-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 y x
FUNCIONES
Anexo1) Se quiere alquilar un automóvil y para eso se visitan dos empresas. En una de ellas el costo es de $65 por día. La otra en cambio no cobra por día, sino $3,25 por kilómetro recorrido. En ambos casos el combustible corre por cuenta del cliente.
a) ¿De qué variable es función el costo en cada caso? b) Realiza un gráfico para cada situación.
c) Si necesitamos un auto por 3 días para recorrer 20 km por día ¿qué empresa nos conviene más? d) ¿Cuál será la empresa que nos conviene para recorrer 60 km en un solo día?
e) ¿Cuándo conviene si alquilamos el automóvil por 2 días para recorrer 13 km por día? f) ¿Cuándo es indiferente contratar a cualquiera de las empresas?
2) Toma una cuerda de 50 cm, une sus extremos con cinta adhesiva y forma un triángulo isósceles.
a) Construye una tabla de valores en la que la variable independiente x sea la longitud del lado desigual (base) y la variable dependiente y, la longitud de cada uno de los lados congruentes.
b) Indica el dominio de la función y el conjunto de llegada. c) Grafica en un sistema de ejes cartesianos.
3) Dada la función
h :
D
h
IR y
/
4
x
2
3
x
halla, de ser posible: a) El dominio deh
b) los ceros c) los polos
d) intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
4) Dada la gráfica de una función f, cuyo Dominio es el conjunto de números reales, responde:
Figura 15
a) ¿Es acotada? Indica por qué.
b) ¿Es periódica? Determina el período. c) ¿Es par o impar?
d) Presenta intervalos de positividad o de negatividad? Escríbelos.
5) Dadas las siguientes expresiones definidas de A en B. Define dominio y conjunto de llegada para que sean funciones y luego halla los ceros:
a)
7
5
2
)
(
x
x
f
b)f
(
x
)
x
2
c)f
(
x
)
6
x
1
d)f
(
x
)
(
x
1
)
2
5
e)
1
)
1
)(
3
(
)
(
2
x
x
x
x
f
f)1
9
)
(
2 2
x
x
x
f
6) ¿Cuándo las funciones reales del tipo f(x) = xn + a con n N, a IR y a 0 son pares?
7) ¿Las funciones reales del tipo f(x) = a.g(x) con g par y a IR y a 0 son pares?. Justifica tu respuesta
8) Si para el ejercicio anterior, g es impar, ¿cómo es f? Justifica tu respuesta.
9) La suma de dos funciones reales pares, ¿es una función par?¿y si fueran impares?¿y si fuera una impar y otra par? Justifica.
10) Suponga que f es una función real par y g es una función real impar. a) ¿Cuáles de las siguientes funciones son pares?
b) ¿Cuáles de las siguientes funciones son impares? a) (f . g)
b) (f . f)
c) (f /g) d) (g . g)
11) ¿Para qué valores del dominio las siguientes funciones reales toman valores positivos? a) f(x) = 3x + 2
b) f(x) = (x-2)(x+1)
12)Halla, si existen, los ceros de las siguientes funciones reales cuadráticas: a) f3(x) = - x2 – 4
b) f4(x) = x2 + 3x + 2
13)Halla los números enteros que verifiquen la condición pedida en cada uno de los siguientes casos.
a) el triple del cuadrado de su consecutivo es 147
b) el producto de dos números impares consecutivos es 143.
14) Calcula el perímetro de un rectángulo cuya área es 168, sabiendo que la diferencia entre la base y la altura es 2.
15) Calcula la altura de un triángulo de 270,75 de área, sabiendo que la medida de su altura es igual a las dos terceras partes de la medida de la base.
16)Un proyectil, luego de ser disparado, recorre una trayectoria en forma de parábola. Los ingenieros han armado una función que permite calcular la altura h (en metros) alcanzada por el proyectil en función del tiempo t (en segundos): h(t)= -2,2t2 +2t. Grafica la función encontrada y responde:
a) ¿La trayectoria del proyectil coincide con la gráfica de la función? b) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada y en qué momento ocurre? c) ¿Cuánto tarda en llegar al suelo?
