VOLUMEN DE PRESIONES.- las presiones son perpendiculares a la superficie de aplicación

VOLUMEN DE PRESIONES .- las

presiones son perpendiculares a la

superficie de aplicación

GRAFICA DE LAS VARIACIONES DE PRESIÓN QUE EJERCEN LOS FLUIDOS Y

ACTUAN SOBRE LA COMPUERTA AB

VOLUMEN DE PRESIONES .- las

presiones son perpendiculares a la

superficie de aplicación

VOLUMEN DE PRESIONES .- las

presiones son perpendiculares a la

superficie de aplicación

EFECTO DE LA PRESIÓN ATMOSFERICA SOBRE LA FUERZA RESULTANTE

ACTUANDO SOBRE UNA SUPERFICE PLANA HORIZONTAL

EFECTO DE LA PRESIÓN ATMOSFERICA SOBRE LA FUERZA RESULTANTE

ACTUANDO SOBRE UNA SUPERFICE PLANA VERTICAL

VOLUMEN DE PRESIONES .- las

presiones son perpendiculares a la

superficie de aplicación

( )( )

h

bh

h

A

volume

F

_R

_!

"

#

$

%

&

=

=

=

2

2

1

γ

γ

FUERZA HIDROSTATICA SOBRE SUPERFICIES PLANAS SUMERGIDAS

dF =

γ

hdA

F

_R

=

∫

γ

h dA =

∫

γ

ysenq dA =

γ

senq

∫

y dA;

∫

ydA = L

_c

A

por lo tanto

Ahora hay que conocer el punto donde debe estar actuando la fuerza resultante. Ese punto es

el centro de presión.

F

_R

L

_p

=

∫

y dF

=

∫

y

_[

γ

sen

θ

y dA

_]

=

∫

γ

sen

θ

"#

y

2

dA

$%

y por lo

tan

to si

F

_R

=

γ

A L

_c

sen

θ

L

_p

=

∫

γ

sen

θ

y

2

dA

γ

A L

_c

sen

θ

=

∫

y

2

dA

L

_c

A

La integral en el numerador es el segundo momento de inercia Ix con respecto al eje x formado

por la intersección del plano que contiene la superficie plana con la superficie libre del liquido. Asi

que esto se puede escribir.

A

L

I

L

c x p

==

Si usamos la teoría de los ejes paralelos sabremos que

2

c xc

X

I

AL

I

₌

₊

Donde Ixc es el segundo momento del área con respecto a un eje pasando a través de su centro y

paralelo al eje x. asi

c c xc p

L

A

L

I

L

₌

₊

Determinar la fuerza resultante total actuando sobre la compuerta rectangular inclinada que de un lado esta en contacto con el agua, asi como el centro de presión (R=18.07)

Calculando primero la fuerza resultante

(

)

(

)

(

)( ) ( )

f R agua agua R agua agua R lb F y y dy y F dy y dy h F 11232 2 4 60 cos 4 8 5 4 . 62 2 60 cos 8 5 60 cos 8 5 5 60 cos 8 5 2 2 4 0 4 0 4 0 4 0 = ! " # $ % & '' ( ) ** + , + = ! " # $ % & + = + = + = =

∫

∫

∫

γ γ γ γ

Calculando ahora el centro de presión

Zcp= ∫yc 2 dA ZcgA = y+8_cos60

(

)

2 0 4

∫

5dy 8 cos60+2

(

)

_{( )}5 _{( )}4 = 5 _{( )}u 2 0 4

∫

dy 360 = 5u 3 3 360= 5o 4 y+8_cos60

(

)

3 " #$ % &' 3 360 Zcp= 5 4₍ +16₎3 1080 =37.037

Sabiendo que Fr = (Presion) (A) Y que Presión = ( γagua) (hcg) ,

h = γhg (0.4m)/γh2o

!! !!

!!

!!

Encuentre F_R sobre la compuerta AB producida por los fluidos de adentro y de afuera. Determine la distancia “d”

por debajo de B de la posición de F_R.

B

A

cg FR 4 ft 2 ft

Sabiendo que Fr = (Presion) (A) Y que Presión = ( γagua) (hcg) ,

h 3 sen 45 (4 sen 45)/2 h = γhg (0.4m)/γh2o Pcg = PHg – Pagua= (13.6)(62.4 lbf/ft3_{)(0.4 ft)+(62.4 lbf/ft}3₎ (h-0.5 ft) h = 20 + (3 sen 45) + (4 sen 45)/2= 23.535 ft Pcg= 339.456 lb_f/ ft2 _{+1437.334 lb} f/ ft2 = 1776.79 lbf/ ft2 cg Necesitamos conocer la Presion en el CG FR = (1776.79 lb_f/ ft2_{) (8 ft}2_{) = 14214.321 lbf} cp. CP CG Z Z

θ

hcg !! !!

!!

!!

Ycp’ d d = 2 + 0.033 = 2.033 m

Encuentre F_R sobre la compuerta AB producida por los fluidos de adentro y de afuera. Determine la distancia “d”

por debajo de B de la posición de F_R.(Ref. Prob. 3.46, “Mecánica de Fluidos”, Irving Shames. Pag.94, R, F=14,195 lb_f, d=2.0332 ft).

La compuerta AB de la figura tiene una anchura de 7 ft y pesa 3000 lb_f cuando esta sumergida. La compuerta está articulada en el punto B y se apoya sobre una pared lisa en A. Determine el mínimo nivel de agua “h”

que abrirá la compuerta.(Referencia Problema P2.81, “Mecánica de fluidos”, Frank White. Pag.114, R=-0.833ft)

Como tenemos liquido de ambos lados por lo tanto vamos a tener dos fuerzas que van a estar actuando en cada uno de los lados de la compuerta, mas el peso de la compuerta. A h F₂ =

γ

_{agua cg2} A h F₁=γ_{agua cg1} ft h_cg2 =4+4=8 4 1=h+ h_cg

( )( )

! " # $ % & = θ sen ft ft lb F _62.4 f _{8 7} 8 3 2 f lb F₂ =34944

Ahora calculando el centro de presión Donde esta actuando la FR1

A y I y cg x cp 2 2 =

( )

( )

( )

ft sen y_cp 0.833 70 812 10 7 3 2 = = θ

Ahora calculando FR1 con su centro De presión.

( )

(

2

)

1 3 1 62.4 h 70ft ft lb F cg f = 1 1 4368hcg F = A y I y cg x cp 1 1 = ( )

( )

( ) 1 1 3 1 67 . 6 70 12 10 7 cg cg cp _h sen h y = = θ

Ahora hacemos suma de momentos en B

θ 6 53.13 8 1 = ! " # $ % & =tag− θ

(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

(

)

)

ft h h ft h h h M W y F y F M cg cg cg cg B cp cp B 41 . 4 4 412 . 8 21840 183720 13 . 53 cos 5 3000 833 . 0 5 34944 67 . 6 5 . 4368 13 . 53 cos 5 5 5 1 1 1 1 2 2 1 1 = − = = = − − − " " # $ % % & ' − = − − − − =

∑

∑

FR= FH +FV

φ= tan-1$$ %%

FUERZA

HIDROSTATICA

SOBRE

SUPERFICIES

CURVAS

Sisumamoslasfuerzasdeamboslados,nosdaremoscuentaque F2besigualaFH.

F2b=γliq hcg A

ycomoF2b=FH

FH=γliqhcg A

Lacualsecalculadelamismamaneraqueparalassuperficies Planas.Dondeel área,seráeláreadelaproyeccióndelasuperficie Curvaenunplanoverticalyhcg,serálaprofundidadalcentroide deláreaproyectada.

Ix

ycg A + ycg

ycpFH =

Lacomponenteverticaldelafuerzaqueejercelasuperficiesobreel Fluidoseencuentraconlasumadefuerzasenladirecciónvertical Haciaabajosoloactúaelpesodelfluido,yasíarribasololacomponente VerticalFV,así:

FV =W =γliq

(

Volumen

)

=γliq

(

Aw

)

& ' (FV )FH 2 2

SUPERFICIE

CURVA

QUE

DETIENE

UN

FLUIDO

POR

DEBAJO

DE

ELLA

FH=γliqhcg A FV =W =γliq

(

Volumen

)

FV =γliq

(

Aw

)

A= A1+ A2 A1 A21 A22 A2 A B _C D A2 =AcuadradoABCD-A21-A22 Fvvahaestaractuandoenel CentroidedeláreaA

FH =γhcgA=

(

0.88

)(

9.81

)

$2+2+ %

(

2.5

)(

1

)

=113.3kN 12 = 0.099 mts ycp* = = 4$ % ) 2 ' = 0.531mts = = 3π 3π FR = FH + FV = FV =

(

0.88

)(

9.81

)

,

(

1

)

- = 21.188kN . / θ=tag-1$$ %%=tag-1$

CalcularlafuerzahidrostáticaysulíneadeacciónsobreunaidentaciónsemicilindricaABCpormetrodeanchoperpendicularalpapel.

hcg=2+2+2.5/2

Ycp=0.099mts

( 2.5&

) 2 '

(

1.5

₎₍

2.5

₎

3

Ix ycg A

(

5.25

)(

2.5

)

Comoseobservoenlateoríatenemosunafuerza Originadaporelliquidoqueactúahaciaabajo,otra Queactúahaciaarriba.

A

A _A

B B

C C

PorloquelafuerzaFvseráelpesode lacolumnadelfluidoenelvolumen delimitadoporABC.

FV =γliqVolumen=γliq AsemicirculoABC .w

0π

(

1.25

₎

2 1

2

B

Comolaformageométricadelacolumna deaguavienesiendolamitaddeun circulo,porlotantoFvestaráactuandoen

2 2 % ' ) 113.3 ' & ( 21 .188& FR =115.264 kN

(

113.3

₎

2+

(

21.188

)

2

elcentroidedelamitaddelcirculo (2 .5& 4r XFV (FV )FH θ =10.59o

(D2 & (D2 & a%' a%' ) ) ($D- ax 12&%dx FV =γw,Dx -3 1 ax 2- =γw, =$9.81 3%

(

5m

)

$$ _%% = 261.6 kN FH =γliqhcgA=$9.81 3%

(

2m

)(

2m

)(

5m

)

(

(

5

)(

2

)

3& $ 12 % +ycg=) '+2 ycg= ($Dx- ax32&%dx

∫

x

₍

D-y

₎

wdx =γw 0D5 D51 0D 2 2 2 5 1 XcgFv=γw, x - ax 2- 2=γw, - a 5 -XcgFv =γw =

(

9.81

)(

5

)

Xcg =γw =1.2m 10

₍

4

₎

261.6 10a2FV ( kN& ) m ' ycgA 2

(

5

)(

2

)

FH =392 kN Ix ycg= 2.67m $ %

LacompuertamostradaesancladaenelpuntoOytieneunanchoconstantew=5m.Laecuacióndelasuperficiees dondea=4m.La

profundidaddelacompuertadelladoderechoesD=4m.Encontrarlamagnitudrequeridadelafuerzafaparamantenerlacompuertaenequilibrio. desprécieseelpesodelacompuerta.

SOLUCION: sepuedetomarsumade

momentosenelpuntoOdespuésdeencontrar lasmagnitudesydireccionesdelafuerza Horizontalyverticaldebidoalpesodelagua.

ParaFvsenecesitacalcularelpesodelaguaencimadela

compuertaparalocualsedefineunacolumnadiferencial

devolumen (D-y)wdxeintegramos.

y2 a x= a ₂ 3 2 3 D3 3a ( kN& ( 43m3& ) m ' )3

(

4m

)

'

D31 a 3 -a 2/ 0D3 . a -D2 /0 0 . ) ' $ $ FV =γw

∫

(

D-y

₎

wdy=γw

∫

0 0 FV =γliqVvol.=γ 2 D2 D

2 D2 a a 0 0

. 2 5 /0 .2a 5 a 2/

D5

10a2

D5 45 XcgFv =γ

∫

) ' a

Ahoraqueyaseconocenlasmagnitudes podemostomarsumademomentosenO

Fa =167kN

∑

Mo=-lFa+

(

D-y'

)

FH+x'FV = 0 Fa= D− "y

(

)

FH+x F" V l = 1.2m

(

)

₍

261.6kN

₎

₍

4−2.67kN

₎

₍

392kN

₎

5m

CG

H_CG

FH = (γagua) (Hcg) (A)

FH = (9.81 KN/mt3_{) (10m)(20m)(50m)}

FH = 98100 KN.

Ahora calculando la ubicación de la componente horizontal

CG Cp 13.33 m

Ahora calculando Fv , que es igual al peso de la columna de agua

FV = 154095.119 KN

Ahora calculando la ubicación de la componente vertical La cual va ser igual al centroide del cuarto del circulo.

!

FH 8.48 m A B _C A B C Cp

FLOTABILIDAD: un cuerpo que se encuentre en un fluido, ya sea flotando o sumergido, es empujado hacia arriba por una fuerza igual al peso del fluido desplazado. La fuerza boyante ( o flotante) actúa

verticalmente hacia arriba a través del centroide del volumen desplazado y se le puede definir de manera matemática mediante el principio de

Arquímedes. Cuando un cuerpo flota libremente, desplaza un volumen suficiente de fluido para equilibrar justo su propio peso.

Las fuerzas de flotación que actúan sobre un cuerpo solido sumergido en un fluido y sobre una masa del fluido de la misma forma, a la misma profundidad, son idénticas. La fuerza de flotación FB actúa hacia arriba pasando por el centroide C del volumen dezplazado y es igual en magnitud al peso W del fluido desplazado, pero en la dirección opuesta. Para un solido de densidad uniforme, su peso Ws también actúa pasando por el centroide, pero su magnitud no es necesariamente igual a la del fluido que desplaza (aquí Ws>W y, donde Ws>FB; este cuerpo se hundiría.)

FLOTACION

!! = !!"#(!"# !"#$"%&!!"#$%&#&!' )

Un cuerpo solido cuando cae dentro de un fluido puede hundirse, o flotar o quedar en reposo en cualquier sitio de este, dependiendo sobre su densidad relativa a la densidad del fluido

Un cubo homogeneo de 12 cm de lado es balanceado por una masa de 2 kg sobre una bascula cuando el cubo es sumergido en etanol a 20 o_C.

La barra uniforme cilíndrica es sujetada en el punto B sobre la superficie del agua y esta en equilibrio estático cuando 2 kg de plomo se sujetan en la punta de la barra (s.g = 11.4) como se muestra en la figura. ¿Cual es la gravedad especifica del material de la barra? ,¿Qué hay de peculiar acerca del ángulo