Matriz de una Transformación Lineal

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Matriz de una Transformaci´

on Lineal

Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM

17 de junio de 2008

´

Indice

23.1. Matriz de una Transformaci´on Lineal . . . 1 23.2. Toda transformaci´on Lineal es Matricial . . . 4 23.3. Operativa del Trabajo con Transformaciones . . . 5 23.1. Matriz de una Transformaci´on Lineal

Sea T :V → W una transformaci´on lineal entre dos espacios vectoriales V y W de dimensiones finitas. SeaB={v1, . . . ,vn} una base deV yB

={v1′, . . . ,vn′} una base deW. La matriz A m×ncuyas columnas son:

[T(v1)]B′, . . . ,[T(vn)]B′

es la ´unica matriz que satisface

[T(~v)]B′ =A[~v]B para todo~v∈V.

Definici´on 23.1

La matriz Ade la afirmaci´on anterior se llama matriz deT con respecto a B y a B′ . SiV =W yB=B′,A se llama matriz deT con respecto a B.

Ejemplo 23.1 Suponga que T :R3 →R3 B=      1 0 0  ,   0 1 0  ,   0 0 1      , B′=      1 0 0  ,   0 1 0  ,   0 0 1      , y que [T]BB′ =   −3 0 2 −3 3 3 −1 3 2   Determine T   3 −1 −4  

(2)

Soluci´on

Tenemos que la matriz [T]BB′ cumple [T(~v)]B′ = [T]

B′

B [~v]B. Si ~v =< 3,−1,−4 >, entonces para obtener [~v]B

hacemos: [B|~v] =   1 0 0 3 0 1 0 −1 0 0 1 −4  →   1 0 0 3 0 1 0 −1 0 0 1 −4  

Por tanto, [~v]B =<3,−1,−4>y de all´ı que

[T(~v)]B′ =   −3 0 2 −3 3 3 −1 3 2  ·   3 −1 −4  =   −17 −24 −14   Por tanto, T(~v) =−17   1 0 0  −24   0 1 0  −14   0 0 1  =   −17 −24 −14   Ejemplo 23.2 Suponga que T :R3 →R3 B=      0 2 −5  ,   3 −2 0  ,   2 0 −5      , B′ =      4 2 3  ,   4 5 3  ,   4 0 −2      , y que [T]BB′ =   −5 −4 1 1 −2 4 0 −4 −3   Si [x]B=   4 0 −1   Determine [T(x)]B′. Soluci´on Directamente de la definici´on de [T]BB′: [T(x)]B′ = [T] B′ B[x]B =   −5 −4 1 1 −2 4 0 −4 −3  ·   4 0 −1   =   −21 0 3   Ejemplo 23.3 Suponga que T :R3 →R3 B =      −5 4 3  ,   4 5 3  ,   −4 −4 −1      , B′ =      −1 −5 −2  ,   −5 5 2  ,   2 −1 3      ,

(3)

y que [T]BB′ =   5 −4 1 3 3 3 3 −1 0   Si [x]B=   3 −3 5   Determine T(x). Soluci´on Directamente de la definici´on de [T]BB′: [T(x)]B′ = [T] B′ B [x]B =   5 −4 1 3 3 3 3 −1 0  ·   3 −3 5   =   32 15 12   Por tanto, T(x) = 32   −1 −5 −2  + 15   −5 5 2  + 12   2 −1 3  =   −82 −97 2   Ejemplo 23.4 Suponga que T :R3 →R3 B =      1 1 0  ,   −1 −5 1  ,   0 0 2      , B′ =      1 −4 −2  ,   3 −2 −2  ,   −4 1 −2      , y que [T]BB′ =   −1 0 0 4 −1 3 0 0 5   Si x=   4 −2 0   Determine T(x). Soluci´on

Six=<4,−2,0>, entonces para obtener [x]B hacemos:

[B|x] =   1 −1 0 4 1 −5 0 −2 0 1 2 0  →   1 0 0 11/2 0 1 0 3/2 0 0 1 −3/4  

(4)

Por tanto, [x]B =<11/2,3/2,−3/4>y de all´ı que [T(x)]B′ = [T] B′ B[x]B=   −1 0 0 4 −1 3 0 0 5  ·   11/2 3/2 −3/4  =   −11/2 73/4 −15/4   Por tanto, T(x) =−11/2   1 −4 −2  + 73/4   3 −2 −2  −15/4   −4 1 −2  =   257/4 −73/4 −18   Notas

Observe que si [B] representa la matriz cuyas columnas son los vectores deB: Para obtener [x]B dados B y x, se realiza el c´alculo [B]

−1

x. Para obtenery dados [y]B′ yB′, se realiza [B′]·[y]B′.