17) En aquellos casos en que la función real cuadrática no esté factorizada, exprésela en forma factorizada.
a) f3(x) = 4x2 – 1 b) f6(x) = x2+x
18) Una empresa de viajes está planificando su oferta para los viajes de egresados. Uno de los coordinadores (ya egresado), recuerda algunos conceptos matemáticos y arma una función que representa la ganancia g en función de la cantidad x de alumnos:
g(x)= 500x- 10x2. Grafica y responde:
a) ¿Cuántos alumnos deben ir para que la ganancia de la empresa sea la máxima posible y cuál es dicho monto?
b) ¿Cuántos alumnos tendrían que viajar para que a la empresa no le convenga organizar el viaje? 19)Un cable de suspensión de un puente colgante adquiere la forma de un arco de parábola. Los
pilares que lo soportan tienen una altura de 60 metros y están separados una distancia de 500 metros, quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 metros sobre la calzada del puente. ¿Cuál es la altura a la que se encuentra un automóvil en el momento en que está ubicado a 80 metros del centro del puente? Grafica la situación.
20)Con los requisitos que se piden en cada caso, escribe f:
a) Tiene asíntota vertical x = -2 y pasa por el punto P(2;2)
b)El mayor conjunto real en el que pudo definirse es el intervalo (4;∞) y pasa por el punto C(6;-1)
21) Una población de bacterias aumenta un porcentaje respecto a la población presente por hora. Si la población inicial era de 1500 g y a las cuatro horas aumentó a 4200 g ¿Cuál es la tasa de crecimiento por hora?
22) Se sabe que una población de bacterias aumenta 0,5% cada 8 horas. Si se comienza la observación con 1000 g de bacterias:
a) ¿Cuál es la expresión que permite determinar la masa de las bacterias en función del tiempo en horas?
b) ¿Cuánta tarda la población de bacterias en triplicar su masa? c) ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento por día?
23) Una persona depositó $ 5.000 en un banco que le ofreció un interés compuesto del 10 % anual. ¿Cuánto tiempo estuvo depositado el dinero si llegó a tener un monto de $ 7.320,50?
24) Una solución tiene una concentración de iones hidrógeno de 0.00033 mol/L. a) ¿Cuál es su pH?
25) Un champú tiene pH = 4,5:
a) ¿Cuál es la concentración de iones hidrógeno, en mol/L?
b) ¿Es más ácido que otro que tiene una concentración de iones hidrógeno de 0,0000467? c) ¿Por qué?
26) En un laboratorio se observa una sustancia radiactiva. Al cabo de seis días de comenzada la observación, la masa es de 1500 g y 15 días después, 950 g.
a) ¿Cuál es la expresión que permite calcular la masa remanente en función del tiempo? b) ¿Cuál es la vida media de esa sustancia?
c) ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento por día, semana, mes y hora?
27) En 1906, un terremoto localizado en San Francisco tuvo una magnitud de 8.2 en la escala Ritcher. En 1989 hubo otro 19.95 veces más potente que el de 1906. Halle el grado en la escala Ritcher correspondiente al terremoto de 1989.
28) Un elemento radiactivo que decae en su crecimiento después de un tiempo t, responde a la fórmula F(T) = 60.2-0,02.t
a) ¿Cuál es la cantidad de este elemento al inicio del proceso? b) ¿Qué cantidad queda después de 500 años?
c) ¿Qué cantidad queda después de 1000 años? d) ¿Qué cantidad queda después de 2000 años?
29) El valor de reventa de una máquina dentro de la fábrica se comporta conforme a la función: V(T) = 5000.e-0,1.t, donde t son los años transcurridos desde la compra original.
a) ¿Cuál es el valor original del equipo?
b) ¿Cuál es el valor al que se podrá vender, después de conservarlo por 5 años?
