Aprendizaje cooperativo de las matemáticas en Segundo Ciclo de EP: “Proyecto Matiqueando”

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(1)Universidad Internacional de La Rioja Facultad de Educación. Aprendizaje cooperativo de las matemáticas en Segundo Ciclo de EP: “Proyecto Matiqueando” Trabajo fin de grado presentado por: Laia Hierro Pino Titulación: Grado de Educación Primaria Línea de investigación: Propuesta de intervención Directora: Paloma Gavilán Bouzas Ciudad: Sant Celoni, Barcelona Fecha: 26 de Julio del 2013. Firmado por: Categoría Tesauro: 1.1.8 Métodos pedagógicos.

(2) Hierro Pino, Laia. Si quieres llegar rápido, ve solo; si quieres llegar lejos, ve acompañado. (Proverbio africano). 2.

(3) Hierro Pino, Laia. AGRADECIMIENTOS Agradezco al personal de la UNIR, tutores y profesores, que desde el momento en el que inicié mis estudios en la universidad, no me han dejado un momento sola y me han ido guiando en el aprendizaje y en la experiencia de ser maestra. También doy las gracias a la oportunidad que se me ofreció hace ya cuatro años, de entrar a formar parte del equipo docente de la escuela “Cor de Maria”, en Sant Celoni. Al equipo directivo, a mis compañeros y, como no, a los alumnos y familias que confían en mí y con los que cada día aprendo y experimento vivencias y nuevos proyectos. Por último, a mi familia que aguantan, aconsejan y quieren a esta incansable pesada que solo piensa en qué puede hacer mañana en el cole. Gracias a todos ellos, hoy puedo afirmar que cada día me parezco más a esa maestra que tenía en mente el día en que empezó todo esto y a la que quiero llegar a ser el día de mañana.. 3.

(4) Hierro Pino, Laia. RESUME El objetivo del presente trabajo es realizar una propuesta de intervención con el fin de mejorar el aprendizaje de las matemáticas en los alumnos de Segundo Ciclo de Primaria en una escuela de Sant Celoni a través del aprendizaje cooperativo. La propuesta está formada por diferentes talleres en los que se trabaja la resolución de problemas, el cálculo mental y las unidades de medida. Para lograr el objetivo y hacer los talleres en consecuencia, se ha elaborado una revisión bibliográfica sobre la enseñanza de las matemáticas en Educación Primaria y un análisis sobre el aprendizaje cooperativo. Para finalizar y analizar la consecución o no del objetivo propuesto, se ha realizado una evaluación antes y después de la intervención y una encuesta de valoración entre los participantes en el proyecto. Con estos datos se ha obtenido información con la que se han redactado las conclusiones y la prospectiva. Palabras clave: resolución de problemas, cálculo, aprendizaje cooperativo, trabajo en equipo, talleres. 4.

(5) Hierro Pino, Laia. ÍNDICE ÍNDICE ................................................................................................................................................ 5 ÍNDICE DE TABLAS ........................................................................................................................... 7 ÍNDICE DE FIGURAS ......................................................................................................................... 7 1. INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 8 1.1. JUSTIFICACIÓN ........................................................................................................................ 8 1.2. OBJETIVOS ............................................................................................................................... 9 1.3. METODOLOGÍA ........................................................................................................................ 9 2. MARCO TEÓRICO ......................................................................................................................... 10 2.1. INTRODUCCIÓN..................................................................................................................... 10 2.2. ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN PRIMARIA .......................... 10 2.2.1. Enseñar y aprender las operaciones básicas ..................................................................... 10 2.2.1.1. Algoritmo de la suma y la resta ................................................................................ 10 2.2.1.2. Aspectos metodológicos de la enseñanza de la suma y la resta ............................... 11 2.2.1.3. Algoritmo de la multiplicación y la división ............................................................ 12 2.2.1.4. Aspectos metodológicos de la enseñanza de la multiplicación y la división ........... 12 2.2.1.5. Errores en los algoritmos ......................................................................................... 13 2.2.2. Enseñar y aprender la resolución de problemas .............................................................. 13 2.2.2.1. Tipos de problemas matemáticos ............................................................................. 14 2.2.2.2. Cómo plantear y enseñar problemas ....................................................................... 16 2.2.2.3. Fases en la resolución de problemas ......................................................................... 17 2.2.3. Enseñar y aprender el cálculo mental .............................................................................. 19 2.2.4. Enseñar y aprender las unidades de medida.................................................................... 20 2.2.5. El aprendizaje significativo en el área de matemáticas .................................................... 21 2.3. PROPUESTAS PEDAGÓGICAS BASADAS EN LA INTERACCIÓN ENTRE IGUALES ........ 22 2.3.1. Aprendizaje cooperativo ................................................................................................... 23 2.3.1.1. Protagonismo de la comunicación ............................................................................ 24 2.3.1.2. Componentes de la cooperación ............................................................................... 24 2.3.1.3. El papel del profesor ................................................................................................. 25 2.3.1.4. Tipos de grupos ......................................................................................................... 25 2.3.1.5. Tipos de actividades .................................................................................................. 26 2.3.1.6. Asignación de roles ................................................................................................... 26 2.3.1.7. Evaluación ................................................................................................................. 27 2.3.1.8. Beneficios e inconvenientes....................................................................................... 29 5.

(6) Hierro Pino, Laia. 3. MARCO METODOLÓGICO ........................................................................................................... 30 3.1. INTRODUCCIÓN..................................................................................................................... 30 3.2. PROYECTO MATEIQUANDO ................................................................................................ 30 3.2.1. Objetivos del proyecto....................................................................................................... 30 3.2.2. Organización de los grupos .............................................................................................. 31 3.2.3. Organización de las sesiones: los talleres ......................................................................... 31 3.2.4. Evaluación y competición ................................................................................................. 33 3.2.5. Sesiones ............................................................................................................................ 34 4. MARCO EMPÍRICO ....................................................................................................................... 35 4.1. RECOGIDA Y ANÁLISIS DE LOS DATOS .............................................................................. 35 4.1.1. Análisis objetivo de la intervención................................................................................... 35 4.1.2. Análisis subjetivo de la intervención ................................................................................ 40 4.1.2.1. Profesores .................................................................................................................. 40 4.1.2.1. Alumnos ..................................................................................................................... 40 5. CONCLUSIONES ........................................................................................................................... 42 6. LIMITACIONES Y PROSPECTIVA................................................................................................ 46 7. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................................................... 48 8. BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................. 50 9. ANEXOS..........................................................................................................................................51. 6.

(7) Hierro Pino, Laia. ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1. Fases en la resolución de problemas ................................................................................... 18 Tabla 2. Sesiones y actividades en los talleres de cálculo ................................................................. 33 Tabla 3. Sesiones y actividades en los talleres de resolución de problemas .................................... 33 Tabla 4. Sesiones y actividades en los talleres de medida ................................................................ 33 Tabla 5. Comparación alumnos antes y después de la intervención de cálculo 3º.......................... 35 Tabla 6. Comparación alumnos antes y después de la intervención de resolución de problemas en 3º ........................................................................................................................................................ 35 Tabla 7. Comparación alumnos antes y después de la intervención de medida 3º ......................... 36 Tabla 8. Comparación alumnos antes y después de la intervención de cálculo 4º ......................... 37 Tabla 9. Comparación alumnos antes y después de la intervención de resolución de problemas en 4º ........................................................................................................................................................ 38 Tabla 10. Comparación alumnos antes y después de la intervención de medida 4º ....................... 38. ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Dimensiones para la evaluación sistémica del aprendizaje grupal colaborativo ............ 26 Figura 2. Formulario de observación de maestros ........................................................................... 32 Figura 3. Sumatorio de las puntuaciones en los talleres .................................................................. 32 Figura 4. ¿En qué aspecto crees haber mejorado más? .................................................................... 40. 7.

