Combi 1. Tienes 5 cartas: A, K, Q, J y 10. ¿De cuántas formas las puedes acomodar en tu mano si la K y la Q deben estar siempre juntas? 2. Nicolás escribió en una hoja de papel los números del 1000 al 10000. ¿Cuántas veces escribió el dígito 5? 3. Raúl entró a un casino con un dólar. Participó en un juego en el que se apuesta un dólar y se gana otro o se pierde el que se apostó. Después de 8 juegos, Raúl quedó otra vez con un dólar. ¿De cuántas formas pudo haber pasado lo anterior? 4. ¿Cuántas palabras de 19 letras se pueden formar con 11 letras R y 8 letras E si no puede haber letras E juntas? 5. En un grupo de 7 personas se encuentran A y B. ¿Cuál es la probabilidad de que, al formar una fila haya exactamente una persona entre A y B? 6. ¿Cuántos números del 1 al 10000000000 (10 ceros) hay tales que la suma de sus dígitos es 3? 7. Hay 12 puntos en el plano y 5 de ellos están sobre una misma línea. Si ninguna otra línea pasa por 3 o más de ellos, ¿cuántos triángulos diferentes se pueden formar con los 12 puntos? 8. ¿Cuántos subconjuntos del conjunto de los naturales del 1 al 10 cumplen que la suma de su elemento más chico y el más grande es 11? 9. ¿Cuántos números de 5 cifras abcde son múltiplos de 5 y cumplen que dxe es igual al número de tres cifras abc? 10.En la siguiente figura se tienen 6 cuadrados. Diremos que dos de ellos son adyacentes si tienen más de un punto en común. Se quieren acomodar los números del 1 al 6, uno en cada cuadrado, de tal manera que cuadrados adyacentes no tengan números cuya diferencia sea múltiplo de 3. ¿Cuántas formas hay de hacer esto? 11. Encuentre todos los números de 7 cifras abcdefg tales que ab es múltiplo de 11, abcd es múltiplo de 5 y abcdefg es múltiplo de 8. 12. ¿De cuántas formas se pueden acomodar en línea recta siete pelotas blancas y cinco negras, de tal manera que no estén dos pelotas negras juntas? 13. ¿De cuántas formas se pueden escoger ocho enteros a1, a2, ..,. a8 no necesariamente distintos, de modo que 1 ≤a1≤a2≤ . ≤.. a8≤ 8? 14. ¿Cuántos números hay tales que el producto de sus cifras es 8 y la suma de ellas es 2015? 15. Una persona tiene 6 amigos. Cada noche, durante 5 días, invita a cenar a un grupo de 3 de ellos de modo que el mismo grupo no es invitado dos veces. ¿Cuántas maneras hay de hacer esto? 16. ¿De cuántas formas pueden 3 personas repartirse seis manzanas idénticas, una
naranja, una ciruela y una mandarina (sin cortar ninguna de las frutas)?
17. ¿De cuántas formas se pueden elegir 3 vértices de un decágono regular de tal forma que el triángulo determinado por estos 3 vértices sea rectángulo?
18. Calcule cuántos números de 10 cifras cumplen que la suma de ellas es par.
19. Calcule cuántos números de 8 cifras no contienen los dígitos 2 y 3 al mismo tiempo. 20. Un número de 9 cifras se dice interesante si sus primeras 3 cifras son números primos, sus segundas 3 cifras forman un múltiplo de 17 y las últimas 3 son impares. ¿Cuántos números interesantes hay? 21. ¿Cuántos triángulos isósceles se pueden construir en los vértices de un ágonon regular? 22. En casa de Chus hay un dormitorio sencillo, tres triples y una sala en donde pueden dormir 2 personas. ¿De cuántas formas se puede elegir la cantidad de personas que dormirán en cada lugar? 23. Cada uno de los olímpicos que jugaban MARATONMAPS estaba tan emocionado de jugarlo que pensó en un número entero positivo, después sumaron todos y se dieron cuenta que sumaban 2015. ¿De cuántas maneras pudieron haber pensado sus números? 24. ¿Cuántos números de dos cifras cumplen que la primera de ellas es mayor que la segunda? 25. Juan hace la lista de todos los números de 6 cifras tales que la suma de ellas es 9 y 4 de ellas son 1, 0, 0 y 4. ¿Cuántos números hay en la lista de Juan? 26. ¿Cuántos números de 15 dígitos hay que usen sólo los dígitos 1 y 5 y sean múltiplos de 15?
