Vectoriales: Velocidad, Aceleración, Fuerza, Campo eléctrico, Campo magnético

Tema:

“Campos escalares y vectoriales”.

I. Objetivos.

• Verificar instrucciones y comandos en Matlab para graficar campos escalares y vectoriales aplicado a

superficies equipotenciales.

• Utilizar instrucciones en Matlab para encontrar el producto vectorial y escalar de dos y tres vectores.

II. Introducción.

Teoría de campos

Escalares: Longitud, Volumen, Energía, Trabajo, Potencia, Intensidad de corriente, Temperatura, Presión, Potencial eléctrico, Densidad.

Magnitudes físicas

Vectoriales: Velocidad, Aceleración, Fuerza, Campo eléctrico, Campo magnético

Campos escalares

Un campo escalar corresponde a una magnitud física que requiere sólo de un número para su caracterización. Esto puede corresponder, por ejemplo, a la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, a las presiones dentro de un fluido, o a un potencial electrostático. Un campo vectorial, en cambio, corresponde a una magnitud física que requiere de varios números para su descripción, como puede ser un campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas.

Matemáticamente, un campo escalar es una función, escalar, cuyo valor depende del punto del espacio en que se considere, y que escribimos en la forma

en que es un vector que representa la posición del un punto de observación en el espacio, de coordenadas (cartesianas) (x,y,z).

Recordamos la noción de superficie equipotencial, de valor, que corresponde al lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencial,

Un ejemplo conocido, y por lo tanto intuitivo, es el de las curvas de nivel en cartografía, que se usa para poder representar la topografía de una región en un mapa bidimensional. En este caso, el campo escalar que corresponde es el campo de alturas H(x,y), de una región de la superficie de la tierra, en función de la posición de puntos sobre un plano (proyección). Se trata, evidentemente de un campo escalar en el espacio

bidimensional, la altura de un punto está dada por z = H(x,y).

Facultad de Ingeniería.

Escuela de Eléctrica.

Asignatura:

Teoría

Electromagnética.

Función escalar de punto (fep): magnitud escalar que depende de las coordenadas del punto en que se mida. •Derivables

Campo escalar: Región del espacio en la que se ha definido una fep.

Ejemplos: V= V(x,y,z), T=T(x,y,z) •Valor único en cada punto •Valor intrínseco

Campos escalares. Superficies isoescalares

Fig. 1.1 Curvas indican temperatura en la región.

Fig. 1.2 Campo escalares en superficies isoescalares.

Campos vectoriales

Las expresiones vectoriales en electromagnetismo son de tal naturaleza que generalmente los coeficientes de los vectores unidad contienen las variables. Por esto, la expresión cambia de magnitud y dirección, de punto a punto, a través de la región de interés. Considere por ejemplo, el vector

E = - xax + yay

Dando diferentes valores a x y a y se obtiene E en varios puntos. Después que varios puntos han sido examinados, el patrón resulta evidente. La Fig. 1.3 muestra este campo.

Además, un campo vectorial puede variar con el tiempo. De esta manera al campo bidimensional examinado puede agregársele una variación temporal mediante la expresión

Los campos magnéticos y eléctricos que serán vistos posteriormente variarán todos con respecto al tiempo

Fig. 1.3 Campo invariante en el tiempo. Sin embargo, ambas operaciones tendrán un curso natural y muy raramente causarán gran dificultad. Otras definiciones.

Función vectorial de punto (fep): magnitud vectorial que depende de las coordenadas del punto en que se mida. •Derivables

Campo vectorial: Región del espacio en la que se ha definido una fep. Ejemplos: F=Fx(x,y,z)i + Fy(x,y,z)j + Fz(x,y,z)k

•Valor único en cada punto

•Valor-intrínseco.

Fig. 1.5 Campos vectoriales. Fig. 1.4 Líneas de Campo.

Producto Escalar.