(8) Hierro Pino, Laia. 1. INTRODUCCIÓN 1.1. JUSTIFICACIÓN. La actual Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación. Boletín Oficial del Estado, 106, de 4 de mayo de 2006 recoge entre sus objetivos que la Educación Primaria ha de contribuir a “Desarrollar hábitos de trabajo individual y de equipo, de esfuerzo y responsabilidad en el estudio, así como actitudes de confianza en sí mismo, sentido crítico, iniciativa personal, curiosidad, interés y creatividad en el aprendizaje” (Artículo 17 LOE, 2006). En dicho objetivo, se resalta la importancia de combinar el trabajo individual y el grupo para mejorar en el aprendizaje. Además, destaca el valor de las actitudes desarrolladas con el aprendizaje y no solo este en sí: sentido crítico, iniciativa, interés, etc. Si avanzamos en estos objetivos a los que ha de contribuir la Educación Primaria, encontramos uno relacionado específicamente con las matemáticas: “desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana” (Artículo 17 LOE, 2006). Pero, ¿realmente necesitamos ser competentes en matemáticas para desenvolvernos con normalidad en contextos extra-escolares? Desde que nos levantamos hasta que nos vamos a dormir, las matemáticas nos rodean: el reloj, los canales de la televisión, el uso del ascensor, ir a comprar, calcular el precio de una cena de amigos, etc. Esta importancia de las matemáticas también es recogida en el Real Decreto 1513/2006, de 8 de diciembre, Boletín Oficial del Estado, 293, en el que se establecen ocho competencias básicas, considerando aquellos aprendizajes imprescindibles y de carácter básico que permitirán al alumno incorporarse a la vida adulta de manera satisfactoria, siendo capaz de aprender durante toda la vida. Una de estas competencias se refiere a la matemática y consiste en la habilidad para: Utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, para producir e interpretar información, ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la vida cotidiana y el mundo laboral (Real Decreto 1513/2006). Sin embargo y a pesar de la inclusión de las competencias básicas en las programaciones y las unidades didácticas, ¿la forma en que impartimos nuestras clases de matemáticas, conllevan a la consecución de la competencia matemática? Las evaluaciones realizados por el INCE (Instituto Nacional de Calidad y Evaluación) en el 1995, el 1997, el 1999 y el 2000 muestran que el 50 por ciento de los escolares no llegan a alcanzar la puntuación media de suficiente en matemáticas (Bermejo, 2004). A pesar de estos resultados, pocas reacciones se han desencadenado en los distintos estamentos responsables. ¿A los alumnos les gustan las matemáticas? Hablando con ellos, te cuentan sus dificultades para sentir aprecio por la asignatura: su dificultad, el razonamiento necesario para entender los. 8.

(9) Hierro Pino, Laia. conceptos abstractos que en ella se trabajan o la creencia de la poca habilidad para resolver los ejercicios. ¿Es posible motivar al alumnado para el aprendizaje de esta asignatura? La curiosidad por mejorar la enseñanza y el aprendizaje en el área de matemáticas es el punto de partida de este trabajo. En la escuela de Sant Celoni, donde se desarrolla la propuesta de intervención, se llevan a cabo tres actividades a lo largo del curso escolar que pretenden un aprendizaje dinámico de las matemáticas, huyendo de la tradicional situación de aprendizaje en la que el grupo-clase es el receptor de lo impartido por el profesor. Estas actividades están obteniendo buenos resultados y gran aceptación. No obstante, están descontextualizadas del aula y se realizan de forma puntual. La idea de mejorar el aprendizaje de las matemáticas, me lleva a realizar el presente trabajo cuyo objetivo es desarrollar una propuesta de intervención que mejore la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en los alumnos de Segundo Ciclo de Primaria de dicha escuela, en el aula y dentro de la programación didáctica de la asignatura de matemáticas. Para ello, se crea una propuesta de intervención en forma talleres que reciben el nombre de “Matiqueando”. Estos talleres pretenden cambiar el rol del profesor y la forma de aprender del alumnado, siendo éste constructor de su propio aprendizaje y del aprendizaje de sus compañeros.. 1.2. OBJETIVOS. Objetivo general Realizar una propuesta de intervención para la mejora del proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en ciclo medio a través del aprendizaje cooperativo. Objetivos específicos 1. Realizar una revisión bibliográfica en torno a las bases del aprendizaje del cálculo, la didáctica de las unidades de medida y la resolución de problemas en Educación Primaria. 2. Analizar las propuestas pedagógicas basadas en la interacción y el aprendizaje entre iguales. 3. Redactar las bases del proyecto “Matiqueando”, como propuesta de intervención para la mejora en el área de matemáticas. 4. Evidenciar si la propuesta de intervención desarrollada mejora los resultados de los alumnos en el área de matemáticas y su competencia matemática, incrementa la motivación, interés y confianza del alumno en el aprendizaje de dicha asignatura. 1.1.. METODOLOGÍA. Este trabajo se ha dividido en tres fases diferenciadas: 1. Una teórica, en la que se ha realizado una revisión bibliográfica sobre las bases del aprendizaje de las matemáticas y la pedagogía basada en el aprendizaje cooperativo.. 9.

(10) Hierro Pino, Laia. 2. Una fase práctica, en la que se ha creado el proyecto “Matiqueando” y se ha llevado a cabo la implementación en las clases de 3º y 4º de primaria a lo largo de dos trimestres. 3. Una última fase en la que se han analizado los resultados y se han redactado las conclusiones.. 2. MARCO TEÓRICO 2.1.. INTRODUCCIÓN. A lo largo de este primer apartado, se van a tratar las ideas y conceptos que han sentado las bases de la propuesta de intervención y por consiguiente, de los talleres y el proyecto “Matiqueando”. Para el análisis del marco teórico, se han revisado por un lado las ideas referentes a las matemáticas, su enseñanza y su aprendizaje; y por el otro, los referentes al tipo de agrupaciones que se pueden dar en el aula, analizando en especial, las diferentes aportaciones sobre el aprendizaje cooperativo.. 2.2.. ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS EN PRIMARIA 2.2.1. Enseñar y aprender las operaciones básicas. La Educación Infantil es la etapa educativa en la que se enseña a contar (3-6 años) a través de los rincones, el patio, los encargados en el aula, diferentes juegos como el dómino por ejemplo, etc. Gran parte de la matemática escolar está dedicada a enseñar a los niños cómo realizar los cálculos con las cuatro operaciones básicas, al estudio de los algoritmos. En ellos, están implícitos la notación, numeración indo-arábica y el procedimiento, basado en el valor posicional de las cifras, siendo diferente para cada operación aritmética. Un algoritmo, según Gómez (1988) es: Una serie finita de reglas a aplicar en un determinado orden a un número finito de datos, para llegar con certeza (es decir sin indeterminación ni ambigüedad) en un número finito de etapas a cierto resultado, y esto independientemente de los datos (citado en Castro y otros, 2001). Para el aprendizaje de los algoritmos de las operaciones aritméticas es necesario que previamente los sujetos realicen una gran variedad de actividades con diversos materiales antes de proceder a representar las operaciones mediante símbolos convencionales.. 2.2.1.1.. Algoritmo de la suma y la resta. El término adición proviene del latín “additio”, que significa añadir, agregar, reunir varios números en uno solo. La operación de restar se denomina substracción, del latín “substraere”, que significa apartar, separar, extraer.. 10.

(11) Hierro Pino, Laia. Existen dos concepciones diferentes de la suma y la resta: la unitaria, en la que se parte de un conjunto de base que es modificado añadiendo o quitando (suma o resta) otro conjunto, dando como resultado, un tercero. La otra es la concepción binaria donde se parte de la existencia de dos conjuntos disjuntos determinados, que se unen para obtener un tercer conjunto.. 2.2.1.2.. Aspectos metodológicos de la enseñanza de la suma y la resta. La estrategia inicial que posee un alumno al afrontar una suma según Bermejo (2004) es el modelado directo en la que se representa con material o elementos manipulables, las diferentes cantidades y acciones de la operación o el problema. Siguiendo al autor hallamos otra estrategia que tiene su base en el conteo: contar todo desde 1; contar a partir del primer sumando; contar a partir del sumando mayor. Finalmente, la estrategia más elaborada y abstracta es aquella que utiliza hechos numéricos memorizados: a) Combinaciones del 1: N + 1, 1 + N, el número que le sigue a uno dado, siendo N cualquier número natural. b) Dobles, puesto que la suma de un número natural consigo mismo requiere un menor tiempo de recuperación de la memoria que la suma de números naturales distintos. También dobles +/-1, como por ejemplo 12 + 11 = 12 + 12 = 24 – 1 = 23, y dobles +/-2, por ejemplo 12 + 14 = 12 + 12 = 24 + 2 = 26. c) Sumas que totalicen 10 (1 + 9 ; 2 + 8; 3 + 7). d) Redistribución basada en el 10. Se trata de descomponer el sumando menor para que el mayor sea igual a 10, luego sumamos el resto (4 + 7= 4 + 6 + 1 = 11). e) Analogías, teniendo en cuenta el resultado de una operación, puedo calcular una semejante (2 + 3 = 5; 20 + 30 = 50). A estos, Maza (2008), añade: f) Compensación, aumentar uno de los dígitos disminuyendo en la misma cantidad el otro número, para facilitar el cálculo (7 + 5 = (7 – 1) + (5 + 1)= 6 + 6 = 12). Para la resta también podemos utilizar la estrategia del modelado directo pero en distintas vertientes. Por un lado, encontramos la separación, que consiste en representa mediante objetos o imágenes el minuendo, quitar el número que se indica en el sustraendo y contar lo que queda restante. Por el otro, la adición, en la que se representa el sustraendo y se van añadiendo elementos hasta llegar al minuendo, contando finalmente los elementos añadidos. Y finalmente, la estrategia que consiste en el emparejamiento, representando tanto minuendo como sustraendo, con objetos, dedos o imágenes, realizando la correspondencia uno a uno y contando los que no tienen pareja. En lo referente conteo, tenemos las estrategias de contar hacia atrás desde un número dado, quitando tantas unidades como se indique en el substraendo y contar hacia delante, a partir del substraendo para llegar al minuendo. Y, en cuanto a los hechos numéricos, encontraríamos: a) Combinaciones de N-1 y N-2. 11.

(12) Hierro Pino, Laia. b) Complementos de la suma (2 + 3 = 5, 5 – 2 = 3). La suma tiene diversas propiedades (conmutativa, asociativa, distributiva y el elemento neutro), que han de ser conocidas por los alumnos pues suponen una estrategia de cálculo. Por ejemplo, ante la suma 2+6 quizás me resulte más sencillo aplicar la propiedad conmutativa y realizar el cálculo 6+2 a sabiendas que el resultado será el mismo. Aunque los alumnos no hayan estudiado formalmente las propiedades como tales, en los primeros cursos de primaria, pueden mostrarse de forma directa, girando la operación para exponer la propiedad conmutativa y observando el mismo resultado; o frente una misma operación, preguntando a los alumnos cómo la han resuelto, siguiendo el ejemplo anterior, podemos encontrarnos alumnos que hayan partido del 6 y le hayan sumado 2 y otros en cambio, hayan cogido el 2 y después hayan añadido 6 más. Algunos alumnos creen que, una vez conoce algunas de las propiedades, todas las operaciones poseen las mismas propiedades. A través de la práctica en la resolución de diferentes ejercicios, el alumno llegará a establecer una teoría cierta.. 2.2.1.3.. Algoritmo de la multiplicación y la división. La multiplicación se basa en la adición reiterada de una cantidad. Así mismo, entendemos la división, como inversa a la multiplicación, esto es una disminución al separar en varias partes. Hay que tener en cuenta la doble naturaleza de la división. Por un lado, tenemos la división razón, cuotición o de medida, que se corresponde con la división como sustracciones repetidas. Se parte de una cantidad y se pregunta cuántos conjuntos de una determinada cantidad podemos separar de este conjunto mayor. Por otro lado, tenemos la llamada división distributiva o partitiva. En ella tenemos un conjunto de un tamaño dado y se pregunta cuántos objetos habrá en cada conjunto si se pretende dividir el conjunto en partes iguales.. 2.2.1.4.. Aspectos metodológicos de la enseñanza de la multiplicación y la división. El aprendizaje de la multiplicación y la división tienen sus raíces en la etapa de Educación Infantil y aunque no es hasta la entrada en cursos intermedios de la Educación Primaria cuando aparecen en el currículo escolar, los alumnos más pequeños ya resuelven problemas de este tipo en sus juegos. Para ello, utilizan diferentes estrategias de cálculo (Bermejo, 2004). Para la multiplicación, no obstante, existe bastante consenso en el predominio del conteo: contar un grupo repetidamente o contar a saltos. El niño, para llevar a cabo este tipo de estrategias, ha de ser capaz de pensar en dos tipos de unidades: 3x4 son 3 grupos de 4 caramelos: 1,2,3,4, 1 grupo; 5,6,7,8, 2 grupos; 9,10,11,12 3 grupos, un total de 12. En el caso de la división, recuperamos lo anteriormente explicado a cerca de los tipos, partitiva y cuotitiva, pues las estrategias serán distintas para cada una de ellas. Para las divisiones patitivas, se suelen utilizar estrategias con material manipulativo concreto: a) Repartir de uno en uno, formando grupos con los objetos. 12.

(13) Hierro Pino, Laia. b) Repartir grupos de objetos, formando grupos con los objetos. Para resolver las operaciones de división cuotitiva: a) Estrategia de medida, que consiste en formar grupos de un tamaño específico b) Substracción repetida, restando sucesivamente el número indicado y contar los grupos formados. La multiplicación tiene las mismas propiedades que la suma: conmutativa, asociativa, distributiva y el elemento neutro, que en este caso es el uno. Como se ha comentado en el apartado anterior, los alumnos que conozcan estas propiedades realizaran sus cálculos de forma más rápida y segura. Las tablas de multiplicar se suelen aprender de forma memorística, de manera que se ahorra tiempo en el cálculo y el resultado se da de forma automática. El problema radica en que este tipo de aprendizaje, sin comprender qué se está haciendo, puede conducir a error. Por ejemplo ante el olvido del resultado 3 x 2, puedo recurrir a realizar 2 x 3, si conozco la propiedad conmutativa. En el caso de tampoco recordar el resultado puedo desarrollar la multiplicación como adición reiterada: 3 + 3 o 2 + 2 + 2. Un alumno que no conoce las tablas de multiplicar, difícilmente tendrá éxito al realizar ejercicios de división. La división posee el elemento neutro, el uno, y hay que tener en cuenta el caso especial del 0. Se dice que no se puede realizar o no está definida, puesto que no tiene sentido repartir o restar cero veces, ya que el número quedaría igual.. 2.2.1.5.. Errores en los algoritmos. Uno de los principales errores que causan los problemas en la resolución de los algoritmos es que el alumno no comprende lo que está haciendo, como se ha comentado ya anteriormente. Hay que tener en cuenta al enseñar los algoritmos el conocimiento previo del alumno, que se convertirá en nuestro punto de partida, y su nivel evolutivo, para así poder ajustar la enseñanza al nivel. Algunos de los errores más representativos son: -. Errores en el valor de la posición del número. Los alumnos no comprenden el valor de la posición del número y sitúan de forma incorrecta los distintos valores:. -. Errores en los pasos del algoritmo. Los alumnos omiten o cambian alguno de los pasos.. -. Errores de cálculo. Fallos en realizar la operación. Existen diferentes secuencias para la enseñanza de los algoritmos que evitan que se produzcan estos errores (Gómez, 1991). La mayoría de estos sistemas de instrucción realizan un procedimiento gradual por etapas o pasos teniendo en cuenta el desarrollo evolutivo del alumnado: enseñanza de la secuencia numérica, conocer el valor de la posición, operar con distintos materiales, calcular de forma aproximada y después proceder a cálculos sencillos, acabando por calcular algoritmos con llevada.. 13.

