Econométricas. Máster Universitario. Técnicas Cuantitativas en Gestión Empresarial

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T´

ecnicas

Econom´

etricas

M´

aster Universitario

T´

ecnicas Cuantitativas en Gesti´

on Empresarial

Rom´

an Salmer´

on G´

omez

Granada, 2013

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Técnicas Econométricas: breve descripción de contenidos

Román Salmerón Gómez

A continuación se comenta brevementela partede la asignatura Técnicas Econométricas impartida por el Prof. Román Salmerón en el máster en Técnicas Cuantitativas para la Gestión Empresarial.

Es conveniente hacer hincapié al estudiante de la necesidad de repasar conocimientos adquiridos en el grado (cálculo diferencial, álgebra matricial, inferencia estad´ıstica, etc) ya que serán usados de forma constante durante el discurrir de la asignatura.

La asignatura comienza con una introducción al alumno al concepto de Econometr´ıa y modelo econométrico. Con tal objetivo se realiza un breve bosquejo histórico de la Econometr´ıa, además de proporcionar una definición de la misma. A continuación se define qué se entiende por modelo econométrico y se describen las fases a realizar en todo análisis econométrico (especificación, estimación, validación y explotación del modelo). Finalmente, se explica la naturaleza de la información utilizada. Tras conocer qué es un modelo econométrico se presenta su formulación matemática as´ı como las hipótesis básicas que debe verificar. Este último aspecto es importante destacarlo, ya que el alumno debe saber que toda estimación y validación del modelo queda supeditada a que se verifiquen dichas hipótesis (es más, los últimos temas de la asignatura - segunda parte - se dedican a esta cuestión). A continuación se estimarán, por el método de M´ınimos Cuadrados Ordinarios, las cantidades desconoci-das del modelo (coeficientes de los regresores y varianza de la perturbación aleatoria) y se analizarán sus propiedades. Finalmente, se comenzará con la fase de validación del modelo econométrico presentando una primera herramienta para medir la bondad del ajuste realizado: el coeficiente de determinación y coeficiente de determinación corregido.

A continuación se introduce en el modelo la suposición de que la perturbación aleatoria se distri-buye según una normal. A partir de este momento, el modelo econométrico toma una nueva dimensión ya que esta suposición permitirá calcular intervalos de confianza y contrastes de hipótesis para los parámetros desconocidos del modelo. As´ı, en primer lugar se presentarán las distribuciones en el mues-treo de los estimadores obtenidos en el tema anterior por el método de M´ınimos Cuadrados Ordinarios (MCO), las cuales permitirán contrastar un conjunto de hipótesis lineales. Como casos particulares se destacan los contrastes de significación individual y se realiza una breve reseña a los M´ınimos Cuadra-dos RestringiCuadra-dos. Además, constituyen también el punto de partida que permitirá introducir el análisis de la varianza (análisis ANOVA). En este punto es interesante mostrar su relación con el coeficiente de determinación, ya que permite obtener un valor a partir del cual éste último es significativo y, por tanto, valida el modelo.

En la última fase, se explotará el modelo a partir de la predicción puntual óptima y por intervalo, as´ı como a través del contraste de permanencia estructural. Finalmente, se destacará que todas las conclusiones obtenidas no tienen validez si antes no se comprueba que la perturbación aleatoria sigue una distribución normal.

Todos estos contenidos serán abordados tanto desde un aspecto teórico/práctico como (muy espe-cialmente) desde un aspecto computacional, más concretamente, con el software econométrico Gretl.

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Página 1

MÓDULO ASIGNATURA CURS

O

SEMESTR

E CRÉDITOS CARÁCTER

1 TÉCNICAS ECONOMÉTRICAS 1 1 4 OPTATIVA

PROFESOR(ES) DIRECCIÓN COMPLETA DE CONTACTO PARA TUTORÍAS (Dirección postal, teléfono, correo electrónico, etc.)

JORGE CHICA OLMO

ROMÁN SALMERÓN GÓMEZ

Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa.

Facultad de Ciencias Económicas y

Empresariales. Campus de Cartuja s/n. 18011 Granada.

Teléfono 958 240 619 Fax 958 240 620 Prof. Chica Olmo: [email protected] Despacho C-223. Tfno. 958 249922 Prof. Salmerón Gómez: [email protected] Despacho B-00. Tfno. 958 249637

HORARIO DE TUTORÍAS

El horario actualizado de tutorías puede consultarse en el siguiente enlace:

http://metodoscuantitativos.ugr.es/pages/doce ncia

MÁSTER EN EL QUE SE IMPARTE OTROS MÁSTERES A LOS QUE SE PODRÍA OFERTAR

Técnicas Cuantitativas en Gestión Empresarial

PRERREQUISITOS Y/O RECOMENDACIONES (si procede)

Conocimientos básicos de técnicas cuantitativas y ordenador.

TÉCNICAS ECONOMÉTRICAS

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BREVE DESCRIPCIÓN DE CONTENIDOS (SEGÚN MEMORIA DE VERIFICACIÓN DEL MÁSTER)

REGRESIÓN

1. El modelo de Regresión Lineal. Supuestos e Hipótesis.

2. El Procedimiento de Estimación Mínimo Cuadrático. Estimación Máximo Verosímil.

3. Explotación de los Resultados de Estimación. Análisis de la Varianza (ANOVA). Medidas de Ajuste y Diagnosis del Modelo.

4. Caso Práctico de Aplicación

INFERENCIA EN EL MODELO LINEAL

5. El Papel de Supuesto de Normalidad de las Perturbaciones.

6. Distribución de los Estimadores de los Parámetros en el Muestreo.

7. Inferencia en le Modelo de Regresión y Contraste de Hipótesis. Estimación por Intervalo. Intervalos de Confianza.

8. Caso Práctico de Aplicación (Continuación) TEMAS COMPLEMENTARIOS

9. Cambio Estructural y Estabilidad de los Parámetros 10. Estimación del Modelo Generalizado.

11. Problemas con los Datos: Multicolinealidad y Errores de Especificación.

COMPETENCIAS GENERALES Y ESPECÍFICAS DEL MÓDULO

Competencias Generales

- *_{CG0: Hablar bien en público.}

- CG1: Que los estudiantes adquieran la capacidad de trabajar en entornos internacionales. - CG2: Que los estudiantes adquieran la capacidad de crítica y autocrítica.

- *_{CG3: Que los estudiantes sean capaces de buscar y recopilar información de un tema de interés}

proveniente de fuentes diversas, especialmente a partir de las nuevas tecnologías.