El producto escalar de vectores se puede definir de dos maneras equivalentes, una manera algebraica, y otra geométrica. Comenzaremos con la manera geométrica, que tiene un significado intuitivo.

Tomemos dos vectores y , y llamemos al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichos vectores es:

en que y corresponden a las longitudes de los vectores y , respectivamente. Naturalmente, debe cumplirse que

Si usamos la representación cartesiana, se tiene que:

es decir, se satisface el teorema de Pitágoras, conocido de nuestros estudios de geometría elemental. Indudablemente, la definición del producto escalar de vectores puede usarse para definir el ángulo entre dos vectores,

De acuerdo a la definición dada, es fácil ver que el producto escalar de dos vectores puede también definirse usando las componentes cartesianas de los vectores,

Producto Vectorial

Se acostumbra definir también una segunda clase de producto entre vectores, cuyo resultado es esta vez un vector. Partiremos con la definición geométrica primero, llamemos . El producto es tal que: i)

Es perpendicular al plano generado por los vectores y . La dirección es la dada por la regla de la mano derecha.

ii)

, en que es el ángulo que forman los vectores y .

De acuerdo a las reglas de cálculo de determinantes, es posible reescribir los resultados anteriores en la forma

Hay algunas combinaciones de productos que son interesantes, y que aparecen con alguna frecuencia en los cálculos, como por ejemplo el llamado triple producto escalar (como ejercicio, demostrar la igualdad que sigue)

Para finalizar, indiquemos que la diferencia entre el punto de vista matemático y físico respecto a los vectores consiste en que, en física usamos una definición algo más restringida, pues los vectores que se consideran tienen una medida (euclídea). Para los vectores del espacio, entonces, existe siempre una cantidad que es invariante bajo rotaciones, que es la longitud del vector. También (y muy importante), las ecuaciones físicas que escribimos son invariantes bajo este grupo de rotaciones; dicho en otras palabras, una igualdad entre vectores es independiente del sistema de coordenadas utilizadas.

Gradiente

Consideremos un campo escalar, , y tomemos dos puntos vecinos, de coordenadas

y .

Calculemos la variación que experimenta el campo entre estos dos puntos vecinos

Indudablemente, es un escalar, ya que es la diferencia entre dos escalares, y puede escribirse en la forma:

en que hemos definido el operador diferencial , cuya acción sobre un campo escalar está dada por

Como hemos dicho, es un escalar, y es un vector, por lo tanto, la cantidad debe ser un vector, pues solamente el producto de un vector por otro vector puede ser escalar.

El gradiente tiene algunas propiedades interesantes; en primer lugar se puede demostrar que: el gradiente de una función escalar en un punto dado, , , es perpendicular a la superficie equipotencial que pasa por dicho punto. En efecto, cuando consideramos desplazamientos sobre la superficie equipotencial, se tiene

, por lo tanto

por lo tanto, como es paralelo a la superficie, se concluye que es perpendicular a ella.

Dirección, Sentido del vector Gradiente

• Perpendicular a la superficie isoescalar • Hacia valores crecientes.

• Módulo igual a |dV/dr|. Fig. 1.7 Vector Gradiente.

α

cos

|

|

V

dr

dV

∇

=

dV = |

∇

V|dr cos

α

III. Equipos y Recursos.

No. Cantidad Descripción

1 1 Computadora Personal con Matlab

2 1 Guía de Laboratorio

IV. Procedimiento.

Parte I. Generación en Matlab de Campos Escalares y Vectoriales.

PREÁMBULO. Matlab.

El Objetivo de esta introducción al programa Matlab, es que el estudiante utilice algunas funciones que faciliten el conocimiento de campos escalares , campos vectoriales , el vector gradiente, multiplicaciones de vectores y otras funciones matemáticas de interés.

Paso 1) Entre a la versión 5.3 estudiante de Matlab y le aparecerá la ventana de Comandos de Matlab, como se muestra en la Figura 1.8.

