Circuitos de corriente continua

(1)

n esta unidad aprenderemos a resolvercircuitos eléctricos de corriente continua, esto es, a calcular la tensión o intensidad de cualquier elemento del circuito. La resolución de circuitos mediante la ley Ohm es limitada, engorrosa y no sistemática, lo que hace necesario aprender métodos más potentes y genéricos para ello. Los nuevos métodos de resolución los podremos aplicar a cualquier tipo de circuito, ya sea en corriente alterna, en continua o a una combinación de ambos. Ante todo, empezaremos definiendo términos básicos como nudo, malla y rama de un circuito.

Aprenderemos a aplicar las leyes de Kirchhoff de forma sistemática para resolver cualquier tipo de circuito. Para los circuitos planos, es decir, aquellos que en su representación carecen de ramas que se entrecruzan sin tener nudos en común, podremos utilizar el método de las mallas, que permite resolver los circuitos empleando menos ecuaciones.

Utilizaremos el principio de superposición cuando tengamos en un circuito varias fuentes de alimentación, sean del mismo tipo o no.

Los importantes teoremas de Thévenin y Norton permiten sustituir un circuito complejo por una fuente y una resistencia.

Por último, con el teorema de Tellegen aprenderemos que lo que se consume en un circuito es igual a lo que se genera en las fuentes.

Los objetivosque nos proponemos alcanzar con el estudio de esta unidad son los siguientes: 1. Conocer la terminología básica relativa a los circuitos eléctricos.

2. Identificar los nudos y mallas de un circuito eléctrico. 3. Resolver circuitos empleando las leyes de Kirchhoff. 4. Resolver circuitos por el método de las mallas. 5. Resolver circuitos por superposición.

6. Determinar los equivalentes Thévenin o Norton de un circuito.

E

UNIDAD

Circuitos de corriente

continua

4

Circuito eléctrico. (M.C.M.)

(2)

1. TERMINOLOGÍA BÁSICA . . . 92

2. LEYES DE KIRCHHOFF . . . 94

2.1. Primera ley de Kirchhoff . . . 94

2.2. Segunda ley de Kirchhoff . . . 95

3. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS UTILIZANDO LAS LEYES DE KIRCHHOFF . . . 96

4. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS POR EL MÉTODO DE LAS MALLAS . . . 100

5. RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS POR SUPERPOSICIÓN . . . 103

6. TEOREMAS DE THÉVENIN Y NORTON . . . 105

7. TEOREMA DE TELLEGEN . . . 111 Í N D I C E D E C O N T E N I D O S

Conversión

de fuentes

_{Resolución por}

superposición

Principio de

superposición

Terminología

básica

Teorema de

Trévenin

Teorema de

Norton

Teorema de

Tellegen

Resolución por el

Método de las Mallas

Leyes de

Kirchhoff

Resolución por

Leyes de Kirchhoff

Nudo Rama Malla

Segunda ley de Kirchhoff o

Ley de las mallas Primera ley de Kirchhoff

o

Ley de los nudos

Circuitos

corriente continua

(3)

1. Terminología básica

En la unidad anterior estudiamos los elementos constitutivos de un circuito eléctrico (fuentes de tensión, resistencias, bobinas y condensadores) de forma aislada. En esta unidad estudiaremos lo que ocurre cuando se unen en un circuito fuentes de tensión y resistencias y calcularemos las tensiones e intensidades en cada uno de los elementos asociados.

Para afrontar este análisis es necesario definir los siguientes conceptos básicos:

Circuito eléctricoes el camino por donde circulan cargas eléctricas. Está formado por una o varias

fuentes de tensión, receptores y conductores eléctricos que conectan los elementos anteriores entre sí.

Nudoes cada punto del circuito donde se unen tres o más conductores pertenecientes a diferentes ramas.

Ramaes cada parte del circuito comprendida entre dos nudos adyacentes.

Mallaes un conjunto de ramas que forman un camino cerrado, de forma que partiendo de un nudo

regresamos a él sin pasar dos veces por la misma rama, y no contiene a otras mallas en su interior.

Circuito eléctrico planoes un circuito eléctrico donde las ramas que lo forman no se cruzan entre sí.

CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

4 UNIDAD

E j e m p l o

1. Para el circuito de la figura determinar las ramas, nudos y mallas:

Solución:

Determinación de las ramas:

● Rama 1: formada por E2R2y R3. En color azul.

● Rama 2: formada por E1y R1. En color verde.

● Rama 3: formada por E3y R4. En color amarillo

Determinación de los nudos:

● Nudo A: La unión de las ramas 1, 2 y 3. ● Nudo B: La unión de las ramas 1, 2 y 3 Observa que entre dos nudos se define una rama. Determinación de las mallas:

● Malla 1: Formada por la rama 1 y 2. ● Malla 2: Formada por la rama 2 y 3.

Observa que cualquier malla solo tiene en común con otra malla una única rama y no están contenidas unas dentro de otras.

Cabe preguntarse: el camino formado por las ramas 1 y 3 ¿es una malla?

(4)

A c t i v i d a d e s

1. Para el circuito de la figura de la derecha: a) Identifica los nudos del circuito. b) Señala las mallas.

2. Para el circuito de la figura inferior: a) Identifica sus nudos.

b) Señala las mallas.

R e c u e r d a

ü Cualquier circuito eléctrico está formado por ramasque contienen diferentes elementos (fuentes, resistencias,

bobinas o condensadores) conectados en serie.

ü Los nudosson los puntos donde se unen tres o más ramas.

ü Las mallasson caminos cerrados, formados por las ramas de un circuito, que no contienen a otros caminos

cerrados en su interior.

