PREPA N o 6. Continuidad, Teorema de Valor Intermedio y Recta Tangente.

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UNIVERSIDAD SIM ÓN BOLÍVAR MATEM ÁTICAS I (MA-1111)

Elaborado por Miguel Labrador

12-10423 Ing. Electr´onica PREPA No 6.

Continuidad, Teorema de Valor Intermedio y Recta Tangente.

Continuidad de funciones, aplicaciones del Teorema de Valor Medio y noci´on de

derivada.

Ejemplo 1: Determine los puntos de discontinuidad de

f(x) =                −1 , six <−1 x3 _{, si}₋₁_≤_x_≤₁ 1−x , si 1< x <2 3−x2 _{, si}_x_≥₂ Soluci´on: Continuidad en un punto.

Sea f una funci´on definida en un intervalo abierto que contiene a c. Decimos que f es continua en c si

l´ım

x→cf(x) =f(c)

Esto significa que se deben cumplir tres condiciones para poder afirmar que una funci´on es continua:

1. que l´ım

x→cf(x) existe.

2. que f(c) existe, es decir, que cpertenece al dominio de de f. 3. que l´ım

x→cf(x) = f(c)

En caso de queno se cumpla alguna de estas condiciones decimos que la funciónno es continua. F´ıjese que tenemos una función definida a trozos, debemos verificar qué puntos cumplen con la condiciones para que f sea continua y ver cuáles son los que no, sin embargo no vamos a verificarlas para cada número real (esto es imposible). El siguiente teorema nos ayudará a resolver este inconveniente

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Continuidad en un punto de funciones polinomiales y racionales.

Unafunci´on polinomiales continua en todo n´umero realc.Una funci´on racionales continua en todo su dominio, es decir, en todo c salvo donde su denominador se anule.

Este teorema nos permite decir lo siguiente:

En los intervalos (−∞,−1), (−1,1), (1,2) y (2,+∞) f está definida como un polinomio por tanto es continua para todos los valores dentro de dichos intervalos. Solo falta preguntarnos qué pasa en x = −1, x = 1, x = 2, f´ıjese que no hemos incluido estos valores en los intervalos puesto que all´ı la función((cambia su comportamiento)).

Continuidad para x=−1:

Si f es continua en alg´un punto entonces debe satisfacer la tres condiciones planteadas al principio, de otra forma no es continua.

1. ¿ Existe l´ım

x→−1f(x)?

Para esto debemos probar que los l´ımites laterales existen y son iguales. l´ım

x→−1−f(x) = l´ım_x_→−₁−−1 =−1

F´ıjese que hemos tomado f(x) =−1 ya que a la izquierda de −1 (x <1) ese es su valor. A la derecha de 1 (−1≤x≤1) tenemos quef(x) =x3_{, por lo tanto:}

l´ım

x→−1+f(x) = l´ım_x_→−₁+x

3 ₌₋₁

Luego los l´ımites laterales existen y son iguales por lo tanto l´ım

x→−1f(x) existe.

2. ¿ Existe f(−1) ´o x=−1 pertenece al dominio def?

Debemos ver si x =−1 pertenece al dominio de f. Note que este punto est´a incluido en el

((segundo trozo)): f(x) =x3 _{, si}₋₁_≤ _x_≤_{1 , por lo tanto:}

f(−1) = (−1)3 =−1 (Si existef(−1).) 3. ¿ Es cierto que l´ım x→−1f(x) =f(−1)? En efecto: l´ım x→−1f(x) = −1 y f(−1) =−1 =⇒ l´ım x→−1f(x) =f(−1)

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Continuidad para x= 1: Verifiquemos las tres condiciones:

1. ¿ Existe l´ım x→1f(x)? l´ım x→1−f(x) = l´ım_x_→₁−x 3 _{= 1} l´ım x→1+f(x) = l´ım_x_→₁+1−x= 0

En vista que la primera condici´on no se cumple podemos decir de una vez quef no es continua en x= 1.

