Introducción a la geometría Riemanniana, o el problema de
calcular áreas de superficies curvas
La métrica de Riemann
Definición: La métrica de Riemann en una superficie 𝑆 es un campo
definido en el espacio tangente que asocia a cada punto 𝑝 una forma
cuadrática 𝑄𝑝: 𝑇𝑝𝑆 → ℝ definida positiva y que depende suavemente del
punto 𝑝.
Más sobre formas cuadráticas.
Repasando conceptos del álgebra lineal recordamos que existen objetos:
ℬ: 𝑉 × 𝑉 → 𝕂
En concreto, para el caso:
ℬ: 𝑇𝑝𝑆 × 𝑇𝑝𝑆 → ℝ
Que cumplen linealidad en cada uno de sus dos argumentos. Estos objetos eran las formas bilineales. Además, es cierto que toda matriz cuadrada es la matriz asociada de alguna forma bilineal. Entonces dicha forma bilineal se define matricialmente por:
ℬ(𝑣, 𝑤) = 𝑣𝑇 · 𝑀 · 𝑤
Donde 𝑀 matriz asociada.
Existen dos tipos formas bilineales (por tanto, de matrices) en función de cómo se comporte el cambio de argumentos.
1. Simétricas: ℬ(𝑣, 𝑤) = ℬ(𝑤, 𝑣)
2. Antisimétricas: ℬ(𝑣, 𝑤) = −ℬ(𝑤, 𝑣)
Existen formas bilineales que no son ni simétricas ni antisimétricas. Pero sí que es cierto que toda forma bilineal se descompone en la suma de una forma simétrica y otra antisimétrica.
ℬ(𝑣, 𝑤) = 𝑆(𝑣, 𝑤) + 𝐴𝑡(𝑣, 𝑤), ∀𝑣, 𝑤
Si en una forma bilineal se introduce el mismo argumento en cada una de las dos entradas, ésta define un nuevo objeto: las formas cuadráticas 𝒬.
ℬ(𝑣, 𝑣) ≔ 𝒬(𝑣)
Toda forma bilineal induce una forma cuadrática (el recíproco es cierto). De hecho existen infinitas formas bilineales tales que al hacer ℬ(𝑣, 𝑣) se define la
Pero ocurre que si ℬ = 𝑆 + 𝐴𝑡 y 𝐴𝑡 antisimétrica, entonces 𝐴(𝑣, 𝑣) = 0 por la
propiedad 2 (por eso existen infinitas formas bilineales que generan una misma 𝒬: una por cada forma 𝐴𝑡 en la que 𝐴𝑡(𝑣, 𝑣) = 0). Esto quiere decir que las formas
cuadráticas quedan definidas por la parte simétrica de su forma bilineal, y que aunque infinitas formas bilineales induzcan la misma forma cuadrática, sólo existe una que sea simétrica.
La única forma bilineal simétrica que induce una forma cuadrática 𝒬 se llama
forma polar de una forma cuadrática.
Tenemos entonces una correspondencia 1:1 entre formas bilineales simétricas (polares) y formas cuadráticas, y podemos considerar que una representa a la otra cuando nos convenga. Así, las formas cuadráticas tienen una representación matricial: la de su forma polar (i.e. su forma bilineal simétrica). Como toda matriz define una forma bilineal, en particular toda matriz simétrica define una forma cuadrática. Si 𝑀 es una matriz simétrica, entonces:
𝑄(𝑣) = 𝑣𝑇· 𝑀 · 𝑣
Y en particular, si 𝑀 es de orden 2 esto se desarrolla como: 𝑄(𝑣) = 𝑣𝑇· 𝑀 · 𝑣 = 𝑎
11· 𝑣12+ 2 · 𝑎12· 𝑣1𝑣2+ 𝑎22· 𝑣22
Donde 𝑎11, 𝑎12,22 coeficientes de 𝑀. De aquí sale la definición dada de forma
cuadrática.
Decimos más: En nuestro caso 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑆 porque es donde está definida la forma
cuadrática. Y 𝑣1, 𝑣2 son sus coordenadas. Y sabemos ya cuáles son las funciones
coordenadas del espacio tangente. Así, la expresión general de una forma cuadrática va a ser:
𝑄 ≡ 𝑐1· (𝑑𝑢)2+ 2 · 𝑐2· 𝑑𝑢 · 𝑑𝑣 + 𝑐3· (𝑑𝑣)2
Para 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 únicos por que corresponden con los coeficientes de la matriz que
representa la única forma simétrica que induce la forma cuadrática, siendo por tanto única también dicha matriz.
