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Capítulo 3
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Axiomas de Elección Racional
• Completitud
– Si A y B son dos situaciones, el individuo siempre puede especificar exactamente su preferencia sobre dichas posibilidades:
• A se prefiere por sobre B • B se prefiere por sobre A
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• Transitividad
– Si A se prefiere a B, y B se prefiere a C, entonces A se prefiere por sobre C
– Este supuesto es para garantizar que las decisiones de los individuos sean
consistentes internamente
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• Continuidad
– Si A se prefiere a B, entonces las
situaciones “suficientemente cercanas” a A también deben ser preferidas sobre B
– Este supuesto se utiliza para analizar las respuestas de los individuos como
respuesta a cambios relativamente pequeños en el ingreso y los precios
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Utilidad
• Dados todos estos supuestos, es posible
demostrar que las personas son capaces de ordenar jerárquicamente todas las situaciones posibles, desde la menos deseada hasta la
más deseada
• Los Economistas llaman a ésta jerarquía utilidad
– Si A se prefiere sobre B, entonces la utilidad asignada a A excede la utilidad asignada a B
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• Dichas jerarquías o rankings de utilidad
son ordinales por naturaleza
– Muestran qué tan deseables son ciertas cestas de bienes
• Debido a que las medidas de utilidad no
son únicas, no tiene sentido el
particularizar cuánta más utilidad se gana
al pasar de A a B
• Tampoco es posible comparar utilidades
entre dos personas diferentes
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• La utilidad es afectada por el consumo de bienes físicos, por actitudes sicológicas,
presiones de grupo, experiencias personales, y por el ambiente cultural general
• Los Economistas por lo general dedican su
atención a evaluar opciones medibles, mientras mantienen constantes las otras cosas que
puedan afectar la utilidad
– Esto es llamado el supuesto ceteris paribus
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• Asumamos que un individuo debe escoger entre consumir los bienes x1, x2,…, xn
• Los rankings de dicho individuo pueden ser
representados por una función de utilidad de la forma:
Utilidad= U(x1, x2,…, xn; otras cosas)
– Esta función es única, pero puede ser transformada si dicha transformación
preserva la ordenación o rankings originales
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Bienes Económicos
• En la función de Utilidad, se asume que
los
x
’s son “bienes”
– Un bien: más se prefiere a menos
Cantidad de x Cantidad de y x* y* Preferido sobre x*, y* ? ? Peor que x*, y*
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Curvas de Indiferencia
• Una Curva de Indiferencia muestra
combinaciones de bienes ante los cuales
el individuo se muestra indiferente
Cantidad de x Cantidad de y x1 y1 y2 x2 U1 Las combinaciones (x1, y1) y (x2, y2) proveen el mismo nivel de utilidad
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Tasa Marginal de Substitución (TMS)
• La pendiente negativa de una curva de
indiferencia en un punto es llamada la
Tasa Marginal de Substitución (
TMS
)
Cantidad de x Cantidad de y x1 y1 y2 x2 U1 1 U U
dy
TMS
dx
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• La TMS cambia cuando
x
,
y
cambian
– Esto refleja la disposición del individuo a intercambiar y por x Cantidad de x Cantidad de y x1 y1 y2 x2 U1
En (x1, y1), la curva de indiferencia es más empinada. La persona estaría dispuesta a sacrificar más y
Para obtener unidades adicionales de x
En (x2, y2), la curva de indiferencia es más plana. La persona será más reacia A sacrificar y para ganar más x
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Mapa de Curvas de Indiferencia
• Cada punto del plano debe tener una
curva de indiferencia pasando sobre él
(completitud de las CI)
Cantidad de x Cantidad de y U1 < U2 < U3 U1 U2 U3 Utilidad crece
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Transitividad
• ¿Pueden intersectarse las CI?
