PREPA N o 7. Derivadas. Derivadas de funciones por definición, Regla de la Cadena y derivabilidad de funciones.

Texto completo

(1)

UNIVERSIDAD SIM ´ON BOL´IVAR MATEM ´ATICAS I (MA-1111)

Elaborado por Miguel Labrador

12-10423 Ing. Electr´onica PREPA No 7.

Derivadas.

Derivadas de funciones por definici´on, Regla de la Cadena y derivabilidad de funciones.

Ejemplo 1: Calcule por definici´on la derivada de la funci´on f(x) = sin(x). Soluci´on:

Para calcular esta derivada debemos utilizar la Definici´on de Derivada. Podemos definir la derivada de dos maneras.

Derivada en un punto.

Sea f una funci´on continua en el intervalo abierto I y sea cI, decimos que la derivada de f en el punto x=c existe siempre que exista

l´ım xc f(x)−f(c) xc O equivalentemente l´ım h→0 f(c+h)f(c) h

Es importante remarcar que esta es la derivada de una funci´onen un punto por lo tanto, si esta existe, obtendremos un valor. Recuerde que este l´ımite es lapendiente de la recta tangente a f(x) en el punto x=c.

Si pedimos que csea cualquier punto perteneciente al dominio de la funci´on podemos definir la derivada de la siguiente forma:

(2)

Derivada de una funci´on.

La derivada de una funci´on f es otra funci´on f0 cuyo valor para cualquier n´umero x es f0(x) = l´ım

h→0

f(x+h)f(x) h

Esta se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a f en cualquier punto x. Como no nos est´an pidiendo la derivada en alg´un punto, debemos derivar f para cualquier punto x por lo que debemos obtener, al final, otra funci´on que represente a la derivada.

Usemos la definici´on: l´ım

h→0

f(x+h)f(x)

h = l´ımh→0

sin(x+h)−sin(x)

h (Ind del tipo

0 0.)

= l´ım

h→0

sin(x) cos(h) + sin(h) cos(x)−sin(x) h

= l´ım

h→0

sin(x) cos(h)−sin(x) + sin(h) cos(x) h

= l´ım

h→0

−sin(x) (1−cos(h)) + sin(h) cos(x) h = l´ım h→0 −sin(x) (1−cos(h)) h + sin(h) cos(x) h = l´ım h→0 −sin(x) (1−cos(h)) h + l´ımh→0 sin(h) cos(x) h = l´ım h→0 −sin(x) (1−cos2(h)) h(1 + cos(h)) + l´ımh→0 sin(h) cos(x) h = l´ım h→0 −sin(x) sin2(h) h(1 + cos(h)) + l´ımh→0 sin(h) cos(x) h =−sin(x) l´ım h→0 sin(h) 1 + cos(h) ! l´ım h→0 sin(h) h ! + cos(x) l´ım h→0 sin(h) h ! =−sin(x)(0)(1) + cos(x)(1) = cos(x)

Finalmente hemos obtenido quef0(x) = cos(x). Esta es una derivada de tabla y no ser´a necesario calcularla de esta manera en el futuro.

(3)

Ejemplo 2: Demuestre que la derivada de f(θ) = tan(θ) vale f0(θ) = sec2(θ).

Soluci´on:

Una vez m´as utilizaremos la definici´on de derivada para calcular esta que es una derivada de tabla. l´ım h→0 f(θ+h)f(θ) h = l´ımh→0 tan(θ+h)−tan(θ)

h (Ind del tipo

0 0.)

= l´ım

h→0

tan(θ) + tan(h)

1−tan(θ) tan(h) −tan(θ) h

= l´ım

h→0

tan(θ) + tan(h)−tan(θ) (1−tan(θ) tan(h)) 1−tan(θ) tan(h)

h

= l´ım

h→0

tan(θ) + tan(h)−tan(θ) + tan2(θ) tan(h)

1−tan(θ) tan(h) h = l´ım h→0 tan(h)(1 + tan2(θ)) 1−tan(θ) tan(h) h = l´ım h→0 tan(h) sec2(θ) 1−tan(θ) tan(h) h (1 + tan(θ) = sec 2(θ).) = l´ım h→0 tan(h) sec2(θ) (1−tan(θ) tan(h))h = sec2(θ) l´ım h→0 tan(h) (1−tan(θ) tan(h))h ! = sec2(θ)       l´ım h→0 sin(h) cos(h) (1−tan(θ) tan(h))h       = sec2(θ) l´ım h→0 sin(h)

(1−tan(θ) tan(h))hcos(h) !