Continuidad para x= 2: Verifiquemos las tres condiciones:

1. ¿ Existe l´ım x→2f(x)? l´ım x→2−f(x) = l´ım_x_→₂−1−x=−1 l´ım x→2+f(x) = l´ım_x_→₂+3−x 2 ₌₋₁

Los l´ımites laterales existen y son iguales por lo tanto l´ım

x→2f(x) existe. 2. ¿ Existe f(2)? f(x) = 3−x2, si x≥2 =⇒ f(2) = 3−(2)2 =−1 En efecto, x= 2 ∈Domf y f(2) =−1 3. l´ım x→2f(x) =f(2) =−1

Luego la funci´on es continua en x= 2.

Observe todo lo que hemos dicho con las cuentas que hemos hecho en la gr´afica de la funci´on f.

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Finalmente respondemos la pregunta que nos hicieron:

El ´unico punto de discontinuidad de la funci´on es x= 2 pues no existe el l´ımite en ese punto.

Ejemplo 2: Sea f(x) =          x2₊₇_x₋₁₈ x2₋₄ , six >2 b , six= 2 x+a , six <2 Halle los valores de ay b para que f sea continua en todo _R

Soluci´on:

En el intervalo (−∞,2) la función está definida por un polinomio y ya sabemos que todo polinomio es continuo en _R y más aún en dicho intervalo. En el intervalo (2,+∞) la función se comporta como un cociente de polinomios por lo tanto ella es continua excepto donde su denominador se anula, es decir, es continua en el intervalo (2,+∞) ya que en este intervalo no se incluye x = 2 ni x = −2. De modo que si hay algún punto donde debemos asegurar continuidad es en x= 2, de resto ella es continua.

Nota: Parte de su justificaci´on en un problema como este es redactar el comentario que acabamos de hacer.

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Toda funci´on continua debe cumplir siempre las tres condiciones que hemos trabajado hasta ahora, por lo tanto si queremos que f sea continua en x = 2 debemos hacer que a y b sean tales que cumplan con la tres.

1. Deben existir los l´ımites laterales y deben ser iguales. Es decir l´ım x→2−f(x) = l´ım_x_→₂+f(x) l´ım x→2−x+a= l´ım_x_→₂+ x2+ 7x−18 x2₋₄

El l´ımite de la izquierda lo podemos calcular evaluando en la funci´on, por otro lado el de la derecha presenta una indeterminaci´on, pero esto no es problema.

l´ım x→2+ x2_{+ 7x}₋₁₈ x2₋₄ = l´ım_x_→₂+ (x−2)(x+ 9) (x−2)(x+ 2) = l´ımx→2+ x+ 9 x+ 2 = 11 4 Entonces: l´ım x→2−x+a= l´ım_x_→₂+ x2_{+ 7x}₋₁₈ x2₋₄ =⇒2 +a= 11 4

Hemos obtenido una ecuaci´on que nos sirve para saber el valor de a de modo que: a+ 2 = 11 4 =⇒a= 11 4 −2 =⇒a = 3 4 Ahora deber´ıamos poder obtener b de las otras condiciones. 2. La funci´on debe estar definida en x= 2

La funci´on nos dice expl´ıcitamente que cuando x= 2 entonces f valeb, es decir f(2) = b. 3. Se debe cumplir que l´ım

x→2f(x) = f(2)

l´ım

x→2f(x) =f(2)

=⇒a+ 2 = 11 4 =b Como el l´ımite es igual aa+ 2 y a su vez a 11

4 podemos igualar b a cualquiera de estos dos, de modo queb = 11

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Para que f cumpla con las tres condiciones simult´aneamente a= 3 4 y b=

11 4.

Finalmente para que f sea continua en todo _R se debe cumplir que:

 



a= 3₄ b= 11₄

Ejemplo 3: Encuentre todos los valores de a y b para que f sea discontinua evitable.

f(x) =          x2₋₂_x₋₈ 4−x2 , six <−2 ax2₋₃ _{, si}_{x >}₋₂ b , six=−2 Soluci´on:

Sabemos que para que una función sea continua forzosamente debe cumplir tres condiciones, dicho de otro modo si no cumple alguna de ellas decimos que es discontinua, podemos clasificar estas discontinuidades según la condición que no se esté cumpliendo.