30) Una sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo con la fórmula r(t) = k.e-7t, donde k es una constante. ¿En cuánto tiempo habrá exactamente un tercio de la cantidad inicial?
Resolución (demostración opcional)
De la expresión del problema anterior, no se puede “despejar x” de ninguna manera. Buscaremos la forma de resolver cualquier ecuación de segundo grado, es decir, necesitamos obtener el valor de x que verifica cualquier expresión del tipo de ax2+bx+c=0 (denominada ecuación cuadrática): se deben encontrar los ceros de la función y = ax2 + bx + c.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2(2 ) (2 ) ( )
0
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
abx ax bax
bx c
ax
bx
c
multiplicamos por a
aax
abx
ac
sumamos b
a x
abx b
ac b
a x
abx
b
b
ac
2 2 2 2 2(2
+b) =b -4 c
2
b
b
4
2
b
4
b
4
2
ax
a
ax
ac
ax
b
ac
b
ac
x
a
FUNCIÓN COSECANTE CONSTRUCCIÓN Seaf
: R
x x
/
k
,
k
Z
R f x
/
( )
csc
x
1
senx
En este ejercicio partiremos de una tabla de valores de y = csc x para ángulos de la 1ª vuelta para obtener la gráfica de esta función en ese intervalo y luego se continúa para los otros intervalos como en las funciones anteriores. Por tratarse de una función recíproca para calcular sus valores primero se calcula el valor de la función seno y luego se calcula el valor recíproco.
En el eje de abscisas marcamos a izquierda y derecha del origen de coordenadas intervalos de amplitud
6
. Completa la tabla x (rad) y =csc x 0Propiedades de la función cosecante en el intervalo
0
;
2
Observando el gráfico de la función cosecante podemos obtener las siguientes conclusiones: a) dominio e imagen
D:
0
;
2
I: (-∞;-1] U [+1;+∞) b) periodicidad
La gráfica obtenida en el intervalo
0
;
2
se repite periódicamente
: cs
2
cs
x
R
c x
cx
períodop
2
al igual que la función seno. c) no es inyectivad) ceros de la función: resolvemos la ecuación
cs
cx
0
0
1
senx
No existe ningún valor de x que cumpla con la ecuación, por lo tanto no hay raíces (la función no corta el eje x).e) paridad y simetría:es impar. Por ejemplo:
f
/
2
f
/
2
1
2
/
f
1
2
/
f
/
6
/
6
2
6
/
2
6
/
f
f
f
f
En general
x
IR f x
:
f
x es decir
,
x
IR
: cs
cx
cs
cx
(el gráfico es simétrico respecto del origen)f) Intervalos de crecimiento y decrecimiento
En algunos intervalos es estrictamente creciente y en otros es estrictamente decreciente.
En
...
(
0
;
/
2
)
(
3
/
2
;
2
)
...
, es estrictamente decreciente y en...
)
2
/
3
;
(
)
;
2
/
(
...
, es estrictamente creciente. FUNCIÓN SECANTE CONSTRUCCIÓN Sea: D
/
( )
sec
1
cos
f
IR f x
x
x
En este ejercicio partiremos de una tabla de valores de y = sec x para ángulos de la 1ª vuelta para obtener la gráfica de esta función en ese intervalo y luego se continúa para los otros intervalos como en las funciones anteriores. Por tratarse de una función recíproca para calcular sus valores primero se calcula el valor de la función coseno y luego se calcula el valor recíproco.