= sec2(θ) l´ım

h→0

1

(1−tan(θ) tan(h)) cos(h) ! l´ım h→0 sin(h) h ! = sec2(θ)(1)(1) = sec2(θ) Finalmente podemos decir que:

f0(θ) = (tan(θ))0 = l´ım

h→0

tan(θ+h)−tan(θ)

h = sec

(4)

Ejemplo 3: Calcule la derivada de la funci´onf(x) = cos 3x 2 x+ 2 ! . Soluci´on:

Anteriormente nos ped´ıan tambi´en la derivada de una funci´on pero en este caso no utilizaremos la definici´on pues es excesivamente complicado, de ahora en adelante, a menos que nos digan lo contrario, derivaremos usando Derivadas de Tabla y T´ecnicas de Derivaci´on.

T´ecnicas de derivaci´on.

Funci´on Derivada k , kR 0 x 1 x2 2x xn nx(n−1) sin(x) cos(x) cos(x) −sin(x) tan(x) sec2(x) kf(x) , kR k(f(x))0 f(x) +g(x) f0(x) +g0(x) f(x)−g(x) f0(x)−g0(x) f(x)g(x) f0(x)g(x) +g0(x)f(x) f(x) g(x) f0(x)g(x)−g0(x)f(x) (g(x))2

Estas son las derivadas m´as utilizadas. Observe que existen reglas para calcular las derivadas del producto y cociente, y tambi´en de suma y resta de funciones, que no debe confundir ni aplicar instintivamente. No obstante usted debe aprender a derivar sin pararse a pensar que derivada usar´a en cada paso puesto que de ahora en adelante se utilizaran estas reglas simult´aneamente. Usted deber´a poder derivar con la misma soltura que suma y multiplica los n´umeros.

Falta uno de los teoremas m´as importantes, la Regla de la Cadena, esto es lo que nos permitir´a derivar cualquier funci´on a trav´es de las derivadas de tabla que hemos visto.

(5)

Regla de la Cadena.

La derivada de una funci´on compuesta f(g(x)) es igual a la derivada de la funci´on m´as externa evaluada en la funci´on interna por la derivada de la funci´on interna.

(f(g(x)))0 =f0(g(x)).g0(x)

Ahora veamos como aplicamos la regla de la cadena y las derivadas de tabla al ejercicio.

f0(x) = cos 3x

2

x+ 2 !!0

Vea que esta es la composici´on de dos funciones, cos(x) con 3x

2

x+ 2. Podemos aplicar La Regla de la Cadena y nos queda:

cos 3x 2 x+ 2 !!0 = cos0 3x 2 x+ 2 ! . 3x 2 x+ 2 !0 =−sin 3x 2 x+ 2 ! . 3x 2 x+ 2 !0

Ahora lo que nos queda es ver cu´anto vale la derivada de la funci´on interna 3x

2

x+ 2 !0

. La calcularemos aparte y luego regresaremos a sustituirla.

Vea que tenemos que derivar el cociente entre dos funciones por lo que debemos usarLa Regla del Cociente 3x2 x+ 2 !0 = (3x 2)0(x+ 2)(x+ 2)0(3x2) (x+ 2)2

A continuaci´on utilizaremos simult´aneamente la Derivada de una Potencia y la Derivada de la Suma. Obtenemos: (3x2)0(x+ 2)(x+ 2)0(3x2) (x+ 2)2 = (6x)(x+ 2)−(1 + 0)(3x2) (x+ 2)2 = 6x 2+ 12x3x2 (x+ 2)2 = 3x 2+ 12x (x+ 2)2

(6)

Cuando se deriva una funci´on es ((elegante)) intentar simplificar la funci´on resultante hasta su m´ınima expresi´on siempre que no tome mucho tiempo. Puede pasar que se pida simplificar obligatoriamente.

