Ecuación de reacción difusión en derivadas parciales con retardo y aplicación de las series infinitas

Texto completo

(1)UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y FORMALES ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. ECUACIÓN DE REACCIÓN-DIFUSIÓN EN DERIVADAS PARCIALES CON RETARDO Y APLICACIÓN DE LAS SERIES INFINITAS. Tesis presentada por la Bachiller: Edith Mirian Urquizo Villafuerte Para. optar. el. Título. profesional. Licenciada en Matemáticas. Asesor: Dr. Angel Sangiacomo Carazas. Arequipa-Perú 2017. de.

(2) A Dios porque está conmigo a cada paso que doy, cuidándome y dándome fortaleza para seguir adelante. A mi padre Emiliano Urquizo Quispe y a mi madre Rofina Villafuerte Zuñiga por el sacrificio hecho a lo largo de mi formación profesional.

(3) Mi agradecimiento a mi asesor Dr. Angel Sangiacomo Carazas, por su confianza, motivación, sugerencias y revisión crítica durante el desarrollo de esta tesis, su amistad y apoyo incondicional.. A Jorge, mis hermanas y sobrina que me han ofrecido el amor y la calidez de la familia a la cual amo..

(4) Resumen Incluir el parámetro de retardo en una ecuación diferencial ordinaria (EDO) hace que el modelo representado sea más realista y represente con más exactitud al problema real, en este caso la ecuación diferencial, se conoce con el nombre de ecuación diferencial con retardo (EDR) o ecuación diferencial funcional (EDF). Aquí el pasado ejecutará influencias sobre el futuro muy significativas, y de hecho el comportamiento de las soluciones es mucho más complicado que en las EDO. En este trabajo se da la solución analítico-numérica de la Ecuación de ReacciónDifusión con Retardo: ut (t , x ) = a 2 u xx (t , x ) + bu (t − τ , x ) t > τ , 0 ≤ x ≤ l , u (t , x ) = ϕ (t , x ), 0 ≤ t ≤ τ , 0 ≤ x ≤ l , u (t ,0 ) = u (t , l ) = 0, t ≥ 0,. donde a y b son constantes distintas de cero y el parámetro de retardo τ > 0 . Para dar solución a este problema, se utilizó el método de Fourier, algunos lemas, la función gamma y gamma generalizada así como ciertos criterios de convergencia para series, para proponer una solución exacta en forma de serie infinita: ut (t , x ) = ∑ + ∑ + ∑ + ∑ 1. 2. 3. 4. como en la página 55. Luego se hizo el análisis para conseguir las condiciones necesarias sobre nuestra función, para lograr la convergencia, la continuidad y la regularidad de la solución, también se hizo el estudio del acotamiento de los restos y usando el programa MAPLE se realizó el programa que nos permitió visualizar la solución gráfica del problema, los correspondientes códigos (Programa) y la gráfica de la solución se recogen en el anexo. Palabras Claves: Ecuaciones diferenciales parciales con retardo, Método de Fourier, función gamma, serie infinita, ecuación reacción-difusión con retardo..

(5) Abstract Include the delay parameter in an ordinary differential equation (ODE ) makes the model represented more realistic and represents more accurately the real problem, in this case the differential equation, known as differential equation with delay ( EDR ) or functional differential equation ( EDF ) . Here last executed very significant influence on the future, and indeed the behavior of the solutions is much more complicated than in the EDO. This work presents the analytical and numerical solution of the reaction-diffusion equation with delay occurs: u t (t , x ) = a 2 u xx (t , x ) + bu (t − τ , x ) t > τ , 0 ≤ x ≤ l , u (t , x ) = ϕ (t , x ), 0 ≤ t ≤ τ , 0 ≤ x ≤ l , u (t ,0) = u (t , l ) = 0, t ≥ 0, where are nonzero constants and the delay parameter.. To solve this problem, the Fourier method, some slogans, the gamma function and gamma generalized and certain convergence criteria for series was used to propose an exact solution in the form of infinite series: ut (t , x ) = ∑ + ∑ + ∑ + ∑ 1. 2. 3. 4. as on page 55. Then the analysis was done to achieve the necessary conditions on our role, to achieve convergence, continuity and regularity of the solution, the study of boundedness of the remains was also made and using the program MAPLE performed the program that allowed us to visualize the graphical solution of the problem, the corresponding codes (program) and the graph of the solution are given in the Annex. Keywords: Partial differential equations with delay, Fourier method, gamma function, infinite series, reaction-diffusion equation with delay..

(6) Índice general Introducción. 3. 1. Preliminares 1.1. Ecuación Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Clasificación según su tipo . . . . . . . . 1.1.2. Clasificación según el orden . . . . . . . 1.1.3. Clasificación según la linealidad . . . . . 1.2. EDP de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Retardo 1.4. Función Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Función Gamma incompleta . . . . . . . 1.4.2. Función Gamma Regularizada . . . . . . 1.5. Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Convergencia uniforme . . . . . . . . . . 1.5.2. Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . 1.5.3. Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Aplicaciones continuas . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (EDR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. 2. Soluciones de problemas mixtos para la ecuación de reacción-difusión con retardo 2.1. Una pequeña reseña histórica de la ecuación del calor . . . . . 2.2. La ecuación de reacción difusión con retardo . . . . . . . . . 2.3. Solución de la ecuación diferencial ordinaria con retardo . 2.4. Convergencia uniforme de la serie de fourier . . . . . . . . . 1. 6 6 6 7 8 9 10 14 15 16 16 16 18 19 20 20. 22 22 24 28 48.

(7) 2.4.1. Funciones de Variación Acotada . . . . . . . . . . . . . 49 2.4.2. Fenómeno de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5. Solución en forma de serie infinita . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3. Análisis de la serie infinita 3.1. Lemas Previos . . . . . . . 3.2. Continuidad de la solución 3.3. Regularidad de la solución 3.4. Acotaciones de los restos .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 56 56 62 66 77. Conclusiones Finales. 83. Anexo. 84. Bibliografía. 92. 2.

(8) INTRODUCCIÓN Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) que involucran derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, se estudian generalmente en un curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Aprendimos como surgen tales ecuaciones diferenciales, los métodos mediante los cuales se pueden obtener sus soluciones exactas y aproximadas, viendo algunas aplicaciones en el campo científico. Sin lugar a dudas utilizar este tipo de ecuaciones diferenciales es útil aunque limita las clases de problemas que podamos investigar, ya que en la mayoría de los casos se necesitan varias variables independientes. Modelar un problema de la vida real desde el punto de vista matemático en el que se haga intervenir dos o más variables independientes, conduce a las Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (¡La aparición de varias variables independientes hace que este tema resulte mucho más complejo que el de las EDO!). Los procesos de conductibilidad térmica y de difusión conducen a las ecuaciones de tipo parabólico. En el caso unidimensional la ecuación más simple de conductibilidad térmica tiene la forma  = 2  .  =  ( ).  Donde 2 =  donde  es la densidad del medio,  es el calor específico y  es el coeficiente de conductibilidad térmica. En las aplicaciones, el comportamiento futuro de muchos fenómenos se asume descrito por soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Bajo ciertas condiciones este comportamiento queda determinado únicamente. 3.