- *_{CG4: Que los estudiantes sean competentes para analizar, sintetizar y gestionar la información y}

documentos disponibles de forma eficaz, incluyendo la capacidad de interpretar, evaluar y emitir un juicio razonado.

- *_{CG5: Que los estudiantes adquieran la capacidad de trabajar en equipo, fomentando el intercambio}

de ideas, compartiendo el conocimiento y generando nuevas metas y modelos de trabajo colaborativo. - CG6: Que los estudiantes tengan la capacidad de trabajar en equipos multidisciplinares.

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Página 3 Competencias Específicas

- *_{CE1: Aplicar las herramientas cuantitativas a la resolución de problemas en el ámbito empresarial}

planteados con datos procedentes de muestras de la población objetivo en estudio.

- *_{CE2: Aplicar las nuevas aportaciones en técnicas cuantitativas al ámbito empresarial así como la}

resolución de problemas en entornos nuevos o poco conocidos.

- *_CE3:_{Capacidad de utilizar técnicas cuantitativas actuales que le permitan incorporarse a tareas de}

investigación en el contexto de la gestión empresarial.

- *_CE4:_{Comprender el valor y los límites del método científico así como fomentar el interés por una}

investigación rigurosa propia del área de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa. - *_{CE5: Capacidad de acceder a las bases de datos y fuentes documentales existentes para conocer las}

nuevas aportaciones en el campo de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa. - CE6: Desarrollar una visión amplia y multidisciplinar de las aplicaciones de las principales técnicas

cuantitativas.

- CE7: Adquirir conocimientos altamente especializados, alguno de ellos a la vanguardia en un campo de trabajo o estudio concreto, que sienten las bases de un pensamiento o investigación originales en el área de conocimiento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa, así como ampliar sus conocimientos y atender las exigencias del mundo académico y profesional.

- CE8: Adquirir conciencia crítica de cuestiones de conocimiento en un tema concreto de las técnicas cuantitativas para emitir informes o juicios profesionales.

- *_{CE9: Capacidad de seleccionar las técnicas cuantitativas más idóneas para un correcto análisis o}

estudio.

- CE11:Plantear y construir modelos de series temporales que expliquen la evolución de una variable a lo largo del tiempo y a predecir sus valores futuros.

- *_{CE12: Capacidad de cuantificar relaciones de comportamiento entre variables económicas, verificar}

hipótesis sobre los parámetros de dichas relaciones y efectuar predicciones sobre las variables de interés.

*_{Con asterisco se indican las competencias de esta asignatura.} OBJETIVOS (EXPRESADOS COMO RESULTADOS ESPERABLES DE LA ENSEÑANZA) El alumno sabrá/comprenderá:

- Conocimientos sobre aspectos principales de la terminología económica, de la naturaleza de la economía y el entorno económico inmediato, nacional e internacional.

- Conocimientos sobre los principales modelos y técnicas de representación y análisis de la realidad económica.

- Las instituciones económicas como resultado y aplicación de representaciones teóricas o formales acerca de cómo funciona la economía.

- Las principales técnicas instrumentales aplicadas al ámbito económico.

El alumno será capaz de:

- Interpretar datos económicos, proporcionar información relevante útil para todo tipo de usuarios. - Aplicar al análisis de los problemas criterios profesionales basados en el manejo de instrumentos

técnicos.

- Emitir informes de asesoramiento sobre situaciones concretas de la economía (internacional, nacional o regional) o de sectores de la misma.

- Desarrollar habilidades de aprendizaje para emprender estudios posteriores en el ámbito de la economía con un alto grado de autonomía.

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TEMARIO DETALLADO DE LA ASIGNATURA

REGRESIÓN

1. El modelo de Regresión Lineal. Supuestos e Hipótesis.

2. El Procedimiento de Estimación Mínimo Cuadrático. Estimación Máximo Verosímil.

3. Explotación de los Resultados de Estimación. Análisis de la Varianza (ANOVA). Medidas de Ajuste y Diagnosis del Modelo.

4. Casos prácticos desarrollados con software libre econométrico. INFERENCIA EN EL MODELO LINEAL

5. El Papel de Supuesto de Normalidad de la las Perturbaciones. 6. Distribución de los Estimadores de los Parámetros en el Muestreo.

7. Inferencia en le Modelo de Regresión y Contraste de Hipótesis. Estimación por Intervalo. Intervalos de Confianza.

8. Casos prácticos desarrollados con software libre econométrico (Continuación) TEMAS COMPLEMENTARIOS

9. Cambio Estructural y Estabilidad de los Parámetros. Test de Chow.

10. Incumplimiento de las hipótesis básicas del modelo. Contraste de normalidad en las perturbaciones.

11. Estimación del Modelo Generalizado. Heterocedasticiad y autocorrelación. 13. Problemas con los Datos. Multicolinealidad. Errores de Especificación. Datos espaciales.

14. Casos prácticos desarrollados con software libre econométrico (Continuación)

BIBLIOGRAFÍA

ALONSO, A.; FERNÁNDEZ, J. y GALLASTEGUI, I. (2005).- Econometría. Ed. Prentice Hall GUJARATI, D. (2010).- Econometría.- Ed. McGraw Hill

MATILLA, M, PÉREZ, P y SANZ, B. (2013) Econometría y predicción. Ed. McGraw Hill SÁNCHEZ, C. (1999) Métodos Econométricos. Ariel Economía. Barcelona.

STOCK, J.H. y WATSON, M.M. (2012) Introducción a la Econometría, 3ª ed. Pearson WOOLDRIDGE, J.M. (2010).- Introducción a la Econometría. Un enfoque moderno. 2ª Edic. Thomson

ENLACES RECOMENDADOS

Web del Dpto. de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa. http://metodoscuantitativos.ugr.es/ Instituto nacional de Estadística. http://www.ine.es/

Instituto de estadística andaluz. http://www.juntadeandalucia.es:9002/ Banco de España. http://www.bde.es/webbde/es/

(9)

Página 5

Bolsa de Madrid. http://www.bolsamadrid.es/homei.htm

Anuario Económico de La Caixa. http://www.anuarieco.lacaixa.comunicacions.com Eurostat, http://epp.eurostat.ec.europa.eu/portal/page/portal/eurostat/home/.

