Estabilidad. Sea un sistema dinámico, autónomo y estacionario lineal o no lineal, con x a como vector de estado. Un punto se dice de equilibrio si

Estabilidad

Sea un sistema dinámico, autónomo y estacionario lineal o no lineal ,

dxa(t)

dt = F (xa(t))

con xa como vector de estado. Un punto se dice de equilibrio si dxa(t)

dt = F (c) = 0. Para saber si éste punto xa = c es estable, se hace una transformación de coordenadas: x = xa − c llevando a,

dx

dt = F (x) con F (0) = 0

Consideremos

1. El dominio de aplicación R o hiperesfera R siendo R real, positivo y finito, tal que

||x|| < R ||x|| = q

Estabilidad

2. El dominio de los orígenes de trayectorias o hiperesfera δ. 3. La región de trayectorias estables o hiperesfera ǫ

δ ≤ ǫ < R

Definiciones (En el sentido de Lyapunov)

Las siguientes definiciones se dan para el sistema en el punto de equilibrio x = 0

(origen).

• _{Estable . Si ∀ǫ > 0, ∃δ > 0/ trayectoria con} inicio x₀ ∈ hiperesfera δ y ||x|| < ǫ ∀t ≥ 0. • _{Asintóticamente estable . Si ∀ǫ > 0, ∃δ > 0/}

trayectoria con inicio x₀ ∈ hiperesfera δ y

x(t) → 0 cuando t → ∞.

Estabilidad

Estabilidad exponencial. Si ∀ǫ > 0 ∃ δ, α, λ > 0/ la trayectoria converge al

origen más rápido que una función exponencial.

∀t > 0, ||x(t)|| ≤ α||x(0)||e−λt

• _{La estabilidad exponencial implica estabilidad asintótica.} • _{La estabilidad asintótica no implica estabilidad exponencial.} Ejemplo: ˙x = −x2, x(0) = 1. Tiene por solución x = _1+t1 .

Estabilidad global. Si la estabilidad asintótica se mantiene para cualquier punto

Estabilidad de trayectorias

• _{En este caso la estabilidad se define en términos de la desviación respecto a} una trayectoria determinada al perturbar el sistema.

• _{Considere una trayectoria determinada xf(t) del sistema,}

˙x(t) = f (x, u, t) para la entrada u(t)

y otras trayectorias x(t) cercanas a xf(t) con la misma entrada u(t).

x1 x2 x_f(t0) x_f(t) x(t0) x(t) ∆x

El problema de estabilidad consiste en in-vestigar la estabilidad de

∆x(t) = x(t) − x_f(t)

∆ ˙x(t) = f (xf + ∆x, u, t) − f (xf, u, t)

= g(∆x, t) con g(0, t) = 0

Estabilidad de trayectorias

El problema es equivalente a investigar la estabilidad del sistema equivalente (cambiando F por g y x por ∆x):

dx

dt = F (x, t), F (0, t) = 0

Métodos de Lyapunov

• _{El mátodo de Lyapunov analiza la estabilidad de un sistema (L. o N.L.), sin} resolver las ecuaciones.

• _{Se basa en las propiedades de una función V (x) ( función de Lyapunov ) de} los estados del sistema.

• _{Solamente si la función V (x) cumple ciertas condiciones es válida como} función de Lyapunov.

• _{V (x) en algunos casos se puede asimilar a un nivel de energía.}

Métodos de Lyapunov

Resolviendo se obtiene la ecuación que define las trayectorias del sistema en el plano de fases, donde el punto de equilibrio es (0, 0).

mx 2 2 2 + k x2₁ 2 = C − bx2x1

Donde C es una constante dependiente de las condiciones iniciales.

• _{Puede verse que las trayectorias son elípticas alrededor del punto de} equilibrio.

• _{¿El punto de equilibrio es un vértice o es un foco?. En otras palabras, ¿las} trayectorias convergen al punto de equilibrio?.

Esta respuesta está ligada al concepto de energía. Para el sistema en cuestión: Energía = Energía cinética + Energía potencial.

Métodos de Lyapunov

Para valores constantes de E(x) se obtienen curvas de equi-energía correspondientes a círculos concéntricos en el plano de fases.

• _{Si no existiese amortiguamiento (b = 0), la energía aplicada en t = 0 se} conservaría en el sistema ya que no existiría disipación. En tal caso las trayectorias del sistema se mantendrían en un único nivel de energía (vértice en el origen).

• _{Como consecuencia del amortiguamiento, existe energía que se disipa y las} trayectorias van pasando por curvas de equi-energía de menor nivel hasta llegar al punto de equilibrio (foco en el origen).

Métodos de Lyapunov

• _{Las funciones de Lyapunov corresponden a hiper-esferas de radio V (x), de} contornos cerrados, todas diferentes, centradas en el origen y que no se

intersectan.

• _{Si una trayectoria cruza las hiper-esferas de fuera hacia dentro, la} trayectoria converge al origen.

Funciones escalares

Para V (x) una función escalar invariante en el tiempo, y S una región acotada y cerrada en el espacio x que contiene al origen, si ∀x x ∈ S se cumple,

Teoremas de Lyapunov

Teorema 2a: El punto de equilibrio x = 0 del sistema ˙x = f (x) (1), es estable

en la región S al rededor del origen si: • _{∃ V (x) definida positiva en S.}

• _{V (x)}˙ _{es semi definida negativa en S respecto a las soluciones de (1).}

Teorema 2b: El punto de equilibrio x = 0 es asintóticamente estable en la región S al rededor del origen si:

• _{∃ V (x) definida positiva en S.}

• _{V (x)}˙ _{es definida negativa en S respecto a las soluciones de (1).}

• _{T2b es más restrictivo que T2a: V (x) = 0}˙ _{no se permite en x 6= 0. Esto} implica que ninguna trayectoria puede quedar "pegada” en una

hiper-superficie V (x) = constante: toda trayectoria tiende al origen en

V (0) = 0.

Justificación del T. Lyapunov

1. Se elige k = ctte > 0 tal que V (x) = k esté dentro de la hiper-esfera de radio ǫ.

2. Se elige δ > 0 tal que

• _{hiper-esfera de radio δ esté contenida en} h. radio k.

• _{V (x0) < k ∀ x0 ∈ h. δ.} 3. Como

• _{V (x), a lo largo de una trayectoria del} sistema, o decrece continuamente o llega a un valor constante (dV_dt = 0), y • _{V (x0) < k} 0 δ ε V(x)=k Trayectoria x₀

Comentarios a los T. Lyapunov

Los T. de Lyapunov solo dan condiciones suficientes de estabilidad y no condiciones necesarias.

• _{Una determinada F. L. puede ser muy fuerte (más de lo necesario) para} determinar la estabilidad. Una F.L. será tanto más afinada cuanto más se aproxime a la condición necesaria (en sistemas lineales es posible encontrar F.L. que den condiciones necesarias pero no es así en SNL.).

Metodología

Si V (x) tiene derivadas parciales, esto es, existe el vector gradiente:

∆V (x) =     ∂V (x) ∂x1 .. . ∂V (x) ∂xn    

Entonces la derivada en el tiempo V (x) =˙ dV_dt(x) a lo largo de cualquier trayectoria del sistema,

Metodología

Siempre ha de ser negativa (o nula) pa-ra que el sistema sea estable.

Metodología

Metodología

No unicidad de las F.L.

Para un mismo sistema se pueden encontrar diferentes funciopnes de Lyapunov. Considere por ejemplo V (x) una F.L. para un sistema. Entonces,

V₁(x) = ρV α(x)  α ∈ R, α > 1 ρ ∈ R, ρ > 0

también es una F.L. ya que

• _{Si V (x) es D.P. → V1(x) D.P.}

• _{Si (− ˙V (x)) D.P. (S.D.P.) → (− ˙V1(x)) D.P. (S.D.P.)} Aparte, algunas F.L. dan resultados más precisos que otros,

xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx M Mg R θ R cos(θ) R (1-cos(θ)) θ M R2θ = −k ˙θ − M gR sin θ¨

o en versión simplificada, θ + ˙θ + sin θ = 0¨

No unicidad de las F.L.

