,2617
10. Mediante la entrega de 3.500 € al final de cada año y durante 11 años se pretende
0 1 2
2.500 ...
0 1 2
1.060.000 - 60.000
10
0 1 2
8.000
11.000 8.000 8.000
0 1 2 14
7.500
750 . 33 08
, 08 1 , 0
500 . ) 2 1
0
( i
i V
pC
06 , 0 )
1 000 ( . ) 60 1
( 000
. 060 .
1 i i
i i i
C
26 , 211 . 57 12 , 12 1 , 0
12 , 1 500 1 . 7 12 , 1 500
. 7
78 , 201 . 12 56
, 0
12 , 1 000 1 . 8 000 . 11 000
. 8 000 . 11
000 . 55
15 12
, 0 15 0
10 12
, 0 10 0
0
a V
a V
V
c b a
constituir (ahorrar) un capital que permita percibir durante los 20 años siguientes una renta constante. Calcular el término de la misma si la operación se evalúa al tanto anual del 9 %.
C n i a n' V11
3.500 11 0,09 6732,83885 20 61461,0269 61461,0269
11. Un Sr. A recibe de otro Sr. B una cantidad de 5.000 € a devolver junto con sus intereses, mediante 10 entregas iguales al final de cada año. El Sr. B exige un tanto de interés que va en aumento y que es el 10 % para los 3 primeros años, el 11 % para los 3 siguientes y el 12 % para los 4 últimos años. ¿Cuál será el valor de esa anualidad constante?.
Préstamo C i i' i'' V0
5.000 834,524785 0,1 0,11 0,12 5000
12. Al objeto de que su hijo, de 14 años de edad, reciba al cumplir los 23 la suma de 10.000 €, el Sr. X desea saber la cuantía que debe entregar al final de cada año en una entidad bancaria que aplica intereses al 8,5 % anual para ese tipo de depósitos. A partir del 5º año el banco eleva el tipo de interés que aplica al 9 % anual. Se pide:
a) Anualidad que debe entregar el Sr. X; b) Nueva anualidad después de la subida del tipo de interés para obtener la misma suma de 10.000 €; c) Cuantía que podría retirar el hijo si se continuasen depositando los mismos importes hasta el final de la operación.
V23 C n i i' C'
10.000 784,237233 9 0,085 10000 0,09 752,334837
0 1 11 31
3.500 a
0 1 6 10
5.000 ··· C
12 % C
14 15 19 23
C C
C'
84 , 732 . 09 6
, 0
09 , 1 0269 1
, 461 . 61
0269 ,
461 . 09 61
, 0
1 09
, 500 1 . 3
20 09
, 0 20
11 11
a a
a a s
C
V
n i52 , 834 1
, 1 11 , 12 1 , 0
12 , 1 1 1
, 11 1 , 0
11 , 1 1 1
, 0
1 , 1 1
) ' 1 ( ) 1 ( )
1 ( 000
. 5
3 3 4
3 3 3
3 3
'' 4 3
' 3 3
C C
C C
i i
a C i
a C a
C
i i iV'23
10.000 10145,8938
13. Las personas A y B heredan una finca rústica cuyos rendimientos se estiman en 8.000 € anuales. Si la participación en la herencia es a partes iguales, se pregunta: nº de años que la persona B tardará en obtener la propiedad plena de la citada finca en el supuesto de que los herederos hayan convenido que A reciba su parte de la herencia mediante el disfrute de los rendimientos de aquella durante los n primeros años y se utilice un tanto de valoración del 8,5 % anual.
C i V0 Partición n X
8.000 0,085 94117,6471 47058,8235 8,49653457 47058,8235 4053,84903 47058,8235
14. Calcular el valor inicial de una renta pospagable de 10 términos anuales cuyos tres primeros son de cuantía 80.000 €, cada uno de los cuatro siguientes son de 120.000 €, y los restantes de 130.000 €, si el tipo de interés de valoración es del 8 % anual para los cuatro primeros años y del 10 % anual para los restantes.
C C' C'' i i' V0
80.000 120.000 130.000 0,08 0,10 692254,299
0 1 2
8.000 ...
n + 1
0 1 3
...
10 % ...
...