Ejemplo 23.5 Suponga que T :R3 →R3 se define como T     x y z    =   3x−2z x+y−z 5x+ 4z   y adem´as B =      0 1 −5  ,   −2 −1 0  ,   4 4 −5      , B′=      0 1 1  ,   −3 −4 −4  ,   0 0 1      .

Determine la matriz [T]BB′. Soluci´on

Por las notas anteriores a este ejemplo y como tenemos queT se puede representar como:

T     x y z    =   3x−2z x+y−z 5x+ 4z  =   3 0 −2 1 1 −1 5 0 4  ·   x y z  

De donde tenemos que

[T]BB′ = [B ′ ]·   3 0 −2 1 1 −1 5 0 4  ·[B] −1

Realizando los c´alculos anteriores:

[T]BB′ =   3/2 0 3/5 9/2 −5 −4/5 5 −6 −2  

23.2. Toda transformaci´on Lineal es Matricial

A pesar de que las transformaciones matriciales son las transformaciones lineales m´as sencillas, enRn son las ´unicas. Esto lo afirma el siguente resultado.

Teorema

Toda transformaci´on lineal T :Rn

→Rm

(5)

23.3. Operativa del Trabajo con Transformaciones

Lo que afirma el siguiente resultado es que para trabajar con una transformaci´on lineal (N´ucleo, subsepacios, o imagen) es equivalente a trabajar con la matriz de la transformaci´on.

Teorema

SeaT :V→W una transformaci´on lineal entre dos espacios vectoriales de dimensiones finitas,V y W. SeaAla matriz deT con respecto a las basesB={v1, ...vn} ⊆V yB

={v1′, ...,vm′} ⊆W. Entonces,

~v est´a en el n´ucleo deT si y s´olo si [v]B est´a en el espacio nulo deA. Es decir, A[v]B =0.

~

west´a en el contradomio de T si y s´olo si [w]B′ se encuentra en el espacio de columnas deA.

Es decir, Ax= [w]B′ es consistente.

T es biun´ıvoca si y s´olo si la reducida de Atienen pivotes. T es sobre si y s´olo si la reducida deA tienem pivotes. T es un isomorfismo si y s´olo si A es invertible.

Ejemplo 23.6

Suponga que

T :P1 → P1 se define como

T(p) = (1 + 6x)p′−6p determine la matriz [T]BB′ para las bases

B ={5 + 5x,−4 + 2x} y

B′ ={5−x,−4−4x}

Utilice lo anterior para calcular un polinomio en el n´ucleo de la transformaci´on T.

Soluci´on

Sip=a+b xrepresenta cualquier porlinomio de P1, entonces

T(a+b x) = (1 + 6x) (b)−6 (a+b x) =b−6a= (b−6a) + 0x As´ı,T puede pensarse como:

T(a+b x) = −6 1 0 0 · a b Por tanto, [T]BB′ = 5 −4 −1 −4 · −6 1 0 0 · 5 −4 5 2 −1 = −17/6 −19/6 17/30 19/30

El n´ucleo de esta matriz se obtiene resolviendo [T]BB′x=0:

h [T]BB′|0 i → 1 19/17 0 0 0 0

Por lo tanto, el n´ucleo de [T]B′

B se genera por el vector: [v]B =

−19/17 1

(6)

De all´ı que el n´ucleo de T se genere por: v= [B]−1[v]B = 1/15 2/15 −1/6 1/6 · −19/17 1 = 1/17 6/17

Por tanto, cualquier polinomio de la formaC (1/17 + 6/17x) est´a en el n´ucleo de T El siguiente resultado relaciona la matriz de cambio de base con la matriz asociada a una transformaci´on lineal.

Teorema

SeaT :V→V una transformaci´on lineal de un espacio vectorial V de dimensi´on finita en s´ı mismo. SeanByB′ dos bases deV, y seaPla matriz de transici´on deB′ a B. Si Aes la matriz deT con respecto a By si Ces la matriz deT con respecto a B′, entonces

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