La energía almacenada en el sistema puede calcularse como E(θ) = Energía Cinética + Energía Potencial, = 1₂M R2 + M gR(1 − cos θ).

1. Eligiendo V (x) = C₁ E. potencial + C₂ E. Cinética,

V (x) = (1 − cos θ) + ˙θ

2

2 ˙

V (x) = ˙θ sin θ + ˙θ¨θ = − ˙θ2 = −x2₂ ≤ 0 (S.D.N)

Y por tanto el sistema es estable en el origen.

2. Eligiendo V (x) no estrictamente una función de la energía,

V (x) = 2(1 − cos θ) + ˙θ 2 2 + 1 2( ˙θ + θ) 2 ˙ V (x) = −(x2₂ + x₁ sin x₁) ≤ 0 (D.N)

Propiedades de matrices

• _{Si M = M}T _{(∀i, j M}

ij = Mji), se dice matriz simétrica. • _{Si M = −M}T _{(∀i, j M}

ij = −Mji), se dice matriz antisimétrica.

1. Cualquier matriz cuadrada equivale a la suma de una M.S. y una M.AS.

M = M + M T 2 | {z } M.S. + M − M T 2 | {z } M.AS.

2. La función cuadrática xTM x asociada a una M.AS. es siempre cero .

xTM x = −xT MTx = (−xTMTx)T (escalar) = −xT M x → ∀ x, xT M x = 0

Propiedades de matrices

Matrices definidas positivas: Una matriz cuadrada (m × m) es D.P. si,

∀ x 6= 0 → xT M x > 0

La matriz M es D.P. si la función cuadrática xTM x es D.P.

T. de Sylvester:

Una C.N.S. para que M, simétrica, sea D.P. es:

• _{Todos sus menores principales sean positivos}

• _{Equivalentemente, todos sus valores propios sean positivos}

Matriz semi definida positiva: Una matriz cuadrada (m × m) es S.D.P. si,

Aplicación a sistemas lineales

Sea un sistema lineal ˙x = Ax, probemos como F.L. V (x) = xTQx.

˙ V (x) = ˙xTQx + xT Q ˙x = xTATQx + xT QAx = xT{ATQ + QA | {z } P }x = xTP x

Se define a P = ATQ + QA como ecuación de Lyapunov. La estabilidad asin-tótica del sistema lineal está asegurada si siendo P una matriz simétrica definida negativa , se puede encontrar Q una matriz simétrica definida positiva (solución de la E.L). Este es un problema equivalente a resolver un sistema de m(m+1)₂ ecuaciones con m(m+1)₂ incógnitas.

Teorema: Si λ₁, λ₂, . . . , λm son autovalores de A, • _{Q es definida positiva si Re{λi} < 0 ∀λi de A.} • _{Q es definida negativa si Re{λi} > 0 ∀λi de A.}

Aplicación a sistemas lineales

Teorema:

Q tiene solución única si y solo si λi + λj 6= 0 ∀i, j = 1, 2, . . . m

Ejemplo: Sea A =  0 1 −2 −3  (λ₁ = −2, λ₂ = −1). Sea P = −I y Q = a b b c  P = AT Q + QA −1 0 0 −1  = 0 −2 1 −3  a b b c  + a b b c   0 1 −2 −3 

Obteniendo, a = 5₄, b = 1₄ y a = 1₄. La función de Lyapunov es entonces:

V (x) = 1 4{5x 2 1 + 2x1x2 + x22} = 1 4{4x 2 1 + (x1 + x2)2}

Aplicación a S.N.L. (T. Krasovskii)

Sea el sistema, ˙x = dx_dt = f (x) con f (0) = 0, P.E., definiendo el jacobiano,

Aj =    ∂f1 ∂x1 . . . ∂f1 ∂xm .. . ... ∂fn ∂x1 . . . ∂fn ∂xn    (fidiferenciable)

Se prueba la F.L. V (x) = f (x)T Y f (x) con Y simétrica D.P. Ya que

∂f(x) ∂t = ∂f(x) ∂x dx dt = Ajf (x), dV dt = ∂f (x)T ∂t Y f (x) + f (x) T_Y df (x) dt = f (x)T(AT_j Y + Y Aj | {z } W )f (x) = f (x)T W f (x)