ü Dos mallas solo tienen en común una rama.

(M.C.M)

(5)

2. Leyes de Kirchhoff

Las leyes de Kirchhoff se deben al físico alemán Gustav Robert Kirchhoff(1824-1887). Permiten resolver

de forma sistemática cualquier tipo de circuito, sea de corriente continua o alterna.

2.1. Primera ley de Kirchhoff

Se aplica a los nudos de un circuito, y su enunciado es el siguiente:

Expresado matemáticamente tenemos:

∑I= 0

A las intensidades de cada rama se les asigna un sentido arbitrario. Podemos tomar como corrientes positivas aquellas que entran en el nudo y como negativas las que salen.

Esta ley nos dice que en un nudo no se pueden acumular las cargas electricas, es decir, la suma de todas las intensidades de entrada tienen que ser igual a la suma de todas las intensidades de salida.

∑IEnt= ∑ISal También se la conoce como ley de los nudos.

La suma algebraica de las intensidades de corriente en un nudo es igual a cero.

4 UNIDAD

E j e m p l o

2. En el nudo de la figura si tomamos como positivas las corrientes

que entran, la aplicación de la primera ley de Kirchhoff al nudo es:

∑I= 0 ⇒ I1+ I2−I3−I4= 0 La expresión anterior se convierte en:

I1+ I2=I3+ I4⇒ ∑IEnt= ∑ISal

(6)

2.2. Segunda ley de Kirchhoff

Se aplica a cualquier camino cerrado y su enunciado es el siguiente:

Expresado matemáticamente tenemos:

∑E+ ∑R ·I= 0 ó ∑E+ ∑U= 0

A cada rama que forma parte de una malla se le asigna un sentido para la tensión. La segunda ley de Kirchhoff también se conoce como ley de las mallas.

Si el sentido en el que recorremos la rama coincide con el de la tensión el signo de esta en la ecuación será positivo, y si no coincide será negativo.

La suma algebraica de las tensiones (f.e.m. y caídas de tensión) a lo largo de cualquier malla o camino cerrado es igual a cero.

E j e m p l o

3. En la malla de la figura tomamos como positivas las tensiones que tienen el mismo sentido (flecha roja) que el asignado a la malla (flecha azul) y aplicando la segunda ley de Kirchhoff tenemos:

∑E+ ∑U= 0 ⇒U1−U2−E−U4=0

Aplicación de la 2ª ley de Kirchhoff. (M.C.M)

R e c u e r d a

ü La primera ley de Kirchhoffhace referencia a las intensidades que entran y salen de un nudo. Afirma que la suma de las corrientes entrantes es igual a la suma de las corrientes salientes para cualquier nudo.

ü La segunda ley de Kirchhoffestablece que para cualquier malla o camino cerrado la suma algebraica de las tensiones es igual a cero.

(7)

3. Resolución de circuitos utilizando las

leyes de Kirchhoff

Vamos a establecer, con las siguientes imágenes, los sentidos de tensión e intensidad de corriente que utilizaremos a partir de ahora en la resolución de circuitos.

En los elementos pasivos (resistencias, _inductanciasy condensadores) el sentido de la tensión e intensidad son opuestos. Son elementos que consumen energía, receptores.

En las fuentes de tensión o intensidad (elementos activos) los sentidos de tensión e intensidad son iguales. Son elementos que generan energía.

El procedimiento que debemos seguir para resolver un circuito empleando las _{leyes de Kirchhoff}tiene los siguientes _pasos:

1º Asignar sentidos a las intensidades en cada rama, el sentido puede ser arbitrario. Asignar sentidos a las tensiones en fuentes (E) y receptores (R). Para las fuentes el sentido de la tensión va del polo negativo al positivo y para los receptores (resistencias) el sentido de la tensión es opuesto al de la intensidad, como se indica en las figuras anteriores.

2º Identificar todos los nudos.

3º Aplicar la primera ley de Kirchhoff a todos los nudos menos a uno.

4º Definir todas las mallas y suponer un sentido de circulación por las mismas. Se recomienda el sentido horario.

5º Aplicar la segunda ley de Kirchhoff a todas las mallas, tomando como referencia el sentido asignado en el paso 4º.

6º Formular las ecuaciones de rama en cada receptor. Las ecuaciones de rama permiten expresar la tensión en función de la intensidad para un receptor (o al revés, la intensidad en función de tensión) para cada elemento de cada rama.

7º Sustituir en las ecuaciones de las mallas las tensiones de rama por la ecuación de rama correspondiente y obtener un sistema de ecuaciones con las intensidades de rama como incógnitas.

8º Resolver el sistema de ecuaciones por cualquier método conocido. CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

4 UNIDAD

(8)

E j e m p l o

4. Resolver el circuito mostrado en el esquema adjunto

utilizando las leyes de Kirchhoff. Solución:

Para resolver el circuito seguimos la secuencia de pasos siguiente:

Paso 1: Asignamos los sentidos de corriente y tensión en cada rama según el criterio establecido al principio. Los sentidos asignados se muestran en la figura de al lado.

A la rama 1 formada por E1y R1, se le asigna la

intensidad I1.

A la rama 2, formada por E2, R2y R3, se le asigna la

intensidad I2.

A la rama 3formada por R4, se le asigna la intensidad I4. Paso 2: Identificamos los nudos del circuito, que son Ay B.