Tipos de discontinuidades.

Si una funci´on f es discontinua en x = c podemos clasificar sus discontinuad de la siguiente forma:

Es discontinua inevitable si los l´ımites laterales son distintos o no existen.

Es discontinua evitable si los l´ımites laterales existan y sean iguales pero f(c) 6= l´ım

x→cf(x) o bien f(c) no est´a definida.

Como f es continua en todo _R excepto posiblemente en x = 2 entonces haremos que a y b sean tales que f sea discontinua evitable en x=−2, para ello debemos garantizar que los l´ımites laterales existen y son iguales.

               l´ım x→−2−f(x) = l´ım_x_→−₂− x2 ₋_2x₋₈ 4−x2 = l´ım_x_→−₂− (x−4)(x+ 2) (2−x)(2 +x) = l´ımx→−2− x−4 2−x =− 3 2 l´ım x→−2+f(x) = l´ım_x_→−₂+ax 2 ₋_{3 = 4a}₋₃

Luego para que f sea discontinua inevitable se debe cumplir: l´ım x→−2−f(x) = l´ım_x_→−₂+f(x) =⇒ −3 2 = 4a−3 =⇒a= 3 8

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Ya hemos garantizado que los l´ımites laterales existen y son iguales a −3 2 siempre que a = 3 8 por lo tanto l´ım x→−2f(x) =− 3

2. Por otro lado, de la funci´on es evidente que f(−2) = b, entonces la otra condici´on para que f sea discontinua evitable es:

l´ım

x→−2f(x)6=f(−2)

=⇒ −3 2 6=b

Finalmente podemos decir que f es discontinua inevitable cuandoa =−3

8 y b6=− 3 2.

Ejemplo 4: Analice la continuidad de la funci´on

f(x) =                  |x−3|+ cos(1) , six >3 0 , six= 3 (x−2)2_cos ₁ x−2 , six <3 y x6= 2 0 , six= 2 Soluci´on:

Vemos que la función está definida a trozos de una manera un poco compleja por lo que tenemos que identificar muy bien cómo está definida ya que tendremos que estudiar l´ımites en los alrededores de ciertos puntos.

F´ıjese como est´a definida la funci´on con el siguiente cuadro.

(−∞,2) x= 2 (2,3) x= 3 (3,+∞) f(x) (x−2)2_cos 1 x−2 0 (x−2)2_cos 1 x−2 0 |x−3|+ cos(1)

En los intervalos (−∞,2) y (2,3) la función es continua por estar definida como el producto de funciones continuas en estos intervalos. En el intervalo (3,+∞) la función también es continua pues es la combinación de funciones continuas en_Ry por lo tanto más aún en (3,+∞). Estudiamos la continuidad en x= 2 yx= 3 pues son los puntos donde hay cambios de comportamiento.

Continuidad en x= 2:

1. Veamos c´omo son los l´ımites laterales l´ım

x→2+f(x) = l´ım_x_→₂+(x−2)

2_cos 1

x−2

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Este l´ımite debe calcularse con ayuda Teorema del S´andwich. cos ₁ x−2 ≤1 ⇐⇒ −1≤cos ₁ x−2 ≤1 ⇐⇒ −(x−2)2 ≤(x−2)2cos ₁ x−2 ≤(x−2)2 Luego: l´ım x→2+−(x−2) 2 _≤ _l´ım x→2+(x−2) 2_cos 1 x−2 ≤ l´ım x→2+(x−2) 2 Como l´ım x→2+−(x−2) 2 _{= l´ım} x→2+(x−2) 2 _{= 0}

Por Teorema del S´andwich: l´ım x→2+(x−2) 2 cos 1 x−2 = 0 Adem´as l´ım x→2−(x−2) 2_cos 1 x−2

= 0 (Se calcula de la misma forma.) 2. De la funci´on o del cuadro podemos observar que f(2) = 0.