En nuestro caso no se puede llevar la funci´on a otra expresi´on m´as elegante. Sustituimos esto en la derivada que nos piden.

cos 3x 2 x+ 2 !!0 =−sin 3x 2 x+ 2 ! . 3x 2 x+ 2 !0 =−sin 3x 2 x+ 2 ! 3x2+ 12x (x+ 2)2 !

Ejemplo 4: Calcule la derivada de la funci´onf(x) = cos2

q

sin(4x) + tan3(3x)

. Soluci´on:

Aplicaremos Regla de la Cadena y T´ecnicas de derivaci´on. f0(x) = 2 cos q sin(4x) + tan3(3x) cos q sin(4x) + tan3(3x) 0

= 2 cosqsin(4x) + tan3(3x) sinqsin(4x) + tan3(3x)qsin(4x) + tan3(3x)

0

= 2 cos q

sin(4x) + tan3(3x) sinqsin(4x) + tan3(3x)

  (sin(4x) + tan3(3x))0 2qsin(4x) + tan3(3x)   = 2 cos q

sin(4x) + tan3(3x) −sin q sin(4x) + tan3(3x)   (sin(4x))0+(tan3(3x))0 2qsin(4x) + tan3(3x)   = 2 cos q

sin(4x) + tan3(3x) sinqsin(4x) + tan3(3x)

4 cos(4x) + 3 tan2(3x) sec2(3x)3

2qsin(4x) + tan3(3x)   =−2 cos q sin(4x) + tan3(3x) sin q sin(4x) + tan3(3x)  

4 cos(4x) + 9 tan2(3x) sec2(3x) 2qsin(4x) + tan3(3x)   =−sin 2qsin(4x) + tan3(3x)  

4 cos(4x) + 9 tan2(3x) sec2(3x)

2qsin(4x) + tan3(3x)

El ´ultimo paso es aplicar la identidad trigonom´etrica 2 sin(x) cos(x) = sin(2x)

En vista que no hay m´as ((simplificaciones)) que hacer dejamos la derivada de f(x) tal como est´a.

Observe que primero derivamos el exponente con la regla para derivar potencias, luego derivamos el coseno, luego derivamos la ra´ız, luego lo que est´a dentro de la ra´ız que es la suma de dos funciones que como sabemos se pueden derivar por separado con la regla para derivar suma de funciones, as´ı hasta que no haya que derivar m´as nada.

(7)

Ejemplo 5: Diga si es verdadero o falso que: la derivada de la funci´onf(x) = s 1 +x2 1−x2 es f0(x) = √ 2x 1 +x2q(1x2)3 Soluci´on:

En este ejercicio no nos piden que simplifiquemos pero es evidente que por el tipo de pregunta debemos hacerlo.

Podemos aplicar T´ecnicas de Derivaci´on directamente a la funci´on que nos dan sin embargo si la manipulamos un poco antes de derivarla nos ahorraremos unos cuantos pasos ( y oportunidades de cometer errores). Podemos escribir f(x) = s 1 +x2 1−x2 = √ 1 +x2 √ 1−x2

Entonces derivamos la funci´on manipulada en lugar de la ((original)).

f0(x) = √ 1 +x2 √ 1−x2 !0 = ( √ 1 +x2)0√1x2(1x2)0√1 +x2 √ 1−x22

(Derivada del Cociente.)

= (1 +x2)0 2√1 +x2 ! 1−x2 (1−x 2)0 2√1−x2 ! 1 +x2 √ 1−x22 = 2x 2√1 +x2 ! 1−x2 −2x 2√1−x2 ! 1 +x2 √ 1−x22 = x √ 1 +x2 ! 1−x2+ x 1−x2 ! 1 +x2 1−x2 = x√1 +x2 √ 1−x2 + x√1 +x2 √ 1−x2 1−x2 = x(1x2) +x(1 +x2) √ 1−x2√1 +x2 1−x2

(8)

= xx3+x+x3 √ 1−x2√1 +x2 1−x2 = 2x √ 1−x2√1 +x2 1−x2 = √ 2x 1−x2√1 +x2(1x2) = 2x

(1−x2)121 +x2(1x2) (Aplicamos propiedades de la ra´ıces.)