Aplicación a S.N.L. (T. Krasovskii)

Considere el sistema de la figura cuyo controlador posee ganan-cia k(x) = 0,5 + x2. e=x + + 0 k(x) u 1 ---1 + s x Control Planta

El sistema se describe notando, x = _1+su = k_1+s(x)x = (0,5+x 2

)x 1+s

x + ˙x = 0,5x + x3 → ˙x = −0,5x + x3 = x(x2 − 1 2)

Puede verse que solo si x2 < 1₂ la derivada del error lleva a x al punto de

equilibrio x = 0 y en caso contrario la hace alejar de él. Con el T. Krasovskii,

Conjuntos invariantes (La Salle)

Un conjunto G es un conjunto invariante para un sistema dinámico si cada trayectoria del sistema que inicia desde un punto en G permanece en G para todo tiempo futuro.

Teorema: Conjunto invariante local

Considere el sistema autónomo ˙x =

f (x) con f continua, y sea V (x) una función escalar con primeras derivadas parciales continuas. Asuma que,

• _{Para algún c > 0 la región Ωc}

definida por V (x) < c es limitada. • _{V (x) ≤ 0}˙ _{para todo x en Ωc}

Aplicaciones del T.C.I.L.

Para el sistema del péndulo, se mostró que la F.L. V (x) = (1 − cos x₁) + x22

2 se

obtiene V (x) = −x˙ 2₂ que es S.D.P.. Luego, con esta F.L. solo puede concluirse la estabilidad del punto (0, 0).

• _{El conjunto R está definido por} ˙θ = x_{2 = 0, todo el eje horizontal del} plano (x₁, x₂).

• _{Considérese una región Ωc tal que −π < x1 < π, entonces M se reduce a} un único punto: {(0, 0)} (x¨₁ = −x₂ − sin (x₁)).

Corolario del T.C.I.

Considere el sistema autónomo ˙x = f (x), con f continua, y sea V (x) una

función escalar con derivadas parciales continuas. Asuma que en cierta

ve-cindad Ω del origen,

• _{V (x) es localmente definida positiva.} • _{V (x)}˙ _{es semi definida negativa.}

• _{El conjunto R definido por V (x) = 0}˙ _{no contiene otras trayectorias de}

˙x = f (x), excepto la trayectoria trivial x = 0.

Entonces el punto de equilibrio 0 es asintóticamente estable. Además, la re-gión conectada más grande de la forma Ωc definida por V (x) < c dentro de

Ω, es un dominio de atracción del punto de equilibrio.

T.C.I. Global

• _{El corolario es de gran importancia por que permite reemplazar la}

condición sobre V (x)˙ en el teorema de estabilidad asintótica de Lyapunov, por una condición de V˙ S.D.P. junto con una tercera condición sobre R.

• _{La región conectada más grande de la forma ΩC dentro de Ω es un dominio} de atracción para el punto de equilibrio, pero no necesariamente el dominio de atracción completo ya que V no es única.

Generalizando se obtiene,

Considere el sistema autónomo ˙x = f (x), con f continua, y sea V (x) una función escalar con derivadas parciales continuas. Asuma que,

• _{V (x) → ∞ cuando ||x|| → ∞.}

• _{V (x) ≤ 0}˙ _{sobre todo el espacio de estado.}

Método del gradiente variable

Es un método para construir funciones de Lyapunov. Sea V (x) una función escalar de x y g(x) = (∂V /∂x)T . Entonces ˙ V (x) = ∂V ∂x f (x) = g T (x)f (x)

Se desea encontrar g(x) tal que sea el gradiente de una función definida positiva

V (x) y tal que V (x)˙ sea definida negativa. • _{La Jacobiana [}∂g(x)

∂x ] debe ser simétrica (V escalar), es decir ∂gi

∂xj =

∂gj

∂xi ∀i, j = 1, 2, ..., n.