Descarga gratuita del programa Gretl: http://descargar.portalprogramas.com/gretl.html, http://gretl.softonic.com/

Guía multimedia para la elaboración de un modelo econométrico.

www.ugr.es/local/jchica/Pagina2/Modelo/Modelo.htm

Página personal de Román Salmerón: www.ugr.es/local/romansg/material/WebEco/index.html METODOLOGÍA DOCENTE

La metodología que se llevará a cabo es la siguiente:

1. Tutorías personalizadas para buscar información reciente en diversas fuentes bibliográficas, plantear cuestiones de investigación, etc.

2. Realización de trabajos individuales o en grupo para la resolución de problemas en el ámbito empresarial.

3. Lectura e interpretación de la bibliografía especializada, incluyendo artículos de actualidad, propuesta en el programa de la materia.

4. Diseño, elaboración y exposición de un trabajo individual o en grupo de aplicación de los conocimientos teórico-práctico adquiridos.

5. Resolución de problemas relacionados con la materia y aplicados al ámbito empresarial. 6. Aplicaciones con ordenador.

En dicha metodología es importante:

1. Desarrollo de clases teóricas en las que se expondrán los distintos contenidos con ayuda de material didáctico diverso.

2. Desarrollo de clases prácticas en las que se resolverán problemas relacionados con la materia y aplicados en el ámbito empresarial. Asimismo se fomentará la participación de los alumnos. 3. Realización de lecturas relacionadas con la materia, sobre las que se formularán preguntas o se

solicitará un resumen crítico.

4. Realización de sesiones de discusión del material bibliográfico previas a las lecciones magistrales fomentando la participación del alumno.

5. Asistencia a seminarios teórico-prácticos que puedan desarrollarse durante el desarrollo de la materia y que incluyan foros de discusión.

6. Realización de prácticas en el aula de informática.

7. Charlas/coloquios que refuercen los conocimientos de la materia y fomenten la participación activa del alumno.

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EVALUACIÓN (INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN, CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y PORCENTAJE SOBRE LA CALIFICACIÓN FINAL, ETC.)

1. Prueba escrita: exámenes de ensayo, pruebas objetivas, resolución de problemas, casos o supuestos, pruebas de respuesta breve, informes y diarios de clase. (Ponderación: 0.6)

2. Prueba oral: exposiciones de trabajos orales en clase, individuales o en grupo, sobre contenidos de la materia (seminario) y sobre ejecución de tareas prácticas correspondientes a competencias concretas. (Ponderación: 0.3)

3. Técnicas basadas en la asistencia y participación activa del alumno en clase, seminarios y tutorías: trabajos en grupos reducidos sobre supuestos prácticos propuestos. (Ponderación: 0.1)

El sistema de evaluación será preferentemente continua, entendiendo por tal la evaluación diversificada que se establece en este apartado. No obstante, se podrá realizar una evaluación única final a la que podrán acogerse aquellos estudiantes que no puedan cumplir con el método de evaluación continua por motivos laborales, estado de salud, discapacidad o cualquier otra causa debidamente justificada que les impida seguir el régimen de evaluación continua.

INFORMACIÓN ADICIONAL

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M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 1 / 68

Introducci ´

on a la Econometr´ıa

El modelo de regresi ´

on lineal m ´

ultiple

Rom án Salmer ón G ómez

Universidad de Granada

Contenidos

Introducci ´on

Especificaci ´on del modelo

Estimaci ´on del modelo

Validaci ´on del modelo

Explotaci ´on del modelo

Ejemplos

Introducci ´on

Especificaci ón del modelo Estimaci ón del modelo Validaci ón del modelo Explotaci ón del modelo Ejemplos

(12)

Introducci ´

on

Contenidos

Introducci ´on

Definici ón de Econometr´ıa Modelo econ ómico y econom étrico Fases del m étodo econom étrico Componentes de un modelo econom étrico Naturaleza de la informaci ón utilizada en Econometr´ıa

Ejemplos

Econometr´ıa

Contenidos

Introducci ón Definici ón de Econometr´ıa Modelo econ ómico y econom étrico Fases del m étodo econom étrico Componentes de un modelo econom étrico Naturaleza de la informaci ón utilizada en Econometr´ıa

Ejemplos

La Estad´ıstica juega un papel importante en cualquier ciencia emp´ırica a la hora de estimular la formulaci ´on de modelos y contrastarlos. En la ciencia econ ´omica este papel se hace especialmente importante hasta el punto de que la necesidad de extender la Estad´ıstica ha dado lugar al nacimiento de una disciplina nueva que hoy goza de una gran vitalidad: la Econometr´ıa.

La Econometr´ıa es una rama de la Econom´ıa que aglutina a la Teor´ıa Econ ómica, las Matem áticas, la Estad´ıstica y la Inform ática para estudiar y ana-lizar fen ómenos econ ómicos. Puede decirse que constituye en s´ı misma una dis-ciplina dentro de la Econom´ıa y a la vez una potente herramienta que tanto los economistas como otros muchos investigadores sociales utilizan para el estudio de sus problemas concretos. El principal prop ósito de la Econometr´ıa es propor-cionar un sustrato emp´ırico a la Teor´ıa Econ ómica.

Una breve descripci ´on de la historia econom ´etrica la puedes encontrar en las lecturas recomendadas.

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Definici ´

on de Econometr´ıa

Contenidos

Introducci ´on

Definici ´on de Econometr´ıa

Modelo econ ómico y econom étrico Fases del m étodo econom étrico Componentes de un modelo econom étrico Naturaleza de la informaci ón utilizada en Econometr´ıa

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 5 / 68 De entre las muchas definiciones existentes sobre la Econometr´ıa destacar´ıa la siguiente:

“La Econometr´ıa, usando la Teor´ıa Econ ´omica, las Matem ´aticas y

la Inferencia Estad´ıstica como fundamentos anal´ıticos, y los datos econ ´omicos como la base informativa, proporciona una base para:

1. Modificar, refinar o posiblemente refutar las conclusiones en el

cuerpo de conocimientos conocido como Teor´ıa Econ ´omica.

2. Conseguir signos, magnitudes y afirmaciones de calidad para

los coeficientes de las variables en las relaciones econ ómicas, de modo que esta informaci ón puede usarse como base para la elecci ón y toma de decisiones.”

Judge y otros (1985)

Modelo econ ´

omico y econom ´etrico

Contenidos

Introducci ´on Definici ´on de Econometr´ıa

Modelo econ ´omico y econom ´etrico

Fases del m étodo econom étrico Componentes de un modelo econom étrico Naturaleza de la informaci ón utilizada en Econometr´ıa

Ejemplos

Modelo econ ómico: Un modelo econ ómico es una representaci ón simplificada de la realidad econ ómica mediante la expresi ón matem ática de una determina-da teor´ıa econ ómica.