Cantidad de x Cantidad de y U1 U2 A B C
El individuo es indiferente entre A y C. El individuo es indiferente entre B y C. Transitividad sugiere que el individuo Debe ser indiferente entre A y B
Pero B se prefiere sobre A Debido a que B contiene más
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Convexidad
• Un conjunto de puntos es convexo si dos
puntos pueden ser unidos por una línea recta que es contenida enteramente en el conjunto
Cantidad de x Cantidad de y
U1
El supuesto de una TMS decreciente es equivalente al supuesto de que todas las combinaciones de x y y que son preferidas por sobre x* y y* forman un conjunto
convexo
x* y*
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Convexidad
• Si la CI es convexa, entonces la
combinación (
x
1+
x
2)/2, (
y
1+
y
2)/2 será
preferida tanto a (
x
1,
y
1) como a (
x
2,
y
2)
Cantidad de x Cantidad de y U1 x2 y1 y2 x1
Esto implica que combinaciones “bien balanceadas”
Son preferidos sobre combinaciones que cargadas hacia uno de los bienes
(x1+ x2)/2 (y1 + y2)/2
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Utilidad y la TMS
• Supongamos que las preferencias de un
individuo por hamburguesas (
y
) y bebidas
(
x
) pueden ser representadas por:
utilidad
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x y
• Despejando
y
, tenemos
y = 100/x
• Construyendo la TMS = -
dy
/
dx
:
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Utilidad y la TMS
TMS = -dy/dx = 100/x2
• Note como mientras
x
sube,
TMS
cae
– Cuando x = 5, TMS = 4
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Utilidad Marginal
• Supongamos que un individuo tiene una
utilidad de la forma
Utilidad = U(x,y)• El diferencial total de
U
es
dy y U dx x U dU • Sobre cualquier CI, la utilidad es
constante (
dU
= 0)
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Derivando la TMS
• Por lo tanto tenemos:
U constante
U
dy
x
TMS
U
dx
y
•
TMS
es el cociente de la utilidad
marginal de
x
sobre la utilidad marginal
de
y
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Utilidad Marginal
Decreciente y la TMS
• Intuitivamente, parecería que el supuesto de utilidad marginal decreciente se relaciona al concepto de TMS decreciente
– Una TMS decreciente requiere que la función de utilidad sea cuasi-cóncava
• Esto es independiente de cómo sea medida la utilidad
– La utilidad marginal decreciente sí depende de cómo es medida la utilidad
• Por tanto, estos dos conceptos son
diferentes
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Convexidad de las curvas de
indiferencia
• Supongamos una función de utilidad de
la forma:
utilidad
x y
• Podemos simplificar el álgebra tomando
logaritmos en ambos lados de la
igualdad
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Convexidad de las curvas de
indiferencia
* 0.5 * 0.5 U y x x TMS U x y y • Por lo tanto,
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Convexidad de las curvas de
indiferencia
• Si la función de utilidad es
U(x,y) = x + xy + y
• No ganamos nada transformando la
función, por lo que
1 1 U y x TMS U x y
25
Convexidad de las curvas de
indiferencia
• Supongamos que la función de utilidad
es:
2 2
utilidad
x
y
• Para éste ejemplo es más fácil usar la
transformación:
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Convexidad de las curvas de
indiferencia
*
2
*
2
U
x
x
x
TMS
U
y
y
y
• Con lo que,
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Ejemplos de funciones de Utilidad
• Utilidad Cobb-Douglas
utilidad = U(x,y) = xy
donde
y
son constantes positivas
– El tamaño relativo de y indican la importancia relativa de los bienes
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Ejemplos de funciones de Utilidad
• Substitutos Perfectos
utilidad = U(x,y) = x + y Cantidad de x Cantidad de y U1 U2 U3 La CI será lineal.La TMS será constante a lo largo de toda la curva de indiferencia.
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Ejemplos de funciones de Utilidad
• Complementos Perfectos
utilidad = U(x,y) = min (x, y)
Cantidad de x Cantidad de y
Las CI tendrán una forma de L. La utilidad solo puede ser incrementada al elegir más de los dos bienes
conjuntamente.
U1 U2 U3
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Ejemplos de funciones de Utilidad
• Utilidad CES (Constant elasticity of substitution)
utilidad = U(x,y) =
cuando 0, ≤ 1.
Además, cuando = 0 tenemos qué:
utilidad = U(x,y) = ln x + ln y Modificando tenemos: – Substitutos Perfectos = 1 – Cobb-Douglas = 0 – Complementos Perfectos = - x y
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Ejemplos de funciones de Utilidad
• Utilidad CES (Constant elasticity of
substitution)
– La elasticidad de substitución () se define cómo:
= 1/(1 - ) para la función CES. Otros casos: • Substitutos Perfectos = • Proporciones Fijas = 0
ln ln x y U y U x Mide cambios proporcionales de la razón (x/y) relativo a cambios proporcionales de la TMS.
Intuición: Qué tan “posible” es el intercambiar x por y
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Preferencias Homotéticas
• Si la
TMS
depende solamente del
cociente de las cantidades de dos
bienes, pero no de las cantidades de
dichos bienes, la función de utilidad es
homotética
– Substitutos Perfectos TMS es la misma en cada punto
– Complementos Perfectos (CI de forma L)
TMS = si y/x > /, no definida si y/x =
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Preferencias Homotéticas
• Para la función general Cobb-Douglas,
la
TMS
se computa:
1 1 U x y y x TMS U x y x y
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Preferencias NO Homotéticas
• Algunas funciones de utilidad NO
presentan preferencias homotéticas
utilidad = U(x,y) = x + ln y
1
1
U
x
TMS
y
U
y
y
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Muchos Bienes
• Supongamos una función de utilidad
para
n
bienes dada por
utilidad = U(x1, x2,…, xn)
• El diferencial total de
U
es
n n dx x U dx x U dx x U dU 2 ... 2 1 136
Muchos Bienes
• Podemos encontrar la
TMS
entre dos
bienes cualesquiera haciendo
dU
= 0
( por )i j j i i j U dx x TMS x x U dx x j j i i dx x U dx x U dU 0
• Arreglando, tenemos:
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Superficies de Indiferencia
para n bienes
• Ahora vamos a definir superficies de
indiferencia como un conjunto de
puntos en
n
dimensiones que satisface
la ecuación
U(x1,x2,…xn) = k
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Superficies de Indiferencia
para n bienes
• Si la función de utilidad es
cuasi-cóncava, el conjunto de puntos para los
cuales
U
k
será convexo
– Todos los puntos en una línea que une dos puntos cualesquiera sobre la superficie de indiferencia U = k también tendrán U k
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Puntos Importantes:
• Si los individuos obedecen ciertos postulados de comportamiento, serán capaces de
establecer una ordenación (ranking) cestas o conjuntos de bienes
– Dicho ranking puede ser representado por medio de una función de utilidad
– Al escoger, los individuos actúan “cómo si” estuvieran maximizando esa función
• Las funciones de utilidad para dos bienes pueden ser ilustrados mediante un mapa de curvas de indiferencia
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Puntos Importantes:
• La pendiente negativo de una CI mide la
Tasa Marginal de Substitución (
TMS
)
– Ella muestra la proporción en que un
individuo estará dispuesto a intercambiar cierto monto de un bien (y) por más
unidades del otro bien (x)
•
La TMS
decrece a medida que
x
es
substituido por
y
– Esto indica que los individuos prefieren balancear sus decisiones de consumo
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Puntos Importantes:
• Ciertas formas funcionales simples pueden capturar diferencias importantes en las
preferencias de un individuo sobre dos o más bienes
– La función Cobb-Douglas
– La función lineal (Substitutos Perfectos)
– La función de proporciones fijas (Complementos Perfectos)
– La función CES
• Ella incorpora a los otros casos como casos especiales
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Puntos Importantes:
• Resulta bastante simple generalizar
nuestro modelo de preferencias de dos
bienes para el caso de muchos bienes
– Las matemáticas para el caso de muchos bienes no son, sin embargo, especialmente intuitivas, así que seguiremos con el caso de dos bienes para acumular más intuición