Método del gradiente variable

Como la condición ∂gi

∂xj =

∂gj

∂xi debe cumplirse, la integral es independiente del camino elegido. Una opción es integrar a lo largo de caminos paralelos a cada eje:

V (x) = Z x1 0 g₁(y₁, 0, . . . , 0)dy₁ + Z x1 0 g₂(x₁, y₂, . . . , 0)dy₂ + . . . + Z xn 0 gn(x1, x2, ..., yn)dyn

Ejemplo: Encontrar una F.L. para el sistema

˙x₁ = −2x₁

˙x₂ = −2x₂ + 2x₁x2₂

Método del gradiente variable

∂g₁ ∂x₂ = ∂g₂ ∂x₁ a₁₂ + x₂∂a12 ∂x₂ = a21 + x1 ∂a₂₁ ∂x₁ 3. Escogiendo a₁₁ = a₂₂ = 1 y a₁₂ = a₂₁ = 0 se obtiene, g₁(x) = x₁ y g₂(x) = x₂. Luego V = ∇V ˙x = −2x˙ 2₁ − 2x2₂(1 − x₁x₂). Luego V˙ es localmente D.N. en la región (1 − x₁x₂) > 0. 4. V (x) = R x1 0 y1dy1 + R x2 0 x2dx2 = x2 1+x 2 2 2 y es D.P.

Estabilidad de S.N.L. (dominio de f.)

• _{Se analiza solo estabilidad (No existencia de C.L.).} • _{Solo dan condiciones suficientes.}

Criterio de Popov: u(t) e N(e) N G(s) + -e N(e) Pendiente K1 Pendiente K2 0 < N(e)/e < K Condiciones,

• _{G(s): S.L. invariante en t, causal, dimensión finita, estrictamente estable.} • _{Entradas u(t): Acotadas, uniformemente continua, cuadrado integrables en}

Estabilidad de S.N.L. (dominio de f.)

• _{Sistema no lineal N (e): Invariante en t, sin memoria, función continua de}

e. Pendiente dN_de(e) acotada dentro del sector [0, k]. Criterio de Popov: Si ∃q real y ∃δ > 0 tales que:

Re[(1 + jωq)G(jω)] + 1

K ≥ δ > 0 ∀ω ≥ 0

Entonces para todo estado inicial la salida del sistema es acotada y tiende a cero cuando t → ∞.

En el caso límite con q = 0,

Re[G(jω)] + 1

K ≥ δ > 0 ∀ω ≥ 0

esto es, que la respuesta G(jω) no toque la recta de Popov con q = 0 que pasa por −1.

Equivalente gráfico del C.P.

Sea G(jω) la respuesta en frecuencia G(jω) = Re[G(jω)] + j_ω1 ωIm[G(jω)], definiendo la curva de Popov ,

G ∗ (jω) = Re[G(jω)] + jωIm[G(jω)] = X(jω) + Y (jω)

La ecuación de Popov es: X(jω) − qY (jω) + _K1 ≥ δ > 0, y en en el límite δ = 0,

Y (jω) = X(jω)+

1 K

q . La recta de Popov pasa por [−1K , 0] y tiene pendiente 1 q.

La salida del sistema es acotada y tiende a cero para cualquier estado inicial si G ∗ (jω) queda estrictamente a la derecha de cualquier recta (±q) que pase por el punto

Criterio de Zames

• _{Deducido a partir de Popov con q = 0.}

• _{Válido para N.L. variantes en el tiempo y para N.L. con memoria si:}

0 ≤ N_e(e) ≤ K.

Criterio de Zames: Si N (e) está dentro del sector definido por α y β y G(jω)

no toca o encierra al círculo (−_α1 , −_α1 ), entonces la respuesta del sistema es acotada y el sistema es asintóticamente estable.

Criterio de Zames

Dado el sistema con

Criterio de Zames

con 0 < N˜_e(e) < K = β − α. Si G(s)˜ es estrictamente estable, aplicando Popov con q = 0, Re[ G(jω) 1 + αG(jω)] + 1 β − α ≥ δ > 0 Despejando para δ = 0,  Re[G(jω)] + α + β 2αβ 2 + {Im[G(jω)]}2 =  α − β 2αβ 2