Modelo econom étrico: Un modelo econom étrico es aquel modelo econ ómico que contiene todos los elementos necesarios para ser estudiado desde un pun-to de vista emp´ırico. Es decir, un modelo econ ómico en el que se ha especi-ficado el tipo de relaci ón entre variables (en este curso lineal), el n úmero de variables, introducci ón de la perturbaci ón aleatoria (para recoger el efecto de las variables no incluidas fundamentalmente), etc.

As´ı, por ejemplo, un modelo econ ´omico es aquel en el que se especifica que el consumo es una funci ´on de la renta:

Consumo

=

f

(

Renta

)

.

Mientras el modelo econom étrico ser á aquel en el que se establece que la relaci ón es lineal y se introduce la perturbaci ón aleatoria

u

_t:

(14)

Fases del m ´etodo econom ´etrico

Contenidos

Introducci ón Definici ón de Econometr´ıa Modelo econ ómico y econom étrico

Fases del m ´etodo econom ´etrico

Componentes de un modelo econom ´etrico Naturaleza de la informaci ´on utilizada en Econometr´ıa

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 7 / 68 La elaboraci ón de un modelo econom étrico se puede dividir en las siguientes fases:

Especificaci ón: En esta fase se propone la forma matem ática de la relaci ón que liga las variables presentes en el modelo y la perturbaci ón aleatoria. Tambi én debe decidirse el n úmero de ecuaciones y variables que forman el modelo. Todo ello se realizar á partiendo de la Teor´ıa Econ ómica.

Estimaci ón: Esta fase consiste en la obtenci ón de valores num éricos de las cantidades constantes del modelo econom étrico. Por tanto, ser á necesario dis-poner de informaci ón emp´ırica sobre el fen ómeno (datos) y haber decidido el m étodo de estimaci ón a usar.

Validaci ón: En esta fase se eval úan los resultados obtenidos en la etapa ante-rior para decidir si los mismos son o no aceptables tanto desde el punto de vista de la teor´ıa econ ómica (magnitudes, signos, etc) como desde el punto de vista estad´ıstico (validez del modelo).

Explotaci ´on: Si el modelo es aceptado, este puede ser usado para la predicci ´on y contrastar la permanencia de la estructura estimada.

Componentes de un modelo econom ´etrico

Contenidos

Introducci ón Definici ón de Econometr´ıa Modelo econ ómico y econom étrico Fases del m étodo econom étrico

Componentes de un modelo econom ´etrico

Naturaleza de la informaci ´on utilizada en Econometr´ıa

Ejemplos

Las principales componentes de un modelo econom ´etrico son:

Variables: Dentro de las variables podemos distinguir entre las variables obser-vables (aquellas de las que se disponen datos) y no obserobser-vables (la perturba-ci ón aleatoria). Y dentro de las primeras tenemos a las variables dependientes, explicadas o end ógenas (aquellas que est án influidas por otras variables) y va-riables independientes, explicativas o ex ógenas (aquellas que no est án influidas por otras).

Par ámetros: Los par ámetros son las cantidades fijas o constantes del mode-lo econom étrico que se desean estimar (mode-los coeficientes de las variables y la varianza de la perturbaci ón aleatoria).

Ecuaciones: Las relaciones entre las distintas variables se explicitar ´a mediante una o m ´as ecuaciones.

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Naturaleza de la informaci ´

on utilizada en Econometr´ıa

Contenidos

Introducci ón Definici ón de Econometr´ıa Modelo econ ómico y econom étrico Fases del m étodo econom étrico Componentes de un modelo econom étrico

Naturaleza de la informaci ´on utilizada en Econometr´ıa

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 9 / 68 Los datos econ ómicos suelen ser de clases muy variadas, siendo los tipos m ás importantes los siguientes:

Datos de corte transversal: son un conjunto de datos formada por unidades (individuos, empresas, regiones, etc) observadas en un momento determinado (d´ıa, mes, trimestre, a ˜no, etc). Por ejemplo, el consumo de varias familias en un mes en concreto.

Datos de series temporales: son un conjunto de datos formado por observa-ciones de una misma variable a lo largo del tiempo. Por ejemplo, el consumo mensual de una familia a lo largo de todo un a ˜no.

Datos de panel o longitudinales: son un conjunto de datos que combinan una dimensi ´on temporal con otra transversal. Por ejemplo, el consumo mensual de un conjunto de familias a lo largo de todo un a ˜no.

Habr á que atender al tipo de datos que se analicen ya que dependiendo de su naturaleza se podr án aplicar unos u otros m étodos econom étricos.

Especificaci ´

on del modelo

Contenidos

Introducci ´on

Modelo lineal uniecuacional m ´ultiple

Hip ´otesis del modelo

(16)

Modelo lineal uniecuacional m ´

ultiple

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 11 / 68 El modelo lineal uniecuacional m últiple analiza la relaci ón lineal entre una variable dependiente,

_Y

, y m ´as de una variable independiente,

_X

_i,

_i

_{= 1}

_{, . . . , k}

,

_{k >}

₁

, m ´as un t ´ermino aleatorio,

u

.

As´ı, a partir de

n

observaciones para cada variable, el modelo puede ser expresado como:

Y

t

=

β

1

+

β

2

X

t2

+

β

3

X

t3

+

· · ·

+

β

k

X

tk

+

u

t

,

t

= 1

, . . . , n,

(1)

donde se ha considerado que hay t ´ermino constante, es decir,

X

₁_t

= 1

,

∀

t

. El objetivo ser á estimar (es decir, obtener una aproximaci ón num érica) aque-llas cantidades constantes presentes en el modelo (1), as´ı como la bondad de la estimaci ón realizada. En primer lugar, se escribe dicho modelo para todas y cada una de las observaciones:

Y

1

=

β

1

+

β

2

X

12

+

β

3

X

13

+

· · ·

+

β

k

X

1k

+

u

1

Y

2

=

β

1

+

β

2

X

22

+

β

3

X

23

+

· · ·

+

β

k

X

2k

+

u

2 . . . . . .

Y

n

=

β

1

+

β

2

X

n2

+

β

3

X

n3

+

· · ·

+

β

k

X

nk

+

u

n

Modelo lineal uniecuacional m ´

ultiple

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

Que nos conduce a la siguiente forma matricial:

y

n×1

=

X

n×k

· β

k×1

+

u

n×1

,

(2) donde:

y

n×1

=







Y

1

Y

2 . . .

Y

n







,

β

k×1

=







β

1

β

2 . . .

β

k







,

u

n×1

=







u

1

u

2 . . .

u

n







,

X

n×k

=







1 X

12

. . .

X

1k

1 X

22

. . .

X

2k . . . . . . . .. ...

1 X

n2

. . . X

nk







.

(17)

Hip ´

otesis del modelo

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 13 / 68 Consideraremos las siguientes hip ótesis b ásicas en el modelo lineal uniecuacional m últiple:

El vector

y

se puede expresar como combinaci ón lineal de las variables expli-cativas m ás un vector de perturbaci ón.

La perturbaci ´on aleatoria est ´a centrada

(

E

[

u

_t

] = 0

, t

= 1

, . . . , n

)

, es homoced ´astica

V ar

(

u

_t

) =

E

[

u

_t2

] =

σ

2

, t

= 1

, . . . , n

e incorrelada

(

Cov

(

u

t

, u

s

) =

E

[

u

t

· u

s

] = 0

,

∀

t

6 =

s, t, s

= 1

, . . . , n

)

. En tal caso se

dice que las perturbaciones son esf ´ericas y se verifica que

E

[

u

] = 0

_n_×₁ y

V ar

(

u

) =

E

[

u

· u

t

] =

σ

2

· I

n×n

.

La matriz

X

es no estoc ´astica y de rango completo por columnas, es decir,

rg

(

X

) =

k

(como consecuencia

n > k

y las columnas de

X

, es decir,

X

_i,

i

= 1

, . . . , n

, son linealmente independientes).

No hay relaci ´on entre variables independientes y la perturbaci ´on aleatoria:

Cov

(

u

n×1, Xi

)

=

E

(

u

₋

E

[

u

])

_·

(

X

i

−

E

[

X

i

])

t

=

E

u

· (

X

i

−

X

i

)

t

=

E

[

u

n×1

·

0

1×n

] = 0

n×n

.

Estimaci ´

on del modelo

Contenidos

Introducci ´on

Estimaci ón m´ınimo cuadr ática de los coeficientes del modelo Teorema de Gauss-Markov Estimaci ón de la varianza de la perturbaci ón aleatoria

(18)

Estimaci ´

on m´ınimo cuadr ´atica de los coeficientes del modelo

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 15 / 68 Definiendo los errores o residuos,

_e

, del modelo lineal uniecuacional m ´ultiple como la diferencia entre los verdaderos valores de la variable dependiente y su estima-ci ´on, esto es

e

=

y

₋

_b

y,

donde

y

b

=

X

β

b

, y siguiendo la premisa de minimizar la suma de los cuadrados de los residuos

e

t

e

= (

y

−

X

β

b

)

t

· (

y

−

X

β

b

) =

y

t

y

−

2 β

b

t

X

t

y

+

β

b

t

X

t

X

β,

b

se obtiene la estimaci ´on del par ´ametro

β

como

b

β

=

X

t

X

−1

_·

X

t

y.

Dicho m ´etodo recibe el nombre de m´ınimos cuadrados ordinarios, MCO, por lo que los estimadores obtenidos a partir de dicho m ´etodo reciben el nombre de estimadores de m´ınimos cuadrados ordinarios, EMCO.

Como consecuencias de dicha estimaci ´on se verifica que

X

t

· e

= 0

_k_×₁,

i

t

_·

e

= 0

1×1,

i

t

· y

b

=

i

t

· y

y

b

t

· e

= 0

1×1 donde

i

t

= (1 1

. . .

1)

1×n.

Estimaci ´

on m´ınimo cuadr ´atica de los coeficientes del modelo

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

Advi ´ertase que:

X

t

X

=







n

P

n t=1

X

t2

· · ·

n

P

t=1

X

tk n

P

t=1

X

t2 n

P

t=1

X

_t2₂

_{· · ·}

P

n t=1

X

t2

X

tk . . . . . . . .. ... n

P

t=1

X

tk n

P

t=1

X

tk

X

t2

· · ·

n

P

t=1

X

_tk2







,

y

X

t

y

=







n

P

t=1

Y

t n

P

t=1

X

t2

Y

t . . . n

P

t=1

X

tk

Y

t







.

(19)

Teorema de Gauss-Markov

Contenidos

Introducci ´on

Estimaci ón del modelo Estimaci ón m´ınimo cuadr ática de los coeficientes del modelo Teorema de Gauss-Markov Estimaci ón de la varianza de la perturbaci ón aleatoria

Ejemplos

Teorema 1 (Teorema de Gauss-Markov) Los estimadores de m´ınimos

cuadra-dos ordinarios son lineales, insesgacuadra-dos y ´optimos (ELIO), es decir, tienen varianza m´ınima entre la clase de los estimadores lineales e insesgados.

En efecto, por la forma de escribirse el estimador es evidente que es lineal. As´ı, llamando:

C

k×n

=

X

t

X

−1 k×k

· X

t k×n

=







c

11

c

12

. . .

c

1n

c

21

c

22

. . .

c

2n . . . ... . .. ...

c

k1

c

k2

. . . c

kn







,

se tiene que

β

b

se expresa como combinaci ´on lineal del vector

y

:

b

β

k×1

=

C

k×n

· y

n×1

=







c

11

Y

1

+

c

12

Y

2

+

. . .

+

c

1n

Y

n

c

21

Y

1

+

c

22

Y

2

+

. . .

+

c

2n

Y

n . . .

c

k1

Y

1

+

c

k2

Y

2

+

. . .

+

c

kn

Y

n







.

Teorema de Gauss-Markov

Contenidos Introducci ´on

Ejemplos

Para que el estimador

_β

b

de

_β

sea insesgado se ha de cumplir que

_E

_[

_β

b

_{] =}

_β

. En efecto, sustituyendo

y

=

Xβ

+

u

en

β

b

:

b

β

=

X

t

X

−1

_·

X

t

y

=

X

t

X

−1

_·

X

t

(

Xβ

+

u

)

=

β

+

X

t

X

−1

_·

X

t

u

_−→

β

b

=

β

+

X

t

X

−1

_·

X

t

u.

Entonces, teniendo en cuenta que

E

[

u

] = 0

:

E

[

β

b

] =

E

h

β

+

X

t

X

−1

· X

t

u

i

=

β

+

X

t

X

−1

· X

t

· E

[

u

] =

β.

Por otro lado, la matriz de varianzas-covarianzas de

β

b

:

V ar

β

b

=

E

β

b

−

E

[

β

b

]

· β

b

−

E

[

β

b

]

t

=

E

β

b

−

β

· β

b

−

β

t

=

E

h

X

t

X

−1

X

t

u

· u

t

X X

t

X

−1

i

=

X

t

X

−1

X

t

· E

[

u

· u

t

]

· X X

t

X

−1

=

σ

2

_·

X

t

X

−1

X

t

X X

t

X

−1

=

σ

2

_·

X

t

X

−1

,

(20)

Teorema de Gauss-Markov

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 19 / 68 donde se ha tenido en cuenta que

β

b

es insesgado,

β

b

−

β

= (

X

t

X

)

−1

X

t

u

y

V ar

(

u

) =

E

[

u

· u

t

] =

σ

2

· I

n×n.

Para demostrar que

β

b

es de m´ınima varianza consideraremos otro estimador,

β

∗, de

β

lineal e insesgado de forma que

V ar

b

β

< V ar

(

β

∗

)

.

En efecto,

_β

∗

₌

_D

_k_×_n

· _y

_n_×₁tal que

_D

· _X

₌

_I

_k_×_k es lineal e insesgado. Adem ´as,

V ar

(

β

∗

) =

σ

2

· DD

t.

En tal caso, puesto que podemos escribir

D

= (

X

t

X

)

−1

X

t

+

W

con

W

₆

= 0

k×n, se tiene que

DD

t

= (

X

t

X

)

−1

+

W W

t, y en tal caso:

V ar

(

β

∗

) =

σ

2

· DD

t

=

σ

2

· X

t

X

−1

+

σ

2

· W W

t

=

V ar

β

b

+

σ

2

· W W

t

,

esto es,

_{V ar}

₍

_β

∗

₎

−

_{V ar}

b

β

=

σ

2

· W W

t

.

Y como

W W

t es definida positiva:

V ar

(

β

∗

)

−

V ar

b

β

>

0

, y en tal caso:

V ar

(

β

∗

)

> V ar

β

b

.

Estimaci ´

on de la varianza de la perturbaci ´

on aleatoria

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

Adem ás de los coeficientes de las variables independientes, hay en el modelo otra cantidad constante que habr á que estimar: la varianza de la perturbaci ón aleatoria,

σ

2.

Un estimador insesgado de

_σ

2 es:

b

σ

2

=

e

t

_e

n

₋

k

,

ya que

_E

_[

_e

t

_e

_{] = (}

_n

−

_k

₎

· _σ

2.

Para calcular dicho estimador se dispone de la expresi ´on:

b

σ

2

=

y

t

_y

₋

_β

b

t

_X

t

_y

n

−

k

.

En consecuencia, la estimaci ´on de la matriz de varianzas-covarianzas de

β

b

es:

\

(21)

Validaci ´

on del modelo

Contenidos

Introducci ´on

Bondad de ajuste: Coeficiente de determinaci ón Distribuci ón en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hip ótesis lineales: casos particulares M´ınimos Cuadrados Restringidos An álisis de la varianza Intervalos de confianza

Ejemplos

Bondad de ajuste: Coeficiente de determinaci ´

on

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

Una vez estimado el modelo lineal uniecuacional multiple, es decir, una vez ob-tenidas las estimaciones de

β

y

σ

2, el siguiente paso ser ´a estudiar la calidad de dichas estimaciones.

As´ı, a continuaci ón, obtendremos el coeficiente de determinaci ón, que no es m ás que una medida para estudiar la bondad del ajuste lineal determinado por los estimadores por m´ınimos cuadrados ordinarios.

Dicho coeficiente de determinaci ´on, que se denota por

R

2, se define como el porcentaje de variabilidad explicada por el modelo. Por tanto, éste se obtendr á co-mo el cociente entre la varianza explicada por la estimaci ón y la total:

R

2

=

1 T

·

n

P

i=1

b

Y

i

−

Y

2 1 T

·

n

P

i=1

Y

i

−

Y

2

=

n

P

i=1

b

Y

i

−

Y

2 n

P

i=1

Y

i

−

Y

2

.

Como se observa, el coeficiente de determinaci ´on queda expresado en funci ´on de la suma de cuadrados explicados (SCE) y los totales (SCT).

(22)

Bondad de ajuste: Coeficiente de determinaci ´

on

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 23 / 68 Luego, teniendo en cuenta la descomposici ón

SCT

=

SCE

+

SCR,

se tiene que

R

2

=

SCE

SCT

= 1

−

SCR

SCT

.

Entonces, para calcular dicho coeficiente se dispone de la expresi ´on:

R

2

=

β

b

t

_X

t

_y

₋

_n

_·

_Y

2

y

t

_y

₋

_n

_·

_Y

2

= 1

−

y

t

y

₋

β

b

t

X

t

y

t

_y

₋

_n

_·

_Y

2

.

Advi értase que, siempre que el modelo lineal tenga t érmino independiente, el coeficiente de determinaci ón var´ıa entre 0 y 1. El valor 0 lo toma cuando la SCE es nula y, por tanto, el modelo no es adecuado; mientras que toma el valor 1 cuando la SCR es nula y, por tanto, el modelo es adecuado.

Coeficiente de determinaci ´

on corregido

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

Puesto que a medida que vamos incluyendo variables en el modelo el coeficiente de determinaci ´on aumenta aunque las variables que incluyamos no sean signifi-cativas, esto supone un problema.

El coeficiente de determinaci ´on corregido,

R

2, viene a resolver este proble-ma del coeficiente de determinaci ón. Dicho coeficiente mide el porcentaje de va-riaci ón de la variable dependiente (al igual que el coeficiente de determinaci ón) pero teniendo en cuenta el n úmero de variables incluidas en el modelo. Se define como:

R

2

= 1

₋

(1

₋

R

2

)

_·

n

−

1 n

−

k

.

En cualquier caso, estas medidas de bondad del ajuste no deben de ser sobrevaloradas. Obtener un

R

2 o

R

2 cercano a 1 no indica que los resultados sean fiables, ya que, por ejemplo, puede ser que no se cumpla alguna de las hip ótesis b ásicas y los resultados no ser v álidos. Por tanto, estos indicadores han de ser considerados como una herramienta m ás a tener en cuenta dentro del an álisis.

(23)

Distribuci ´

on en el muestreo de los estimadores MCO

Contenidos

Introducci ´on

Validaci ón del modelo Bondad de ajuste: Coeficiente de determinaci ón Distribuci ón en el muestreo de los estimadores MCO Contraste de un conjunto de hip ótesis lineales: casos particulares M´ınimos Cuadrados Restringidos An álisis de la varianza Intervalos de confianza

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 25 / 68 Introduciendo la hip ótesis de que la perturbaci ón aleatoria sigue una distribuci ón normal, esto es:

u

n×1

∼

N

(0

n×1

, σ

2

· I

n×n

)

.

En consecuencia,

_β

b

_k_×₁

∼

_N

₍

_{β, σ}

2

· ₍

_X

t

_X

₎

−1

₎

, ya que:

b

β

sigue una distribuci ´on normal ya que se puede expresar en funci ´on de una normal:

β

b

=

β

+ (

X

t

X

)

−1

· X

t

u

.

se tienen calculados el vector de medias,

E

h

b

β

i

=

β

, y matriz de varianzas-covarianzas,

V ar

b

β

=

σ

2

_·

₍

_X

t

_X

₎

−1_.

Por otro lado, ya que

e

t

e

=

u

t

M u

siendo

M

_n_×_n

=

I

−

X

(

X

t

X

)

−1

X

t sim ´etrica, idempotente y con

rg

(

M

) =

n

−

k < k

se tiene que ut_σM u2

∼

χ

2_n₋_k

,

lo que se traduce en que

(

n

−

k

)

· σ

b

2

σ

2

∼

χ

2

n−k

.

Contraste de un conjunto de hip ´

otesis lineales

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

A continuaci ón abordaremos la especificaci ón de contrastes sobre un conjunto de hip ótesis lineales sobre los coeficientes del modelo. Concretamente, suponiendo

q

restricciones lineales independientes entre s´ı:

a

11

β

1

+

a

12

β

2

+

· · ·

+

a

1k

β

k

=

b

1

a

21

β

1

+

a

22

β

2

+

· · ·

+

a

2k

β

k

=

b

2 . . . ...

₌

...

a

q1

β

1

+

a

q2

β

2

+

· · ·

+

a

qk

β

k

=

b

q

Plantearemos contrastar la hip ´otesis nula

_H

₀

_:

_Rβ

₌

_r

donde

R

q×k

=







a

11

a

12

. . . a

1k

a

21

a

22

. . . a

2k . . . ... . .. ...

a

q1

a

q2

. . . a

qk







,

r

q×1

=







b

1

b

2 . . .

b

q







.

(24)

Contraste de un conjunto de hip ´

otesis lineales

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 27 / 68 Usando la distribuci ón

R

β

b

₋

Rβ

t

_·

h

R

(

X

t

X

)

−1

R

t

i

−1

q

· σ

b

2

· R

β

b

₋

Rβ

_∼

F

q,n−k

,

rechazaremos la hip ´otesis nula al nivel de significaci ´on

_α

si

R

β

b

₋

r

t

_·

h

R

(

X

t

X

)

−1

R

t

i

−1

q

· σ

b

2

· R

β

b

₋

r

> F

q,n−k

(1

−

α

)

,

donde

F

_q,n₋_k

(1

−

α

)

es el punto de una

F

de Senedecor de

q

y

n

−

k

grados de libertad que deja por debajo suyo una probabilidad

1 −

α

.

Casos particulares

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

Un caso particular de suma importancia ser ´a aquel en el que se desee contrastar la hip ´otesis nula

H

₀

:

β

_i

=

b

_i,

i

= 1

, . . . , k

.

En tal caso,

q

= 1

,

R

= (0 0

. . .

1

i)

. . .

0)

y

r

=

b

_i, por lo que la distribuci ´on anterior queda simplificada como

b

β

i

−

b

i

2

b

σ

2

_·

_w

i

∼

F

1,n−k

,

donde

_w

_ies el elemento (i,i) de la matriz

₍

_X

t

_X

₎

−1, o lo que es lo mismo,

_σ

b

2

· _w

_i es el elemento (i,i) de

σ

b

2

· (

X

t

X

)

−1

=

V ar

\

b

β

, esto es, la varianza estimada de

β

b

_i.

Teniendo en cuenta que la ra´ız cuadrada de una F-Snedecor con 1 y

n

grados de libertad es una t-Student con

_n

grados de libertad se tiene que

b

β

i

−

b

i

b

(25)

Casos particulares

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 29 / 68 y en tal caso rechazaremos

H

₀

:

β

_i

=

b

_i al nivel de significaci ´on

α

si

b

β

i

−

b

i

b

σ

_·

√

w

i

> t

n−k

1 −

α

2 ,

donde

t

_n₋_k

1 −

α₂

es el punto de una distribuci ´on

t

de student con

n

−

k

grados de libertad que deja por debajo suya una probabilidad

1 −

α

2.

Este caso particular es de vital importancia cuando

b

_i

= 0

, ya que entonces estaremos contrastando si el coeficiente de la variable independiente

X

_i es o no nulo. De forma que al rechazar dicha hip ´otesis tenemos garantizado que la variable

X

_i ha de estar en el modelo, por lo que sus variaciones influyen en la variable dependiente. En tal caso se dice que dicha variable es significativa y que el contraste es un contraste de significaci ´on individual.

M´ınimos Cuadrados Restringidos

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

En el caso en el que no se rechace la hip ´otesis nula

_H

₀

_:

_Rβ

₌

_r

, ser´ıa deseable incorporar dicha informaci ´on al modelo. En tal caso, se obtiene un nuevo estima-dor:

b

β

R

=

β

b

+

X

t

X

−1

R

t

h

R X

t

X

−1

R

t

i

−1

· r

−

R

β

b

,

que recibe el nombre de m´ınimos cuadrados restringidos ya que se ha obtenido con la restricci ´on de que ha de verificar que

R

β

b

_R

=

r

.

Dicho estimador es lineal, insesgado siempre que la hip ´otesis nula

H

₀

:

Rβ

=

r

sea cierta y óptimo. Es decir, el estimador por m´ınimos cuadrados restrin-gidos tiene menor varianza que el estimador m´ınimo cuadr ático ordinario siempre y cuando la restricci ón (hip ótesis nula) sea cierta.

Luego, cuando una restricci ón lineal sobre los coeficientes de las variables independientes es cierta, el estimador por m´ınimos cuadrados ordinarios deja de ser óptimo y habr á que usar el estimador por m´ınimos cuadrados restringidos.