3. De las dos condiciones anteriores tenemos que:

     l´ım x→2(x−2) 2_cos 1 x−2 = 0 f(2) = 0 Entonces f(x) es continua x= 2. Continuidad en x= 3: 1. l´ım x→3−f(x) = l´ım_x_→₃−(x−2) 2 cos 1 x−2 = cos(1) l´ım x→3+f(x) = l´ım_x_→₃+|x−3|+ cos(1) = cos(1) Luego los l´ımites laterales existen y son iguales.

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2. La funci´on nos dice expl´ıcitamente que f(3) = 0. 3. Tenemos que      l´ım x→3(x−2) 2_cos 1 x−2 = cos(1) f(3) = 0

Como no se cumple la tercera condici´on, es decir, que l´ım

x→3(x−2) 2_cos 1 x−2 = f(3), la funci´on no es continua enx= 3.

Finalmente tenemos quefes continua en todo_Rexcepto enx= 3 donde presentadiscontinuidad evitable.

Se deja la gráfica de la funciónf para que usted se convenza y compare los resultados obtenidos en las cuentas con lo que pasa gráficamente.

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Ejemplo 5: Considere la funci´on f(x) =          (x−a)2₋₁ _{, si}_x_{≤ −}3 2 sin(πx) , si−3 2 < x≤ 3 2 4x+b , six > 3₂ Diga si f es continua en x=−3 2 y x= 3 2. Soluci´on:

Como nos piden directamente estudiar la continuidad en dos puntos no tenemos que hacer el comentario de lo que sucede en el resto de los puntos, aunque no es dif´ıcil saberlo.

Continuidad en x=−3 2.

1. Estudiamos los l´ımites laterales. l´ım x→−3 2 −f(x) = l´ım x→−3 2 −(x−a) 2₋ 1 = −3 2−a 2 −1 l´ım x→−3 2 +f(x) = l´ım x→−3 2 +sin (πx) = sin −3 2π = 1 Para que el l´ımite exista los l´ımites laterales deben ser iguales.

−3 2−a 2 −1 = 1 =⇒ −3 2−a 2 = 2 =⇒ −3 2 −a=± √ 2 =⇒a=∓√2−3 2 Luego el l´ımite existe si a=−√2−3

2 o a= √ 2−3 2. 2. f(−3 2) = −3 2 −a 2 −1 = −3 2 − ∓√2− 3 2 2 −1 (a=∓√2− 3 2.) =⇒f −3 2 = 1

3. Ahora note que siempre que a=∓√2− 3 2: l´ım x→−3 2 f(x) = f −3 2 = 1

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Entonces la funci´on es continua enx=−3 2 siempre y cuando a =∓ √ 2− 3 2. Continuidad en x= 3₂.

1. Estudiamos los l´ımites laterales. l´ım x→3 2 −f(x) = l´ım x→3 2 −sin (πx) = sin ₃ 2π =−1 l´ım x→3 2 +f(x) = l´ım x→3 2 +4x+b = 6 +b Para que el l´ımite exista los l´ımites laterales deben ser iguales.

−1 = 6 +b =⇒b =−7 2. f ₃ 2 = sin ₃ 2π =−1 3. Ahora, siempre queb =−7:

l´ım x→3 2 f(x) = f 3 2 =−1

Entonces la funci´on es continua enx= 3

2 siempre y cuando b=−7.

Ejemplo 6: Responda las preguntas a continuaci´on: a. Enuncie el Teorema de Valor Intermedio.

b. Verifique que la ecuaci´on x5_{+ 4x}3₋_7x_{+ 14 = 0 tiene al menos una soluci´}_{on real.}

Soluci´on: Parte a.

Este ejercicio fue tomado de un parcial por lo que s´ı, este tipo de preguntas pueden aparecer y usted debe conocer, memorizar y entender todos los teoremas y definiciones que hemos trabajado y que seguir´an apareciendo a lo largo del curso.

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Teorema de Valor Intermedio

Seaf una funci´on continua en el intervalo cerrado[a, b]entonces para todo n´umerocperteneciente a dicho intervalo existe siempre f(c).

Parte b.

Ahora debemos usar el teorema para garantizar que la ecuaci´on que nos dan tiene al menos una soluci´on.

Veamos qu´e es lo que tenemos y luego c´omo utilizar el teorema a nuestro favor.

F´ıjese que buscar una soluci´on para la ecuaci´onx5_{+ 4x}3₋_7x_{+ 14 = 0 es equivalente a buscar}

las ra´ıces de la funci´on f(x) = x5 _{+ 4x}3 ₋_7x_{+ 14. Recuerde que si} _x

o es ra´ız de la funci´on f entonces f(xo) = 0.

Para saber si existe alguna ra´ız de esta función podr´ıamos factorizar y ver cuáles son pero no nos están pidiendo cuáles sino solo verificar si las tiene.

Usaremos la siguiente idea: si existe alg´un intervalo donde la funci´on cambia de signo, es decir, pasa de ser negativa a positiva o viceversa entonces dentro de ese intervalo existe una ra´ız. Vea lo que hemos dicho en el siguiente esquema.

Estudiemos el intervalo [−2,0] que hemos escogido casi arbitrariamente, podemos escoger cualquier valor que est´e dentro de este intervalo o incluso en la frontera, es decir x = −2 y x= 0.

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Evaluamos la funci´on en los valores escogidos para ver como se comporta.

f(−2) = (−2)5_{+ 4(−2)}3₋_{7(−2) + 14 =} ₋₃₆ _(f _{es negativa en} _x₌_−2.)

f(0) = (0)5+ 4(0)3−7(0) + 14 = 14 (f es positiva en x= 0.)

Con esto hemos visto que dentro del intervalo [−2,0] existe al menos un cambio en el signo de f, es decir, ya sabemos que dentro de este intervalo hay al menos una ra´ız aunque no sabemos cu´ales son, ni nos interesa, sin embargo ¿ podemos realmente asegurar que hay ra´ıces dentro de este intervalo?

Para asegurar que en [−2,0] hay por lo menos una ra´ız de f utilizaremos el Teorema de Valor Intermedio, para ello debemos verificar que se cumplen las hip´otesis del teorema, esto es que la funci´on sea continua en [a, b].

Como la función presenta un cambio de signo en el intervalo [−2,0] y además es continua en este intervalo por ser una función polinómica, por Teorema de Valor Intermedio, existe al menos un c dentro de [−2,0] tal quef(c) = 0.

Usted podr´ıa estarse preguntando ahora ¿ En qué ayuda el teorema? Pues en realidad si la función no fuese continua en [−2,0] no podr´ıamos garantizar nada, imag´ınese que justo donde la función cambia de signo existe una discontinuidad dado que no está definida f(c), en este caso no habr´ıa manera de decir que hay por lo menos una ra´ız porque cabe la posibilidad que donde creemos hay una ra´ız en realidad no se define la función.

Finalmente respondemos la pregunta:

Como f(x) tiene por lo menos una ra´ız en [−2,0] entonces la ecuaci´on f(x) = 0 tiene por lo menos una soluci´on en dicho intervalo.

Ejemplo 7: Averig¨ue si x3₋_3x2 _{+ 1 = 0 tiene tres soluciones en el intervalo [−1,}_3]

Soluci´on:

Como ya sabemos, que nos pidan la soluciones de x3 ₋_3x2 _{+ 1 = 0 es equivalente a que nos}

pidan las ra´ıces de la funci´onf(x) = x3₋_3x2_{+ 1.}

Para poder siquiera sospechar que la funci´on f tiene tres ra´ıces dentro del intervalo [−1,3] debemos encontrar tres variaciones de signos dentro de este intervalo. Para evitarnos mayores problemas lo que haremos es dividir el intervalo que nos dan en tres intervalos donde sospechemos que hay cambios, probemos dividirlo as´ı:

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Vamos a estudiar si hay cambios de signo en los intervalos escogidos:

[−1,0] : f(−1) =−3<0 f(0) = 1>0 (Hay cambio de signo.) [0,1] : f(0) = 1>0 f(1) =−1<0 (Hay cambio de signo.) [1,3] : f(1) =−1<0 f(3) = 1>0 (Hay cambio de signo.) Como la funci´on presenta tres cambios de signo dentro del intervalo [−1,3] entonces se sospecha que hay tres ra´ıces.

Como la función es continua en todo _R y más aún en [−1,3] y además presenta tres cambios de signo dentro de este intervalo entonces por Teorema de Valor Intermedio deben existir al menos tres valores c1, c2, c3 tal que f(c1) = 0,f(c2) = 0,f(c2) = 0 (o sea son ra´ıces).

Finalmente ya hemos garantizado que la función tiene tres ra´ıces en [−1,3] por lo tanto la ecuaciónx3−3x2+ 1 = 0 tiene tres soluciones en el mismo intervalo, no podr´ıa tener más puesto que es un polinomio de grado tres.

Para que se convenza de lo que hemos dicho con todas estas operaciones vea la gr´afica de la funci´onf(x) = x3−3x2+ 1.

Ejemplo 8: Utilizando l´ımites, halle la recta tangente a la curvaf(x) =x2 _{en el punto (2,}_4).

Soluci´on:

Como el punto (2,4) pertenece a la curva, ya que se cumple quef(x= 2) = (2)2 _{= 4, entonces}

solo hay una recta tangente a la curva que pasa por (2,4).

Es evidente que con solo esta información no podemos hallar la ecuación de la recta con nuestros métodos usuales (ecuación punto-pendiente), requerimos otro enfoque.

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Consideremos la gráfica de la funciónf(x), consideremos además la recta secante que pasa por (2,4) y otro punto sobre la curva (xo, yo) , tal como se muestra en el esquema.

Note que si hacemos que el punto (xo, yo) se desplace sobre la curva acercándose cada vez más al punto (2,4) entonces la recta secante verde también se moverá y se parecerá cada vez más a la recta azul por lo tanto sus pendientes ser´ıan las mismas. En otras palabras si el punto (xo, yo)

tiende al punto (2,4) la pendiente de la recta secante ser´a igual a la pendiente de la recta tangente. Note que la pendiente de la recta secante (verde) se puede escribir como:

msec =

yo−4 xo−2

Adem´as como yo depende de xo, puesto que estamos hablando de una funci´on, entonces (xo, yo) = (xo, f(xo)). Luego: msec = yo−4 xo−2 = f(xo)−4 xo−2

Si hacemos que xo se acerque lo suficiente a 2 entones yo =f(xo) se acercará a 4 por lo tanto con solo hacer que xo tienda a 2 la pendiente de la recta secante se aproximará a la pendiente de la recta tangente. Matemáticamente escribiremos esto as´ı:

mtan = l´ım xo→2 msec = l´ım xo→2 f(xo)−4 xo−2

(Pendiente de la recta tangente.) En los próximos ejercicios se dará cuenta que este último l´ımite es la derivada de la función f evaluada en x= 2.

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Hemos obtenido que la pendiente de la recta tangente es un l´ımite. Resolvemos este l´ımite para saber cu´anto vale:

l´ım xo→2 f(xo)−4 xo−2 = l´ım xo→2 x2 o−4 xo−2 = l´ım xo→2 (xo−2)(xo+ 2) xo−2 = l´ım xo→2 xo+ 2 = 4 =⇒mtan = 4

Ya hemos hallado la pendiente de la recta tangente ahora podemos construir su ecuaci´on. y−4 = 4(x−2)

=⇒y= 4x−4 (Ecuaci´on de la recta tangente a f en x= 2.)

Con este ejemplo se quiere que usted nunca olvide que la derivada de una función en algún punto representa a la pendiente de una recta tangente a la función en dicho punto.

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Nota: Este material fue elaborado por Miguel Ángel Labrador con ejercicios obtenidos de parciales realizados y de la gu´ıa de Miguel Ángel ((Mike)) Guzmán para

el uso de toda la comunidad acad´emica. Miguel Labrador

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