= 2x (1−x2)(12+1)√1 +x2 = 2x (1−x2)32 √ 1 +x2 = q 2x (1−x2)3√1 +x2 Finalmente la derivada de f es f0(x) = q 2x (1−x2)3√1 +x2

Ejemplo 6: Dada la funci´on

f(x) =    x2ax , six2 axb , six >2

halle los valores de a y b tales quef sea derivable enR. Soluci´on:

Para que una funci´on sea derivable en un punto x=c debe existir f0(c), esto quiere decir que debe existir aquel l´ımite que trabajamos anteriormente.

Debemos garantizar derivabilidad en todo Rpero, como en continuidad, no vamos a verificarlo para cada punto porque esto no es posible. El siguiente teorema nos quita un peso de encima:

Derivabilidad de polinomios y funciones trigonom´etricas.

Las funciones polin´omicas y las funciones trigonom´etricas seno y coseno son derivables en todo R.

En los intervalos (−∞,2) y (2,∞) la funci´on est´a definida de forma polin´omica por lo tanto ella es derivable en dichos intervalos, debemos verificar pues si es derivable en x= 2. En este caso debemos hallar los valores de a y b para que f sea derivable en x= 2.

(9)

Antes de comprobar derivabilidad en x = 2 existe una condici´on que se debe cumplir estrictamente: tambi´en debe haber continuidad en x= 2.

Teorema Continuidad-Derivabilidad.

Si f es derivabe en x=c entonces tambi´en es continua en ese punto.

Esto es equivalente a decir que si una funci´onno es continua en alg´un punto entonces no es derivable en ese mismo punto.

Debe tener extremo cuidado con este teorema y de no usarlo de manera incorrecta. El teorema dice quederivabilidad implica continuidad, no lo interprete al rev´es. Puede recordarlo considerando la funci´onf(x) =|x|, esta funci´on, a pesar de ser continua en x= 0, no es derivable en este punto.

Estudiemos la continuidad de la funci´on en x= 2 ya que, como hemos dicho, en el resto de los puntos ella es derivable y por lo tanto continua.

Continuidad: L´ımites laterales: l´ım x→2−f(x) = l´ımx2x 2ax= 42a l´ım x→2+f(x) = l´ımx2+axb= 2a−b

Como los l´ımites laterales deben existir y ser iguales entonces: 4−2a= 2a−b

=⇒4a−b= 4 (I)

Hemos obtenido una ecuaci´on con dos inc´ognitas que no podemos resolver, es de esperarse que estudiando derivabilidad aparezca otra ecuaci´on para as´ı construir una sistema de ecuaciones.

Derivabilidad:

Para que la funci´on sea derivable enx= 2 debe existir f0(2), es decir, debe existir el l´ımite: f0(2) = l´ım

x→2

f(x)−f(2) x−2

Adem´as este l´ımite existe si y solo si las derivadas laterales existen y son iguales: l´ım x→2− f(x)−f(2) x−2 = l´ımx→2+ f(x)−f(2) x−2

(10)

Cuando x→2−: l´ım x→2− f(x)f(2) x−2 = l´ımx→2− x2ax((2)22a) x−2 = l´ım x→2− x2ax4 + 2a

x−2 (Ind del tipo

0 0.) = l´ım x→2− (x−2)(x+ 2)−a(x−2) x−2 (Agrupaci´on.) = l´ım x→2− (x−2)[(x+ 2)−a] x−2 = l´ım x→2−x+ 2−a= 4−a Cuando x→2+: l´ım x→2+ f(x)−f(2) x−2 = l´ımx→2+ axb−((2)2 2a) x−2 = l´ım x→2+ axb−4 + 2a x−2

En este punto parecer´ıa que al evaluar el l´ımite obtendremos que no existe, sin embargo de (I) sabemos que 4a−b= 4 =⇒b= 4a−4.