Pero ¿cuáles serán 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3? Por cálculo algebraico se obtiene:
𝑐1= 𝑄(Φ𝑢, Φ𝑢), 𝑐2= Q(Φu, Φv), c3= 𝑄(Φ𝑣, Φ𝑣)
Donde 𝑄 su forma polar y {Φ𝑢, Φ𝑣} base del espacio tangente.
Ahora: Resulta que las propiedades que cumplen las formas bilineales, las definidas positivas, son las mismas propiedades que cumplen los productos escalares. Entonces se puede interpretar que toda forma bilineal simétrica y definida positiva es un producto escalar.
Si la métrica de Riemann asocia a cada punto 𝑝 de una superficie 𝑆 una forma
cuadrática 𝑄 definida en 𝑇𝑝𝑆 automáticamente se le asocia una forma polar 𝑄.
Si una forma polar es una forma bilineal simétrica y definida positiva, por tanto un producto escalar, entonces la métrica de Riemann no solo es un campo polar sino un campo de productos escalares.
Esto significa que teniendo definido un campo escalar que es un campo de productos escalares la métrica de Riemann nos legitima para definir:
1. Longitud de vectores.
||𝑣|| = √𝑄(𝑣)
2. Ángulo entre vectores.
𝑄(𝑣, 𝑤) √𝑄(𝑣) · 𝑄(𝑤)
3. Rapidez riemanniana de un camino 𝛼 𝑟 = ||𝛼′|| = √𝑄(𝛼′)
4. Parámetro longitud riemanniana de arco: como la integral indefinida de la rapidez riemanniana (forma totalmente análoga a lo visto).
Decimos más: La métrica de Riemann dota a una superficie del concepto de área, y de integral respecto del área.
Sea:
𝑄 ≡ 𝐴(𝑢, 𝑣) · (𝑑𝑢)2+ 2 · 𝐵(𝑢, 𝑣) · (𝑑𝑢)(𝑑𝑣) + 𝐶(𝑢, 𝑣) · (𝑑𝑣)2
El campo polar definido por una métrica Riemanniana. Sea 𝑎: 𝑆 → ℝ una función escalar en la superficie.
Entonces, se define la integral de Riemann como:
∫ 𝑎 · 𝑑á𝑟𝑒𝑎
Pero ¿cuánto vale un diferencial de área?
Se trata de calcular cuánto vale la unidad elemental de área de la superficie, que es prácticamente idéntica a la unidad elemental de área en el espacio tangente en cada punto. Esa es la esencia de la geomtría de Riemann: asemejar curvas a rectas para tener un lugar de trabajo en el que las cosas funcionen bien.
Dicho área será igual al producto:
𝑑á𝑟𝑒𝑎 = |Φ𝑢| · |Φv| = |Φ𝑢| · |Φv| · sin(𝜋 2⁄ ) = |Φ𝑢× Φ𝑣|
Y por otra parte, es conocido:
|Φ𝑢× Φ𝑣|2+ 〈Φ𝑢, Φ𝑣〉2= |Φ𝑢|2|Φ𝑣|2
Entonces:
𝑑á𝑟𝑒𝑎 = |Φ𝑢× Φ𝑣| = √|Φ𝑢|2|Φ𝑣|2− 〈Φ𝑢, Φ𝑣〉2
Está dicho que la métrica de Riemann es un campo de formas cuadráticas:
𝑄 ≡ 𝑐1· (𝑑𝑢)2+ 2 · 𝑐2· 𝑑𝑢 · 𝑑𝑣 + 𝑐3· (𝑑𝑣)2
Para 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 constantes únicas que dependen del punto (𝑢, 𝑣), y resulta que,
desarrollando lo ya mencionado: 𝑐1= 𝑄(Φ𝑢, Φ𝑢) = |Φ𝑢|2= 𝐴 𝑐2= Q(Φu, Φv) = 〈Φ𝑢, Φ𝑣〉 = 𝐵 c3= 𝑄(Φ𝑣, Φ𝑣) = |Φ𝑢|2= 𝐶 Así: 𝑑á𝑟𝑒𝑎 = √𝐴𝐶 − 𝐵2
Donde 𝐴, 𝐵, 𝐶 son los coeficientes de la matriz asociada al campo polar. Por
tanto:
∫ 𝑎 · √𝐴𝐶 − 𝐵2· 𝑑𝑢𝑑𝑣
O más bonito todavía, llamando 𝑀 a tal matriz asociada al campo polar: