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Simulación Metropolis-Montecarlo del Modelo Ising en Dos Dimensiones

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Academic year: 2021

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Postulaci´on a Sesi´on Oral:

Simulaci´

on Metropolis-Montecarlo del Modelo Ising

en Dos Dimensiones

Lic. Paul Blackburn1

Facultad de F´ısica, Pontificia Universidad Cat´olica de Chile

Introducci´

on

Pese a que este modelo lleva el nombre de Ernst Ising, fue propuesto por primera vez en 1920 por W. Lenz, el supervisor de tesis de Ising. ´Este se lo asign´o en 1922, con el objetivo de estudiar el fen´omeno del ferromag-netismo.

La importancia de este modelo se debe al hecho de que por mucho tiempo fue uno de los pocos modelos matem´aticamente solubles que exhib´ıan transiciones de fases. La soluci´on exacta del modelo en dos dimensiones por Lars Onsager, en 1944, fue visto como un hito de especial importancia en la Mec´anica Estad´ıstica. Como ejemplo de esto, mencionamos una carta escrita por Pauli y dirigida a Casimir inmediatamente despu´es del t´ermino de la Segunda Guerra Mundial. En ella, Casimir expres´o su preocupaci´on por haber estado tan aislado de la f´ısica te´orica de los pa´ıses aliados. En su respuesta, Pauli dijo que “nada mucho de inter´es ha sucedido excepto la soluci´on exacta por Onsager del Modelo de Ising en Dos Dimensiones.”

Actualmente el Modelo de Ising encuentra aplicaci´on en un gran n´umero de modelos, no s´olo en el ´area del magnetismo y el estudio de los materiales, sino tambi´en en la microbiolog´ıa, etholog´ıa, y sociolog´ıa, entre otras. En efecto, entre 1969 y 1997, se han publicado m´as de 12,000 papers que utilizan el modelo de Ising.

La sesi´on oral que propongo realizar tiene como objetivo final comunicar a los estudiantes un esp´ıritu de emprendimiento y “manos a la obra”, mostrando que hay muchas ´areas de la f´ısica en las cuales es posible investigar y experimentar sin tener necesariamente que esperar a tener un grado acad´emico o un estudio cabal y riguroso.

Presentaci´

on Oral

La presentaci´on ser´a realizada en diapositivas estilo PowerPoint, y estar´a ordenada en tres secciones claramente definidas:

- Introducci´on e Importancia hist´orica,

- El Modelo de Ising y la Soluci´on de Onsager,

- Procedimiento, Resultados y Comparaci´on con la Soluci´on Exacta, e Interpretaci´on.

Trabajo Realizado

El trabajo realizado consisti´o en simular un medio ferromagn´etico mediante el modelo de Ising bidimensional. Aqu´ı, la energ´ıa de cada nodo en un lattice cuadrado viene dado exclusivamente por la configuraci´on de sus vecinos m´as cercanos, y la energ´ıa total del sistema es:

E=−h N X i=1 si−J N X i=1   4 X j=1 sijsj  

La sumatoria sobre j se realiza sobre los 4 vecinos al spin i. Hemos asumido aqu´ı que la constante de acoplamiento entre spines es isotr´opico, es decir,Jij ≡J.

(2)

Utilizamos un algoritmo Metr´opolis-Montecarlo, iterando sobre un lattice de 400×400 con condiciones de borde peri´odicas. La simulaci´on se implement´o en C++ y todo el c´odigo fue escrito especialmente para este prop´osito, incluyendo una clase especial de generaci´on de n´umeros aleatorios con distribuci´on gaussiana, dada la ya conocida p´esima calidad del generador de n´umeros aleatorios del stdlib. Los estados iniciales y finales del lattice se graficaron f´acilmente usando la clasePNGwriter, tambi´en escrito por el autor.

Se registraron datos de magnetizaci´on, energ´ıa y temperatura, lo que permiti´o hacer un an´alisis de la tran-sici´on de fases, hist´eresis y calor espec´ıfico del lattice. Adem´as, se pudo obtener:

- Curvas de magnetizaci´on vs. temperatura (sin campo externo), - Energ´ıa vs. temperatura (sin campo externo),

- Curvas de magnetizaci´on vs. campo magn´etico aplicado, - Energ´ıa vs. campo magn´etico aplicado,

- Curva de hist´eresis.