Reemplazamos b en el l´ımite y nos queda:

l´ım x→2+ axb−4 + 2a x−2 = l´ımx→2+ ax−(4a−4)−4 + 2a x−2 = l´ım x→2+ ax−2a x−2 = l´ım x→2+ a(x−2) x−2 = l´ım x→2+a=a

Como las derivadas laterales deben ser iguales para que exista f0(2) 4−a=a=⇒a= 2

Si reemplazamos a= 2 en (I) obtendremos b.

4a−b = 4 =⇒8−b = 4 =⇒b= 4

Finalmente para quef sea derivable enR(y por lo tanto continua por el Teorema Continuidad-Derivabilidad) se debe satisfacer que a= 2 yb = 4.

(11)

Ejemplo 7: Determinar a y b para que f(x) sea continua y derivable en R f(x) =    2x2+ax , six1 bx2+ 2x−1 , six >1 Soluci´on:

Para los intervalos (−∞,1) y (1,+∞) la funci´on es derivable y continua ya que en ambos intervalos est´a definida como un polinomio de segundo grado. Sabemos por teorema que los polinomios son derivables en todo R. Solo nos queda probar que f es derivable en x= 1.

Como es un requisito indispensable que la funci´on sea continua antes de ser derivable debemos estudiar la continuidad en x= 1. Continuidad: L´ımites laterales: l´ım x→1−f(x) = l´ımx1−2x 2+ax= 2 +a l´ım x→1+f(x) = l´ımx1+bx 2+ 2x1 = b+ 1

Como los l´ımites laterales deben existir y ser iguales:

2 +a=b+ 1 (I)

Hemos obtenido una ecuaci´on con dos inc´ognitas, el resto de la informaci´on para obtener a yb la sacaremos de la derivabilidad.

Derivabilidad:

Calculamos la derivadas laterales: l´ım x→1− f(x)f(1) x−1 = l´ımx→1− 2x2+ax−(2(1)2+a(1)) x−1 = l´ım x→1− 2x2+ax(2 +a) x−1 = l´ım x→1− 2x22 +axa x−1 = l´ım x→1− 2(x21) +a(x1) x−1 = l´ım x→1− 2(x−1)(x+ 1) +a(x−1) x−1 = l´ım x→1− (x−1)(2(x+ 1) +a) x−1 = l´ım x→1−2(x+ 1) +a= 4 +a

(12)

l´ım x→1+ f(x)−f(1) x−1 = l´ımx→1+ bx2 + 2x1(2(1)2+a(1)) x−1 = l´ım x→1+ bx2 + 2x1(2 +a) x−1 = l´ım x→1+ bx2 + 2x1(b+ 1) x−1 (Utilizamos (I).) = l´ım x→1+ bx2 + 2x−b−2 x−1 = l´ım x→1+ b(x2−1) + 2(x−1) x−1 = l´ım x→1+ b(x−1)(x+ 1) + 2(x−1) x−1 = l´ım x→1+ (x−1)(b(x+ 1) + 2) x−1 = l´ım x→1+b(x+ 1) + 2 = 2b+ 2

Como las derivadas laterales deben ser iguales para que exista f0(1) entonces:

4 +a = 2b+ 2 (II)

Ahora ya podemos construir el sistema de ecuaciones:    2 +a=b+ 1 4 +a= 2b+ 2 ⇒    ba= 1 2b−a= 2 3b = 3 =⇒b= 1 =⇒a= 0

Finalmente para que f sea derivable en x = 1, y as´ı en todo R, se debe cumplir que a = 0 y b= 1, adem´as por Teorema Continuidad-Derivabilidad tambi´en ser´a continua en R.

(13)

Ejemplo 8: Sea f la funci´on definida por f(x) =    x73 , six <0 1−cos(x) , six≥0 a. Calcule f0(0) b. Calcule la funci´onf0(x) c. Calcule f00(0) d. Calcule la funci´onf00(x) Soluci´on: Parte a.