Paso 3: Aplicamos la primera ley de Kirchhoff a todos

los nudos menos uno. No se aplica, por ejemplo, al

nudo B. Si se consideran positivas las corrientes

entrantes, la ecuación que se obtiene es: nudo A) I1+ I2+ I4= 0

Paso 4: Determinamos las mallas. Hay 2 mallas: la

señalada con m1, formada por la rama 1 y la rama 2;

los elementos que forman esta malla son E2, R2, R3, E1y R1; y la malla señalada con m2, formada por la rama 2 y

la rama 3 con los elementos E1, R1y R4. Se asigna un sentido a cada una de las mallas, en este caso el sentido

horario como se muestra en la figura anterior (Asignación de sentidos).

Paso 5: Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a todas las mallas tomando como referencia el sentido asignado en el paso anterior. Se obtienen 2 ecuaciones, que son:

m1) −U2−E1+ U1−U3+ E2= 0

m2) E1+ U4−U1= 0

Paso 6: Aplicamos las ecuaciones de rama y obtenemos 4 ecuaciones, que son: U1= R1· I1

U2= R2· I2

U3= R3· I2

U4= R4· I4

Paso 7: En las ecuaciones de las mallas reemplazamos las tensiones por los valores indicados en las ecuaciones de rama, de manera que ahora todas las ecuaciones están en función de las intensidades. Las ecuaciones resultantes son:

I1+ I2+ I4= 0

−R1· I1+ (R2+ R3) · I2= E2−E1

R1· I1−R4· I4= E1

Resolución de un circuito por Kirchhoff. (M.C.M)

(9)

4 UNIDAD

Para conocer los valores de Isustituimos los valores de Ry Ey resulta el siguiente sistema: I1+ I2+ I4= 0

−I1+ 3I2= 3

I1− 2I4= 9

Resolución del sistema:De la 2ª ecuación del sistema anterior despejamos I1; asíI1= 3I2− 3. Sustituimos I1en las

otras dos ecuaciones con lo que el sistema inicial de 3 ecuaciones se reduce a dos ecuaciones, quedando así:

4I2+I4= 3 3I2− 2I4= 12

Este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas lo vamos a resolver empleando el método de sustitución. En el sistema de dos ecuaciones despejamos I4de la primera ecuación, así I4= 3 − 4I2. Sustituimos la ecuación

anterior en la otra ecuación; nos queda:

Sustituyendo el valor de I2en la ecuación I4= 3 − 4I2obtenemos el valor de I4, que vale:

Si de la primera ecuación del sistema original, el de 3 ecuaciones y 3 incógnitas (I1+ I2+ I4= 0) despejamos I1,

resulta que I1= −I2−I4y sustituimos los valores de I2e I4calculados anteriormente; obtenemos que I1vale:

Los valores de las intensidades son:

Análisis del resultado:Todas las intensidades salvo _I4son positivas,

eso significa que el sentido asignado inicialmente para I1e I2es el correcto.

Para I4el sentido real es contrario al asignado inicialmente. Los sentidos

reales de intensidad son los indicados en la figura de al lado.

Si repitiéramos de nuevo el ejemplo con los sentidos indicados en esta figura, todas las intensidades saldrían con valores positivos.

3 2 3 4 12 11 18 18 11 2 2 2 2 ⋅ − ⋅ − ⋅I

(

I

)

= ⇒ ⋅ = ⇒ =I I A I₄ 39 11 = − A I₁ I₂ I₄ I₁ 18 11 39 11 21 11 = − − ⇒ = −⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟− − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟= A I₁ 21 11 = A I₂ 18 11 = A I₄ 39 11 = − A Sentidos reales. (M.C.M)

(10)

A c t i v i d a d e s

3. Se conectan tres resistencias de 10, 30 y 60 Ωen paralelo, de tal forma que queden unidas entre los nudos A y B. Se añade una resistencia de 5 Ωen serie con la asociación anterior de tal forma que uno de sus terminales se conecta a B y el otro forma el nudo C. Si se somete este conjunto a una tensión de 100 V, entre A y C, se nos pide: a) Dibuja el circuito.

b) Calcula la intensidad que circula por cada una de las resistencias. 4. Determina la intensidad que circula por la fuente de tensión el circuito de

la figura adjunta.

5. Determina la intensidad que circula por todos los elementos del circuito en la siguiente figura, incluidos _Ie _I’.

6. En el circuito de la figura de al lado determina el valor de tensión indicado por el voltímetro ideal.

Datos_:_R1 = 4 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 2 Ω, R4 = 1 Ω, E1 = 5 V 7. En el circuito de la figura de al lado, calcular el valor

que marca el voltímetro.

8. Resuelve el circuito de la figura siguiente aplicando las leyes de Kirchhoff.

Circuito de la actividad 5. (M.C.M.) Circuito de la actividad 8. (M.C.M.) Circuito de la actividad 4. (M.C.M.) Circuito de la actividad 6. (M.C.M.) Circuito de la actividad 7. (M.C.M.)

R e c u e r d a

ü En los _{elementos pasivos}(resistencias, inductancias y condensadores) el sentido de la tensión e intensidad son opuestos. Son elementos que consumen energía, receptores.

ü En las fuentes de tensión o intensidad (_{elementos activos}) los sentidos de tensión e intensidad son iguales. Son elementos que generan energía.

ü Si una fuente se comporta como un _receptorsignifica que los sentidos de tensión e intensidad serán opuestos.

ü Cualquier circuito eléctrico se puede _resolverutilizando _{las leyes de Kirchhoff}(siguiendo sistemáticamente los pasos que hemos expuestos en apartado 3).

a) b)

(11)

4. Resolución de circuitos por el método de

las mallas

La resolución de circuitos utilizando las leyes de Kirchhoff permite resolver cualquier tipo de circuito, pero crea un número elevado de ecuaciones y por tanto de incógnitas. El método de las mallaso de Maxwellse

llama así por James C. Maxwell(1831-1879), gran físico y matemático escocés que ideó este método de resolución

para circuitos planos.