Adem ´as se verifica que:

(26)

An ´alisis de la varianza

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 31 / 68 El an álisis de la varianza aborda el contraste que tiene por hip ótesis nula que todos los coeficientes de las variables independientes son nulos simult áneamente, esto es,

H

₀

:

β

₂

=

β

₃

=

· · ·

=

β

_k

= 0

.

Salta a la vista que estamos ante un caso particular de un contraste sobre

k

₋

1

restricciones lineales de los coeficientes de las variables independientes. En este caso, rechazaremos la hip ´otesis nula al nivel de significaci ´on

α

si

F

exp

=

SCE k−1 SCR n−k

> F

k−1,n−k

(1

−

α

)

.

Para calcular dicho estad´ıstico se suele resumir la informaci ón anterior en una tabla, conocida como tabla de an álisis de la varianza (tabla ANOVA) ya que en ella se recogen las fuentes de variaci ón de la varianza:

Fuente de variaci ´on Suma de Cuadrados Grados de Libertad Medias

Explicada

SCE

=

β

b

t

X

t

y

−

nY

2

k

−

1

SCE_k₋₁

Residuos

SCR

=

y

t

y

−

β

b

t

X

t

y

n

−

k

SCR_n₋_k

Total

SCT

=

y

t

y

−

nY

2

n

−

1 An ´alisis de la varianza

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

Advi ´ertase que rechazar

H

₀implica que hay al menos un coeficiente no nulo, por lo que la relaci ´on existente entre las variables independientes y la dependiente no se debe al azar, lo cual valida el modelo en su conjunto.

Por otro lado, sin m ás que dividir la regi ón de rechazo por SCT tanto en el numerador como en el denominador se obtiene la expresi ón equivalente:

R2 k−1 1−R2

n−k

> F

k−1,n−k

(1

−

α

)

.

La importancia de esta nueva expresi ón para la regi ón de rechazo es que permite calcular una cota, sin m ás que despejar

R

2, a partir de la cual el coeficiente de determinaci ón es significativo. Esto es, el coefciente de determinaci ón es signifi-cativo al nivel de significaci ón

_α

si

R

2

>

k−1

n−k

· F

k−1,n−k

(1

−

α

)

1 +

_nk−₋1_k

· F

k−1,n−k

(1

−

α

)

(27)

Intervalos de confianza

Contenidos

Introducci ´on

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 33 / 68 A partir de las distribuciones en el muestreo para los estimadores estudiados es inmediato obtener los siguientes intervalos de confianza al nivel

1 −

α

:

Intervalo de confianza para

_β

_i

b

β

i

±

t

n−k

1 −

α

2

· σ

b

· √

w

i

,

i

= 1

, . . . , k.

Intervalo de confianza para

σ

2

"

(

n

−

k

)

· σ

b

2

χ

2_n₋_k

1 −

α₂

,

(

n

−

k

)

· σ

b

2

χ

2_n₋_k α₂

#

,

donde

χ

2_n₋_k

1 −

α 2

y

χ

2_n₋_k α 2

son los puntos de una distribuci ´on chi-cuadrado con

n

−

k

grados de libertad que dejan a su izquierda, respectivamente, una probabilidad

₁

−

α

2 y

α

2.

Una forma alternativa de contrastar hip ´otesis es usando los intervalos de confianza. De manera que para contrastar

H

₀

:

Rβ

=

r

se calcular ´a la regi ´on de confianza para

Rβ

y si

r

pertenece a dicha regi ón, no se rechazar á la hip ótesis nula.

Explotaci ´

on del modelo

Contenidos

Introducci ´on

Predicci ´on Puntual ´

Optima Predicci ´on por intervalo Contraste de Permanencia Estructural

(28)

Predicci ´

on Puntual ´

Optima

Contenidos

Introducci ´on

Predicci ´on Puntual ´

Optima

Predicci ´on por intervalo Contraste de Permanencia Estructural

Ejemplos

M áster TCGE Introducci ón a la Econometr´ıa: regresi ón m últiple – 35 / 68 Una vez validado el modelo, la siguiente fase de un modelo econom étrico es la explotaci ón, siendo entonces la predicci ón o la permanencia estructural algunos de sus objetivos.

La predicci ón se realiza desde dos puntos de vista: a) por un lado realizare-mos una predicci ón puntual dando un único valor de predicci ón para un instante en concreto; b) por otra parte, puesto que

Y

es una variable aleatoria, podemos calcular su esperanza dado un valor en concreto de las variables independientes. Siguiendo las directrices anteriores se llega a la misma expresi ´on algebr ´aica en ambos casos:

p

0

=

x

t0

· β,

b

donde

x

t₀

= (1

X

₀₂

X

₀₃

. . . X

₀_k

)

contiene los valores de las variables inde-pendientes para los que se quiere obtener la predicci ´on.

Este predictor,

p

₀, m´ınimo cuadr ´atico (ya que se obtiene a partir del estima-dor por m´ınimos cuadrados ordinarios de

β

) es lineal, insesgado y ´optimo (en el sentido de m´ınima varianza).

Predicci ´

on por intervalo

Contenidos

Introducci ´on

Explotaci ´on del modelo Predicci ´on Puntual

´ Optima

Predicci ´on por intervalo

Contraste de Permanencia Estructural

Ejemplos

En este apartado calcularemos el intervalo de confianza para el valor esperado de

Y

dado

x

₀, es decir, para

E

[

Y

₀

/x

₀

] =

x

t₀

· β

.

Como

x

t₀

· β

b

se distribuye seg ún una normal (ya que est á en funci ón de

β

b

) y

E

[

x

t 0

· β

b

] =

x

t0

β

, ya que es insesgado.

V ar

x

t₀

· β

b

=

E

h

x

t₀

· β

b

−

x

t₀

· β

· x

t₀

· β

b

−

x

t₀

· β

i

=

x

t₀

· E

β

b

₋

β

_·

β

b

₋

β

t

· x

0

=

x

t0

· V ar

b

β

_·

x

0

=

σ

2

· x

t0

(

X

t

X

)

− 1

x

0

.

se tiene que

x

t₀

· β

b

∼

N

x

t₀

· β, σ

2

· x

t₀

X

t

X

−1

x

0

.

Ahora bien, esta distribuci ´on no es apta para hacer inferencia puesto que depende de la cantidad desconocida

_σ

2. Para resolver este problema, tipificare-mos la anterior distribuci ´on normal y la dividiretipificare-mos entre la ra´ız cuadrada de la siguiente distribuci ´on chi-cuadrado