27. Una progresión aritmética se dice actual si entre sus primeros 8 términos hay uno igual a 1 y otro igual a 2015. Calcula cuántas progresiones aritméticas actuales hay. 28. En un tablero con 3 filas y 4 columnas se quieren acomodar 3 fichas circulares y una cuadrada de tal forma que haya una ficha en cada columna y que no haya dos figuras iguales en un renglón. ¿De cuántas formas se puede hacer esto? 29. A, B, C y D tienen 15 años; E, F y G tienen 14 y H e I tienen 13. Si se quiere formar un grupo de 5 personas de tal forma que en el grupo haya al menos una de 13 años, una de 14 y otra de 15, ¿cuántas opciones hay para hacerlo? 30. En el siguiente diagrama, ¿cuántas formas hay de llegar a Z iniciando en A? 31. Se tienen 3 colores, con los cuales se tiene que pintar la siguiente figura. Cada triángulo debe pintarse sólo de un color y de manera tal que triángulos que compartan lados tengan colores distintos. ¿De cuántas formas se puede hacer esto?
32. Diego tiene una tarjeta con un número de 2 cifras y otra con uno de 3. Se sabe que el producto de los dos números en las tarjetas es múltiplo de 10, que las cifras de cada número están en orden ascendente de izquierda a derecha y que cada número no contiene dígitos repetidos. ¿Cuántas opciones hay para las tarjetas de Diego? 33. 9 puntos se acomodan en un arreglo cuadrangular de 3x3. Se eligen 4 con la siguiente propiedad: “No hay 3 puntos de los 4 que estén sobre una misma recta”. ¿Cuántas formas hay de hacer esto? Números 1. En la siguiente igualdad n=59!+60!+61!3x , ¿cuál es el mayor valor que puede tomar x para que n sea un entero? 2. 30! termina en 7 ceros, ¿cuál es el número anterior a estos 7 ceros? 3. ¿Cuántos enteros menores que 100 tienen exactamente 6 divisores? 4. Encuentre el residuo que tiene dividir 22015entre 5. 5. Uno de los lados de un rectángulo es 9/50 del perímetro. Si su área es 1296, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo? 6. ¿Qué factor primo entre el 1 y el 15 no es divisor de 943800? 7. Encuentra todas las parejas (m, )n de números enteros positivos tales que . m ) m ) 00 m+ ( + 1 + ∙ ∙ ∙ + ( +n− 1 = 4
8. ¿Cuántas tercias (x, , )y z de enteros no negativos hay tales que xyz= 20? (Considere diferentes las tercias ( 1 21, , 0) y ( 2 11, 0, )).
9. Encuentre el menor entero positivo tal que n n+ 2 + 3 + ∙ ∙ ∙ + 2n n 015n es un cubo perfecto. 10.¿Cuántos números primos p tienen la propiedad de que p4+ 1 también es primo?
11.¿Cuántas parejas de enteros positivos (a,b) satisfacen que 1a+ ? b 1 = 1 2015 12.Entre A, B, C y D se comieron 183 semillas en total. Cada uno se comió un número diferente de semillas. Si sabemos que A fue el que más comió, ¿cuál es la diferencia entre la mayor cantidad y la menor cantidad de semillas que se pudo haber comido? 13.Considera todos los números que se forman usando exactamente una vez los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9. ¿Cuánto vale la suma de todos esos números? 14.Supón que el número n es divisible entre 56, 45 y 156. ¿Cuál es el mínimo número de divisores positivos que puede tener n? 15.Llamemos N al producto de los primeros 2015 números primos. ¿En cuántos ceros termina N? 16.Si el máximo común divisor de dos números a y b es 7 y a/b=0.375, ¿cuánto vale a por b? 17.Los números enteros positivos x, y, z cumplen que xy=77, yz=14 y xz=22. Encuentra el valor de x+y+z. 18.Se escriben los números del 1 al 318y en el conjunto S se colocan los números que son cuadrados perfectos o cubos perfectos. ¿Cuántos elementos tiene S? 19.¿Cuál es el mayor número n de dos cifras tal que 10n+ 1 es divisible por 101?
20.Ana y Elsa tienen el número 777. Claramente, tal número es divisible entre 7. Ana cambia dos de los dígitos de 777 para formar el número más grande posible que sigue siendo divisible entre 7. Elsa cambia dos de los dígitos de 777 para formar el número más chico posible de 3 cifras que siga siendo divisible entre 7. ¿Cuál es la diferencia entre los números de Ana y Elsa? 21.Se tienen seis enteros positivos diferentes, siendo el mayor de ellos N. Se forman todas las posibles parejas con estos enteros y se cumple que el número más chico en la pareja divide al más grande, salvo en una. ¿Cuál es el menor valor posible para N? 22.Se van a elegir 8 dígitos diferentes y con ellos se formarán dos números de 4 cifras. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor que puede tomar la suma de estos dos números?
23.Encuentra todos los números enteros tales que n 3n y n/2son enteros de 4 dígitos. 24.¿Cuántas parejas de enteros positivos (a, )b satisfacen que a2 3b = 621? 25.La suma de los primeros n enteros positivos es un número de 3 cifras, las cuales son todas iguales. Encuentre la descomposición en primos de n. 26.Un rectángulo con lados enteros y de área 72 se corta de un cuadrado de lado 40, de tal forma que al menos uno de los lados del rectángulo forma parte de uno de los lados del cuadrado. ¿Cuál es el máximo perímetro que puede tener la figura que queda después de quitar el rectángulo? 27.Se llama número triangular a todo aquel que se puede expresar como suma de los primeros n naturales, para algún n. Por ejemplo, 1, 3, 6, 10, etc. ¿Cuántos de los primeros 2015 números triangulares son múltiplos de 5? 28.Julio nació el día 12 de abril, justo el mismo día que nació su madre, pero 21 años después. ¿Cuál es el máximo número de veces que la edad de la madre será un múltiplo de la de Julio? 29.¿Cuál es el número más grande de 3 cifras que puede expresarse de la forma n+ √n, donde n es un entero? 30.La suma de 5 enteros positivos consecutivos es igual a la suma de los siguientes 3. Encuentre el más grande de estos ocho enteros. 31.Cuando 1001 se divide entre n, el cual consta de un solo dígito, el residuo es 5. ¿Qué residuo dejará dividir 2012 entre n? 32.Se tienen 3 números primos p, q y r tales que p>q>r y p+q+r=52 y pqr=22. Calcula el producto de estos tres números. Geo 1. Se tiene un pentágono regular ABCDE. Se traza el cuadrado ABFG, el cual queda dentro del cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo FCD? 2. Un cuadrado tiene inscrito un círculo, el cual a su vez tiene inscrito un cuadrado. ¿Qué fracción del área del cuadrado grande ocupa el chico? 3. En el cuadrilátero ABCD se traza la diagonal BD. Se sabe que AB=BC, que y que ¿Cuánto vale el ángulo ? DBC 0º, BCD 0º
4. Un círculo de radio 10 es tangente internamente a un círculo de radio 14, en el punto P. Q es un punto en el círculo grande tal que PQ es diámetro y O es el centro del círculo pequeño. R es un punto sobre el círculo pequeño tal que QR es tangente a él. Llamemos A al área del triángulo OQR y B al área de la región del círculo grande que no cubre el círculo pequeño. ¿Quién es más grande, A o B? 5. Un semicírculo de radio 23 tiene inscrito un cuadrado, con un lado sobre su diámetro. Calcula el área del cuadrado. 6. En el hexágono regular ABCDEF, se marcan los puntos medios de AB, CD y EF, con los cuales se forma un triángulo. ¿Qué fracción del área del hexágono ocupa el triángulo? 7. En un círculo de radio 16, los segmentos PQ y RS son diámetros que se intersectan de manera perpendicular. Se trazan los segmentos PR y QS. Encuentra el área de la región delimitada por estos dos segmentos. 