89 , 145 . 09 10
, 0
1 09 , 241 , 784 09
, 085 1 , 0
1 085 , 241 , 784 24
, 784 09
, 1 24
, 784
33 , 752 09 '
, 0
1 09 , '1 09 , 085 1 , 0
1 085 , ' 1
09 , 1 000
. 10
24 , 085 784
, 0
1 085 , 000 1
. 10
4 4
5 09
, 0 4 4
085 , 0 5
4 4
5 09
, 0 4 4
085 , 0 5
9 085
, 0 9
s s
C C
C s
C s
C
C C
s C
85 , 053 . 4 085
, 085 1
, 0
085 , 1 0001 . 8 000
. 8 8235 , 058 . 47
4965 , 085 8
, 0
085 , 1 0001 . 8 000
. 8 8235 , 058 . 47
8235 , 058 . 2 47 471
, 116 . 085 94 , 0
000 . 8
9 8
085 , 0 8
085 , 0
0 0
X X
a
n a
Parte V i
V C
n n
p p
3 , 254 . 692 08
, 1 1 , 1 000
. 130
08 , 1 1 , 1 000
. 120 000
. 80
4 3
1 , 0 3
4 1
, 0 4 08
, 0 3 0
a
a a
V
15. Calcular el valor inicial de los ingresos que percibirá una empresa en los próximos 6 años sabiendo que la producción del primer año se valora en 1.000.000 € y que será incrementada cada año sobre la anterior en 200.000 €, si para la valoración se utiliza un tanto de interés anual del 10 %.
C d n i V0
1.000.000 200.000 6 0,1 6292094,94
16. Un industrial adquiere una máquina comprometiéndose a pagarla en 10 años, en la forma siguiente: al final del primer año 15.000 €, al final del segundo año 17.000 €, al final del tercer año 19.000 €, y así sucesivamente hasta 33.000 € al final del décimo año. Si el tipo de interés pactado es el 14 % anual, ¿cuál es el valor de la máquina al contado?.
C d n i V0
15.000 2.000 10 0,14 114222,843
17. Valorar, en el momento actual, la corriente de ingresos que percibirá un determinado trabajador durante los próximos 8 años sabiendo que su sueldo actual es de 8.000 € anuales y que se prevé un aumento anual acumulativo del 10 %, si se utiliza un tanto de interés anual del 12 %.
C q n i V0
8.000 1,1 8 0,12 53696,1728
3
0 1 2
1.400.000
6 1.000.000
3
0 1 2
33.000
10 19.000
3
0 1 2
8.000 · 1,17
8 8.000 · 1,12
8.000 8.000 · 1,1
94 , 094 . 292 . 1 6
, 0
6 000 . 200 1
, 0
1 , 1 1
6 000 . 1 200
, 0
000 . 000 200
. 000 . 1
6 0
i
n a d
n i d
C d
V
n i84 , 222 . 14 114
, 0
10 000 . 2 14
, 0
14 , 1 1
10 000 . 14 2
, 0
000 . 000 2 . 15
10 0
i
n a d
n i d
C d
V
n i17 , 696 . 1 53
, 1 12 , 1
12 , 1 1 , 1 000 1 . 1 8
) 1 (
1
8 80
q i
i C q
V
n n
18. Cierta persona ingresa en un Banco al principio de cierto año la cantidad de 1.000 € y en la misma fecha de cada año de los siguientes impone una cantidad que es un 10 % superior que la del año anterior. ¿Qué cantidad reunirá al cabo de 8 años de efectuar la primera imposición si la entidad capitaliza al tanto de interés anual del 5 %?.
C q n i V8
1.000 1,1 8 0,05 13988,8007
19. A un tanto efectivo anual del 9 % hallar los valores de las siguientes rentas:
a) Diferida dos años, prepagable, de cuantía trimestral 5.000 € y duración 5 años.
b) Inmediata, pospagable, de 15.000 € semestrales y perpetua.
i i(4) i(2) C n C'
0,09 0,02177818 0,04403065 5.000 5 15.000
V0 V'0
69120,2352 340671,775
20. Una finca proporciona unos ingresos anuales de 50.000 € y los gastos de conservación son el 20 % de los ingresos. Si los beneficios líquidos se imponen en una entidad bancaria durante 10 años y esta entidad abona unos intereses anuales del 8 %, ¿cuál es la
mensualidad de renta que es posible percibir con el montante constituido durante los siguientes 15 años?.
0 1 2
1.000 · 1,17
8 1.000 · 1,12
1.000
0 8/4 10/4
5.000
27/4 5.000
0 1/2 2/2
15.000
3/2 15.000
0 1 2 10
40.000
40.000 40.000
0 1/12 2/12 180/12
m m
m
8 , 988 . 13 05 , 1 1 , 1 05 , 1
1 , 1 05 , 000 1 . 1 ) 1 1 (
) 1
(
8 88
i
q i
q C i
V
n n
78 , 671 . 04403065 340
, 0
000 . 15 )
2 ' (
24 , 120 . 69 02177818
, 02177818 1 ,
0
02177818 ,
1 000 1 . 5 )) 4 ( 1 ) (
4 (
)) 4 ( 1 ( 1
0
7 20
7 20
0
i V C
i i C i
V
C n i i(12) n' V10 m
40.000 10 0,08 0,00643403 15 579462,499 5444,66448
579462,499
21. Calcular, en base al 5,5 % de interés semestral el precio al que debe venderse una finca cuyos ingresos y gastos son los siguientes:
*Alquileres: 22.500 € mensuales prepagables.
*Gastos generales: 12.000 € al final de cada trimestre.
*Contribuciones: 22.000 € semestrales pospagables.
C m C' m' C'' m'' i(2)
22.500 12 12.000 4 22.000 2 0,055
i(4) i(12) V01 V02 V03 Precio
0,02713193 0,00896339 2532709,88 442283,33 400000 1690426,55
22. En una línea de ferrocarril existe un paso a nivel que tiene que ser guardado por vigilantes cuyo salario asciende a 3.000 € mensuales.
La construcción de un puente en dicho paso a nivel asciende a 250.000 € y tiene que ser reemplazado cada 50 años. Además el coste anual de mantenimiento asciende a 3.000 €.
Estudiar si interesa a la compañía la construcción del puente si el tipo de interés anual de valoración es el 12 %.
0 1/12 2/12
22.500 22.500 22.500
0 1/4 2/4 3/4
12.000
0 1/2 2/2 3/2
22.000
12.000 12.000
22.000 22.000
3.000
66 , 444 . 00643403 5
, 0
00643403 ,
1 499 1
, 462 . 579
499 , 462 . 08 579
, 0
1 08 , 000 1 . 40
180 )
12 ( 180
10 10
10
m m
a m s
C V
i i
55 , 426 . 690 . 1 Pr
000 . 055 400
, 0
000 . 22 )
2 (
' '
33 , 283 . 02713193 442
, 0
000 . 12 )
4 (
'
88 , 709 . 532 . 2 00896339 ,
00896339 1 ,
0
500 . )) 22
12 ( 1 ) ( 12 (
00896339 ,
0 1 055 , 1 1 )) 2 ( 1 ( ) 12 (
02713193 ,
0 1 055 , 1 1 )) 2 ( 1 ( ) 4 ( 055
, 0 ) 2 (
3 0 2 0 1 0 3
0 2 0
1 0
6 1 6
1
2 1 2
1
V V
V ecio
i V C
i V C
i i V C
i i
i i
i
C n m i i(12) C'
3.000 50 12 0,12 0,00948879 250.000
V01 V02
315068,468 274913,495
Por tanto desde el punto de vista de los costes interesa construir el puente y su mantenimiento durante 50 años.
23. Se ha adquirido un piso en las siguientes condiciones:
a) 50.000 € a la firma del contrato
b) 4.000 € trimestrales durante 3 años, pagando el primer plazo a los tres meses de contratar.
c) 20.000 € año y medio después de la firma, fecha en que se producirá la entrega de llaves.
d) 1.000 € mensuales durante 5 años, pagando la primera mensualidad un mes después de satisfacer el último pago trimestral.
Determinar el precio de venta al contado de la vivienda si el tipo de interés aplicado es el 8 % anual.
C C' C'' C''' i i(4) i(12)
50.000 4.000 20.000 1.000 0,08 0,01942655 0,00643403
V0
149679,904
24. Calcular el valor actual de una renta trienal de 200.000 €, cuyo primer plazo se cobra dentro de un año, el segundo dentro de cuatro años, etc., siendo el tipo de interés del 8 % anual, en los supuestos:
a) La renta comprende 10 pagos; b) La renta es perpetua.
0 1/12 2/12 600/12
3.000 3.000
0 1 2 50
3.000
0 1/4 2/4 12/4
20.000 + 4.000
36/12 37/12 38/12 96/12
1.000
495 , 913 . 12 274
, 0
12 , 1 0001 . 3 000 . 250 000
. 3 000 . 250
468 , 068 . 00948879 315
, 0
00948879 ,
1 0001 . 3
50 50
2 0
600 )
12 ( 600 1
0
i i
a V
a C V
904 , 679 . 149
08 , 00643403 1 ,
0
00643403 ,
1 000 1 . 1 01942655 ,
1 000 . 01942655 20
, 0
01942655 ,
1 000 1 . 4 000 . 50
) 1 ( 000
. 1 )) 4 ( 1 ( 000 . 20 000
. 4 000 . 50
3 60 6
12
3 )
12 ( 60 6
) 4 ( 12 0
i a i
a
V i i
C i i(1/3) n V0 V0p
200.000 0,08 0,259712 10 808962,45 898225,727
25. Una finca tiene un valor estimado de 600.000 €, pero está gravada con un censo que se paga cada dos años, por un importe de 2.000 €. Si el próximo censo vence dentro de dos años, ¿cuál es el valor neto de la finca suponiendo un tipo de interés anual del 6 %?.
C C' i i(1/2) V0p Valor neto
600.000 2.000 0,06 0,1236 16181,2298 583.818,77
26. Se compra un automóvil cuyo precio de venta al contado es de 35.000 €, con la siguiente forma de pago: mediante mensualidades pospagables constantes de cuantía a durante 4 años salvo al final de los meses de junio y diciembre en los que la cuota tendrá doble cuantía (2 a). Si se pacta un tanto nominal anual del 12 % capitalizable
mensualmente. Calcular las cuantías de las cuotas mensuales.
Co n m j(12) i(12) i(2)
35.000 4 12 0,12 0,01 0,06152015
7
0 1 4 28
200.000 200.000 200.000 200.000
0 2 4 6
2.000 2.000 2.000
48/12
0 1/12 13/12
a 2 a 2 a a a 2 a
11/12 7/12
727 , 225 . 898 08
, 259712 1 ,
0
000 . ) 200
1 ( 3 ) ( 1
45 , 962 . 808 08
, 259712 1 ,
0
259712 ,
1 000 1 . 200 )
1 ( 000
. 200
259712 ,
0 1 08 , 1 1 ) 1 ( 3 ) ( 1 08 , 0
2 2
0
2 10 2
3) (1 0 10
3 3
i i
V C
i a
V
i i
i
p
i
77 , 818 . 583 2298 , 181 . 16 000 . 600 . . 2298 , 181 . 1236 16 , 0
000 . 2 2 ) ( 1
'
1236 , 0 1 06 , 1 1 ) 1 ( 2 ) ( 1 06 , 0
0
2 2
N V i
V C
i i
i
p
06152015 ,
0 1 01 , 1 1 )) 12 ( 1 ( ) 2 ( 01 , 12 0
) 12 ) (
12 ( 12 , 0 ) 12
( j i i 6 6
i j
a
792,813673 35000
27. Un estudiante alquila un piso debiendo pagar al principio de cada mes, desde Octubre a Junio 500 €. Si la carrera que va a cursar tiene 4 años de duración, ¿ qué cantidad deberá desembolsar al principio del primer curso para pagar anticipadamente los alquileres de los 4 años en una entidad que aplica un tanto de interés del 5 % anual.
C n m i i(12) V0 V01
500 4 12 0,05 0,00407412 16485,2415 4427,65063
0 1Oct 1º
1/12 1 Nov
500
44/12 1 Jun 4º 500 500
12/12 1 Oct 2º
20/12 1 Jun 2º
500 500
4.427,65 (cada 1 octubre para pagar el curso) 81
, 792
06152015 ,
0
06152015 ,
1 1 01
, 0
01 , 1 000 1
. 35
8 48
) 2 ( 8 )
12 ( 48
a
a a
a a a
a i i
24 , 485 . 16
05 , 05 1
, 0
05 , 1 00407412 1
, 00407412 1
, 0
00407412 ,
1 500 1
) 1
( ))
12 ( 1
( 500
4 9
4 )
12 ( 9 0