El método de Maxwell permite resolver un circuito utilizando un número menor de ecuaciones que las obtenidas por resolución mediante las leyes de Kirchhoff. Se basa en la utilización del concepto de intensidad de malla. El

valor de la intensidad de malla coincide con el valor de la intensidad de la rama para aquellos elementos que solo pertenecen a una malla. La intensidad de rama de aquellos elementos que forman parte de dos mallas se obtiene sumando algebraicamente las intensidades de ambas mallas. Vamos a explicarlo con un ejemplo.

4 UNIDAD

E j e m p l o

5. Resolver el circuito del anterior ejemplo 4 utilizando el método de las mallas. Solución:

Asignamos los sentidos de tensión e intensidad en las ramas y se establecen los sentidos de las intensidades de malla, igual que cuando utilizamos las leyes de Kirchhoff. Expresamos las intensidades de rama en función de las de malla. Empezamos por las ramas que solo forman parte de una malla:

● I2 = Ia, el signo es positivo porque la intensidad de rama y malla tienen el mismo sentido.

● I4 = −Ib, el signo es negativo porque los sentidos de las corrientes de rama y malla son opuestos. Ahora nos ocupamos de la rama que forma parte de 2 mallas:

● I1 = Ib − Ia, Ibes positiva porque tiene el mismo sentido que I1, e Iaes negativa porque los sentidos son opuestos. Resumiendo, los valores de las intensidades de rama son:

I1=Ib−Ia

I2= Ia

I4= Ib

Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a las mallas y sustituimos las intensidades de rama por las de malla:

Resolvemos los paréntesis y reordenamos las ecuaciones:

− ⋅ +

(

+

)

⋅ = − ⋅ − ⋅ = ⇒ − ⋅

(

−

)

+

(

+

)

⋅ R I R R I E E R I R I E R I_b I_a R R 1 1 2 3 2 2 1 1 1 4 4 1 1 2 3 II E E R I I R I E a b a b = − ⋅

(

−

)

− ⋅ −

( )

= 2 1 1 4 1 (R1+R2+R3)⋅ − ⋅ =I_a R I1 _b E2−E1

(12)

Las ecuaciones anteriores resultan más claras si las ponemos en forma matricial:

Obtenemos una matriz simétrica. Los elementos de la diagonal principal son la suma de las resistencias de cada malla. Los elementos de fuera de la diagonal son la suma de los elementos comunes a dos mallas pero con el signo negativo siempre y cuando los sentidos de las mallas sean los mismos.

El término independiente corresponde a las fuentes de tensiónque hay en cada malla. El signo es positivo si el

sentido de la malla es el mismo que el de la fuente de tensión, o negativo si es opuesto, tal como en Kirchhoff. Si hay varias fuentes a lo largo de una malla se suman sus tensiones siguiendo el mismo criterio de signos.

Comprobemos que ambos métodos dan los mismos resultados. Sustituimos los valores de resistencias y fuentes de tensión; el sistema de ecuaciones que se obtiene es el siguiente:

Resolvemos por sustitución el sistema anterior y obtenemos las intensidades de malla y a través de ellas las intensidades de rama:

Que por supuesto coinciden con los valores obtenidos aplicando las leyes de Kirchhoff. a b a b R R R R R R R 1 2 3 1 1 1 + + − − + 44 2 1 1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ − ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ I I E E E a b 4 3 3 9 ⋅ − = − + ⋅ = I I I I a b a b I I I I I I I a b b a a = = ⎫ ⎬ ⎪⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⇒ = − = − = = = 18 11 39 11 39 11 18 11 21 11 18 1 2 A A A 1 11 39 11 4 A A I = − = −I_b ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪

A c t i v i d a d e s

9. Resuelve el circuito de la derecha utilizando el método de las mallas. 10. Resuelve el circuito de la anterior actividad 4 por el método de las mallas. 11. Las corrientes Iae Ibdel circuito eléctrico de la siguiente figura valen -4 A y 2 A

respectivamente. Debemos determinar:

a) La intensidad IG.

b) La potencia disipada por cada resistencia. c) La fuerza electromotriz EG.

d) Comprobar que la potencia que suministra la fuente de fuerza

electromotriz EGes igual a la potencia que consumen los demás elementos. Circuito de la actividad 9. (M.C.M.) Circuito de la actividad 11. (M.C.M.) a) b) c) d)

(13)

4 UNIDAD

R e c u e r d a

ü El método de las mallassolo se aplica a circuitos con fuentes de tensión (no de intensidad).

– Los sentidosde las mallas deben ser iguales.

– La matriz que se obtiene es simétricay tiene en su diagonal principal la suma de las resistencias de la malla,

y fuera de dicha diagonal, la suma de las resistencias comunes con otras mallas, pero con signo negativo (como hemos visto en el Ejemplo 5).

– El término independientees la suma de los valores de las f.e.m. de las fuentes de tensión tomando como

(14)

5. Resolución de circuitos por superposición

La resolución de un circuito que contenga _{n fuentes de alimentación}puede llevarse a cabo mediante la resolución de _{n circuitos}, cada uno de ellos con una única fuente. El valor de tensión/intensidad de un elemento del circuito inicial (el de _nfuentes) se obtiene sumando los valores de tensión/intensidad, para ese elemento, de cada uno de los circuitos que constan de una fuente. El procedimiento que se debe aplicar es el siguiente:

1º Cortocircuitar todas las fuentes de tensión independientes menos una; si existieran fuentes de intensidad se pondrán a circuito abierto.