Figura 1. 8 Ventana de Comandos de Matlab.

Paso 2) Entre al Editor/ Debugger para editar un archivo con extensión “.m”, accionando File y New en la

ventanade comandos de Matlab. La Fig. 1.9 presenta la ventana donde se editan los archivos de Matlab.

Fig. 1.9. Ventana del Editor de Programas de Matlab. También puede verificar conjuntamente , en la ventana de Comandos de Matlab (Fig. 1.8), algunas funciones básicas, pero de preferencia cree un archivo .m para poder guardarlo1

1

Definición de variables,

EDU>> a=2, b=2 (enter) Se obtendrá (resultado en negrilla):

a = 2

b = 2

Operaciones básicas (+,-,*,/); “ans” = respuesta

EDU>> a+b ans = 4 EDU>> a-b ans = 0 EDU» a*b ans = 4 EDU» a/b ans = 1

Caracteres especiales [ ] ; (corchete y punto y coma), %(Comentario) .^

EDU» A=[2 3 4] % Vector Fila

A =

2 3 4

EDU» B= [1; 2; 3] % Vector columna

B = 1 2 3 Operador : Forme la Matriz:

a=[2 3 4; 5 4 3] %formando matriz a

a =

2 3 4 5 4 3

EDU>> a(:,3) %Todos los valores de la columna 3

ans = 4 3

EDU» a(2,:) % Todos los valores de la fila 2

ans =

5 4 3

x=0 :0.5 :1 % incrementos de 0.5 hasta 1

x =

0 0.5000 1.0000

EDU» y= 10: -3 : 0 % decrementos de –3 hasta 0

y =

10 7 4 1

EDU» a.^5 % potencia a la quinta

ans =

32

Funciones especiales

[X,Y] = meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2); % Genera o produce arreglos tridimensionales para luego ser ploteados.

Z = X.*exp(-X.^2-Y.^2); % función

[C,h] = contour(X,Y,Z); % Plotea y presenta líneas constantes de una función.

Agregue al fragmento de programa la función clabel

clabel(C,h) % Etiqueta de las líneas de contour

Fig. 1.10 Campo de función con delimitada.

Cambie la función por

Ζ

=

sen

(

x

)

+

cos(

x

)

[X,Y] = meshgrid(-2:.5:2); Z= sin(X)+cos(Y);

[C,h] = contour(X,Y,Z); clabel(C,h)

Fig. 1.11 Campo de función

Ζ

=

sen

(

x

)

+

cos(

x

)

Parte II. Producto Escalar y Producto Vectorial.

1. Dados los vectores A = ax+2ay+3az, B= 4ax+5ay+6az

A = [1 2 3]; B = [4 5 6]; %Definiendo vectores A y B c = cross(A,B) % c = producto vectorial de A X B c =

-3 6 -3

Equivale a tener c = -3ax+6ay-3az

d = sum(A.*B) % Producto escalar de A . B d =

2. Dados los vectores. Dados los vectores A = ax+a,y , B= ax+2az y C= 2ay+ az,

Halle (A x B) x C y compárelo con A x (B x C)

3. Utilizando los vectores A, B y C de 2., encuentre A.B x C y compárelo con A x B.C

V. Análisis de Resultados.

• Asigne valores (de 0 a 50) para graficar las funciones antes utilizadas con Matlab. • Encuentre los producto escalar y vectorial de la parte II.

VI. Discusión Complementaria.

• Transforme el campo vectorial F= 2Cos θ ar + sen θ aθ a coordenadas cartesianas. • Dibuje el campo vectorial de la función anterior, usando coordenadas esféricas.

VII. Bibliografía.

• Jhonk, Carl T;

“Ingeniería Electromagnética, Campos y Ondas” Limusa. Noriega México, 1993.

• Edminister, Joseph A

“ Electromagnetismo” Schaum- Mcgrawhill.