(9) por el presente y es independiente del pasado. Los retardos o retrasos en tiempo son componentes naturales de los sistemas biológicos y existen numerosas razones para incluirlos en los modelos matemáticos. Por ejemplo, los retrasos podrían ser incluidos para representar: • Lapsos de regeneración de recursos con periodos de maduración. • Lapsos por alimentación, etcétera. Incluir el retardo en una EDO hace que el modelo representado por ella sea más realista y represente con más exactitud al problema real, en este caso la ecuación diferencial, se conoce con el nombre de ecuación diferencial con retardo (EDR) o ecuación diferencial funcional (EDF). Aquí, el pasado ejecuta influencias sobre el futuro muy significativas, y de hecho el comportamiento de las soluciones es mucho más complicado que en las EDO, tampoco hay fórmulas directas para representar las soluciones aún en la ecuación más simple. (Carrasco, 2008, p. 18) En este trabajo se presenta la solución, tanto análitica como numérica, del problema  ( ) = 2  ( ) +  ( −   )      0 ≤  ≤   ( ) =  ( )  0 ≤  ≤   0 ≤  ≤   ( 0) =  ( ) = 0  ≥ 0 Donde  y  son constantes distintas de cero y   0. La ecuación diferencial en este problema se llama Ecuación de ReacciónDifusión con Retardo (ERDR), donde  se llama prefunción. (Reyes, E. 2008, p. 46) Para encontrar la solución a este problema utilizaremos el método de separación de variables o método de Fourier, se obtendrán dos ecuaciones diferenciales, una EDO y una EDR, la primera será resuelta por los métodos tradicionales de EDO y para resolver la EDR se utilizarán algunos lemas y teoremas de la teoría de EDR para finalmente juntar estas dos soluciones y obtener la solución en forma de serie infinita para nuestro problema de ERDR, y finalmente analizar la continuidad, regularidad de la solución y acotaciones de los restos. 4.

(10) El objetivo general de este trabajo es: Estudiar la ecuación de reacción-difusión en derivadas parciales con retardo, obtener sus soluciones exactas y analítico-numéricas, empleando las series infinitas. Los objetivos específicos son: Estudiar las herramientas que permitan dar solución a la ecuación de reacción-difusión en derivadas parciales con retardo. Estudiar las herramientas que permitan conocer la utilización de las series infinitas para la solución de la ecuación de reacción-difusión en derivadas parciales con retardo.. 5.

(11) Capítulo 1 Preliminares 1.1.. Ecuación Diferencial. Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. (Zill, cap. 1). 1.1.1.. Clasificación según su tipo. Ecuaciones diferenciales ordinarias Una ecuación diferencial es ordinaria si contiene unicamente derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Ejemplo 1.1  0 + 5 =   00 −  0 + 6 = 0. 0 +  0 = 2 + . 6.

(12) Ecuaciones diferenciales parciales Son aquellas ecuaciones diferenciales que representan las derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes. Ejemplo 1.2  +  = 0  =  − 2  = −. 1.1.2.. Clasificación según el orden. Se llama orden de una ecuación diferencial, al orden de la derivada en una ecuación diferencial. Ejemplo 1.3 3.  00 + 5 ( 0 ) − 4 =  Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden Ejemplo 1.4  ( ) +  ( ) = 0 Esta ecuación diferencial es de orden tres. Observación Es posible expresar de manera simbólica una ecuación diferencial ordinaria de  − ́  empleando la forma general: ¢ ¡     0       () = 0. donde  es una función de valores reales de  + 2 variables. También es posible expresar de manera simbólica una ecuación diferencial parcial para una función 7.

(13) (    ) con derivadas parciales              empleando la forma general  (                   ) = 0 donde  es una función de las variables, en                     donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas.. 1.1.3.. Clasificación según la linealidad. Una ecuación diferencial ordinaria lineal de orden , tiene la forma:  ()  () + −1 ()  (−1) +    + 1 ()  0 + 0 ()  =  () en caso contrario se dice que la ecuación diferencial es no lineal. Sabemos que las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales se caracterizan por dos razones: 1. La variable dependiente , con todas las derivadas, están elevadas a la potencia uno. 2. Cada coeficiente depende sólo de la variable independiente . 8.

(14) 1.2.. EDP de segundo orden. Las EDP de segundo orden se clasifican habitualmente en cuatro tipos de EDP que son de interés fundamental, a continuación se dan ejemplos de estos cuatro tipos: Ecuación 2. ∇ =0 2. Nombre. Tipo. . ́. 2.  =  ∇    = ∇2  2. ∇  = . ́. ́.  ́. . ́. Ecuaciones de tipo Hiperbólico ( problemas que refieren fenómenos oscilatorios: vibraciones de cuerda, membranas, oscilaciones electromagnéticas). Ecuaciones de tipo Parabólico (problemas que se presentan al estudiar los procesos de conductibilidad térmica y difusión). Ecuaciones de tipo Elíptico (Problemas que aparecen al estudiar procesos estacionarios, o sea que no cambian con el tiempo) Con mayor generalidad, si se tiene una ecuación de segundo orden del tipo:  + 2 +  +  +  +  = 0 Se dice que (1.1) es elíptica si la matriz: =. ".    . #. tiene un determinante mayor a 0. Se dice que (1.1) es parabólica si la matriz: =. ".    . #. tiene un determinante igual a 0. 9. (1.1).

(15) Se dice que (1.1) es hiperbólica si la matriz: =. ".    . #. tiene un determinante menor a 0. En nuestro trabajo se dará solución a una ecuación diferencial parabólica con un parámetro de retardo   Recordemos que una ecuación unidimencional de difusión del calor, de segundo orden, lineal, homogénea y de coeficientes constantes es dado por  = 2 . 1.3.. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Retardo (EDR). Sabemos del estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias que estas son aplicadas a diversos fenómenos físicos, como problemas sobre mezclas, crecimiento y decaimiento, ley de enfriamiento de Newton, circuitos en serie, vaceado de tanques etcétera. Sin embargo, existe otro tipo de ecuación diferencial llamada Ecuación Diferencial con Retardo donde la función incógnita y sus derivadas están evaluadas en argumentos distintos. Definición 1.1 Una ecuación diferencial con retardo es una ecuación de la forma : 0 () =  (  ()   ( −  )) Donde  es una función continua y   0 es un parámetro que se le denomina retardo. En estas ecuaciones, el comportamiento de las soluciones en un instante  depende no sólo de la posición  () en ese instante, sino también del valor en un instante anterior  ( −  )  10.

(16) Por ejemplo una ecuación diferencial con retardo es: 0 () = −( −  ). (1.2). donde   0 es llamado el retardo. Cuando  = 0, recordamos la simple ecuación diferencial (1.3) 0 () = −() que tiene por solución general, () = (0)− , que converge a cero cuando  → +∞. Si nosotros definimos () para  ≤ 0 entonces la ecuación (1.2) tendría una única solución para   0. Supongamos que establecemos () = 1  ≤ 0. (1.4). como condición inicial para (1.2). Entonces en el intervalo 0 ≤  ≤   tendríamos que,  −  ≤ 0 y de esta forma 0 () = −( −  ) = −1 y por lo tanto Z. 0. .  () = −. Z. .  Z  (−1) () = (0) + 0. 0. = 1 − . 0≤≤. En el intervalo  ≤  ≤ 2  tendríamos que, 0 ≤  −  ≤  y así 0 () = −( −  ) = −[1 − ( −  )]. 11.