2º Resolver el circuito resultante.

3º Repetir los pasos 1º y 2º para cada una de las fuentes.

4º La tensión o intensidad en un elemento del circuito original es la suma de las tensiones o intensidades en ese mismo elemento en cada uno de los circuitos de una única fuente.

De esta forma podemos resolver circuitos que contengan tanto fuentes de corriente continua como de corriente alterna u otro tipo.

E j e m p l o

6. Resolver utilizando el principio de superposición el circuito de la figura adjunta con los sentidos indicados. Datos: _R1 = 2 Ω, R2 = 1 Ω, R3 = 2 Ω, R4 = 4 Ω, R5 = 4 Ω,

E1 = 10 V y E2 = 8 V

Solución:

El circuito tiene _{2 fuentes}, por lo tanto se obtienen _dos

circuitos, cada uno de ellos con una fuente, tal como se indica en la figura de abajo. Es necesario mantener los sentidos de referencia del circuito original.

Resolvemos cada circuito por separado por cualquiera de los métodos anteriores. La resolución del circuito de la izquierda en la figura la hacemos empleando el método de las mallas. Asignamos el sentido horario a las intensidades de malla.

Resolución por superposición, circuitos resultantes. (M.C.M)

(15)

4 UNIDAD

La ecuaciones que se obtienen expresadas en forma matricial son:

Sustituyendo los valores y resolviendo el sistema, tenemos:

A partir de las intensidades de malla obtenemos las intensidade de rama:

Resolviendo el otro circuito de una forma similar y combinando las soluciones parciales obtenemos el resultado final. R R R R R R R R I I E a b 1 5 2 2 2 2 3 4 1 0 + + − − + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ' ' 7 1 1 7 10 0 35 24 5 24 − − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⇒ = = ⎧ ⎨ I I I I a b a b ' ' ' ' A A ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ I'1 I'_a I'2 I'_a I'_b I'4 I 30 24 = =35 = − = = − = − 24 y 5 24 b A; A ' A I' I'' I' I'' I' 1 1 2 2 = = − = = 35 24 1 6 30 24 1 A A A A 3 3 3 1 1 1 = − = ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ = + = + −⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠ 5 24 7 6 35 24 1 6 A I'' A I I' I'' _{⎟⎟ =} = + = + = = + = − + = 31 24 30 24 1 5424 5 24 7 6 232 A A I I' I'' I I' I'' 2 2 2 3 3 3 44 A ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪

A c t i v i d a d e s

12. Resuelve el circuito de la figura siguiente (sobre el

que ya hemos trabajado en la actividad 8) utilizando el principio de superposición.

R e c u e r d a

ü La resolución por superposiciónpermite resolver un circuito con varias fuentes descomponiéndolo en tantos

circuitos como fuentes tiene, resolviendo cada uno de los circuitos de una sola fuente y sumando posteriormente la contribución de cada circuito monofuente a la corriente en cada elemento individual.

(16)

6. Teoremas de Thévenin y Norton

En algunas situaciones resulta ventajoso sustituir un circuito, más o menos complejo, que presente dos terminales accesibles (dipolo) por una fuente de tensión y una resistencia en serie (equivalente Thévenin) o una fuente de intensidad y una resistencia en paralelo (equivalente Norton). Una situación donde la determinación del equivalente Thévenin o Norton resulta conveniente es aquella en la que en un circuito complejo se quiere saber cómo varía la potencia en una resistencia concreta cuando toma varios valores, sin modificar el resto del circuito. En este caso interesa determinar el equivalente Thévenin o Norton desde los terminales de la resistencia que puede tomar varios valores.

● Teorema de Thévenin

El teorema de Thévenin fue publicado en 1883 por el ingeniero francés León Charles Thévenin

(1857-1926) y su enunciado es el siguiente:

– Cálculo de UTHo tensión de Thévenin:

Para calcular la tensión equivalente de Thévenin pondremos en circuito abierto los terminales A-B y determinaremos, resolviendo el circuito, la tensión que existe entre dichos terminales a la que denominaremos UAB0. Esta será la tensión de Thévenin, es decir, UTH= UAB0.

– Cálculo de RTHo resistencia de Thévenin:

Para el cálculo de la resistencia equivalente de Thévenin se cortocircuitan las fuentes de tensión y se

ponen en circuito abierto las fuentes de corriente convirtiendo el circuito activo en un circuito pasivo

y, después, determinaremos la resistencia equivalente desde los terminales A-B. Esta resistencia RAB

será la resistencia de Thévenin, por tanto, RTH= RAB

Un circuito activoque presente dos terminales accesibles A-B se puede sustituir por una fuente de

tensión UTHy una resistencia RTHen serie con ella.

E j e m p l o

7. Dado el circuito de la figura de la derecha obtener su equivalente Thévenin

desde los terminales A-B .

Datos: R1 = 2 Ω, R2 = 3 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 2 Ω, R5 = 4 Ω, E1 = 10 V y E2 = 7 V

Solución:

Los pasos a seguir para resolverlo son estos:

1º Cálculo de UTH: Ponemos en circuito abierto los terminales A-B y

calculamos la tensión UAB0. Ver la primera figura de la página siguiente.

Determinación equivalente Thévenin. (M.C.M.) Teorema de Thévenin. (M.C.M.)

Es aquel circuito que no dispone de fuentes de tensión o intensidad, es decir, que está formado exclusivamente por resistencias bobinas o condensadores.

(17)

4 UNIDAD

Determinamos el valor de UAB0aplicando las leyes de Kirchhoff, con los sentidos definidos en la figura de abajo.

Recuerda que aplicamos la primera ley de Kirchhoff a todos los nudos menos 1.

Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a todas las mallas:

Operamos y las ecuaciones se reducen a:

Al sustituir y resolver se obtiene que UTH = UAB0 = 8,5 V

2º Cálculo de RTH: Cortocircuitar las fuentes de tensión y calcular la resistencia equivalente desde A−B, RAB. Puede

visualizarse mejor colocando una fuente de tensión entre los terminales A-B, tal como se muestra en la figura que vemos al lado.

Observa que el circuito presenta un triángulo entre los nudos CAD, lo que

exige transformar el triángulo en una estrella, como hemos estudiado

en la Unidad 3, apartado 2.4, y después reducirlo hasta obtener la resistencia

equivalente, proceso un poco largo y engorroso. Podemos utilizar los métodos

de resolución estudiados para obtener el valor de la resistencia, RAB.

Como sabes, en un circuito con una única fuente, la resistencia equivalente

se obtiene como el cociente entre la f.e.m. de la fuente y la intensidad que la atraviesa:

Apliquemos la ecuación anterior al circuito de la figura dándole un valor E = 10 V a la pila (puedes darle otro valor

a la fuente y comprobar que el cociente entre Ee IGes siempre el mismo).

Para obtener el valor de IGresolveremos el circuito de la figura anterior por el método de las mallas. El valor de IGen

función de las intensidades de malla es IG= Ib−Ia. La matriz resultante aplicando el método de las mallas es la siguiente:

Sustituyendo y operando obtenemos los valores de Iae Ib:

La intensidad que circula por la fuente, IG= Ib−Ia= 2 − (−2) = 4 A, por lo que

nudo C) 0 nudo A) 0 nudo D) 0 I I I I I I I I 1 2 5 2 3 3 4 5 − − = − = + + = malla 1) 0 malla 2) − ⋅ − ⋅ − + = ⋅ − ⋅ + R I R I U E R I R I U AB AB 1 1 2 2 0 1 4 4 3 3 0−− = ⋅ + ⋅ − ⋅ = E R I R I R I 2 2 2 3 3 5 5 0 malla 3) 0 ( ) ( ) ( ) R R I R I U E R R I R I U E R R I AB AB 1 2 2 1 5 0 1 3 4 2 4 5 0 2 2 3 + ⋅ + ⋅ + = − + ⋅ − ⋅ + = + ⋅ 22− ⋅ =R I5 5 0 R E I eq G = R R R R R R R R R R R I I I a b c 1 2 2 3 4 3 2 3 2 3 5 0 0 + − + − − − + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟⎟ ⎟= − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ E E 0 I I a b = − = 2 2 A A R E I R R eq G TH eq = =10= ⇒ = = 4 2 5, A 2 5, Ω = V Cálculo de UTH(M.C.M.) Cálculo de RTH(M.C.M.)

(18)

● Teorema de Norton

El teorema de Norton fue publicado en 1926 por el ingeniero eléctrico norteamericano Edward L. Norton

(1898-1983) y su enunciado es el siguiente:

– Cálculo de INOo intensidad de Norton:

Para el cálculo de la intensidad de Norton pondremos en cortocircuito los terminales A−B y determinaremos la intensidad que circula por ellos. Dicha intensidad IAB0es la intensidad de Norton, es decir, que INO=IAB0.

– Cálculo de RNOo resistencia de Norton:

Para el cálculo de la resistencia de Norton convertiremos el circuito activo en un circuito pasivo y

determinaremos la resistencia equivalente desde A−B. Dicha resistencia RAB, es la resistencia de

Norton, es decir, que RNO= RAB. La forma de calcular la resistencia de Norton es la misma que hemos

explicado para calcular la resistencia Thévenin, por lo tanto, los valores de la resistencia de Norton y de Thévenin son iguales:

RNO= RTH

Un circuito activo que presente dos terminales accesibles A−B se puede sustituir por una fuente de

intensidad INOy una resistencia (impedancia) RNOen paralelo con ella.

Teorema de Norton. (M.C.M.)

E j e m p l o

8. Dado el circuito del ejemplo 7 (véase de nuevo la imagenDeterminación equivalente Thévenin), debemos obtener

su equivalente Norton desde los terminales A−B .

Solución:

Para resolverlo, los pasos que debemos seguir son estos:

1º Cálculo de INO: Poner en cortocircuitolos terminales A−B y determinar la

intensidad IAB0. Ver la figura adjunta.

Resolvemos el circuito de esta figura aplicando el método de las mallas con los sentidos definidos en ella.

Recuerda que la matriz se construye de la siguiente forma:

Los elementos de la diagonal principal son la suma de las resistencias de cada malla.

El elemento (1,1)de la matriz corresponde a suma de las resistencias de la malla a.

(19)

Observando los dos ejemplos anteriores concluimos:

Esto significa que obtenido el equivalente Thévenin no es necesario resolver de nuevo el circuito para obtener el equivalente Norton o viceversa.

I U R NO TH TH =

4 UNIDAD

El elemento (2,2)corresponde a la suma de las resistencias de la malla b.

El elemento (3,3)corresponde a la suma de las resistencias de la malla c.

Los elementos de fuera de la diagonal principal son la suma de las resistencias comunes a dos mallas con signo negativo.

El elemento (1,2)de la matriz corresponde a los elementos comunes entre la malla ay la malla b; como no hay,

vale 0.

El elemento (1,3)corresponde a los elementos comunes entre la malla ay la malla c, R2y con signo negativo.

Los otros elementos se determinan de forma similar.

El término independientecorresponde a la suma de las f.e.m. de cada malla con el signo impuesto por el sentido

de la malla.

El elemento (1,1)del término independiente corresponde a la suma de las f.e.m. de las fuentes de tensión de la malla a, E1; el signo es positivo porque el sentido de la tensión de la fuente y el de la intensidad de malla son los

mismos.

El elemento (1,2)del término independiente corresponde a la suma de las f.e.m. de las fuentes de tensión de la malla b, E2; el signo es negativo porque el sentido de la tensión de la fuente y el de la intensidad de malla son

contrarios.

El elemento (1,3)del término independiente es ceroporque en la malla cno hay fuentes.

Aplicando lo expuesto anteriormente la matriz que se obtiene es:

Las intensidades de ramase obtienen combinando las intensidades de mallaque participan en cada elemento.

La intensidad IAB0es común a la malla ay a la malla b; es una combinación de Iae Ib. IAB0= Ia−Ib. El signo de Ibes

negativo porque el sentido de Ibes contrario al establecido por IAB0y el signo de Iaes positivo porque IAB0e Iatienen

el mismo sentido.

Sustituyendo R1= 2 Ω, R2= 3 Ω, R3= 3 Ω, R4= 2 Ω, R5= 4 Ω, E1= 10 V y E2= 7 V en la ecuación matricial y

resolviendo resulta que IAB0= 3,4 A

2º Cálculo de RNO: Se realiza exactamente igual que el cálculo de la resistencia de Thévenin que se realizó en el ejemplo 7, por tanto, RTH = RNO = 2,5 Ω.

La solución completa es:

R R R R R R R R R R R I I I a b c 1 2 2 3 4 3 2 3 2 3 5 0 0 + − + − − − + + ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟⎟ ⎟= − ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ E E 1 2 0 I R NO NO = = 3 4 2 5 , , A Ω

(20)

● _{Conversión de una fuente de tensión en fuente de intensidad o viceversa}

Una fuente de tensión se puede transformar en una fuente de intensidad equivalente, y viceversa:

Dada una fuente de tensión con una f.e.m. _E_Gy una resistencia en serie _R_GEse puede transformar en una fuente de intensidad de valor _IG= EG / RGEcon una resistencia en paralelo de valor RGI= RGE.

De igual manera, dada una fuente de intensidad de valor _IGcon una resistencia en paralelo RGI, se puede

transformar en una fuente de tensión de f.e.m. _EG= IG·RGIcon una resistencia en serie de valor RGE= RGI.

Conversión de fuentes de tensión en fuentes de intensidad. (M.C.M.)

A c t i v i d a d e s

13. En el circuito de la siguiente figura, _E1= 20 V, E2= 8 V, E3= 12 V, y el valor

de todas las resistencias es de 2 Ω . Se nos pide calcular: a) La tensión que existe entre los terminales A-B del circuito. b) La intensidad de cortocircuito entre A-B.

c) La resistencia equivalente desde los terminales A-B. d) El equivalente Thévenin del circuito.

e) El equivalente Norton del circuito.

14. Obtén el equivalente Thévenin desde los terminales A-B del circuito de la siguiente figura:

Datos: _R1= 10 Ω, R2= 20 Ω, R3= 30 Ω, R4= 10 Ω y E= 12 V

15. En el circuito de la figura que encontramos a continuación, calcular cuánto debe valer _E para que la potencia consumida por _R5 sea de 2 W.

Recomendación: utilizar el equivalente Thévenin.

Datos: _R1= 10 Ω ; R2= 15 Ω ; R3= 5 Ω ; R4= 10 Ω ; R5= 8 Ω . Circuito de la actividad 13. (M.C.M.) Circuito de la actividad 14. (M.C.M.) Circuito de la actividad 15. (M.C.M.) a) b) c) d) e)

(21)

4 UNIDAD

16. En el circuito de corriente continua de la figura de abajo, se pide calcular: a) La tensión entre A y B.

b) La intensidad de cortocircuito entre A y B. c) La resistencia equivalente desde A-B.

d) Si entre A y B se coloca una resistencia _Rde 15 Ω , ¿cuánto valdrá la potencia consumida por ella? Datos: _R1= 20 Ω , R2= 10 Ω , R3= 12 Ω , R4= 8 Ω , E= 100 V

17. Reducir el siguiente circuito a una única fuente de tensión y a una única resistencia. Datos: _IG1= 3 A, IG2= 2 A, E= 8 V, R1= R3= 6 Ω , R2= 4 Ω

R e c u e r d a

ü Obtener el _{equivalente Thévenin}es sustituir un circuito activo con dos terminales por una fuente de tensión y una resistencia en serie con ella.

ü Obtener el _{equivalente Norton}es sustituir un circuito activo con dos terminales por una fuente de intensidad y una resistencia en paralelo con ella.

ü Es posible _convertirfuentes de tensión en fuentes de intensidad, y viceversa.

a) b) c) d)

(22)

7. Teorema de Tellegen

Este teorema fue publicado en 1952 por el ingeniero holandés Bernard Tellegen(1900-1990) y su enunciado

es el siguiente:

En un circuito eléctrico de rramas se cumple que:

Este teorema es el resultado de la aplicación del principio de conservación de la energía a los circuitos eléctricos. De acuerdo con los sentidos de tensión e intensidad de corriente definidos en el apartado 3 de esta unidad, la

potencia en las fuentesde tensión e intensidad es positiva,pues tensión e intensidad tienen el mismo sentido.