(14) Hierro Pino, Laia. 2.2.2. Enseñar y aprender la resolución de problemas La resolución de problemas es considerada en la actualidad, una de las partes esenciales de la educación matemática, pues representa una aproximación de la vida real al aula. Al resolver un problema no solo se llega a una determinada solución, sino que todo el proceso conlleva la construcción de conocimientos sobre las operaciones utilizadas, los conceptos, las propiedades, las estrategias de resolución, etc. Este proceso, lleva al alumno a tomar consciencia y reflexionar continuamente sobre lo que está aprendiendo y haciendo. El concepto de problema ha sido ampliamente estudiado y definido a lo largo de la historia (Polya, 1965; Mayer, 1986; Schoenfeld, 1985). Desde el campo de las matemáticas podemos encontrar múltiples definiciones que nos acercan al mismo. Según Díaz y Poblete (2001), “un problema implica una situación que supone una meta para ser alcanzada, pero existen obstáculos para alcanzar el objetivo, con lo cual requiere de una deliberación ya que requiere del algoritmo útil para resolverlo” (p.35). A modo de compilación, las características que ha de tener un problema son (Gavilán, 2001): -. Aceptación y compromiso por parte de quien tiene que resolverlo. -. Bloqueo inicial en los primeros intentos de resolución. -. Exploración de nuevos métodos para alcanzar la solución.. La expresión resolución de problemas, se refiere a la actividad mental desarrollada por la persona que resuelve, desde el momento en que se le presenta un problema, este lo asume para resolver y finalmente, termina la tarea (Tomás, 1990). El “National Council of Teachers of Mathematics” en su publicación “Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics” (1989) destaca el papel de la resolución de problemas en la comunicación y el razonamiento pues facilita el aprendizaje de los contenidos matemáticos y la adquisición de estrategias cognitivas de alto nivel (Gavilán, 2001). Así mismo Tomás (1990) recoge que “la resolución de problemas es un instrumento metodológico importante pues la reflexión que se lleva a término cuando se resuelve un problema ayuda a construir y a consolidar conceptos y a establecer relaciones entre ellos” (p. 123). Los procesos de resolución de problemas han sido objeto de estudio desde diversas perspectivas, una de las cuales es la heurística. Esta concepción estudia las transformaciones que se producen en un problema independientemente del contenido. Desde el punto de vista de esta concepción, el estudio de la resolución de problemas tiene dos etapas marcada por los trabajos de Polya (1965) y posteriormente los de Schoenfeld (1985). Ambos autores han determinados las diferentes fases de resolución de problemas que se verán más adelante.. 2.2.2.1.. Tipos de problemas matemáticos. No existe una única clasificación de problemas matemáticos. Esta puede realizarse atendiendo a diversos factores. De forma general, podemos realizar una clasificación atendiendo a la aparición 14.

(15) Hierro Pino, Laia. de los datos y la pregunta, se considera que existen dos tipos de problemas (De la Rosa, 2007, p. 13): 1. Consistentes o simples, aquellos en los que la solución se puede deducir directamente de los datos e implica una sola operación y, la pregunta hace referencia a la cantidad total. 2. Inconsistentes o simples invertidos, aquellos en los que el orden en el que se deben utilizar los datos se presenta alterado y el enunciado de la pregunta se presenta con vocabulario contrario al algoritmo a aplicar. Atendiendo en cambio a la solución, los problemas pueden tener una sola respuesta posible, varios o no tener solución, tener una solución numérica o tenerla de otro tipo, etc. Baroody (citado en Bermejo, 2004), propone a su vez, dos tipos de problemas: 1. Rutinarios, donde la incógnita está especificada, se ofrece la información necesaria para su resolución, el procedimiento a seguir es bastante evidente, hay una sola solución correcta y debe ser hallada enseguida. 2. No rutinarios, cuando la incógnita puede no estar especificada, o no estar clara; la información. puede. ser. insuficiente. o. demasiada;. pueden. utilizarse. diferentes. procedimientos para su resolución y no siempre son evidentes; puede haber varias soluciones o ninguna. En los problemas de sumar y restar, se establece una clasificación atendiendo a la estructura semántica y a la ubicación de la incógnita (Bermejo, 2004): 1. Problemas de cambio: a partir de una cantidad inicial que será modificada, se hallará el resultado nuevo. 2. Problemas de combinación (adición): se parte de dos conjuntos que se unen para encontrar el resultado final. 3. Problemas de comparación: donde se plantean relaciones estáticas entre los conjuntos que los constituyen. Dependiendo de si son de aumento o de disminución y del lugar donde se sitúe la incógnita, los problemas de comparación reciben diferentes nombres: de diferencia desconocida, de referente desconocido y de comparación. 4. Problemas de igualación: se pretende igualar las dos cantidades al modificar una de ellas, estableciendo relaciones dinámicas. Igualmente, dependiendo de si conlleva un aumento o una disminución y de la incógnita planteada en el problema nos situamos ante uno de igualación desconocida, igualar conjunto conocido o igualar conjunto desconocido. La multiplicación genera dos tipos de situaciones en la vida real (Castro, 2001): a). Situaciones asimétricas, donde los factores que intervienen desempeñan funciones distintas:. 15.

(16) Hierro Pino, Laia. 1. Grupos iguales, repitiéndose un número determinado de grupos iguales para formar una cantidad. Si tanto el número como el tamaño de los grupos es conocido, estamos ante una multiplicación. Este tipo de situaciones, también son llamadas de proporcionalidad simple. 2. Tasa, se refiere a la cantidad de una cosa que corresponde o tiene alguna relación a cierta cantidad o número de otra cosa, por ejemplo, km/h. Generalmente, la tasa expresa una relación de muchos a uno y suele emplearse la expresión “por”. 3. Comparación, se suele utilizar la expresión “n veces más” si es una comparación en aumento y “n veces menos”, si por el contrario, se trata de una comparación de disminución. b) Situaciones simétricas, también llamadas de producto cartesiano, donde los factores que intervienen representan lo mismo y por lo tanto son intercambiables: 1. Combinación, en el que se pretende calcular todas las maneras de combinar por parejas objetos de un tipo, con objetos de otro. El producto son los números de pares que podemos formar. Son útiles para el estudio posterior de la probabilidad y la matemática finita. 2. Situación de producto de medidas, son frecuentes ante el estudio de medidas de longitudes, superficies y volúmenes así como en problemas de física. Por ejemplo, calcular el área de un rectángulo de 4m de ancho y 12m de largo. En lo referente a la división y en consonancia a los tipos de división, existen dos grandes clases de problemas (Bermejo, 2004): 1. Discretos, donde se conoce el número total y el número de partes, desconociendo qué número corresponde a cada parte (división partitiva). 2. Continuos, donde se conoce el número total y el número correspondiente a cada parte, pero se desconoce el número de partes (división cuotitiva).. 2.2.2.2.. Cómo plantear y enseñar problemas. Números autores han considerado la resolución de problemas como la parte más esencial de la educación matemática pues ella nos acerca a la realidad (Polya, 1965; Santaló, 1985; Bermejo, 2004). No obstante, existe un debate abierto sobre si es posible enseñar y aprender resolver problemas. Callejo (1994) afirma que aprender a resolver problemas es posible pero complicado dado que la forma de abordar la resolución es personal y depende del estilo de cada estudiante, capacidades y limitaciones. El Equipo de Orientación Educativa y Psicopedagógica de Asturias (2003), analiza las diferentes consideraciones a tener en cuenta para plantear y enseñar problemas, resaltando que lo primero a tener en cuenta a la hora de presentar un problema es adecuarse a la edad y al curso en el que estamos trabajando, pues las estructuras, el vocabulario y los algoritmos matemáticos aprendidos por los alumnos, serán diferentes. 16.

(17) Hierro Pino, Laia. Así mismo, recogen la importancia de que estos sean significativos, funcionales y contextualizados en la realidad de los alumnos. No hay que abusar de problemas que implican mecanismos cognitivos de interés para el contenido pero que no reflejen la realidad en la que los alumnos se desarrollan. Los problemas que se planteen en el aula deben centrarse en el descubrimiento de nuevos conocimientos. Por ello es importante proponer problemas de todos los tipos. De esta forma, el alumno podrá experimentar y descubrir diferentes estructuras semánticas y distintos contextos. El lenguaje de los problemas ha de ser claro y familiar. Esto facilitará su comprensión y representación tanto real como mental. Partiendo de la base que los problemas tienen diversas estrategias de solución, debemos aceptar las informales que utilizan los propios alumnos pues contribuyen a la construcción de procedimientos cada vez más elaborados. La secuenciación y el aprendizaje gradual son importantes en la resolución de problemas, tanto en lo referente a su estructura sintáctica, como en complejidad del tipo de problema, o en el uso o no de material manipulativo. Conviene iniciarse con problemas de cambio o combinación, realizar resoluciones grupales, utilizar material concreto, etc. Poco a poco, se pueden ir añadiendo otros tipos de problemas (igualación, comparación, problemas no rutinarios, etc.) y proponer una resolución mental o escrita, sin material de apoyo, más abstracta. Bermejo (2004) añade que la invención de problemas por parte de los propios alumnos puede ser una actividad “estimulante, motivadora y eficaz para el desarrollo del pensamiento infantil” (p. 74). La invención de un problema ayuda al alumno a reflexionar sobre lo que conoce a la vez que le obliga a tomar conciencia de sus propios errores.. 2.2.2.3.. Fases en la resolución de problemas. Existen diferentes modelos teóricos que pretenden explicar las fases por las que se pasa para llegar a entender y obtener la solución de un problema (ver tabla 1). Aunque los distintos autores han propuestos diferentes fases, encontramos similitudes entre ellas y nos permite extraer un modelo con las siguientes fases: 1. Entender el problema. Para ello es necesario leerlo detenidamente y reflexionar sobre qué se pregunta y qué datos encontramos, intentando plantear el problema con nuestras propias palabras, etc. Podemos realizar una lectura grupal dinamizada con las preguntas del profesor para después pasar a una lectura personal por parte del alumno. Pueden utilizarse técnicas diferentes para separar la información como por ejemplo utilizar un código de colores para marcar los datos, la pregunta y en el caso de encontrarla, otro color para marcar la pregunta clave. También podemos anotar los datos obtenidos en el problema bajo diferentes apartados con el fin de esquematizar el problema (datos, pregunta, operación y respuesta) 17.

(18) Hierro Pino, Laia. Tabla 1. Fases en la resolución de problemas Fases según Polya. Fases según. Fases según Puig y. Fases según. (1965). Barnsford y Stein. Cerdán (1988). Schoenfeld (1985). (1984) 1. Comprender el. 1. Identifica que un. 1. Lectura. 1. Analizar y. problema.. problema existe y cuál. 2. Comprensión. comprender un. 2. Concepción de un. es.. 3. Traducción, en la. problema. Se puede. plan de actuación que. 2. Definición y. que se da la. realizar un dibujo-. permita llegar a la. representación del. elaboración del plan,. esquema para su. solución, planificando. problema.. escogiendo las. mejor comprensión.. las acciones para. 3. Exploración de. operaciones. 2. Diseñar y planificar. llegar a la meta o. posibles estrategias.. aritméticas necesarias.. una solución. solución final.. 4. Actuación con la. 4. Cálculo, donde se. 3. Explorar soluciones,. 3. Ejecutar el plan,. estrategia. ejecuta el plan. considerando varios. llevando a cabo los. seleccionada.. escogido.. problemas. pasos diseñados en el. 5. Logros, observación. 5. Solución. equivalentes o. punto anterior y. y evaluación de los. 6. Revisión y. modificaciones del. expresando la. resultados.. comprobación.. mismo problema.. solución, la respuesta. 4. Verificar la. obtenida.. solución.. 4. Mirar hacia atrás, para comprobar el resultado y revisar el procedimiento. Extraído de http://revistasuma.es/IMG/pdf/16/082-090.pdf 2. Representación del problema. En los primeros ciclos de Educación Primaria, puede ser muy útil para el alumnado realizar una representación gráfica del problema mediante un dibujo. También pueden llevar a cabo la acción, como si fuera una situación real con material manipulativo. Con los más mayores, se puede realizar una representación mental del problema. 3. Seleccionar un plan de acción. Hay que identificar en este paso dónde queremos llegar y escoger la operación aritmética que nos llevará a hallar la respuesta. Podemos utilizar el recurso de buscar una palabra clave (repartir nos puede indicar que estamos ante un problema que se resuelve mediante una división; subir, ante una adición; etc.). También podemos buscar problemas de estructura similar que ya hayamos resulto con anterioridad o separar el problema en problemas más sencillos. 4. Ejecutar nuestro plan. Para ello, llevaremos a cabo la operación escogida. 18.

(19) Hierro Pino, Laia. 5. Verificar la respuesta. En este paso, muchos alumnos cometen errores al dejar sin responder el problema, tan solo solucionando la operación escogida. Otros, dan la respuesta numérica sin acompañarla de la aclaración del dato. Muchos otros, no se inmutan ante respuestas absurdas que no se corresponden al enunciado. Es por ello que esta fase, olvidada muchas veces por el alumno, ha de ser enfatizada por el profesor a través de diferentes preguntas que puedan conseguir la reflexión sobre la lógica del resultado, el uso de todos los datos necesarios, otra metodología de resolución más sencilla, etc. Cabe destacar el papel que juega el lenguaje en la resolución de problemas. Según señala el “Informe Cockcoft”, la enseñanza de las matemáticas en la escuela es su capacidad para comunicarse con los demás, pues estas pueden usarse como medio de comunicación. La verbalización de las ideas y el debate de las mismas, suponen una comunicación que permite estructurar el propio pensamiento por parte del alumno y conocer el pensamiento de los alumnos, por parte del profesor y los demás compañeros (Gavilán, 2001).. 2.2.3. Enseñar y aprender el cálculo mental El trabajo del cálculo mental en el aula es necesario partiendo del objetivo comentado anteriormente de la competencia matemática como habilidad para utilizar y relacionar los números y sus operaciones básicas con el fin de resolver problemas relacionados con la vida diaria y el mundo laboral. Cuando trabajamos en el aula, disponemos de papel y lápiz. En la vida diaria, la mayoría de veces, el cálculo al que nos enfrentamos nos obliga a realizar las operaciones de forma mental. Es por ello que en el aula hemos de propiciar el aprendizaje de estrategias que permitan al alumno realizar cálculos aritméticos sencillos a los que se enfrentará en diferentes contextos de la vida real. El trabajo del cálculo mental requiere de técnicas y destrezas que son relaciones establecidas por los alumnos a través de la práctica. Es importante comenzar en edades tempranas a trabajarlo pues ello propicia que el alumno vaya creando estrategias cada vez más eficaces. Si no se ha practicado cálculo mental desde el conocimiento del aprendizaje, es posible que el alumno tienda a hacer el cálculo como si lo viese escrito en la mente. Este trabajo se ha de realizar de forma frecuente y estructurada, siguiendo un aprendizaje gradual donde, en un inicio, el alumno tenga tiempo para pensar tranquilo, prestando atención a las reacciones y pasos que van siguiendo. El error ha de permitirse y no ser castigado pues a través de estos errores podemos encontrar estrategias de cálculo erróneas y corregirlas. En un segundo momento, hay que afianzar las estrategias hasta poderlas dominar. Es importante conocer los aspectos metodológicos de la enseñanza de las diferentes operaciones básicas pues estas suponen una estrategia de cálculo (ver apartado Enseñar y aprender las operaciones básicas). Tal y como se comentó en dicho apartado, el conocimiento de las 19.

(20) Hierro Pino, Laia. propiedades de las operaciones y los hechos numéricos agilizan el pensamiento y hallar el resultado de una operación concreta, es más rápido y sencillo. Son por lo tanto estrategias de cálculo el conocer los dobles, las analogías, la propiedad conmutativa, etc.. 2.2.4. Enseñar y aprender las unidades de medida Las magnitudes y su medida constituyen una parte fundamental de las matemáticas. Esta importancia radica por un lado en su valor funcional, aplicable en diferentes contextos de la vida diaria; y por el otro, debido a que constituyen nociones organizadoras capaces de relacionar múltiples conocimientos. En Educación Primaria se introducen las ideas de magnitud y medida y se desarrollan sistemas de medidas. La palabra medir designa la acción de asignar un código identificativo a las distintas modalidades o grados de una característica de un objeto o fenómeno, ya sean cuantitativas (longitud, peso, capacidad) o cualitativas (color, material). Podemos considerar que medir una cantidad consiste en determinar las veces que esa cantidad contiene a la cantidad (o cantidades) que se toman como referencia (unidades de medida). El primer punto de reflexión de la enseñanza de la medida según Godino (2002) debe ser clarificar los tipos de situaciones o tareas que llevan a realizar la actividad de medir las características de los objetos perceptibles: situaciones de comunicación a otras personas, la comparación entre cantidades o magnitudes, el cambio, etc. Existen dos tipos de magnitudes: las llamadas intensivas, que se utilizan en rasgos para los que tiene sentido agregar los objetos que los soportan pero la cantidad del rasgo en el objeto agregado no es proporcionalmente aditiva (temperatura, la presión, la densidad); y las extensivas, que pueden agregarse o sumarse (longitud, el peso, el área). Piaget fue el primer investigador de la época moderna que se interesó por analizar los procesos de aprendizaje de la medida de magnitudes y elaboró un modelo teórico con el fin de explicar estos procesos e identifico dos operaciones fundamentales situadas en la base de los procesos de medición (Gutiérrez, 2009): a) La conservación de las medidas: tiene que ver con la invariancia de una cierta cualidad, en un determinado objeto, cuando se realizan determinadas transformaciones sobre dicho objeto. b) La transitividad de las medidas: indica que si un objeto A mide lo mismo que un objeto B y este, mide lo mismo que un objeto C, entonces A = C. Esta propiedad se encuentra en la base cualquier proceso de comparación. Según Piaget existen etapas de desarrollo en la comprensión del proceso de medición (Gutiérrez, 2009): -. Etapa inicial o de comparación perceptiva directa. En ella los niños no entienden la conservación y basan sus juicios en la percepción de un atributo físico no pertinente. No 20.

(21) Hierro Pino, Laia. miden, sino que realizan estimaciones basadas en la percepción o comparación visual de objetos. -. Etapa intermedia o de comparación directa. Los niños empiezan a usar instrumentos de medida para comparar objetos pero suelen hacerlo de manera incorrecta. El primero de estos objetos usados es el propio cuerpo. A la hora de comparar objetos, suelen realizar una aproximación física entre ellos, situándolos unos junto a otros.. -. Etapa final o de transitividad operativa. Nos situamos en el estadio de operaciones formales donde los niños utilizan razonamientos caracterizados por la transitividad y el uso de términos medios que hacen de unión entre las dos mediciones a comparar. La etapa se completa cuando los niños aprenden a realizar cálculos de medida de magnitudes.. Es importante que los alumnos conozcan qué estamos midiendo (longitud, masa, capacidad) y cuáles son las unidades del Sistema métrico decimal. El bloque dos de contenidos en los que se ha organizado la asignatura de matemáticas se refiere a la medida y busca facilitar la comprensión de mensajes de tipo cuantitativo, informando a los alumnos de situaciones reales que han de interpretar de forma correcta (Real Decreto 1513/2006, de 8 de diciembre, Boletín Oficial del Estado, 293.) A la hora de trabajar la medición hay que tener en cuenta en qué etapa se encuentran nuestros alumnos, qué contenidos han de trabajarse para cada ciclo y seguir un procedimiento gradual: introducir la estimación, el uso del propio cuerpo como instrumento de medida, el uso en un inicio de materiales sencillos aumentando la dificultad, establecer comparaciones, etc.. 2.2.5. El aprendizaje significativo en el área de matemáticas Los maestros no solo buscamos un aprendizaje que ayude al alumno a adquirir los contenidos del temario estudiado, sino que estos contenidos puedan ser asimilados y construidos por el alumno de manera que, fuera del aula, sea capaz de aplicar lo aprendido. Para que esto sea posible, el alumno ha de aprender de forma significativa. Esta teoría, desarrollada por Ausbel (1963), parte de la base de que el conocimiento se construye por parte del alumno cuando va incorporando la nueva información a los esquemas de conocimientos que ya posee. De esta manera se establecen conexiones y se reestructuran ideas y conocimientos. Bermejo (2004) establece unas consideraciones a tener en cuenta que favorecen y facilitan que el aprendizaje de las matemáticas sea significativo, a destacar (pp. 72 – 73): 1. Tener en cuenta los conocimientos previos de los niños e incidir de forma especial en los procesos de construcción del pensamiento. 2. Presentar los contenidos matemáticos ligados a la realidad del entorno, en situaciones funcionales, conviene hacer ver al niño el interés y utilidad de las matemáticas en la vida cotidiana.. 21.

(22) Hierro Pino, Laia. 3. Impulsar la reflexión del niño sobre sus respuestas y los procedimientos, preguntándoles por qué o pidiéndoles una justificación. 4. Promover el trabajo en equipo y el intercambio de puntos de vista e información entre alumnos, compartiendo estrategias, preguntas, descubrimientos, etc. siendo a su vez más conscientes de sus aprendizajes a la vez que son capaces de autocorregir errores. 5. Planificar los contenidos teniendo en cuenta que un aprendizaje significativo requiere tiempo. Por ello, habrá que ser flexible y huir de tiempos rígidos. 6. Utilizar diversas técnicas de enseñanza. 7. Poner al alcance de los alumnos materiales concretos, estructurados y no estructurados, así como recursos que puedan ayudarlos a resolver problemas. La idea de que el alumno pueda aprender de forma significativa lo que se trabaja en el aula, determinará la metodología que en ella seguiremos. El alumno ha de descubrir y probar sus creencias y para ello necesitará muchas y diferentes situaciones para su comprobación a partir de la cual podrá establecer una teoría acerca de las propiedades Diversos autores han resaltado, basándose en la idea de aprendizaje significativo, la importancia de la resolución de problemas. Opinan que es el instrumento ideal para desarrollar los conceptos que sustentan las operaciones básicas y es donde se empieza a practicar con el lenguaje matemático adaptándolo a la realidad (Polya, 1965; Santaló, 1985; Bermejo, 2004).. 2.3.. PROPUESTAS. PEDAGÓGICAS. BASADAS. EN. LA. INTERACCIÓN ENTRE IGUALES Propiciar las relaciones de ayuda entre los alumnos con finalidades educativas ha sido una estrategia utilizada durante toda la historia pues la enseñanza y el aprendizaje constituyen esencialmente un proceso social, donde la comunicación juega un papel muy importante. Dentro de las propuestas sobre el aprendizaje y la enseñanza entre iguales existen diversas experiencias sistematizadas, estudios y manuales al respecto. No obstante, no existe una clasificación concreta entorno a las prácticas de ayuda entre iguales. Se considera que Damon y Phelps (1989) son los primeros que distinguen entre tres posibles tipos de interacción entre iguales: la tutoría, se concibe como una relación entre dos alumnos que ante un tema específico, presentan un nivel de habilidad diferente; la cooperación, es la interacción centrada en la adquisición o aplicación de un conocimiento entre un grupo de alumnos con habilidades heterogéneas, dentro de unos márgenes de proximidad; y la colaboración, se basa en la relación establecida basada en la adquisición o aplicación de unos conocimientos por dos o más alumnos con habilidades similares (Coll, 1998). Sin embargo, es difícil marcar los límites entre estas interacciones y a menudo se encuentran experiencias con características entremezcladas. 22.

(23) Hierro Pino, Laia. 2.3.1. Aprendizaje cooperativo Podemos considerar el aprendizaje cooperativo como un conjunto de métodos basados en las relaciones que se establecen entre los compañeros, los cuales trabajan juntos para maximizar su propio aprendizaje y el de los otros (Johnson, Johnson y Holubec, 1999). El Aprendizaje Cooperativo se encuentra en un punto de confluencia de la Psicología Social y la Pedagogía. Des de esta última, los argumentos a favor de un aprendizaje de este tipo están enmarcados en opciones pedagógicas no conformes con la escuela que reproduce de forma mimética la realidad social y en planteamientos sobre la sociedad en la que el trabajo conjunto construye un futuro más humano. Des de la Psicología Social se destaca que es un modelo privilegiado en lo que se refiere al aprendizaje académico, en el desarrollo personal y en el social, y en el papel desempeñado por las interacciones sociales entre iguales en el proceso de aprendizaje (Gavilán, 2010). Mediante estas interacciones se produce un motor de aprendizaje significativo dentro de la zona de desarrollo próximo del alumno. Tal y como postula Vigotsky, existe una diferencia entre lo que sabemos hacer solos (desarrollo efectivo) y lo que podemos llegar hacer con la ayuda de los demás. Además, se potencian habilidades psicosociales como el respeto, la aceptación de distintos puntos de vista, la comunicación, la autoestima, la colaboración, etc. Así mismo, Piaget enfatizó la cooperación entre iguales como forma adecuada para la transmisión de un concepto por ello recomienda que se modifique la estructura de comunicación en la clase, potenciando el modelo de alumno-alumno, intensificando estas interacciones (Gavilán, 2010). Los miembros de un equipo, asumen una doble responsabilidad: aprender lo que el profesor enseña y ayudar para que los compañeros de equipo también aprendan. Por lo tanto, no solo hay que hacer una misma cosa entre todos, sino también hacer algo al servicio de la comunidad pues se persiguen metas comunes (Pujolàs, 2008). El objetivo es inducir a la construcción de conocimiento mediante la exploración, la discusión, la negociación y el debate. El profesor tiene el rol de informante, presentador del tema y dinamizador (Hsu, 2002, citado en Scagnoli, 2005). Rué (1998), propone una serie de principios para desarrollar el trabajo cooperativo: -. Asignarle un uso funcional. -. Familiarizarse con este recurso a través de la práctica. -. Desarrollar tareas ajustadas a las posibilidades de control y regulación de alumnos y profesores.. -. Ajustarse a condiciones de usuarios, alumnos y profesores.. -. Ajustarse a las condiciones materiales.. 23.

(24) Hierro Pino, Laia. 2.3.1.1. Protagonismo de la comunicación El lenguaje como tal, tiene un importante papel como mediador en las interacciones sociales y fue ampliamente estudiado por Vygotsky (1934) y su discípulo Levina (1981). Este último, observó que para intentar formular las propias ideas y para comunicarlas a los demás, uno se obliga a reconsiderar y reorganizar lo que se va a decir (citado en Gavilán, 2010). Luria (1973), destacó tres funciones del lenguaje: la generalización, por la que nos adueñamos de la experiencia humano-social, fundamental en el desarrollo humano; la base del pensamiento, puesto que al asimilar el lenguaje, el niño se capacita para conseguir formas de reflexión más complejas, sacar conclusiones, realizar conclusiones y reorganizar la memoria; y por último, la función de regular el comportamiento (Shaffer, 2007). En el Aprendizaje Cooperativo la comunicación tiene un papel protagonista en el proceso de aprendizaje. A través de las explicaciones que se dan y reciben entre los miembros del grupo, los alumnos han de examinar su propio pensamiento y son capaces de reestructurar sus conocimientos, incorporando las ideas nuevas.. 2.3.1.2. Componentes de la cooperación Para que la cooperación funcione se han detallado cinco elementos (Johnson, Johnson y Holubec, 1999): -. Interdependencia positiva. El éxito de cada miembro está vincula al del resto del grupo pues todos persiguen un objetivo común, comparten recursos e información. La estructura de este tipo de interdependencia exige: . Asignar al grupo una tarea clara y comprensible.. . Estructurar la interdependencia positiva de los objetivos, asegurando que nadie puede alcanzar la meta a menos que los demás componentes la alcancen.. . Complementar la interdependencia positiva de los objetivos con otros tipos de interdependencia como recompensas, roles, recursos.. -. Responsabilidad individual. Todos los alumnos son responsables de aprender los contenidos y las tareas asignadas, así como ayudar a los distintos miembros del grupo en su aprendizaje. Cada miembro es responsable de cumplir con la parte de trabajo que le toca. De esta manera evitamos que algunos alumnos puedan ampararse en el trabajo de otros o algunos alumnos queden eclipsados. Para que esto no suceda, pueden realizarse pruebas individuales, evaluaciones orales al azar, asignación de roles, etc. -. Interacción cara a cara. Los alumnos realizan la tarea compartiendo recursos, ayudándose y contribuyendo al aprendizaje de los demás. -. Uso adecuado las habilidades interpersonales y grupales. 24.

(25) Hierro Pino, Laia. El aprendizaje cooperativo no es tarea fácil, sobre todo para aquellos que lo realizan por primera vez o no están acostumbrados a esta modalidad de trabajo. Requiere que los alumnos aprendan la materia escolar y también la forma de relacionarse con su grupo para aprender, comunicarse, ayudarse, resolver los conflictos que surjan, etc. -. Capacidad de procesar la eficacia con la que ha funcionado el grupo. La eficacia del trabajo en grupo depende de si este reflexiona sobre su funcionamiento o no lo hace. Hay que averiguar qué acciones han resultado útiles y cuáles no.. 2.3.1.3. El papel del profesor El docente juega un papel importante durante el desarrollo del trabajo cooperativo: actúa como supervisor, observador y controlador del funcionamiento y trabajo de los grupos. Su objetivo ha de ir encaminado a observar lo más posible y actuar o intervenir, lo menos. Esta intervención puede darse a toda la clase, a un grupo concreto e incluso, a un miembro del grupo en casa de que sea necesario. No obstante, el maestro juega un papel muy importante en las decisiones tomadas antes de iniciar el trabajo cooperativo en el aula pues ha de decidir elementos que marcaran el desarrollo del trabajo en grupo (Gavilán, 2012, pp. 140 -153): -. El tamaño de los grupos, conviene que sean pequeños para ir adquiriendo experiencia. Entre dos y cinco alumnos.. -. La formación de los grupos puede hacerse en función de la tarea y del momento de aprendizaje en el que se encuentren los alumnos: mediante muestreo aleatorio, preguntando a los alumnos, pasando pruebas, etc.. -. La distribución de los grupos en el aula.. -. El control de la efectividad de los grupos, supervisando su trabajo en relación a su progreso académico y al uso apropiado de las habilidades sociales.. -. Los objetivos de cada lección, atendiendo a objetivos académicos y sociales.. -. El planteamiento de la tarea, primero es conveniente dar una visión global de la tarea y los procedimientos necesarios para llevarla a cabo. Recordando en última instancia que un grupo alcanzará la meta deseada si todos sus componentes la han alcanzado.. -. Las intervenciones del profesor, comentadas anteriormente.. -. La evaluación del aprendizaje y la revisión del funcionamiento de los grupos que son criterios previamente establecidos, dados a conocer y aceptados por los alumnos.. 2.3.1.4. Tipos de grupo Siguiendo a Johnson y Johnson, retratan tres tipos de grupo en el aprendizaje cooperativo (Johnson, Johnson y Holubec, 1999):. 25.

(26) Hierro Pino, Laia. -. Grupo de aprendizaje cooperativo formal, duran entre una clase y diversas semanas y permiten estructurar cualquier actividad académica, facilitando que los alumnos se impliquen de forma activa en el trabajo.. -. Grupo de aprendizaje cooperativo informal, grupos de estructura ad hoc, que duran entre unos minutes y unas clases. Se utilizan durante la enseñanza directa para concentrar la atención de los alumnos en los materiales a aprender, creando un clima favorable para el aprendizaje. Los alumnos no son espectadores sino que están activos cognitivamente.. -. Grupos de aprendizaje cooperativo de base, son grupos heterogéneos a largo plazo y con miembros estables que se reúnen con regularidad y con duración mínima de un curso escolar. Este tipo de grupo, permite que los alumnos integrantes entablen relaciones responsables y duraderas, que los motivarán a esforzarse en sus tareas y a tener un buen desarrollo cognitivo y social.. 2.3.1.5. Tipos de actividades Las actividades a realizar para que se dé un aprendizaje cooperativo pueden ser diversas y no existe una patrón típico: juegos, torneos, murales, talleres, etc. No obstante, hay que tener en cuenta el material que vamos a distribuir para cada grupo. Para que se dé una interdependencia positiva e intentar que los alumnos trabajen juntos, podemos limitar los recursos que se distribuyen a cada grupo, obligándoles al trabajo cooperativo. Por ejemplo, podemos repartir una o dos hojas para resolver los problemas, un solo lápiz, una cartulina, etc. con el fin de que ellos mismos decidan qué, cómo y dónde escribir.. 2.3.1.6. Asignación de roles La interacción necesaria para que se dé el aprendizaje cooperativo ha de ser de calidad, promoviendo los componentes de este tipo de aprendizaje. Sin embargo, no se produce de forma espontánea, sobre todo en aquellos grupos en los que no se ha trabajado anteriormente así. Es necesario que los alumnos compartan los objetivos y estrategias para llevar a cabo una tarea de forma cooperativa. Para favorecer la interdependencia positiva entre los miembros de un grupo se propone la asignación de roles específicos a los estudiantes. Esta asignación permite al alumno implicarse en la actividad y responsabilizarse de la misma: encargado de distribuir las tareas, lector de los ejercicios, redactor de las diferentes soluciones, supervisor del trabajo final, corrector, etc. Así mismo, es importante que estos roles sean simples en un principio y rotativos, de manera que todos los componentes del grupo realicen cada uno de los roles existentes como mínimo, una vez.. 26.

(27) Hierro Pino, Laia. 2.3.1.7. Evaluación La evaluación ante una tarea realizada mediante aprendizaje cooperativo no puede ser igual que ante otras tareas llevadas a cabo en el aula. Se necesitan criterios y metodologías que faciliten la observación y supervisión del proceso continuo que llevan a cabo los alumnos en el desarrollo de una actividad de tipo colaborativo. Evidentemente y teniendo en cuenta las características del aprendizaje cooperativo, el sistema de evaluación ha de ser holístico, considerando todas las dimensiones de aprendizaje y del saber (cognitivo, procedimental, social, afectivo y estratégicos) y valorando el proceso de aprendizaje atendiendo al ritmo del grupo y el resultado o producto de ese aprendizaje.. Figura 1: Dimensiones para la evaluación sistémica del aprendizaje grupal colaborativo. (Iborra e Izquierdo, 2009, p.229). Evaluar el proceso es importante pues de esta forma se podrá retroalimentar la actividad. No obstante y de forma complementaria, es igualmente necesario evaluar el producto pues de esta manera se garantiza que el alumnado ha llevado a cabo una planificación del proceso y tiene un objetivo o meta a la que llegar. Para una completa evaluación de la situación de aprendizaje cooperativo podemos partir de tres fuentes: -. El proceso grupal. Con el fin de determinar que el grupo actúa como equipo y que el aprendizaje surge de la construcción global y coordinada del conocimiento de los integrantes del mismo. Hay que tener en cuenta que el valor de la evaluación no está en el instrumento sino en el uso de la información recogida a través de ellos. Esta evaluación puede realizarse mediante:. 27.

(28) Hierro Pino, Laia. a) Cuestionarios y escalas, a través de los cuales podremos evaluar la cohesión grupal, los roles asignados a los individuos del grupo y su desempeño. b) Registro de observación, donde podamos controlar si el grupo se reparte las tareas, el tiempo que destinan a cada actividad, como se comunican, etc. Esto puede realizarlo el profesor aunque también es interesante proponer una autoevaluación o coevaluación. En esta, cada alumno puede reflexionar sobre su comportamiento respecto a las habilidades propuestas así como el de los componentes del grupo (Gavilán, 2010). c) Portafolios o carpetas de aprendizaje, son un conjunto de documentos, anotaciones, reflexiones, dibujos o gráficos que realiza el propio estudiante supervisado por el profesor. Estos se ordenan cronológicamente, evidenciando el progreso y la consecución de objetivos. Este tipo de registro, constituye una herramienta que permite al alumno-grupo reflexionar sobre los pasos que va dando. d) Diarios grupales e individuales, parecidos a los portafolios, en ellos se recogen las experiencias o bien grupales o personales, llevadas a cabo en la interacción grupal, incluyendo objetivos, reflexiones, síntesis de resultados, etc. Propician una reflexión y supervisión constante del progreso en la actividad. e) Entrevista con los equipos, permite verbalizar al grupo como va evolucionando su trabajo a través de la información cualitativa sobre las dificultades y los logros, posibilitando una reflexión y una búsqueda consensuada entre el grupo y el profesor de alternativas que mejoren el rendimiento grupal. Existen otras formas de evaluación que serán igualmente válidas en cuanto se ajusten a todas las dimensiones de la persona para con el aprendizaje en grupo y para con él mismo. -. El contenido. Con ella determinaremos la información y el grado de elaboración del conocimiento. Supone una verificación del proceso de construcción compartida del conocimiento. -. El producto final. Cada uno de los grupos, al final, habrá desarrollado algún producto sea un trabajo escrito, una manualidad, un esquema, una resolución de un problema o ejercicio, etc. Los criterios que van a ser utilizados para corregir dicho producto han de ser corregidos por el grupo con anterioridad a la realización del mismo. La evaluación ha de ser compartida entre profesor y grupo, permitiendo tomar mayor conciencia de los criterios de evaluación. Según distintos trabajos de investigación desarrollados entorno a las calificaciones en el Aprendizaje Cooperativo, los que producen mejores resultados son los que dan igualdad de oportunidades a todos los participantes, valorando el rendimiento académico, los esfuerzos realizados, asegurando que todos los estudiantes dispongan de las mismas oportunidades para contribuir con su actuación a la puntuación del grupo. Existen diferentes sistemas de puntuación (Gavilán, 2010): 28.

(29) Hierro Pino, Laia. -. Todos los componentes reciben la misma puntuación, esta puede ser la media de las puntuaciones individuales, la suma de las puntuaciones de los miembros del grupo, valorando el producto final, etc.. -. No todos los miembros reciben la misma calificación. Aquí se puede optar por dar a cada estudiante su puntuación individual más la media del grupo por ejemplo.. 2.3.1.8. Beneficios e inconvenientes Los beneficios de este tipo de aprendizaje pueden resumirse en (Lobato, 1998): . Ventajas respecto a los alumnos: Efectos en el aprendizaje escolar:. -. Mayor productividad y rendimiento escolar.. -. El aprendizaje de resolución de problemas y el desarrollo del pensamiento divergente y creativo.. -. La utilización de habilidades intelectuales superiores y de estrategias cognitivas de alta calidad.. -. Un lenguaje más elaborado, más preciso y con más rigor, en los intercambios y diálogos grupales. Efectos en el desarrollo personal y social:. -. Valoración y autoestima persona, desarrollando una imagen de sí mismo, más positiva.. -. Desarrollo del interés y de la motivación intrínseca hacia el aprendizaje, inducida por los procesos interpersonales del grupo.. -. Expectativas de éxito futuro.. -. Saber comunicarse de forma eficaz y satisfactoria.. -. Actitud más positiva hacia los otros: respeto, confianza, colaboración, solidaridad y empatía. Saber actuar eficazmente en grupo.. -. Desarrollar la responsabilidad frente a los demás y frente al propio aprendizaje.. -. Integración – inclusión, de los alumnos con más dificultades.. . Ventajas respecto a los profesores:. -. Permite plantear un programa equilibrado que dé respuesta a objetivos de desarrollo escolar, personal y social (objetivos cognoscitivos, procedimentales y actitudinales).. -. Promueve una gran flexibilidad y creatividad en la función docente y educadora. Permitiendo roles de felicitación, incentivación y observación.. No obstante, este tipo de aprendizajes también conllevan desventajas. Uno de los mayores riesgos al que se enfrenta el educador es la dispersión de la responsabilidad (De la Cerda, 2013). Este tiene lugar cuando no se produce el componente de la responsabilidad individual y algunos alumnos acaparan gran parte del trabajo, mientras otros no hacen nada.. 29.