(17) por lo tanto Z. . .  () = −. Z. . [1 − ( −  )] Z  () = ( ) + −[1 − ( −  )] . . 1 = 1 −  + [− + ( −  )2 ] 2 = 1 −  + ( −  )2 2  ≤  ≤ 2. Si 2 ≤  ≤ 3 , entonces  ≤  −  ≤ 2 , luego 0 () = −( −  ). = −[1 − ( −  ) + ( − 2 )2 2] 1 = − [2 − 2( −  ) + ( − 2 )2 ] 2. así Z. . 1 − [2 − 2( −  ) + ( − 2 )2 ] 2 2 ( − 2 )3  (2 −  )2 1 − [2 − ( −  )2 + ]2 = 1 − 2 + 2 2 3 1 ( − 2 )3 = 1 −  + ( −  )2 − 2 6. () = (2 ) +. A continuación vamos a expresar esta solución numéricamente usando el MATLAB. En los gráficos siguientes (Figura 1.1) notamos que el comportamiento de la solución en el intervalo   0 para diferentes valores del retardo  , tienen comportamientos diferentes:. 12.

(18)   1.1 : ́   ́ (1.2)      (1.4)    Notemos que el caso  = 025 puede ser visto como la solución de la ecuación diferencial ordinaria (1.3) cuando (0) = 1 a saber este converge a cero sin rebasar a cero, y no oscila. Cuando  = 06 la solución oscila, en efecto, a pesar de las apariencias, cambia de signo repetidamente. Uno puede probar que toda solución oscila cuando   −1 ≈ 036. Para mayores detalles ver el teorema 1.5.1 en (Gopalsamy, 1992). Diremos que la solución oscila cuando tiene los ceros arbitrariamente grandes: si para todo   0, existe algún    tal que () = 0. Cuando  se incrementa las oscilaciones aparecen más pronunciadas pero todavía ellas son amortiguadas. Es. 13.

(19) decir, parece que la amplitud está disminuyendo hasta que  = 2 después la amplitud crece. Podemos notar que  u 0 es una solución de la ecuación diferencial con retardo (1.2) a la cual llamaremos una solución firme. Uno puede probar que esta es estable cuando   2 y es inestable cuando   2 ≈ 158. La ecuación (1.2) es una ilustración simple para ver lo que puede ocurrir cuando se varía el retardo  . Un caso más general lo constituyen las ecuaciones diferenciales funcionales, en las cuales el comportamiento de las soluciones en un instante  depende de la solución en el intervalo [ −   ]  La forma general de la ecuación diferencial funcional de primer orden es: 0 () =  (  ()   ( ())) Este tipo de ecuaciones se usa para modelar fenómenos en los que el cambio en una cantidad depende de la manera en que la cantidad es afectada por algún mecanismo.. 1.4.. Función Gamma. En matemáticas, la función Gamma (denotada como Γ ()) es una función cuya notación, fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Definición 1.2 La función gamma de    0 se denota como Γ () y se define a partir de la integral impropia Γ () =. Z. ∞. − −1 . 0. como se observa en la definición el resultado de integración depende de , que interviene como un parámetro y además la integral es impropia debido, en primer lugar a que el límite superior de integración es infinito y en segundo lugar, nótese que si 0    1 el integrando se hace infinito para  −→ 0+ por lo que Γ puede estar definido por una integral doblemente impropia.. 14.

(20) Teorema 1.1 Si   0 entonces la integral Γ () = vergente y Γ ()  0. R∞ 0. − −1  es con-. Propiedades: Si  es un entero positivo, entonces: Γ () = ( − 1)! Γ ( + 1) = Γ () =    = !Γ ( 1) = ! Γ ( 1) = 1 Γ(+ 12 ) Γ(). ≤.  Γ () . √ . =. R∞ 0. − −1 ln . El estudio de la función gamma a través del cálculo diferencial e integral de funciones de una variable real proporciona: La resolución de ciertas integrales impropias de una forma simple.. 1.4.1.. Función Gamma incompleta. La función gamma incompleta se define como una integral definida del mismo integrando. Las funciones gamma incompletas se definen como las integrales: Función gamma incompleta inferior Z.  ( ) =. . − −1 . 0. Función gamma incompleta superior Γ ( ) =. Z. . 15. ∞. − −1 .

(21) En ambos casos,  es una variable real mayor o igual que cero, y   0 Propiedades: Γ ( + 1 ) = Γ ( ) + −   ( + 1 ) =  ( ) − −    ( ) + Γ ( ) = Γ () Γ ( ) = ( − 1)!− Γ ( 0) = Γ ()  ( ) −→ Γ () Γ() . 1.4.2.. P−1.  =0 !. si  es un número entero. cuando  −→ ∞. = −−1 −. Función Gamma Regularizada. Dos funciones relacionadas son las funciones gamma regularizadas  ( ) Γ () Γ ( )  ( ) = = 1 −  ( ) Γ ()  ( ) =. 1.5.. Series de Fourier. 1.5.1.. Convergencia uniforme. P Definición 1.3 Una serie numérica ∞ =1  converge si la sucesión de las P reducidas =1  (   ), también llamadas sumas parciales, converge. P∞ Definición 1.4 Una serie de funciones =1  ()  donde  :  → R son funciones reales definidas en un subconjunto  de R converge puntualP mente si, para cada 0 ∈  fijo, la serie numérica ∞ =1  (0 ) converge. Eso 16.

(22) equivale a decir que, dado   0 y 0 ∈  existe un entero  dependiendo de  y de 0  tal que: ¯  ¯ ¯X ¯ ¯ ¯  (0 )¯   ¯ ¯ ¯ =. para todo    tales que  ≥ . P Definición 1.5 Una serie de funciones ∞ =1  () converge uniformemente si, dado un   0 existe un entero , dependiendo de  (y no de )  tal que: ¯ ¯  ¯ ¯X ¯ ¯  ()¯   ¯ ¯ ¯ =. para todo    ≥ . P Test M de Weierstrass: Sea ∞ =1  () una serie de funciones  :  → R definida en un subconjunto  de R Suponga que existan constantes  ≥ 0 tales que | ()| ≤  . para todo  ∈ . P y que la serie numérica ∞ =1  converja. Entonces la serie de funciones P∞ =1  () converge uniformemente y absolutamente en . Proposición 1.1 Supongamos que las funciones  sean continuas y que la P serie ∞ =1  () converja uniformemente. Entonces la suma de la serie  () =. ∞ X.  (). =1. es también una función continua. Proposición 1.2 Supongamos que las funciones  sean integrables en un P intervalo  y que la serie ∞ =1  () converja uniformemente. Entonces: Z ÃX ∞ . =1. !.  ()  =. ∞ Z X =1. 17. .  () .

(23) 1.5.2.. Coeficientes de Fourier. Si una función  () fuera expresada como ∞ ³ X   ´ 1 +    cos  () = 0 + 2   =1. (1.5). es de esperar que los coeficientes  y  esten íntimamente ligados a la función  ¿Qué expresiones tienen ellos en términos de la función  ? Para descubrirlos vamos a suponer que la igualdad (1.5) se verifica, es más que la serie en (1.5) converja uniformemente. Observe que, como consecuencia de la proposición (1.1), la función  debe ser continua (por tanto puede ser integrada) y debe ser periódica de periodo 2 pues el periodo fundamental es 2 y 2 es el periodo para las demás funciones seno y coseno de cos   que aparecen en la serie. Así mismo usando la proposición (1.2), podemos integrar ambos lados de (1.5) para obtener: Z. . 1  ()  = 0 2 −. Z. . −. Z ∞ µ X   +.   +  cos  −. =1. luego 1 0 =  pués. Z. . Z. .   = cos  −. ¶     −. Z. . . (1.6).  () . −. Z. . . −.   = 0 . (1.7). Para obtener los demás coeficientes, aplicamos la misma idea y usamos las relaciones de ortogonalidad: Z. . −. Z. . cos.     = 0  .   cos cos  =   −. (. si si.  0. se. 18.   ≥ 1 =≥1  6=    ≥ 1. (1.8). (1.9).

(24) Z. .     =    −. (. si.  0. se. =≥1  6=    ≥ 1. (1.10). Para demostrar (1.8), (1.9), (1.10) se puede usar las identidades trigonométricas que expresan productos de senos, o de cosenos, o de seno por coseno,  como suma de senos o de cosenos. Ahora multiplicando (1.5) por cos   para  ≥ 1 fijo, e integrando obtenemos: Z. .  () cos. −.   =   . (1.11).   =   . (1.12). De modo semejante, obtenemos Z. .  () . −. Finalmente, de (1.6), (1.11) y (1.12), obtenemos. 1.5.3.. 1  = . Z. 1  = . Z. .  () cos. −.   .  ≥ 0;. (1.13).   . ≥1. (1.14). .  () . −. Serie de Fourier. Dada una función  : R → R periódica de periodo 2 integrable y absolutamente integrable, podemos calcular sus coeficientes de fourier por las expresiones (1.13) y (1.14) así mismo podemos escribir ∞ ³ X   ´ 1 +    cos  () ∼ 0 + 2   =1. (1.15). y eso significa que la expresión del lado derecho es la serie de Fourier de  ¿Qué relación hay entre  y su serie de Fourier? Sería bueno si fuese igualdad, pero eso no ocurre siempre. La serie de Fourier puede ser divergente, ya que hay ejemplos de funciones continuas cuya serie de Fourier diverge. Hay condiciones suficientes para que la función  sea igual a su serie de Fourier. 19.

(25) Una Función  : R → R será seccionalmente continua si la función  tiene un número finito de discontinuidades (todas de primera especie) en cualquier intervalo limitado. En otras palabras dados    existen  ≤ 1  2      ≤  tales que  es continua en cada intervalo abierto (  +1 )   = 1      − 1 y existen los límites  ( + 0) = lı́m+  (). y. →.  ( − 0) = lı́m−  () →. Toda función continua es seccionalmente continua Una función  : R → R será seccionalmente diferenciable si ella fuera seccionelmente continua y sí su primera derivada fuera también seccionalmente continua. Teorema de Fourier Sea  : R → R una función seccionalmente diferenciable y de periodo 2. Entonces la serie de Fourier de la función , dada en (1.15), converge en cada punto 0  para 12 [ (0 + 0) +  (0 − 0)]  esto es ∞ ³ X 1 1 0 0 ´ [ (0 + 0) +  (0 − 0)] = 0 + +   (1.16)  cos 2 2   =1. 1.6.. Resultados importantes. 1.6.1.. Aplicaciones continuas. Definición 1.6 Sea  :  → R una aplicación definida en el conjunto  ⊂ R  Se dice que  es continua en el punto  ∈  cuando, para cualquier   0 dado, se puede obtener   0 tal que todo punto  ∈  cuya distancia al punto  sea menor que  es transformado por  en un punto  () que dista de  () menor que  En lenguaje simbólico: ∀   0 ∃   0;  ∈  | − |   =⇒ | () −  ()|   Definición 1.7 Dado.  ⊂ R . una aplicación  :  → R 20. se dice.

(26) Lipschitziana cuando existe un   0 (constante de Lipschitz de ) tal que, para cualquier   ∈  se tiene: | () −  ()| ≤  | − | Toda aplicación Lipschitziana es continua. Definición 1.8 Se dice que una sucesión { } con  :  → R  está uniformemente acotada (o que tiene una cota común) si existe  ∈ R+ de modo que | ()| ≤  para todo  ∈ N y para todo  ∈  Teorema 1.2 Si { } es una sucesión de funciones uniformemente acotada, convergente puntualmente a  , entonces  está acotada. La Regla de Leibniz Regla de Leibniz: (Derivación bajo el signo de la integral). Dado  ⊂ R  abierto, sea  :  × [ ] → R una función con las siguientes propiedades: 1) Para todo  ∈  la función  →  ( ) es integrable en  ≤  ≤   2) La i-ésima derivada parcial  ( ) existe para cada ( ) ∈  × [ ] y   la función  :  × [ ] → R así mismo definida, es continua.. Entonces la función  () = en cada punto  ∈  siendo. R .  () = .  ( )  posee i-ésima derivada parcial Z. . .  ( )  . En suma, se puede derivar bajo el signo de la integral, desde que el integrando resultante sea una función continua (Lima, 1995, p. 143).. 21.

(27) Capítulo 2 Soluciones de problemas mixtos para la ecuación de reacción-difusión con retardo 2.1.. Una pequeña reseña histórica de la ecuación del calor. Vamos hacer un breve recorrido por la historia de las Matemáticas, para ver como se fue gestando la Ecuación del calor y los aportes que hicieron los matemáticos y físicos más destacados de la época (siglos XVIII y XIX). No estaría completa la génesis de la ecuación del calor si no hiciéramos referencia a su gran predecesora: La Ecuación de la Cuerda Vibrante (Ecuación de Onda), encontrar el modelo matemático que resuelva el problema de la Cuerda Vibrante data de principios del siglo XVIII y de él se han ocupado matemáticos y físicos célebres. Uno de los primeros en trabajar en el tema ha sido el matemático suizo Joham Bernoulli (1667 - 1748) quien en 1727 propuso una solución, que si bien no era del todo incorrecta, carecia de la generalidad necesaria; en 1746 el matemático francés Jean le Rond D’ Alembert (1717 - 1783) encontró el modelo matemático que representaba. 22.

(28) este fenómeno, consistente en la EDP:  = 2  En 1749, el destacado matemático suizo Leonhard Euler (1707 - 1783) también presentó sus aportes y coincidió en gran parte con la solución de D’ Alembert, pero añadiendo un carácter más general a la solución, Daniel Bernoulli (1700 - 1782) en 1753 presentó otra solución a la Ecuación de la Cuerda, de la forma: µ. ¶ ³  ´   cos sen ( ) =   =1 ∞ X. Aún siendo correcta la solución de Bernoulli, generó varias críticas por parte de D’ Alembert y Euler, que se rehusaban a admitir que una función general pudiera ser expresada en términos de series infinitas de funciones trigonométricas, a pesar de todas las críticas, Bernoulli estaba en lo correcto y su propuesta de desarrollar en series trigonométricas funciones arbitrarias, sería retomada más tarde por Fourier y Dirichlet. El matemático y físico francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830) fue pionero en el estudio de la transferencia del calor en sólidos y fue quien dedujo la denominada Ecuación del Calor, que consiste en una EDP cuya versión tridimensional es:  =  ( +  +  ) Fourier presentó en 1807 los resultados de sus investigaciones a la Academia de Ciencias de París y fue evaluado por: Pierre Simon Laplace (1749 - 1827) y Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813); pero el trabajo no tuvo buena aceptación y recibió muchas críticas, fue la propuesta de Fourier de expandir en series trigonométricas una función arbitraria; él afirmaba que una función  () podía desarrollarse como: ∞ X 1 [ cos () +  sen ()]  () = 0 + 2 =1. 23.

(29) y encontró también las expresiones para calcular los coeficientes  y  ; que actualmente se conocen como series de Fourier, idea original de Daniel Bernoulli. El verdadero mérito de Fourier fue encontrar el modelo matemático correcto para la conducción del calor, desarrollar el Método de Separación de Variables para resolver una EDP y encontrar su solución mediante la aplicación de series trigonométricas. Fourier inauguró un campo fértil de trabajo para físicos y matemáticos a principios del siglo XIX con su Teoría Analítica del Calor y sus desarrollos en series trigonométricas; varias personalidades de las ciencias continuaron sus trabajos, cabe destacar al matemático alemán Joham P. Lejeune Dirichlet (1805 - 1859), quien en 1829 dio una demostración rigurosa de la convergencia de las series de Fourier para funciones generales, aún las continuas por tramos. Recién entonces los trabajos de Fourier y D. Bernoulli fueron reconocidos y aceptados plenamente. (Ibarra, M.). 2.2.. La ecuación de reacción difusión con retardo. En este capítulo consideramos el problema mixto para la ecuación de reacción-difusión con retardo del tipo:  ( ) = 2  ( ) +  ( −   )      0 ≤  ≤ . (2.1).  ( ) =  ( )  0 ≤  ≤   0 ≤  ≤ . (2.2).  ( 0) =  ( ) = 0  ≥ 0. (2.3). Donde  y  son constantes distintas de cero y   0. Utilizaremos el Método de Fourier para proponer una solución exacta en forma de serie infinita. Método de Fourier: Este método consiste en: Primero, usar separación de variables y procurar soluciones  ( ) del problema en la forma:  ( ) =  ()  () 24.

(30) y la segunda es desarrollar la solución en series de Fourier. Abordaremos el problema (2.1) - (2.3) utilizando separación de variables. (Figueiredo, 1987, cap. 1). Buscaremos una solución de la forma:  ( ) =  ()  () De aquí:  ( ) =  0 ()  ()  ( ) =  ()  0 ()  ( ) =  ()  00 () De esta forma, se obtendrán dos problemas separados para las variables de tiempo y espacio,  0 ()  () = 2  () 00 () +  ( −  )  ()  o [ 0 () −  ( −  )]  () = 2  () 00 ()  De aqui:.  00 ()  0 () −  ( −  ) = = 2  () (). Consecuentemente () es la solución del problema  00 () −  () = 0. (2.4) (2.5). (0) = () = 0 √ Luego 2 −  = 0 =⇒  = ±  Tenemos tres casos para : i) Si   0, la solución general de (2.4) es: √ .  () = 1  25. √ . + 2 −.

(31) como  satisface (2.5), se tiene: (0) = 1 + 2 = 0 √ . () = 1 . √ . + 2 −. =0. entonces 1 = 2 = 0 esto implica que  ≡ 0 lo cual es solución trivial. ii) Si  = 0, la solución general de (2.4) es de la forma:  () = 1  + 2 haciendo satisfacer las condiciones de (2.5) tenemos: (0) = 2 = 0. y. () = 1  + 2 = 0. lo que implica: 1 = 2 = 0 y por tanto  ≡ 0. iii) Si   0, hacemos  = −2 , y la solución general de (2.4) es de la forma:  () = 1 cos() + 2 sen() haciendo satisfacer las condiciones (2.5) tenemos: (0) = 1 = 0 () = 1 cos() + 2 sen() = 0 con 2 6= 0 entonces:. sen() = 0. 26.

(32) lo que implica  =  ( = ±1 ±2   ) luego =.  . los valores de − = 2 :   2 2 = 2.  = 2. son llamados los valores propios o autovalores del problema homogéneo dado en (2.4) - (2.5) y las funciones:  () = sen. ³  ´ . son llamadas las funciones propias o autofunciones del problema dado en (2.4) - (2.5). No hay necesidad de considerar los valores negativos de  , pues eso conduciría sólo a una autofunción que difiere en el signo de una u otra obtenida para un  , positivo. Las correspondientes funciones  () serán la solución de la ecuación diferencial ordinaria con retardo  0 () + 2 2  () −  ( −  ) = 0 2  2 0 () + 2 2  () −  ( −  ) = 0 . (2.6). Con  () =  () para 0 ≤  ≤  y donde  () son los coeficientes del ´ ³  desarrollo de Fourier de la función inicial  ( ) con respecto a sen  de modo que:  ( ) =. ∞ X =1.  () sen. ³  ´ . 27.  0 ≤  ≤  0 ≤  ≤ .

(33) con este planteamiento, propondremos como solución del problema (2.1) (2.3) la serie formal  ( ) =. ∞ X.  () sen. =1. 2.3.. Solución. de. la. ³  ´ . ecuación. diferencial. ordinaria con retardo La aplicación del método de separación de variables al problema (2.1) (2.3) nos conduce a un problema de valor inicial para la ecuación diferencial con retardo, (2.7)  0 () =  () +  ( −  )       () =  ()  0 ≤  ≤  . (2.8). donde  = −2 2   =    0 y   6= 0 En primer lugar consideramos el problema particular en el que la función inicial es la función constante  () = 1 Utilizaremos el método de los pasos ver (Bellman, 1963, pp. 45 - 47) para ir resolviendo el problema (2.7) - (2.8) en sucesivos intervalos [  ( + 1)  ]  a partir del intervalo inicial [0  ]  donde la solución coincide con la función inicial,  0 () =  () +  ( −  )       () = 1. 0 ≤  ≤ . Para  ≤  ≤ 2 =⇒ 0 ≤  −  ≤   0 () =  () +  ( −  ).  0 () =  () +  (1)  0 () −  () =  28.

(34) entonces si:. . =. −. = −. se tiene: Z. . . Z. ¡ ¢  −  () =. . − . . − − + −  − −  + − −     (− ) − + (− ) µ   ¶   (− ) 1+ −    (− ) (1 + ) − . −  () − −  ( ) =   () − =  () =  () =  () =. En el siguiente lema se presenta la expresión general, para un intervalo cualquiera, de la solución que se deduce por este método y se demuestra su validez por inducción. Lema 2.1 Consideremos la EDR (2.7) con condición inicial  () = 1 para   ∈ [0  ], y escribimos  = . Su solución en el intervalo [  ( + 1)  ]    = 0 1     viene dado por: 1 () = (1 + ).  X. (−)−1 (− ). −1 X (− ( −  )) =0. =1. !. + (−). (2.9). Prueba. Comprobemos la expresión propuesta por inducción. Paso 1: Para  = 0 1 () = 0 + 1 = 1, coincide con la condición inicial. Paso 2: supongamos que la expresión es cierta para , es decir que la solución en el intervalo [  ( + 1)  ], viene dado por: 1 () = (1 + ).  X =1. (−)−1 (− ). −1 X (− ( −  )) =0. 29. !. + (−). (2.10).

(35) Paso3: Para  =  + 1, calculemos la solución en el intervalo [( + 1)   ( + 2)  ], que debe venir dada por la expresión: 1 () = (1 + ). +1 X. −1 X (− ( −  )). (−)−1 (− ). !. =0. =1. + (−)+1 (2.11). Calculando la ecuación para  en el intervalo [( + 1)   ( + 2)  ], siguiendo (2.7):  0 () −  () =  ( −  )  . multiplicando por el factor integrante  =  . . (+1) (−). . Z. [ 0 () −  ()] =  (+1) (−)  ( −  )  ´0 ³   (−) (+1) 1 () =  (+1) (−) 1 ( −  )  Z  ³  ´0  (−)  (+1) 1 () =  (+1) (−) 1 ( −  ) . . (+1) Z . Z. (+1) (−). (+1) . (+1). . (+1). Z ³ ´0 −|(+1)  1 () =. (+1) Z . ¢0 ¡ −+(+1) 1 () = . (+1) Z . ¢¤ £¡ −+(+1) 1 () (+1) = . (+1) Z . −+(+1) 1 () − 1 (( + 1)  ) =. (+1) Z . −+(+1) 1 () −  =. . 1 ( −  ) . . 1 ( −  ) . . 1 ( −  ) . . 1 ( −  ) . . 1 ( −  ) .     . (+1) Z . (+1) (−). (+1) (−). (+1) (−). (+1) (−). (+1) (−). −+(+1) 1 () =  +. (+1). −(+1). 1 () = . −(+1). +. Z. . (+1). es: −(+1). 1 () = . ∙ Z +. . . . (+1). 30. . . . . (+1) (−). (+1) (−). (+1) (−). 1 ( −  ) . 1 ( −  ) . ¸ 1 ( −  ) . (2.12).

(36) y ajustando el valor de  para que en el extremo izquierdo, ( + 1)   el valor de 1 () coincida con lo proporcionado por (2.11) se tiene que  = 1 (( + 1)  ) y sustituyendo en (2.12) −(+1). 1 () = . ∙ Z 1 (( + 1)  ) +. . . . (+1). (+1) (−). ¸ 1 ( −  ) . (2.13). 1 () = −(+1) 1 (( + 1)  ) Z  −(+1) + −+(+1) 1 ( −  ) . (2.14). (+1). Extrayendo constantes fuera de la integral y simplificando se tiene: −(+1). 1 () = . . 1 (( + 1)  ) + . Z. . (+1). − 1 ( −  ) . (2.15). Dado que ( + 1)  ≤  ≤ ( + 2)   la expresión 1 ( −  ) es la solución para ( −  ) ∈ [  ( + 1)  ]  Por tanto, teniendo en cuenta los valores 1 (( + 1)  ) y 1 ( −  ) en (2.10) y sustituyendo en (2.15) se tiene: 1 () =. (−(+1) ). . ". (1 + ).  X. (−)−1 (+1−). =1. # (− ( + 1 − )  )  + (−) · ! =0 " Z   X  − (1 + )  (−)−1 (−(+1) ) + −1 X. (+1). −1 X. . #. =1. (− ( − ( + 1)  ))  ! =0 Z   + − (−)  ·. (2.16). (+1). Ahora vamos a desarrollar la primera parte de la expresión (2.16) que quedaría de la siguiente forma,. 31.

(37) (−(+1) ). . −1 X. ". (1 + ).  X. (−)−1 (+1−). =1. (− ( + 1 − )  ) · + (−) ! =0 = (1 + ).  X. #. −1 − − + + −. (−). . −1 X (− ( + 1 − )  ). !. =0. =1  (−(+1) ). + (−)  −1  X X (− ( + 1 − )  ) −1 (− ) = (1 + ) (−)  ! =0 =1 + (−) (−(+1) ). (2.17). separando  = 1 en el primer sumatorio, la expresión (2.17) quedaría ". 0 (−1 ). (1 + ) (−)  " X. + (1 + ). 0 X (− ( + 1 − 1)  )0. 0!. =0. (−)−1 (− ). −1 X (− ( + 1 − )  ) =0. =2. #. !. #. + (−) (−(+1) ) "  # −1  X X (− ( + 1 − )  ) = (1 + ) (−)−1 (− ) ! =0 =2 + (1 + ) (− ) + (−) (−(+1) ). (2.18). y separando  = 0 del segundo sumatorio, (2.18) (1 + ). "  X. −1 (− ). (−). =2  X. + (1 + ). . −1 X (− ( + 1 − )  ). !. =1. #. + (1 + ) (− ). (−)−1 (− ) + (−) (−(+1) ). =2. Ahora vamos a desarrollar la segunda y tercera expresión de (2.16). 32. (2.19).

(38) . +. Z.  −. . (+1). ". (1 + ) #.  X. (−)−1 (−(+1) ). =1. Z  (− ( − ( + 1)  ))  · − (−)   +  ! (+1) =0 Z  −1  X X (− ( − ( + 1)  )) −1 −(+1)  (1 + ) (−)  =   ! (+1) =0 =1 Z    −  (2.20) + (−)  −1 X. (+1). Introduciendo la primera integral dentro de la sumatoria y resolviendo la segunda integral, se obtiene .  (1 + ).  X. −1 −(+1). (−). . =1. + (−)  . =  (1 + ). µ.  X. −.  |(+1) − . −1 Z X. ¡ ¢  − (−)  − − −(+1) . . (+1). =0. =1. . (+1). =0. ¶. −1 −(+1). (−). −1 Z X. (− ( − ( + 1)  ))  !. (− ( − ( + 1)  ))  ! (2.21). operando(2.21).  (1 + ).  X. −1 −(+1) +. (−). . −1 Z X =0. =1. . (+1). (−) ( − ( + 1)  )  !. ¡ ¢  − (−)  − − −(+1)  Z −1  X X (−)  −1 (−(+1) ) =  (1 + ) (−)  ( − ( + 1)  )  ! (+1) =0 =1 ¢ +1 ¡ + (−) 1 − (−(+1) ) Z −1  X X (−)  −1 (−(+1) ) =  (1 + ) (−)  ( − )  ! (+1) =0 =1 ¡ ¢ + (−)+1 1 − (−(+1) ) 33.

(39) =  (1 + ).  X. =1 +1 ¡. + (−). =  (1 + ). −1 (−(+1) ). (−). =0. ¢ 1 − (−(+1) ).  X. (−)−1 (−(+1) ). =1 +1 ¡. + (−). . Z −1 X (−) −1 X (−) =0. ¢ 1 − (−(+1) ). !. !. . () . (+1). Ã. ( − )+1  |(+1) +1. !. −1 X (−) ³ (−)  ( − )+1 =  (1 + ) ! ( + 1) =0 =1 ´ ¡ ¢ − (( + 1)  − )+1 + (−)+1 1 − (−(+1) )  X. =  (1 + ).  X. −1 (−(+1) ). −1 (−(+1) ). (−). . =1. − (1 + ) +1. + (−). =  (1 + ).  X. −1 X (−) ( − ( + 1)  )+1 ( + 1)! =0. (−)−1 (−(+1) ). =1. ¡ ¢ 1 − (−(+1) ).  X. −1 (−(+1) ). (−). =1. . −1 X (−) (( + 1)  − ( + 1)  )+1 ( + 1)! =0. −1 X (−) ³ ( − ( + 1)  )+1 ( + 1)! =0. ´ µ − ¶ ¡ ¢ + (−)+1 1 − (−(+1) )  − ( −  ) − Ã −1  X X (− ( − ( + 1)  ))+1 =  (1 + ) (−)−1 (−(+1) ) ( + 1)! (−) =0 =1 ! ¡ ¢ (− ( −  ))+1 + (−)+1 1 − (−(+1) ) − ( + 1)! (−) +1.  −1 X X (− ( − ( + 1)  ))+1  −1 (−(+1) ) = − (1 + ) (−)   ( + 1)! =0 =1 Ã ! −1  +1 X X (− ( − )  )  (−)−1 (−(+1) ) + (1 + )  ( + 1)! =0 =1. − (−)+1 (−(+1) ) + (−)+1. (2.22). Renombrando los índices de las primeras sumatorias y realizando los cambios 34.

(40) de variable  =  − 1 luego  =  en las expresiones de (2.22) se tiene que la expresión anterior es igual a lo siguiente: = − (1 + ) + (1 + ). +1 X. −2 (− ). (−). . =0. =2. +1 X. −2 (− ). (−). . +1 (−(+1) ). . −2 X. =0 +1. =2. − (−). −2 X (− ( −  ))+1. + (−). ( + 1)!. Ã. (− ( + 1 − )  )+1 ( + 1)!. ! (2.23). Ahora renombramos las segundas sumatorias de las expresiones anteriores, con los que se tiene = − (1 + ) + (1 + ). +1 X. −2 (− ). (−). . =1. =2. +1 X. −2 (− ). (−). . +1 (−(+1) ). . −1 X. =1 +1. =2. − (−). −1 X (− ( −  )). + (−). !. Ã. (− ( + 1 − )  ) !. ! (2.24). introduciendo  dentro de las sumatorias, +1 X. = (1 + ). −1 (− ). (−). . +1 X. (−)−1 (− ). =2 +1 (−(+1) ). − (−). ! Ã ! −1 X (− ( + 1 − )  ). =1. =2. − (1 + ). −1 X (− ( −  )). . =1 +1. + (−). !. (2.25). Teniendo en cuenta que para  =  + 1 la expresión (− ( + 1 − )  ) es cero, las expresiones anteriores quedarían de la forma. 35.

(41) = (1 + ). +1 X. −1 (− ). (−). . −1 X (− ( −  )). !. =1. =2. Ã. ! (− ( + 1 − )  ) (−)  − (1 + ) ! =1 =2 Ã !   X (− ( + 1 − ( + 1))  ) − (1 + ) (−)+1−1 (−(+1) ) ! =1  X. −1 (− ). −1 X. − (−)+1 (−(+1) ) + (−)+1. las expresiones anteriores quedarían de la forma +1 X. = (1 + ). −1 (− ). (−). .  X. −1 (− ). (−). . =2 +1 (−(+1) ). − (−). !. =1. =2. − (1 + ). −1 X (− ( −  )). . −1 X. Ã. =1 +1. (− ( + 1 − )  ) !. ! (2.26). + (−). Sumando las expresiones (2.19) con las expresiones (2.26), que proceden del desarrollo de (2.16), tenemos la expresión de 1 () en el intervalo [( + 1)   ( + 2)  ], se tiene: +1 X. 1 () = (1 + ). −1 (− ). (−). . +1 (−(+1) ). . (− ). + (1 + ) . !. =1. =2. − (−). −1 X (− ( −  )). + (1 + ).  X. (−)−1 (− ). =2  (−(+1) ). + (−) . y, factorizando(2.27). 36. + (−)+1. (2.27).

(42) 1 () = (1 + ). +1 X. −1 (− ). (−). =2  X. + (1 + ). . −1 X (− ( −  )). !. =1. (−)−1 (− ) + (1 + ) (−) (−(+1) ). =2 (− ). + (1 + ) . + (−)+1. (2.28). Finalmente, agrupando las expresiones de (2.28) y  =  + 1 se tiene 1 () = (1 + ). +1 X. −1 (− ). (−). . !. =1. =2. + (1 + ). −1 X (− ( −  )). +1 X. (−)−1 (− ). =2 (− ). + (−)+1. + (1 + ) . (2.29). y reagrupando la primera y segunda línea 1 () = (1 + ). +1 X. −1 (− ). (−). . −1 X (− ( −  )). !. =0. =2. + (1 + ) (− ) + (−)+1. (2.30). o lo que es igual 1 () = (1 + ). +1 X. −1 (− ). (−). . −1 X (− ( −  )) =0. =1. !. + (−)+1. (2.31). en el intervalo [( + 1)   ( + 2)  ]  como queríamos demostrar.. En el próximo lema probaremos este resultado escribiendo la solución en una forma más compacta, utilizando la función gamma y la función gamma incompleta complementaria, Γ () =. Z. ∞. − −1.  .  . Γ ( ) =. Z. . 0. 37. ∞. − −1 .

(43) Lema 2.2 La solución de la ecuación (2.7) con la condición inicial  () = 1 para  ∈ [0  ]  en el intervalo [  ( + 1)  ]   = 0 1     viene dada por: 1 () = (1 + ).  X. (−)−1. =1. Γ ( − ( −  )) + (−) Γ (). (2.32). Prueba. La equivalencia entre (2.9) y (2.32) se sigue inmediatamente de la identidad ver (Abramowitz, 1964, p. 262) (− ). . −1 X (− ( −  )). !. =0. −. =. −1  X  =0. !. =. Γ ( ) Γ (). donde  = − ( −  )  La suma en (2.32) es vacía para  = 0 1 () = (1 + ) (0) + (−)0 = 1 con lo que es evidente que 1 () satisface la condición inicial. Usando las relaciones Γ ( ) = Γ () −. −1  X  =0. !. y aplicando derivadas parciales, tenemos para   1 1 1 Γ ( ) = − − Γ ()  Γ () −. =  haciendo  = 1 −. Ã. −1  X . Γ () − (−1). −1  X . ! =0. + Γ () −. −1 −1 X   =1. !. !. −1 X −1 Γ ( ) Γ ( − 1 ) − = − ! ( − 1)! Γ () Γ ( − 1) =0 =1 −. Γ (1 ) 1 Γ (1 ) = − =  Γ (1)  Γ (1). (Abramowitz, 1964, p. 262). 38.

(44) Obtenemos que para  ∈ (  ( + 1) )   ≥ 1 0. 1 () = (1 + ).  X. (−)−1 . =1  X. − (1 + ). Γ ( − ( −  )) +  (−) −  (−) Γ (). (−)−1 . =2. Γ ( − 1 − ( −  )) Γ ( − 1). . = 1 () −  (−) +  (1 + ) = 1 () + 1 ( −  ) . −1 X. (−)−1. =1. Γ ( − ( −  −  )) Γ (). Para obtener la solución para una función inicial cualquiera, consideramos la siguiente representación integral. Lema 2.3 Sea 1 () la solución de la ecuación (2.7) con la condición inicial  () = 1   ∈ [0  ] considerada en el Lema (2.2). Entonces, la solución del problema (2.7) de valores iniciales (2.8) para una función inicial  diferenciable, viene dada por:  ( ) +  (0)  1 () +  () = 1+ 1+. Z. 0. . 1 ( − )  0 () . (2.33). Prueba. Buscamos una solución de la forma  () = 1 () +. Z. . 0. con =.  ( ) +  (0)  1+. 1 ( − )  0 ()   0 () =. (2.34).   0 () 1+. valor inicial (2.8) con donde 1 () es la solución de (2.7) de 1 () =  () = 1 en 0 ≤  ≤  y  () una función a determinar de manera que  () sea solución de (2.7) de valor inicial (2.8). Primero vamos a comprobar sustituyendo en la ecuación diferencial que la función  () es solución del problema. 39.

(45) Derivando (2.34) 0. Z. . 10 ( − )  0 ()  0 Z  0  () =  (1 () + 1 ( −  )) + (1 ( − ) + 1 ( −  −  ))  0 ()  Z 0 0 () = 1 () + 1 ( −  ) + 1 ( − )  0 ()  0 Z  1 ( −  −  ) 0 ()  + µ0 ¶ Z  0 0 1 ( − )  ()   () =  1 () + 0 ¶ µ Z  0 1 ( −  −  )  ()  + 1 ( −  ) + () =. 10. () +. 0. 0 () =  () +  ( −  ). Nos queda determinar la constante  y la función  () de manera que  coincida con la función en el siguiente intervalo, o sea con  en  ≤  ≤ 2  desarrollando obtenemos 0 ≤ − ≤. 0 () =  () +  ( −  ). 0 () =  () +  ( −  ). 0 () −  () =  ( −  ) donde el factor integrante es . .  (−). = −(− ). y multiplicando −(− ) 0 () − −(− )  () = −(− )  ( −  ) ¡ −(− ) ¢0   () = −(− )  ( −  ) Z  Z  ¢0 ¡ −(− )  () = −(− )  ( −  )   . . 40.

(46) −(− ). . −( − ). Z. . −(− )  ( −  )   Z  −(− )   () =  ( ) + −(− )  ( −  )   Z  (− ) (− )  ( ) +  −(− )   () = .  () − .  ( ) =. . · ( −  )   ≤  ≤ 2. Haciendo un cambio de variable donde  ≤  ≤  sigue 0 ≤  −  ≤  −  entonces: Z − (− ) (− )  () =   ( ) +  −  ()  0. Por otro lado, para  ∈ [0  ] se tiene: 1 () = 1 y para  ∈ [  2 ] por el Lema (2.1) con  = 1 se tiene que: 1 () = (1 + ) (−)1−1 (− ). (− ( −  ))0 + (−)1 0!. 1 () = (1 + ) (− ) + (−) µ ¶   1 () = 1+ (− ) −   sustituyendo la expresión anterior en (2.34) se tiene: (− ). (− ). Z. −.  ( ) +  −  ()  0 Z  = 1 () + 1 ( − )  0 ()  0 ¶ ¶ Z  µµ ¶ ¶ µµ     (− ) (−− ) 1+ − −  +  0 ()  =  1+     ¶ ¶ Z0 − µµ ¶ ¶ µµ     (− ) (−− ) 1+ − −  +  0 ()  =  1+     0 Z  1 ( − )  0 ()  +.  () = . −. 41.

(47) µµ ¶ ¶ Z − µµ ¶ ¶     (− ) (−− ) 1+ =  1+ − −  +  0 ()      0 Z  0 ()  + − µµ ¶ ¶ Z − µ ¶    (− ) =  1+ 1+ −  + (−− )  0 ()     0  − [ ( −  ) −  (0)] +  ( ) −  ( −  )  ¶ ¶ µ ¶ Z − µµ    (− ) − (−− )  0 ()   + 1+ =  1+    0   −  ( −  ) +  (0) +  ( ) −  ( −  ) (2.35)   Aplicando integración por partes para:  =. Z. −. (−− )  0 () . 0 (−− ).  =  0 () .  = .  = (−− ) (−)  +  = (−− )  () |− 0. Z.  =  () −. (−− )  ()  0 Z − (0) (− )  (0) +  (−− )  ()   =   ( −  ) −  0 Z − (− ) (− )  (0) +  −  ()   =  ( −  ) −  0. así (2.35) se queda como sigue, ¶ µ      () =  1 + (− ) −  −  ( −  ) +  (0) +  ( ) −  ( −  )     ¶∙ ¸ µ Z −  (− ) (− ) −  ( −  ) −   (0) +    ()  + 1+  0 simplificando lo anterior se tiene lo siguiente:. 42.

(48) (− ). (− ). Z. −.  ( ) +  −  ()  0 ¶ µ ¶ µ     (− )  (− )  (0) −  +  (0) +  ( ) − 1 + =  1+     ¶ µ Z −  (− )  −  ()  (2.36) + 1+  0.  () = . si tomamos Z (− ) . − −. . 0. ¶ µ Z −  (− )   ()  = 1 + −  ()   0. (2.37). se deduce que ¶ µ   ()  () = 1+  µ ¶    () = 1+  ()     () +  ()  () =  o lo que es lo mismo. µ ¶   () = 1 +  () . y despejando se tiene  () =. µ. ¶   () +. Por otro lado, teniendo en cuenta (2.37) , la expresión (2.36) se quedaría como sigue, (− ). . µµ ¶ ¶ µ µ ¶ ¶     (− ) (− )  ( ) =  1+ − +  + ( )+ − 1 +   (0)    . y teniendo en cuenta la definición de  de la expresión anterior se obtiene (− ). . ¶ ¶ µ ¶ µµ    (− )  +  ( ) +  ( ) =  1+ −   + µ µ ¶ ¶µ ¶    (− ) + − 1+   (0) +   + 43.

(49) o lo que es lo mismo ¶¶ µ µ ¶ ¶ ¶µ µ µ     (− ) (− )  ( ) − − 1+   (0)  − +   + µµ ¶ ¶   (− ) =  1+  (2.38) −   Teniendo en cuenta que (− ). . −. µ.  +. ¶.  = . µ.  +. ¶ µµ ¶ ¶   (− ) − 1+   . el valor de  de (2.38) se despeja como sigue =.  (0) +  ( )  (0) +  ( ) = + 1+. por tanto, sustituyendo  () y  en (2.34), se tiene  (0) +  ( )  1 () +  () = 1+ 1+. Z. 0. . 1 ( − )  0 () . Nuestro próximo teorema se deduce sustituyendo la expresión (2.32) en (2.33), sabiendo que si  ∈ [  ( + 1)  ] entonces − se va a mover en dos intervalos diferentes. Esto habrá que tenerlo en cuenta para el cálculo de:  1+. Z. . 0. 1 ( − )  0 () . Así: 0 ≤  ≤  − . =⇒.  ≤  −  ≤ . por el Lema (2.2) 1 ( − ) = (1 + ).  X =1. (−)−1. Γ ( − ( −  −  )) + (−)  Γ (). es la solución para ( − ) ∈ [  ( + 1)  ]  44.

(50) Mientras que:  −  ≤  ≤ . =⇒  −  ≤  −  ≤ . y por el Lema (2.2) 1 ( − ) = (1 + ). −1 X. Γ ( − ( −  −  )) + (−)−1  Γ (). (−)−1. =1. es la solución para ( − ) ∈ [( − 1)    ]  De esta forma,  1+. Z. . 1 ( − )  0 ()  0 # Z − "  X Γ ( − ( −  −  ))  (1 + ) (−)−1 = + (−)  0 ()  1+ 0 Γ () =1 Z  −1 X Γ ( − ( −  −  )) 0  (1 + ) (−)−1 +  ()  1 +  − Γ () =1 Z   + (−)−1  0 ()  (2.39) 1 +  − El resultado final se recoge en el siguiente teorema. Teorema 2.1 La solución del problema de valores iniciales (2.7) - (2.8), para una función inicial  diferenciable, viene dada, en el intervalo [  ( + 1)  ]   = 0 1     por:  () = ( (0) +  ( )).  X. (−1)−1 (−)−1. =1. Z  X −1  (−1) () + =1 −1 X. +. −. 0. (−1)−1 (). Z. . −. =1. . . + (−1) ()  ( −  ) 45. Γ ( − ( −  )) Γ (). Γ ( − ( −  − )) 0  ()  Γ () Γ ( − ( −  − )) 0  ()  Γ () (2.40).