Adem´as, se calcul´o experimentalmente la temperatura cr´ıtica de transici´on de fasesTexperimental

c = 2.27J/k. Esto es sorprendentemente cercano al valor deTc= 2.269J/k, obtenido de la soluci´on exacta de Onsager.

En las p´aginas siguientes se muestran algunos resultados seleccionados. Se dividen en dos grupos principales: - Estados del lattice, dominios magn´eticos: Figuras 1 y 2.

- Gr´aficos de magnetizaci´on y energ´ıa vs. temperatura: Figuras 3 y 4.

Conclusiones

Concluimos que es factible explorar el modelo de Ising bidimensional num´ericamente, y que no requiere de conocimientos avanzados para ser entendido o implementado. Este proyecto tiene un gran potencial para motivar e incentivar al estudiante a explorar por cuenta propia, dado el acuerdo experimental que se obtiene con la soluci´on exacta de Onsager, en cuanto a las caracter´ısticas generales del comportamiento del lattice y a datos medibles, como la temperatura cr´ıtica. Es por esto, entonces, que proponemos exponer el presente trabajo como una Sesi´on Oral en el Segundo Simposio Nacional de Estudiantes de F´sica.

Esta presentaci´on oral est´a basada principalmente en un proyecto independiente realizado durante el curso de Electrodin´amica (dado por Dr. Alejandro Valdivia), en el Departamento de F´ısica de la Facultad de Ciencias, Universidad de Chile. El trabajo completo puede ser descargado desdehttp://ket.dyndns.org/electro/ect3/t3ec.pdf (1.1 MB).

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Figure 1: Un cierto estado final de 400×400 con magnetizaci´on cercana a cero pero con clara presencia de dominios magn´eticos. Se ha repetido la misma imagen en los 4 cuadrantes de la figura para mostrar su naturaleza peri´odica. Las l´ıneas rojas denotan los bordes del lattice.

Figure 2: Estado inicial y final del lattice. h = 0.0, T = 3.0. 400×400. 9×106

iteraciones.hMi = 0.00, hEi=−1.3×105

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1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Temperatura (J/k) Magnetización Magnetización Medida Solución de Onsager Datos suavizados

Figure 3: Magnetizaci´on vs. Temperatura para un lattice de 500×500 y 9×106

iteraciones. Los datos se grafican en negro, la soluci´on de Onsager en rojo. La curva azul punteada es una suavizaci´on de FFT.

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0

Campo Magnetico Aplicado (G)

Magnetizacion T = 0.0 J/K T = 1.0 J/K T = 2.0 J/K T = 3.0 J/K T = 4.0 J/K T = 5.0 J/K T = 6.0 J/K T = 7.0 J/K

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A continuaci´on se detallan las referencias usadas en la confecci´on de este trabajo.

References

[1] Metropolis N., Rosenbluth M., Teller A. and Teller E.Journal of Chemical Physics 211087-1092 (1953). [2] Bhattacharjee S. M. and Khare, A., “Fifty Years of the Exact Solution of the Two-Dimensional Ising Model

by Onsager”, arXiv:cond-mat/9511003 v2 (10 Nov 1995). [3] Physics Today, Feb. 1977, p 77.

[4] Ising E., Z. Phys.31253-258 (1925)

[5] Bragg W. L. and Williams E. J.,Proc. Roy. Soc.A145199 (1934);A151540 (1935);

[6] Onsager L., “Crystal statistics I. A two dimensional model with an order-disorder transition”,Phys. Rev. 65, 177 (1944)

[7] Yang, C. N.,Phys. Rev.85, 808-816 (1952)

[8] Chang-Hong Chien, “Monte Carlo Simulations of the Two Dimensional Ising Model”, http:www.science.gmu.edu cchienstmisingising.html

[9] Blackburn, P.,Sand 1.0.1, escribir al autor para obtenerlo,individual61@users.sourceforge.net(Feb 2003) [10] Blackburn P.,PNGwriter 0.3.4,pngwriter.sourceforge.net(Feb 2003)

[11] New Scientist 175issue 2357, page 42 (24 August 2002) [12] New Scientist 159issue 2147, page 40 (15 August 1998)

[13] Bernardes A. T., Stauffer D., Kertesz J., “Election results and the Sznajd model on Barabasi network”, European Physical Journal B 25199 (1934);A151Iss 1, pp 123 - 127 (2002);

Referencias

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