Funciones potenciales y exponenciales. Alometr´ıa.
Funciones inversas. Escala logar´ıtmica.
Juan Ruiz ´Alvarez1, Marcos Marv´a Ruiz1
1Unidad docente de Matem´aticas. Universidad de Alcal´a de Henares.
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1 Funciones potenciales 2 Funciones exponenciales 3 Funciones inversas 4 Funciones logar´ıtmicas 5 Escala Logar´ıtmicaOutline
1 Funciones potenciales 2 Funciones exponenciales 3 Funciones inversas 4 Funciones logar´ıtmicas 5 Escala Logar´ıtmica¿Por qu´
e usar funciones potenciales?
Durante el crecimiento de un organismo, es de interés determinar la variación relativa de un atributo (fisiológico, morfológico,...) con respecto a otro. Son las llamadas relaciones alométricas. En la práctica:
● Toma de datos (trabajo de campo). ● Representar datos.
● Buscar la curva que mejor los aproxima.
¿Por qu´
e usar funciones potenciales? [5]
Año Miles de infectados 1981 97 1982 709 1983 2698 1984 6928 1985 15242 1986 29944 1987 52902 1988 83903 1989 120612 1990 161711 1991 206247 1992 257085Evolución epidemia de SIDA en USA
Representar datos ¿Dependencia? Parábola??
¿Por qu´
e usar funciones potenciales? [5]
Año Miles de infectados 1981 97 1982 709 1983 2698 1984 6928 1985 15242 1986 29944 1987 52902 1988 83903 1989 120612 1990 161711 1991 206247 1992 257085Evolución epidemia de SIDA en USA
Rojo, y = 82 * (x-1981)² Morado, y = 82 * (x-1981)³ Naranja, y = 82 * (x-1981)4 El “mejor” ajuste: algo intermedio Representar datos ¿Dependencia? Parábola??
Definici´
on de funci´
on potencial
Definici´on:
Una funci´on potencialf es de la forma:
f(x) =xr,
donder un n´umero real.
Si r ∈N, son los componentes elemetales de los polinomios. Si r ∈Z, est´an perfectamente definidas.
Si r ∈Q,r = mn: f(x) =xr =xm/n= n √ xm, siempre definidas si x>0. Ejemplos: 1 y =x−3,x∈R,x6= 0 1/3 5/2
Alometr´ıa
Definici´on: relaciones alom´etricas
Las variablesx e y mantienen una relaci´on alom´etrica cuandoy es proporcional a una potencia dex (o rec´ıprocamente), es decir:
y ∝xr
donder es un n´umero real distinto de 0.
La ecuaci´on anterior se puede expresar en forma de igualdad si se introduce una constante de proporcionalidad:
y =kxr
La b´usqueda de estas relaciones es el objetivo de la alometr´ıa.
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1 Funciones potenciales 2 Funciones exponenciales 3 Funciones inversas 4 Funciones logar´ıtmicas 5 Escala Logar´ıtmica¿Por qu´
e funciones exponenciales?
Un cultivo tiene inicialmente c(0) = 10 células que se dividen cada hora. Después de n horas habrá c(n) = 10 * 2n células
Divisiones perfectamente sincronizadas
La realidad es que no hay sincronía: Tiempo = variable continua, c(t) = 10 * 2t Juan Ruiz ´Alvarez, Marcos Marv´a Ruiz Matem´aticas (Grado en Biolog´ıa)
Crecimiento exponencial
Definici´on:
Una funci´onf se denomina funci´onexponencialde base asi,
f(x) =ax
Siendoa una constante positiva distinta de 1. El dominio mas grande posible def esR.
La forma de la funci´on exponencial depende de la base a. El
crecimiento exponencialse produce siempre que a>1 y el
decrecimiento exponencialcuando 0<a<1.
Propiedades de funciones exponenciales
Propiedades: aras =ar+s ar as =ar−s a−r = a1r (ar)s =arsFunci´
on de exponencial de base
e
El n´umero e se denomina base exponencial natural. Es la base de los logaritmos naturales o neperianos. Se define como el l´ımite de la sucesi´on: l´ım x→∞ 1 + 1 x x =e = 2.71828. . .
La funci´on exponencial de basee, se puede expresar de dos formas equivalentes:
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1 Funciones potenciales 2 Funciones exponenciales 3 Funciones inversas 4 Funciones logar´ıtmicas 5 Escala Logar´ıtmicaFunciones inversas
Definici´on:
Seaf :A→B una funci´oninyectiva con recorridof(A). La funci´oninversa f−1 tiene como dominio f(A) y como recorrido A, y se define por
f−1(y) =x⇔y =f(x) Para∀y ∈f(A).
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1 Funciones potenciales 2 Funciones exponenciales 3 Funciones inversas 4 Funciones logar´ıtmicas 5 Escala Logar´ıtmicaFunciones logar´ıtmicas
Definici´on:
La inversa def(x) =ax se denominalogaritmo en base ay se escribe comof−1(x) = loga(x)
El dominio def(x) =ax es el conjunto de los n´umeros reales y su recorrido es el conjunto de los n´umeros positivos. Como el
recorrido def es el dominio def−1, se obtiene que el dominio del
Relaci´
on entre las funciones exponenciales y logar´ıtmicas
Relaci´on logaritmo-exponencial
aloga(x) =x,∀x >0
loga(ax) =x,∀x ∈R
Es importante recordar que el logaritmos s´olo est´a definido para
x>0. El logaritmo satisface las siguientes propiedades: Propiedades de logaritmos
loga(st) = loga(s) + loga(t)
loga(st) = loga(s)−loga(t)
loga(sr) =rloga(s)
Funciones logar´ıtmicas
Cualquier funci´on exponencial de base ase puede expresar como una funci´on exponencial de basee. As´ı mismo, cualquier logaritmo en basease puede escribir en funci´on del logaritmo natural. Las dos igualdades siguientes indican c´omo:
Relaci´on entre logaritmos y funciones potenciales en distintas bases:
ax =exp(xln(a))
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1 Funciones potenciales 2 Funciones exponenciales 3 Funciones inversas 4 Funciones logar´ıtmicas 5 Escala Logar´ıtmicaEscala Logar´ıtmica
Existen magnitudes cuyo valor var´ıa recorriendo varios ´ordenes de magnitud. En estos casos podemos usar la escala logar´ıtmica. Normalmente se usan logaritmos decimales. En este caso estamos usando una escala en la que las potencias de 10 son equidistantes. En la literatura sobre biolog´ıa se utilizax y nolog(x) para
etiquetar los n´umeros en la escala logar´ıtmica. Tambi´en podemos representarf(x) en escala logar´ıtmica.
Escala lineal
f(x) = 20,1t
Escala logar´ıtmica
f(x) = 20,1t
Tipos de representaciones
Escala lineal.
Escala log-lineal o semilogar´ıtmica. Escala log-log o logar´ıtmica.
Transformaci´
on en funciones lineales
y =log(f(x)) = 1,5 + 0,5x
Transformaci´
on en funciones lineales de funciones
exponenciales
¿ Qu´e tipo de relaci´on tenemos en la anterior gr´afica?
y = log(f(x)) = 1,5 + 0,5x →f(x) = 101,5+0,5x = 101,5·(100,5)x
≈ 31,62·3,162x
Transformaci´
on en funciones lineales
Transformaci´
on en funciones lineales de funciones
exponenciales
Si partimos de una funci´on exponencialf(x) =b·ax en un gr´afico semilogar´ıtmico, representar´ıamos:
y = log(f(x)) =log(b·ax)→y=log(b) +log(a)x
Transformaci´
on en funciones lineales de funciones
potenciales
Si partimos de una funci´on potencialf(x) =b·xa en un gr´afico log-log representar´ıamos:
y = log(f(x)) =log(b·xa)→y =log(b) +a·log(x)
Luego, siy =log(f(x))
Expresi´on lineal en representaci´on log-log!!
Ejemplo de Alometr´ıa
Ejemplo t´ıpico de funci´on potencial son las alometr´ıas entre los tama˜nos de las diferentes partes del cuerpo.
Ejemplo
El tama˜no de la cornamenta de un reno crece con la edad. Durante los primeros 5 a˜nos lo hace seg´unc(t) = 53,2e0,17t, mientras que la altura del hombro var´ıa seg´un h(t) = 88,5e0,1t.
t = 1 0,1ln h 88,5 c = 53,2e 0,17 0,1ln h 88,5 = 53,2 h 88,5 0,17/0,1 = 0,026h1,7
Joseph M Mahaffy. Calculus A Modeling Approach for the Life Sciences. Ed. Wiley 2004.
Claudia Neuhaser. Matem´aticas para ciencias. Ed. Pearson-Prentice Hall 2004.
http://www.biology.arizona.edu/biomath/tutorials/Applications/Allometry.html
http://www-rohan.sdsu.edu/˜jmahaffy/courses/f09/math636/lectures/allometric dim/allometric.html
E. K. Yeargers, R. W. Shonkwiler, and J. V. Herod, 1996, An Introduction to the Mathematics of Biology: with Computer Algebra Models, Birkh¨aser, Boston.