En el eje de abscisas marcamos a izquierda y derecha del origen de coordenadas intervalos de amplitud
6
Propiedades de la función secante en el intervalo
0
;
2
Observando el gráfico de la función secante podemos obtener las siguientes conclusiones: a) dominio e imagen
D:
0
;
2
Excepto parax
k
/
2
parak
Z
, es decir para todas las raíces de la función coseno.I: (-∞;-1] U [+1;+∞) b) periodicidad
la gráfica obtenida en el intervalo
0
;
2
se repite periódicamente
: sec
2
sec
x
IR
x
x
períodop
2
c) no es inyectivad) ceros de la función: resolvemos la ecuación
sec
x
0
0
cos
1
nx
No existe ningún valor de x que cumpla con la ecuación, por lo tanto no hay raíces (la función no corta el eje x).e) paridad y simetría:es par. Por ejemplo:
f
1
f
f
f
/
3
f
/
3
2
f
/
3
f
/
3
f
En general
f
(
x
)
f
(
x
)
(el gráfico es simétrico respecto del eje y) f) Intervalos de crecimiento y decrecimientoEn algunos intervalos es estrictamente creciente y en otros es estrictamente decreciente. En
(
0
;
/
2
)
(
/
2
;
)
es estrictamente creciente. En(
;
3
/
2
)
(
3
/
2
;
2
)
es estrictamente decreciente. FUNCIÓN COTANGENTE CONSTRUCCIÓN Sea: D
/
( )
cotan
1
tan
f
IR f x
x
x
En este ejercicio partiremos de una tabla de valores de y = cotan x para ángulos de la 1ª vuelta y siguientes para obtener la gráfica de esta función en un intervalo mayor.
En el eje de abscisas marcamos a izquierda y derecha del origen de coordenadas intervalos de amplitud
6
La gráfica muestra que los valores de la tangente vuelven a repetirse, de la misma manera que la función seno y coseno.
Propiedades de la función cotangente en el intervalo
0
;
2
Observando el gráfico de la función cotangente podemos obtener las siguientes conclusiones: a. dominio e imagen
D:
0
;
2
excepto para todo2
k
x
para todok
Z
I: (-∞;+∞) b. periodicidad
: cotan
cotan
x
IR
x
x
períodop
c. no es inyectiva
d. ceros de la función: resolvemos la ecuación
cotan
x
0
cotan /2
0
cotan
/ 2
cotan
/ 2 2
tan
/ 2
0
tan
/ 2
0,
k
k
con k
IR
en definitiva
/ 2 k
x
k
IR
es cero def
el conjunto de ceros de
x
x
k
k
Z
S
f
:
/
/
2
e. paridad y simetría: es impar.Por ejemplo:
f
f
x
f
x
f
/
2
/
2
0
/
4
f
/
4
1
f
En general
f
(
x
)
f
(
x
)
, el gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas. f. Intervalos de crecimiento y decrecimientoEs una función estrictamente decreciente en todo su intervalo y los intervalos de decrecimiento tendrán una amplitud igual al período:
...
;
0
0
;
;
2
....
31) Analiza la función f(x) = sen x:
a) El valor máximo que toma es … y el valor mínimo que toma es …. b) El conjunto imagen es el intervalo ……..
c) La curva corta al eje y en P (0;…).
d) Los valores de la función se repiten periódicamente cada …., se cumple que sen(x+2π) = sen x.
e) El período de la función es p = …..
f) Es impar, es decir sen(x) =……….(los valores opuestos del dominio tienen imágenes opuestas)
g) ¿Se verifica que /sen x/ ≤ 1? ……. 32) Analiza la función f(x) = cos x:
a) El valor máximo que toma es ….. y el valor mínimo que toma es ….. b) El conjunto imagen es el intervalo …….
c) La curva corta al eje y en P (…;…)
d) Los valores de la función se repiten periódicamente cada …., se cumple que cos (x+2π) = cos x.
e) El período de la función es p = ….
f) Es par, es decir cos (x) = ……….. (los valores opuestos del dominio tienen imágenes ……….)
g) ¿Se verifica que cos x = sen (π/2 – x). ……….. h) ¿Se verifica que cos x = - sen (x – π/2). ………….
i) ¿Se verifica que /cos x/ ≤1? ……….
33) Analiza la función f(x) = tan x:
a) ¿Toma algún valor máximo o mínimo? ….. b) El conjunto imagen es el intervalo (….;….) c) La curva corta al eje y en P (….;….)
d) Los valores de la función se repiten periódicamente cada …., se cumple que ………. e) El período de la función es ………….
f) Es impar, es decir ……..., (los valores opuestos del dominio tienen imágenes ……….)
g) Cuando cos x se acerca a cero, el valor de la tangente tiende a ………… h) Tiene infinitas asíntotas verticales, cada vez que ……….