Para bobinas, condensadores y resistencias el signo es negativo, pues los sentidos son opuestos.

Si en una fuente, después de determinar su intensidad, esta sale negativa, ello significa que la fuente se comporta como un receptor y consume energía en vez de producirla.

La suma de todas las potencias en un circuito es nula. Toda la potencia producida por las fuentes de potencia es consumida por los receptores.

u_k i k r k =

∑

⋅ = 1 0

E j e m p l o

9. En el circuito de la figura de la derecha se nos pide comprobar que

se cumple el teorema de Tellegen.

Datos: R1= 9 Ω, R2= 4 Ω, R3v= 4 Ω, E1= 28 V y E2= 8 V

Solución:

Establecemos los sentidos de referencia de tensión e intensidad de

corriente, que son los definidos en el circuito que ahora reproducimos a la derecha, y resolvemos por el método de las mallas.

Las ecuaciones son, por un lado:

Y por otro:

Sustituyendo y resolviendo, tenemos:

R R R R R R I I E E a b 1 3 3 3 2 3 1 2 + − − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = −⎛_⎝⎜ ⎞ ⎠ ⎟ I I I I I I I a b a b 1 2 3 = = − = − Teorema de Tellegen (M.C.M.)

(23)

4 UNIDAD

Observa que I2es negativa, lo que significa que el sentido de la

intensidad de corriente en la fuente es el contrario al establecido

inicialmente, por lo que E2se comporta como un receptor y su potencia

tiene signo negativo. Observa los sentidos reales de corriente en el circuito de la figura de al lado.

Calculemos ahora la potencia de cada elemento del circuito con su correspondiente signo:

Al sumar los valores de las potencias con sus respectivos signos obtenemos que:

Valor que necesariamente coincide con lo postulado por el teorema de Tellegen.

P₁= − ⋅ = − ⋅⎛R I₁ ₁2 P₂ R₂ I₂2 ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − = − ⋅ = − ⋅ 9 24 11 5 184 121 W; 4 1 2 111 4 121 W 4 23 11 2 116 121 W 2 2 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − = − ⋅ = − ⋅⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − P R I P_G 3 3 3 2 1 1= ⋅ = ⋅E I1 1 28 24= PG2= − E 2⋅ = − ⋅ = −I2 11 7 392 121 W; 8 111 88 1211 W P + P + P + P + P = ₁ ₂ ₃ _G₁ _G₂ 0 9 4 4 4 4 4 28 8 24 11 1 11 + − − + ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⋅⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = −⎛_⎝⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⇒ = = ⎧ ⎨ I I I I a b a b A A ⎪⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ = = − = − = con lo que 24 11 1 11 24 11 1 11 23 11 I I I 1 2 3 A A A

Sentidos verdaderos del circuito teorema de Tellegen. (M.C.M.)

(24)

R e c u e r d a

El teorema de Tellegenafirma que, en un circuito, la suma de la potencia generada por las fuentes de energía

tiene que ser igual a la suma de la potencia consumida por los receptores.

E j e m p l o

10. Para el circuito de la figura calcula la potencia que genera o de ser el caso consume cada fuente:

Datos: E1=12 V, E2=24 V, R1=10 Ω, R2=40 Ω y R3=2 Ω

Solución:

Establecemos los sentidos de tensión e intensidad de corriente aplicando los criterios establecidos en la unidad.

Obtenemos así el esquema de al lado:

El circuito lo resolveremos aplicando las leyes de Kirchhoff. Aplicamos la primera ley de Kirchhoff al nudo A:

Aplicamos la segunda ley de Kirchhoff a las mallas señaladas con m y m

Sustituyendo los valores y reordenando términos obtenemos un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas.

En la primera ecuación despejamos I_G1 y la sustituimos en tercera ecuación, obtenemos el sistema siguiente de dos ecuaciones y dos incógnitas:

Operando y sustituyendo tenemos las intensidades pedidas:

La fuente E₂ genera energía porque el signo de la intensidad que la atraviesa es positivo. La fuente E₁ no genera energía, consume energía, el signo de la intensidad que circula por ella es negativo, y por eso mismo se comporta como un receptor cualquiera. Las resistencias son receptores y siempre consumen energía. Las potencias pedidas son:

W 248 25 052 1 24 I E P W 64 8 ) 72 0 ( 12 I E P G2 2 E2 G1 1 E1 , , , , = ⋅ = ⋅ = − = − ⋅ = ⋅ =

0 I

I

A

nudo

G1

+

G2

+

2

=

0 E

I

R

I

R

)

m

0 E

I

R

I

R

)

m

1 2 2 G1 3 2 2 2 2 G2 1 1

=

−

⋅

−

⋅

=

+

⋅

+

⋅

−

12 I 0 4 I 2 4 2 I 0 4 I 10 0 I I I 2 G1 2 G2 2 G2 G1 = ⋅ − ⋅ − = ⋅ + ⋅ − = + + 12 I 2 4 I 2 4 2 I 0 4 I 10 2 G2 2 G2 = ⋅ − ⋅ − − = ⋅ + ⋅ − A 0,336 /250 4 8 I A 1,056 /250 64 2 I A 72 0 /250 180 I 2 G2 G1 − = − = = = − = − = ,

Sentidos asignados de tensión e intensidad de corriente en el circuito. (M.C.M.) E2 E1 R1 R2 R3 E1 R1 R2 R3 =10Ω =40Ω =2Ω E2=24V =12V m2 m1 IG2 I2 A B IG1 . 1 2