8. Por un punto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo se dibujan dos segmentos paralelos a los catetos, de tal forma que el triángulo se divide en dos triángulos rectángulos más pequeños y un cuadrado. Si el área de uno de los triángulos pequeños es 3 veces más que el área del cuadrado, ¿cuánto vale el área del otro triángulo pequeño entre el área del cuadrado? 9. Sea ABCD un rectángulo con AB=16 y BC=12. Sea E un punto sobre la perpendicular a AC por C tal que EC=15 y tal que AE intersecta a DC en F. ¿cuál es el área de ACF? 10.En el triángulo ABC, tenemos que AB=6, AC=8 y BC =10. Sea M el punto medio de BC y desde AM se construye el cuadrado AMOP de tal manera que MO intersecta a AC en D. ¿Cuál es el área del cuadrilátero ADOP? 11.Sea ABC un triángulo equilátero y D un punto en BC. Sobre DB se construye otro triángulo equilátero DBE con E en el lado de BC opuesto a A. Sea F la intersección de AD con EC. Muestra que BDFE es un cuadrilátero cíclico. 12.Christian dibujó dos círculos distintos y 4 líneas rectas distintas. ¿Cuál es el número máximo de puntos de intersección que pudo haber obtenido? 13.En la siguiente figura, dos circunferencias son tangentes entre sí. La más grande es tangente a dos lados de un rectángulo y la más chica a uno. P y Q son sus centros. Si el área del rectángulo es 19, ¿cuánto vale el área del triángulo PQT? 14. Sobre los lados de un triángulo rectángulo se dibujan 3 triángulos equiláteros. Las áreas de los triángulos sobre los catetos son 1123 y 882. ¿Cuánto vale el área del triángulo sobre la hipotenusa? 15. OEF es un triángulo rectángulo, con ángulo recto en O. A y B son puntos sobre los catetos (uno en cada cateto) y C y D son puntos en la hipotenusa tales que ABCD es un cuadrado. Si OA=48 y OB=36, ¿cuánto vale EF?
16. Con 6 circunferencias iguales se hace una “pirámide”, la cual tiene en su base a 3 de ellas, luego dos y en la punta una. Si todas las circunferencias son tangentes entre sí y la altura de la “pirámide” es 1, ¿cuánto vale el radio de cada circunferencia? 17. ABCD es un cuadrado de lado 2. Sobre el lado CD del cuadrado se coloca el lado EF del cuadrado EFGH, de tal manera que EFGH queda fuera de ABCD. Además, EF=1. Llamemos J a la intersección de CG y DH. Calcula el área del triángulo CDJ. 18. En la siguiente figura, ABCD es un rectángulo, P, Q y R son puntos medios de 3 de sus lados y M es el punto medio de QR. Calcula la fracción del área del rectángulo que cubre el triángulo AMP. 19. El rectángulo ABCD se dobla por la línea MN de tal manera que C queda sobre A. Si el área de ABCD es 816, calcula el área de ANMD’. 20. En un polígono regular de 2016 lados, ¿cuántos triángulos equiláteros se pueden formar que tengan sus vértices sobre los vértices del polígono? 21. Se tiene un círculo C1 con centro O1 y AB un diámetro. Se elige un punto C sobre C1 y diferente de A y B y se trazan las líneas BC y AC. El círculo C2, con centro O2 no intersecta a C1, pero es tangente a BC y AC. Si el ángulo O1AC mide 25°, encuentra cuánto mide el ángulo O1CO2. 22. En el cuadrado ABCD, E y F son los puntos medios de AB y AD, respectivamente. G es un punto sobre el segmento CF tal que 7CG=3GF. ¿Qué fracción del área del cuadrado cubre el triángulo GBE? 23. El triángulo rectángulo ABC tiene ángulo recto en C. Además, BC=12 y AC=5. El triángulo tiene inscrito un semicírculo, cuyo diámetro está sobre el lado BC (el semicírculo es tangente a AC y AB). ¿Cuál es el radio de ese semicírculo?
24. En la siguiente figura se tiene un hexágono regular y seis semicírculos. Si el lado del hexágono es 2, calcula el área sombreada. 25. En la siguiente figura, ¿cuánto vale el área sombreada si el lado del cuadrado es 4? 26. En la siguiente figura, MKZ y ZRT son triángulos equiláteros congruentes. ¿Cuánto vale el ángulo KRM? 27. Dada una semicircunferencia C con centro O y diámetro AB, tomemos X un punto sobre C y Z un punto en XO. Si Y es la intersección de AZ con C, y P la intersección de BY con la tangente a C por X, prueba que BX⏊PZ. 28. Un rectángulo se divide en cuatro partes, como en la siguiente figura. Con esas cuatro partes, se forma un cuadrado. Calcula la medida del lado del cuadrado. 29. En la siguiente figura se tienen dos triángulos de lado 1, cada uno de los cuales tiene uno de sus lados sobre la diagonal del otro. Calcula el área sombreada.
30. En la siguiente figura, AN=AC y BM=BC. Calcula el ángulo ACB. 31. En una circunferencia se tienen las cuerdas AB y BC, y se sabe que AB mide lo mismo que el radio de la circunferencia. Encuentra todos los posibles valores que puede tener el ángulo ACB. 32. Se tiene un círculo que toca exactamente en 3 lugares a una sección de otro círculo. Si el radio del círculo inscrito es 6 y el del sector circular es 18, ¿qué fracción del área del sector circular cubre el círculo? 33. En la siguiente figura, ¿cuánto vale x si se sabe que es un entero? 34. En la siguiente figura, PQRS es un cuadrado y M es el punto medio de PQ. El área del cuadrado es k veces el área sombreada. ¿Cuánto vale k?
Otros 1. ¿Cuántos cuadrados se pueden formar en un tablero de ajedrez? 2. Dos dados de 12 caras, uno rojo y uno azul, se lanzan (cada dado tiene los números del 1 al 12). Si llamamos R al número que cayó en el dado rojo y A al número que cayó en el azul, ¿cuál es la probabilidad de que R<2A? 3. Un número se llama palíndromo si se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. ¿Cuántos números n de 3 cifras hay tales que n y 2n sean palíndromos? 4. El número 1729 se conoce como número de Ramanujan, pues éste matemático de la India descubrió que 1729 se puede obtener como suma de dos cubos perfectos de dos maneras distintas, es decir, 1729=a3+b3=c3+d3. ¿Cuánto vale a+b+c+d? 5. El cuadrilátero ABCD cumple que sus diagonales tienen longitudes enteras y se intersectan perpendicularmente. Además, suman 75 y el área de ABCD es 427. ¿Cuál es la diferencia de las medidas de las diagonales?
6. Sean a1, a2, .. ,. an, ... una secuencia de números tales que el ésimo número es eln promedio de los n− 1 número anteriores. Si a1= 5 y a2= 13, ¿cuál es el valor de a2015? 7. ¿Es posible enumerar los ocho vértices de un cubo con los números del 1 al 8 de tal manera que la suma de los números de cada arista sea diferente? 8. En un juego, todos los jugadores se disponen en círculo y dicen los números del 1 al 100, de uno por uno. Cada que toca un número que es múltiplo de 7 o que al menos uno de sus dígitos es 7, se da un aplauso. El juego termina cuando alguno de los jugadores se equivoca. Si se llega al número 100 y todavía no se termina el juego, se vuelve a iniciar en el 1. Si en un juego se habían dado 852 aplausos hasta que se terminó, ¿en qué número se dio el último aplauso? 9. Si se sabe que cuando se congela cierto material aumenta su volumen en 2/15, ¿cuánto disminuirá el volumen del mismo material cuando se derrite? 10.En una cuadrícula se van poniendo los números del 1 al 5 como en la figura. ¿Qué número está 100 cuadritos arriba del sombreado? 11.Recuerda que si a es un entero positivo, entonces a0= 1. La secuencia 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, … contiene a las potencias de 3 y a los números que se pueden escribir como suma de diferentes potencias de 3. ¿Cuál es el elemento número 2048 en la secuencia? 12.Llamemos A, B, C, D, E, F, G, H a los ocho vértices de un octágono regular. Se elige al azar uno de los vértices C, D, E, F, G, H y se traza la línea que une al vértice elegido con A. Nuevamente se elige al azar, pero esta vez se une el vértice elegido con B. ¿Cuál es la probabilidad de que el hexágono quede dividido en 3 regiones en su interior?
13.A, B, C, D y E ordenaron una pizza rectangular para cada quien y decidieron cortarla con 7 cortes, paralelos a los lados de la pizza. Después de esto, cada uno de ellos anotó en un papel el número de pedazos de pizza que había obtenido, quedando así: 8, 12, 14, 18, 20. Si sabemos que sólo uno de ellos se equivocó al hacer los cortes, ¿quién fue? 14.Un cuadrado mágico originalmente tiene lados de longitud 11. Cada que dice una mentira, sus lados decrecen dos centímetros y cada que dice una verdad, su perímetro se duplica. Sabemos que dijo, en algún orden, dos mentiras y dos verdades. ¿Cuáles son el menor y el mayor valores que puede tener su área? 15.Si los números 1, 2, 3, … son colocados de la siguiente manera ¿cuál es la suma de los números en el nésimo renglón?
16. Suponga que los enteros positivos x y, cumplen que x2−y2= 84.Calcule todos los posibles valores que puede tener x2+y2.
17. Encuentre todas las parejas de enteros positivos (a, )b tales que a<b y su producto equivale a 5 veces su suma.
18. Irwin ha creado un algoritmo para crear una secuencia de números en la que a1= 1 y . Encuentra el valor de .
m
am+n=am+an+n a2015
19. ¿Cuántos valores diferentes de cumplen que la ecuación a x2+ax+ 2015= 0 tiene dos soluciones enteras? 20. Cada uno de los lados del rombo PQRS mide lo mismo que la media geométrica de sus diagonales. Calcule el ángulo PQR. 21. Llamamos erectángulo a un rectángulo cuyos lados tienen longitudes enteras. El número A se obtiene al sumar las áreas de todos los erectángulos cuyo perímetro es 26. Determine cuánto vale A. 22. En la siguiente igualdad, m y n son enteros positivos. Determine el valor de m+n. . 2m+1+ 2m= 3n+2− 3n
23. Los números x, y y z cumplen que x2yz3= 73y xy2= 79. Calcula el valor de . 98 xyz 24. Prueba que en cualquier grupo de 5 personas, hay al menos 2 que tienen el mismo número de amigos en el grupo (la amistad es mutua). 25. Pablo sumó todos los números enteros de 4 cifras, salvo uno. Si se sabe que el resultado que obtuvo es 8499 veces el número que no contó, ¿cuál es éste? 26. Inés tiene 2015 piezas rectangulares, de 2 por 7. Arma cuadrados, sin dejar huecos ni superponerlos. Sea A el lado del cuadrado más pequeño que puede formar y B el del más grande. Calcula AB. 27. ¿Cuántos números hay entre el 600000 y el 1000000 tal que el producto de sus cifras es 700? 28. Sea N el número que se obtiene al sumar 9+98+997+9996+...+9...982, donde el último número tiene 16 nueves. ¿Cuántos dígitos 1 tiene N?
29. Encuentra cinco números a, b, c, d, e del conjunto {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25} tales que a+b+c+d+e=80. 30. En una cierta isla, la única forma de vida presente son los camaleones. Estos camaleones son inmortales y jamás nacen más camaleones. Son de color verde, blanco y rojo, y hay 2000, 3000 y 4000 camaleones de cada color, respectivamente. Cada vez que dos camaleones se encuentran frente a frente, lo cual nunca sucede entre más de dos camaleones, ocurre lo siguiente: (1) Si los dos camaleones son de diferentes colores, digamos A y B, entonces los dos camaleones se volverán de color C. (2) Si los dos camaleones son del mismo color, digamos A, entonces uno de los camaleones se volverá de color B y el otro de color C. ¿Podrán algún día los camaleones ser todos del mismo color?