34) Analiza si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) El dominio de f(x) = cotan x es el conjunto de los números reales. b) La función f(x) = sec x cruza al eje de las x cuando x = 7π/2. c) La función f(x) = cosec x no tiene ceros.
d) La función f(x) = sec x es la inversa multiplicativade f(x) = cos x. e) La función f(x) = sec x = 1/cos x.
f) La imagen de f(x) = cotan x es el conjunto de los números reales. g) La imagen de f(x) = sec x es el conjunto de los números reales. h) La función f(x) = sec x es creciente en el intervalo (-π/2; π/2). i) La función f(x) = sec x es par.
j) No existe ningún valor de x para el cual cosec x = 0,5. k) No existe ningún valor de x para el cual cotan x = 0,5. l) La función f(x) = sec x es positiva en el intervalo (-π/2; π/2). m) La función f(x) = cotan x es positiva en el intervalo (-π; -π/2).
35) Establece si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas: a) arcsen x = sen-1 x
b) cos-1 x = 1/cosx c) arctan x = cotan x
d) Sea f(x) = sen x, cuyo dominio es el intervalo [-π/2, π/2] y cuya imagen es el intervalo [-1, 1], la correspondiente función inversa es f-1(x) = arcsen x, cuyo dominio es el intervalo [-1; 1] y cuya imagen es el intervalo [-π/2,π/2].
e) Sea f(x) = tanx, cuyo dominio es el intervalo (-π/2, π/2) y cuya imagen es I = R, la correspondiente función inversa es f-1(x)=arctan x, cuyo dominio es el intervalo (-1,1) y cuya imagen es el intervalo (-π/2, π/2).
f) Sea f(x) = cos x, cuyo dominio es el intervalo [0, π] y cuya imagen es el intervalo [-1,1] la correspondiente función inversa es f-1(x) = arc cos x, cuyo dominio es el intervalo [-1, 1] y cuya imagen es el intervalo [0, π].
g) Si tan(-π/4) = -1, arc tan(-1) = -π/4 h) (tan x o tan-1x) = x
i) Si cos (π/4) = √2/2, arccos (π/4) = 2/√2
36) Para la función f(x) = a sen x, se verifica que: (a > 0)
a) El valor máximo que toma es …. y el valor mínimo que toma es …. b) El conjunto imagen es el intervalo ……….
c) La curva corta al eje y en P (….;….)
d) Los valores de la función se repiten periódicamente cada …., se cumple que ………. = …………...
e) El período de la función es ………
f) Es impar, es decir ………. = ……….. (los valores opuestos de dominio tienen imágenes ………)
g) El factor a se denomina ……….. de la onda sinusoidal. 37) Para la función f(x) = sen (bx) se verifica que: (b > 0)
a) El valor máximo que toma es …. y el valor mínimo que toma es …. b) El conjunto imagen es el intervalo …………
c) La curva corta al eje y en P (….;….) d) El período de la función es ………..
e) El factor b se denomina ……… de la onda sinusoidal.
38) Utilizando los gráficos de las funciones seno y coseno, halla y señala sobre el eje horizontal los valores de x que pertenecen al intervalo [0;2π], tales que:
a) sen x ≥ 0,5 c) 0 < sen x < 0,5 e) -1 < sen x ≤ 0 b) cos x < 0 d) cos x ≥
2
2
39) Se ha utilizado la función seno para representar los datos de temperatura en una zona de Ushuaia. Los puntos de la gráfica representan la temperatura media del aire. La función seno usada para ajustar los datos es:
y = 12 + cos (2π/360 . (t – 120))
a) ¿Cuál es la temperatura promedio máxima para esa región y cuál es la mínima? b) ¿Cada cuántos días, aproximadamente, se repite la misma temperatura promedio?