Antes de pasar a hacer cualquier c´alculo es necesario notar quef(x) es derivable en (−∞,0) por estar definida como una ra´ız c´ubica. Por otro lado en (0,+∞)f(x) est´a definida como combinaci´on de funciones derivables en R. Solo queda saber si f(x) es derivable en x = 0, en caso de serlo se debe satisfacer lo siguiente:

f0(0) = l´ım x→0− f(x)f(0) x−0 = l´ımx→0+ f(x)−f(0) x−0 Cuando x→0−: l´ım x→0− f(x)f(0) x−0 = l´ımx→0− x73 −(1−cos(0)) x−0 = l´ımx→0− x73 x = l´ımx→0−x 7 3−1 = l´ım x→0−x 4 3 = 0 Cuando x→0+: l´ım x→0+ f(x)−f(0) x−0 = l´ımx→0+ 1−cos(x)−(1−cos(0)) x−0 = l´ım x→0+ 1−cos(x) x = l´ım x→0+ 1−cos(x) x 1 + cos(x) 1 + cos(x) ! = l´ım x→0+ 1−cos2(x) x 1 1 + cos(x) ! = l´ım x→0+ sin2(x) x 1 1 + cos(x) ! = l´ım x→0+ sin(x) x ! l´ım x→0+ sin(x) 1 + cos(x) ! = 0

(14)

Luego las derivadas laterales existen, son iguales y valen cero, de modo que f0(0) = 0.

Observe la gr´afica de f(x) y observe el por qu´e la derivada nos ha dado cero y por qu´e es derivable all´ı.

Parte b.

Como ya hemos visto quef es derivable enRpodemos decir que la derivada def es la derivada de cada uno de sus trozos y la funci´on resultante es v´alida para todo R.

f0(x) =    x73 0 , six <0 (1−cos(x))0 , six≥0 =    7 3x 4 3 , si x <0 sin(x) , si x≥0 Parte c.

La funci´on f0, resultado de derivar f, es derivable en el intervalo (−∞,0) pues est´a definida como 73x43. En el intervalo (0,+∞)f es derivable pues est´a definida como la funci´on trigonom´etrica

seno.

Ahora debemos calcular la segunda derivada evaluada en cero, para esto debemos saber si f0 es derivable en x= 0, es decir debemos verificar si existef00(0), en caso de serlo se debe cumplir:

f00(0) = l´ım x→0− f0(x)−f0(0) x−0 = l´ımx→0+ f0(x)−f0(0) x−0 Cuando x→0− l´ım x→0− f0(x)−f0(0) x−0 = l´ımx→0− 7 3x 4 3 −sin(0) x−0 = l´ımx→0− 7 3x 4 3 x = l´ımx→0− 7 3x 4 3−1 = l´ım x→0−x 1 3 = 0

(15)

Cuando x→0+ l´ım x→0+ f0(x)−f0(0) x−0 = l´ımx→0+ sin(x)−sin(0) x−0 = l´ımx→0+ sin(x) x = 1

En vista de que las derivadas laterales son distintas entonces no existef00(0), es decir,f0(x) no es derivable en x= 0.

Se deja la gr´afica de la funci´onf0(x) para que usted visualice por qu´e no es derivable en x= 0.

Parte d.

Ya sabemos que f0(x) no es derivable en x= 0 pero s´ı en el resto de los n´umeros reales por lo tanto podemos expresar la derivada de f0(x) para todo R− {0} de la siguiente manera:

f00(x) =    7 3x 4 3 0 , si x <0 (sin(x))0 , si x >0 =    28 9x 1 3 , si x <0 cos(x) , si x >0

Observe que la funci´on f00(x) no est´a definida en x = 0 ya que f0(x) no es derivable en este punto.

(16)

Nota: Este material fue elaborado por Miguel ´Angel Labrador con ejercicios obtenidos de parciales realizados y de la gu´ıa de Miguel ´Angel ((Mike)) Guzm´an para

el uso de toda la comunidad acad´emica. Miguel Labrador

Carnet: 12-10423 Ingenier´ıa Electr´onica Twitter:

@MiguelAngel2801-Se agradece notificar cualquier error de tipeo o en las respuestas y qu´e deber´ıa decir a la direcci´on miguelangel2801@gmail.com

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :