Estabilidad
Sea un sistema dinámico, autónomo y estacionario lineal o no lineal ,
dxa(t)
dt = F (xa(t))
con xa como vector de estado. Un punto se dice de equilibrio si dxa(t)
dt = F (c) = 0. Para saber si éste punto xa = c es estable, se hace una transformación de coordenadas: x = xa − c llevando a,
dx
dt = F (x) con F (0) = 0
Consideremos
1. El dominio de aplicación R o hiperesfera R siendo R real, positivo y finito, tal que
||x|| < R ||x|| = q
Estabilidad
2. El dominio de los orígenes de trayectorias o hiperesfera δ. 3. La región de trayectorias estables o hiperesfera ǫ
δ ≤ ǫ < R
Definiciones (En el sentido de Lyapunov)
Las siguientes definiciones se dan para el sistema en el punto de equilibrio x = 0
(origen).
• Estable . Si ∀ǫ > 0, ∃δ > 0/ trayectoria con inicio x0 ∈ hiperesfera δ y ||x|| < ǫ ∀t ≥ 0. • Asintóticamente estable . Si ∀ǫ > 0, ∃δ > 0/
trayectoria con inicio x0 ∈ hiperesfera δ y
x(t) → 0 cuando t → ∞.
Estabilidad
Estabilidad exponencial. Si ∀ǫ > 0 ∃ δ, α, λ > 0/ la trayectoria converge al
origen más rápido que una función exponencial.
∀t > 0, ||x(t)|| ≤ α||x(0)||e−λt
• La estabilidad exponencial implica estabilidad asintótica. • La estabilidad asintótica no implica estabilidad exponencial. Ejemplo: ˙x = −x2, x(0) = 1. Tiene por solución x = 1+t1 .
Estabilidad global. Si la estabilidad asintótica se mantiene para cualquier punto
Estabilidad de trayectorias
• En este caso la estabilidad se define en términos de la desviación respecto a una trayectoria determinada al perturbar el sistema.
• Considere una trayectoria determinada xf(t) del sistema,
˙x(t) = f (x, u, t) para la entrada u(t)
y otras trayectorias x(t) cercanas a xf(t) con la misma entrada u(t).
x1 x2 xf(t0) xf(t) x(t0) x(t) ∆x
El problema de estabilidad consiste en in-vestigar la estabilidad de
∆x(t) = x(t) − xf(t)
∆ ˙x(t) = f (xf + ∆x, u, t) − f (xf, u, t)
= g(∆x, t) con g(0, t) = 0
Estabilidad de trayectorias
El problema es equivalente a investigar la estabilidad del sistema equivalente (cambiando F por g y x por ∆x):
dx
dt = F (x, t), F (0, t) = 0
Métodos de Lyapunov
• El mátodo de Lyapunov analiza la estabilidad de un sistema (L. o N.L.), sin resolver las ecuaciones.
• Se basa en las propiedades de una función V (x) ( función de Lyapunov ) de los estados del sistema.
• Solamente si la función V (x) cumple ciertas condiciones es válida como función de Lyapunov.
• V (x) en algunos casos se puede asimilar a un nivel de energía.
Métodos de Lyapunov
Resolviendo se obtiene la ecuación que define las trayectorias del sistema en el plano de fases, donde el punto de equilibrio es (0, 0).
mx 2 2 2 + k x21 2 = C − bx2x1
Donde C es una constante dependiente de las condiciones iniciales.
• Puede verse que las trayectorias son elípticas alrededor del punto de equilibrio.
• ¿El punto de equilibrio es un vértice o es un foco?. En otras palabras, ¿las trayectorias convergen al punto de equilibrio?.
Esta respuesta está ligada al concepto de energía. Para el sistema en cuestión: Energía = Energía cinética + Energía potencial.
Métodos de Lyapunov
Para valores constantes de E(x) se obtienen curvas de equi-energía correspondientes a círculos concéntricos en el plano de fases.
• Si no existiese amortiguamiento (b = 0), la energía aplicada en t = 0 se conservaría en el sistema ya que no existiría disipación. En tal caso las trayectorias del sistema se mantendrían en un único nivel de energía (vértice en el origen).
• Como consecuencia del amortiguamiento, existe energía que se disipa y las trayectorias van pasando por curvas de equi-energía de menor nivel hasta llegar al punto de equilibrio (foco en el origen).
Métodos de Lyapunov
Generalizando,• Las funciones de Lyapunov corresponden a hiper-esferas de radio V (x), de contornos cerrados, todas diferentes, centradas en el origen y que no se
intersectan.
• Si una trayectoria cruza las hiper-esferas de fuera hacia dentro, la trayectoria converge al origen.
Funciones escalares
Para V (x) una función escalar invariante en el tiempo, y S una región acotada y cerrada en el espacio x que contiene al origen, si ∀x x ∈ S se cumple,
Teoremas de Lyapunov
Teorema 2a: El punto de equilibrio x = 0 del sistema ˙x = f (x) (1), es estable
en la región S al rededor del origen si: • ∃ V (x) definida positiva en S.
• V (x)˙ es semi definida negativa en S respecto a las soluciones de (1).
Teorema 2b: El punto de equilibrio x = 0 es asintóticamente estable en la región S al rededor del origen si:
• ∃ V (x) definida positiva en S.
• V (x)˙ es definida negativa en S respecto a las soluciones de (1).
• T2b es más restrictivo que T2a: V (x) = 0˙ no se permite en x 6= 0. Esto implica que ninguna trayectoria puede quedar "pegada” en una
hiper-superficie V (x) = constante: toda trayectoria tiende al origen en
V (0) = 0.
Justificación del T. Lyapunov
1. Se elige k = ctte > 0 tal que V (x) = k esté dentro de la hiper-esfera de radio ǫ.
2. Se elige δ > 0 tal que
• hiper-esfera de radio δ esté contenida en h. radio k.
• V (x0) < k ∀ x0 ∈ h. δ. 3. Como
• V (x), a lo largo de una trayectoria del sistema, o decrece continuamente o llega a un valor constante (dVdt = 0), y • V (x0) < k 0 δ ε V(x)=k Trayectoria x0
Comentarios a los T. Lyapunov
Los T. de Lyapunov solo dan condiciones suficientes de estabilidad y no condiciones necesarias.
• Una determinada F. L. puede ser muy fuerte (más de lo necesario) para determinar la estabilidad. Una F.L. será tanto más afinada cuanto más se aproxime a la condición necesaria (en sistemas lineales es posible encontrar F.L. que den condiciones necesarias pero no es así en SNL.).
Metodología
Si V (x) tiene derivadas parciales, esto es, existe el vector gradiente:
∆V (x) = ∂V (x) ∂x1 .. . ∂V (x) ∂xn
Entonces la derivada en el tiempo V (x) =˙ dVdt(x) a lo largo de cualquier trayectoria del sistema,
Metodología
x3 x2 x1 V(x) = ctte F(x) ∆ V(x) ( perp. a superficie ) Trayectoria V(x) ˙ V (x) es la proyección de ˙x(t) sobre el vector gradiente.Siempre ha de ser negativa (o nula) pa-ra que el sistema sea estable.
Metodología
dV (x) dt = −2x1 − x2, −2x1 − 3x2 2x1 2x2 = −4x21 − 6x1x2 − 6x22 = − 2x1 + 32x22 − 15 2 x 2 2 < 0 ∀x1, ∀x2Metodología
∆V (x) = 2x1 2x2 ˙ V (x) = 2x1 − 3x2, 6x1 − 4x2 2x1 2x2 = 4x21 + 6x1x2 − 8x22No unicidad de las F.L.
Para un mismo sistema se pueden encontrar diferentes funciopnes de Lyapunov. Considere por ejemplo V (x) una F.L. para un sistema. Entonces,
V1(x) = ρV α(x) α ∈ R, α > 1 ρ ∈ R, ρ > 0
también es una F.L. ya que
• Si V (x) es D.P. → V1(x) D.P.
• Si (− ˙V (x)) D.P. (S.D.P.) → (− ˙V1(x)) D.P. (S.D.P.) Aparte, algunas F.L. dan resultados más precisos que otros,
xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx M Mg R θ R cos(θ) R (1-cos(θ)) θ M R2θ = −k ˙θ − M gR sin θ¨
o en versión simplificada, θ + ˙θ + sin θ = 0¨
No unicidad de las F.L.
La energía almacenada en el sistema puede calcularse como E(θ) = Energía Cinética + Energía Potencial, = 12M R2 + M gR(1 − cos θ).
1. Eligiendo V (x) = C1 E. potencial + C2 E. Cinética,
V (x) = (1 − cos θ) + ˙θ
2
2 ˙
V (x) = ˙θ sin θ + ˙θ¨θ = − ˙θ2 = −x22 ≤ 0 (S.D.N)
Y por tanto el sistema es estable en el origen.
2. Eligiendo V (x) no estrictamente una función de la energía,
V (x) = 2(1 − cos θ) + ˙θ 2 2 + 1 2( ˙θ + θ) 2 ˙ V (x) = −(x22 + x1 sin x1) ≤ 0 (D.N)
Propiedades de matrices
Siendo M una matriz cuadrada (m × m),• Si M = MT (∀i, j M
ij = Mji), se dice matriz simétrica. • Si M = −MT (∀i, j M
ij = −Mji), se dice matriz antisimétrica.
1. Cualquier matriz cuadrada equivale a la suma de una M.S. y una M.AS.
M = M + M T 2 | {z } M.S. + M − M T 2 | {z } M.AS.
2. La función cuadrática xTM x asociada a una M.AS. es siempre cero .
xTM x = −xT MTx = (−xTMTx)T (escalar) = −xT M x → ∀ x, xT M x = 0
Propiedades de matrices
Matrices definidas positivas: Una matriz cuadrada (m × m) es D.P. si,
∀ x 6= 0 → xT M x > 0
La matriz M es D.P. si la función cuadrática xTM x es D.P.
T. de Sylvester:
Una C.N.S. para que M, simétrica, sea D.P. es:
• Todos sus menores principales sean positivos
• Equivalentemente, todos sus valores propios sean positivos
Matriz semi definida positiva: Una matriz cuadrada (m × m) es S.D.P. si,
Aplicación a sistemas lineales
Sea un sistema lineal ˙x = Ax, probemos como F.L. V (x) = xTQx.
˙ V (x) = ˙xTQx + xT Q ˙x = xTATQx + xT QAx = xT{ATQ + QA | {z } P }x = xTP x
Se define a P = ATQ + QA como ecuación de Lyapunov. La estabilidad asin-tótica del sistema lineal está asegurada si siendo P una matriz simétrica definida negativa , se puede encontrar Q una matriz simétrica definida positiva (solución de la E.L). Este es un problema equivalente a resolver un sistema de m(m+1)2 ecuaciones con m(m+1)2 incógnitas.
Teorema: Si λ1, λ2, . . . , λm son autovalores de A, • Q es definida positiva si Re{λi} < 0 ∀λi de A. • Q es definida negativa si Re{λi} > 0 ∀λi de A.
Aplicación a sistemas lineales
Teorema:
Q tiene solución única si y solo si λi + λj 6= 0 ∀i, j = 1, 2, . . . m
Ejemplo: Sea A = 0 1 −2 −3 (λ1 = −2, λ2 = −1). Sea P = −I y Q = a b b c P = AT Q + QA −1 0 0 −1 = 0 −2 1 −3 a b b c + a b b c 0 1 −2 −3
Obteniendo, a = 54, b = 14 y a = 14. La función de Lyapunov es entonces:
V (x) = 1 4{5x 2 1 + 2x1x2 + x22} = 1 4{4x 2 1 + (x1 + x2)2}
Aplicación a S.N.L. (T. Krasovskii)
Sea el sistema, ˙x = dxdt = f (x) con f (0) = 0, P.E., definiendo el jacobiano,
Aj = ∂f1 ∂x1 . . . ∂f1 ∂xm .. . ... ∂fn ∂x1 . . . ∂fn ∂xn (fidiferenciable)
Se prueba la F.L. V (x) = f (x)T Y f (x) con Y simétrica D.P. Ya que
∂f(x) ∂t = ∂f(x) ∂x dx dt = Ajf (x), dV dt = ∂f (x)T ∂t Y f (x) + f (x) TY df (x) dt = f (x)T(ATj Y + Y Aj | {z } W )f (x) = f (x)T W f (x)
Aplicación a S.N.L. (T. Krasovskii)
Considere el sistema de la figura cuyo controlador posee ganan-cia k(x) = 0,5 + x2. e=x + + 0 k(x) u 1 ---1 + s x Control Planta
El sistema se describe notando, x = 1+su = k1+s(x)x = (0,5+x 2
)x 1+s
x + ˙x = 0,5x + x3 → ˙x = −0,5x + x3 = x(x2 − 1 2)
Puede verse que solo si x2 < 12 la derivada del error lleva a x al punto de
equilibrio x = 0 y en caso contrario la hace alejar de él. Con el T. Krasovskii,
Conjuntos invariantes (La Salle)
Un conjunto G es un conjunto invariante para un sistema dinámico si cada trayectoria del sistema que inicia desde un punto en G permanece en G para todo tiempo futuro.
Teorema: Conjunto invariante local
Considere el sistema autónomo ˙x =
f (x) con f continua, y sea V (x) una función escalar con primeras derivadas parciales continuas. Asuma que,
• Para algún c > 0 la región Ωc
definida por V (x) < c es limitada. • V (x) ≤ 0˙ para todo x en Ωc
Aplicaciones del T.C.I.L.
Para el sistema del péndulo, se mostró que la F.L. V (x) = (1 − cos x1) + x22
2 se
obtiene V (x) = −x˙ 22 que es S.D.P.. Luego, con esta F.L. solo puede concluirse la estabilidad del punto (0, 0).
• El conjunto R está definido por ˙θ = x2 = 0, todo el eje horizontal del plano (x1, x2).
• Considérese una región Ωc tal que −π < x1 < π, entonces M se reduce a un único punto: {(0, 0)} (x¨1 = −x2 − sin (x1)).
Corolario del T.C.I.
Considere el sistema autónomo ˙x = f (x), con f continua, y sea V (x) una
función escalar con derivadas parciales continuas. Asuma que en cierta
ve-cindad Ω del origen,
• V (x) es localmente definida positiva. • V (x)˙ es semi definida negativa.
• El conjunto R definido por V (x) = 0˙ no contiene otras trayectorias de
˙x = f (x), excepto la trayectoria trivial x = 0.
Entonces el punto de equilibrio 0 es asintóticamente estable. Además, la re-gión conectada más grande de la forma Ωc definida por V (x) < c dentro de
Ω, es un dominio de atracción del punto de equilibrio.
T.C.I. Global
• El corolario es de gran importancia por que permite reemplazar la
condición sobre V (x)˙ en el teorema de estabilidad asintótica de Lyapunov, por una condición de V˙ S.D.P. junto con una tercera condición sobre R.
• La región conectada más grande de la forma ΩC dentro de Ω es un dominio de atracción para el punto de equilibrio, pero no necesariamente el dominio de atracción completo ya que V no es única.
Generalizando se obtiene,
Considere el sistema autónomo ˙x = f (x), con f continua, y sea V (x) una función escalar con derivadas parciales continuas. Asuma que,
• V (x) → ∞ cuando ||x|| → ∞.
• V (x) ≤ 0˙ sobre todo el espacio de estado.
Método del gradiente variable
Es un método para construir funciones de Lyapunov. Sea V (x) una función escalar de x y g(x) = (∂V /∂x)T . Entonces ˙ V (x) = ∂V ∂x f (x) = g T (x)f (x)
Se desea encontrar g(x) tal que sea el gradiente de una función definida positiva
V (x) y tal que V (x)˙ sea definida negativa. • La Jacobiana [∂g(x)
∂x ] debe ser simétrica (V escalar), es decir ∂gi
∂xj =
∂gj
∂xi ∀i, j = 1, 2, ..., n.
Método del gradiente variable
Como la condición ∂gi
∂xj =
∂gj
∂xi debe cumplirse, la integral es independiente del camino elegido. Una opción es integrar a lo largo de caminos paralelos a cada eje:
V (x) = Z x1 0 g1(y1, 0, . . . , 0)dy1 + Z x1 0 g2(x1, y2, . . . , 0)dy2 + . . . + Z xn 0 gn(x1, x2, ..., yn)dyn
Ejemplo: Encontrar una F.L. para el sistema
˙x1 = −2x1
˙x2 = −2x2 + 2x1x22
Método del gradiente variable
2. Con la condición de simetría,∂g1 ∂x2 = ∂g2 ∂x1 a12 + x2∂a12 ∂x2 = a21 + x1 ∂a21 ∂x1 3. Escogiendo a11 = a22 = 1 y a12 = a21 = 0 se obtiene, g1(x) = x1 y g2(x) = x2. Luego V = ∇V ˙x = −2x˙ 21 − 2x22(1 − x1x2). Luego V˙ es localmente D.N. en la región (1 − x1x2) > 0. 4. V (x) = R x1 0 y1dy1 + R x2 0 x2dx2 = x2 1+x 2 2 2 y es D.P.
Estabilidad de S.N.L. (dominio de f.)
• No se hacen aproximaciones.• Se analiza solo estabilidad (No existencia de C.L.). • Solo dan condiciones suficientes.
Criterio de Popov: u(t) e N(e) N G(s) + -e N(e) Pendiente K1 Pendiente K2 0 < N(e)/e < K Condiciones,
• G(s): S.L. invariante en t, causal, dimensión finita, estrictamente estable. • Entradas u(t): Acotadas, uniformemente continua, cuadrado integrables en
Estabilidad de S.N.L. (dominio de f.)
• Sistema no lineal N (e): Invariante en t, sin memoria, función continua de
e. Pendiente dNde(e) acotada dentro del sector [0, k]. Criterio de Popov: Si ∃q real y ∃δ > 0 tales que:
Re[(1 + jωq)G(jω)] + 1
K ≥ δ > 0 ∀ω ≥ 0
Entonces para todo estado inicial la salida del sistema es acotada y tiende a cero cuando t → ∞.
En el caso límite con q = 0,
Re[G(jω)] + 1
K ≥ δ > 0 ∀ω ≥ 0
esto es, que la respuesta G(jω) no toque la recta de Popov con q = 0 que pasa por −1.
Equivalente gráfico del C.P.
Sea G(jω) la respuesta en frecuencia G(jω) = Re[G(jω)] + jω1 ωIm[G(jω)], definiendo la curva de Popov ,
G ∗ (jω) = Re[G(jω)] + jωIm[G(jω)] = X(jω) + Y (jω)
La ecuación de Popov es: X(jω) − qY (jω) + K1 ≥ δ > 0, y en en el límite δ = 0,
Y (jω) = X(jω)+
1 K
q . La recta de Popov pasa por [−1K , 0] y tiene pendiente 1 q.
La salida del sistema es acotada y tiende a cero para cualquier estado inicial si G ∗ (jω) queda estrictamente a la derecha de cualquier recta (±q) que pase por el punto
Criterio de Zames
• Deducido a partir de Popov con q = 0.
• Válido para N.L. variantes en el tiempo y para N.L. con memoria si:
0 ≤ Ne(e) ≤ K.
Criterio de Zames: Si N (e) está dentro del sector definido por α y β y G(jω)
no toca o encierra al círculo (−α1 , −α1 ), entonces la respuesta del sistema es acotada y el sistema es asintóticamente estable.
Criterio de Zames
Dado el sistema con
Criterio de Zames
con 0 < N˜e(e) < K = β − α. Si G(s)˜ es estrictamente estable, aplicando Popov con q = 0, Re[ G(jω) 1 + αG(jω)] + 1 β − α ≥ δ > 0 Despejando para δ = 0, Re[G(jω)] + α + β 2αβ 2 + {Im[G(jω)]}2 = α − β 2αβ 2