3.8.1 Desarrollo de la comprensión
del significado de las fracciones,
decimales y porcentajes.
Grupo 12+1
Pablo Diego Madrid López
Magín López Soler
Francisco López Carrillo
Iván Collado Cuesta
3.8.1 Desarrollo de la comprensión del significado de las fracciones, decimales y
porcentajes.
3.8.1.1 Introducción: la naturaleza compleja del significado de las fracciones, los decimales y los porcentajes.
Las operaciones con fracciones decimales y porcentajes tienen multitud de significados. Así, un número particular, como 3/5 (o 0,6 o 60%) puede ser interpretado de forma concreta de muchas formas. En este aspecto se diferencian muchos de los números enteros, que se utilizan, sobre todo, para contar objetos discretos, o para contar las
repeticiones de una unidad de medida, como al averiguar longitudes y similares. Por ejemplo, la fracción 3/5 admite, entre otras interpretaciones, las siguientes:
a) Una subárea de una región “entera” predefinida; por ejemplo
3/5 divide el total en 5 partes iguales y toma 3 de ellas
b) Una comparación entre un subconjunto de un conjunto de objetos discretos y el conjunto; por ejemplo
3/5 de los puntos son negros
c) Un punto de una recta graduada, ubicado en
posición intermedia entre dos números
enteros; por ejemplo
d) El resultado de una operación de dividir ( en este caso, 3 /5) ; por ejemplo
3 objetos divididos entre 3 personas
e) Una forma de comparar los tamaños de dos conjuntos o dos medidas; por ejemplo,
El de la izquierda tiene 3/5 de los puntos que tiene el de la derecha
La lista de significados anteriores no es exhaustiva; en particular, ninguno de ellos alude a la noción de equivalencia (por ejemplo, 3/6= ½); también se ha omitido la totalidad de los restantes significados abstractos. Ni tampoco es la única: aunque se inspira en los sistemas de clasificación de otros autores, como quieren, Novilis y Lesh. A pesar de ello, da alguna idea de la variedad de significados y usos de las fracciones, muchas de las cuales pueden no estar relacionadas en las mentes de los niños. Hartung comenta:
El concepto de fracciones es complejo y no es posible aprehenderlo enseguida. Es preciso adquirirlo mediante un prolongado proceso de desarrollo secuencial.
Comentaremos ahora las pruebas indicativas de posibles secuencias de desarrollo, que sugieren, a su vez, secuencias de instrucción. Lo importante es que:
A causa de que cada interpretación de los nº racionales está relacionada con estructuras cognitivas determinadas, si durante el proceso de instrucción se deja de lado esta imagen de conglomerado o se dejan de identificar estructuras concretas necesarias, se puede provocar falta de comprensión en el niño.
En el texto subsiguiente se comentan con mayor detalle varios de los significados más comunes. En las partes 3.8.2 y 3.8.3, que tratan de la estructura y operaciones de los números racionales, se verá que no todos los modelos se prestan igualmente bien para ilustrar todos los aspectos.
Por otra parte, es muy posible que los niños se defiendan mejor con las fracciones en contexto de la vida cotidiana y que encuentren difícil el trabajo con los números abstractos.
3.8.1.2 Las fracciones como subáreas de una región unitaria (pares de todo)
Es posible que los primeros encuentros del niño con las nociones de fracción sean la naturaleza espacial y, asimismo, es también más probable que sea de naturaleza tridimensional que bidimensional. Por lo tanto, es plausible que “medio lleno” aluda en principio a un vaso de leche que no está ni lleno ni vacio, sino al camino entre ambas cosas. Parece que las ideas de estos niños siguen ancladas todavía en este nivel cualitativo e impreciso, incluso en la escuela secundaria. Por ejemplo, Hart planteó la siguiente cuestión a una muestra de unos 550 escolares ingleses de 12 y 13 años.
¿Está este círculo dividido en dos mitades? ¿Por qué te parece que es como dices?
Mientras que el 89% respondió correctamente que el círculo no había quedado dividido en mitades porque las piezas eran desiguales, el 6% opinó que el círculo sí había sido escindido en mitades porque había 2 piezas.
Piaget, Inhelder y Szeminska efectuaron experimentos relativos al aspecto de área o región de las fracciones. Se les dieron a los niños siluetas planas de arcilla o papel y se les pidió que las repartieran entre 2, 3 o más muñecas, ya fuera cortándolas, plegándolas o dibujándola. Los investigadores observaron que los niños concretos de su muestra supieron resolver con éxito esta tarea a las siguientes edades medias:
4-4,5 años para la división en mitades de figuras pequeñas 6-7 para división en terceras partes
7-9 para división en sextas partes, por tanteo
10 para la división en sextas partes, según un plan preciso y predeterminado. (ej.: división en mitades y luego en terceras)
Una de las dificultades que presentaba este experimento consistía en hallar un método para la disección de una forma en un número dado de piezas congruentes. Por ejemplo, los rectángulos resultaban más fáciles de dividir en tres que los círculos. Así pues, los niños pueden ser capaces de reconocer “tercios” a menor edad de la necesaria para saber construirlos.
Piaget, Inheler y Szeminska dan 7 criterios para la compresión operacional de la faceta espacial de “relación de parte al todo” de una fracción:
a) Una región “entera” es considerada divisible.
b) El “todo” puede ser dividido en el número de partes que se pida, cualquiera que sea éste. c) Las partes han de agotar el “todo”.
d) El número de partes no es necesariamente idéntico al de cortes. e) Las partes tienen que ser todas de igual tamaño.
Hay pruebas de que esta noción espacial de “partes de un todo” es la que resulta a los niños más fácil de comprender. Así, Hart, en el estudio de niños de 12 a 13 años halló que el 93% eran capaces de sombrear correctamente 2/3 de contorno de la figura
Una tarea más difícil exigía que los niños efectuasen la operación inversa y expresasen mediante una fracción la parte de la figura que se encuentra sombreada:
En este caso la tasa de éxito todavía era relativamente alta (79%).
Puede suceder, por ejemplo, que los niños acepten de peor gana que cada una de las regiones sombreadas de este cuadrado representa una cuarta parte del mismo:
Payne da cuenta de cierto número de estudios relativos a la enseñanza inicial de las fracciones. Demuestra que la concepción básica de relación entre parte y todo puede serle enseñada con éxito a los niños a partir de los 8 años. Los programas de enseñanza recurrían al plegado y recorte de hojas de papel y pajitas de refresco, que daban después ocasión a utilizar diagramas de regiones. El simbolismo fue introducido más tarde. Aún así, los 3 estudios realizados cada uno con alumnos del grupo de edad comprendido entre 8 y 12 años, se encontraron diversas dificultades:
a) La compresión de la necesidad de áreas de igual tamaño.
b) La transición desde el diagrama a la expresión verbal y a la simbolización. c) La comprensión de fracciones mayores de una unidad.
d) La identificación de una unidad en un diagrama que mostraba más de una unidad.
Cuando se les preguntó que fracción representaba el diagrama, muchos alumnos escribieron: 7/10 en lugar 7/5.
Surgen otros problemas relativos al empleo del modelo “área”, en particular, en lo tocante a la adición. Existen considerables pruebas de que éste es el aspecto más fácil de aprender.
3.8.1.3. Las fracciones como subconjuntos de un conjunto de objetos discretos.
Esta representación es esencialmente similar a la de las fracciones como subáreas de una región unitaria. De hecho, si estas subáreas se separan, una y otra representación resulta prácticamente indistinguibles.
Sin embargo, es probablemente cierto que el “todo” es más fácilmente percibido como unidad individual en el caso de la representación mediante área.
Novillis halló que los dos aspectos tenían más o menos la misma dificultad. Se encontró que la aproximación por la vía de los conjuntos no sólo resultaba sensiblemente más difícil que la de áreas o rectas numéricas, sino que se tomó la decisión de retirarla del programa de enseñanza inicial.
El primer informe APU describe los resultados de una tarea práctica con fracciones. En una parte de ella a los alumnos les proporcionaban 4 losetas cuadradas, 3 amarillas, y una roja, y se les preguntaba qué fracción de estos cuadrados eran rojos. Figura:
Sin embargo, los resultados obtenidos tanto con el modelo “área” como con el modelo “conjuntos” hacen pensar que 1/3 parte de los niños pueden no tener un concepto claro de fracción, ni siquiera en un contexto muy concreto, en el momento de ingresar en la escuela secundaria.
El modelo de “conjuntos” ofrece algunos inconvenientes del modelo de áreas cuando se trata de ilustrar fracciones impropias; por ejemplo, 7/5 tendría que ser representado por:
Representación que podría ser nueva y fácilmente entendida como 7/10, por confusión sobre la naturaleza de una “unidad”.
El modelo “área, por otra parte, conduce más normalmente a la idea de fracción como parte de una unidad patrón utilizada en la medida, por intermedio de la noción de recta numérica.
Así pues, podría parecer necesario proporcionar abundantes experiencias concretas, tanto de las representaciones por “áreas” como mediante “conjuntos”, al objeto de establecer los fundamentos de los aspectos de medición y de operador, dado que las fracciones son comúnmente aplicados de ambas formas.
3.8.1.4. las fracciones como puntos de una recta numérica.
Sería de esperar que existiese una fuerte ligadura entre la representación de una fracción como subárea de un área unitaria y de la misma fracción como sublongitud de una longitud unidad, dado que la segunda constituye una analogía 1-dimensional de la primera; es decir:
Sin embargo, Payne informa que el modelo “recta numérica” suscitó dificultades sistemáticas en los diversos experimentos de enseñanza realizados por niños de 12 a 14 años bajo la dirección de Muangnapoe, Williams y Galloway. Novillis confirmó que el modelo “recta numérica” resultaba notablemente más difícil que el modelo “relación del área de una parte a la del todo” o que el modelo “subconjunto de un conjunto discreto”.
Una de las razones para que así sea puede consistir en que en la figura anterior, que fue la utilizada por Novillis, la representación de la fracción es un punto, cargando el acento en la idea de que 3/5 puede ser concebido como un número, esencialmente similar al 0 y al 1, dado que también éstos están representados mediante puntos, pero un número cuya magnitud es intermedia entre ambos.
natural las fracciones impropias y, lo que seguramente es más importante, resalta el hecho de que las fracciones constituyen una extensión del conjunto de los número naturales, que contribuye a “rellenar los huecos” existentes entre ellos. Y de esta forma, el modelo “recta numérica” conduce de manera natural al empleo de las fracciones den las medidas de todo tipo.
Novillis halló también que la dificultad de operar con una recta numérica se agravaba cuando la escala numérica se extendía más allá de uno:
En este caso, cuando se les pidió a niños de 12 años no distinguen señalar 3/5, sino que señalaban el 3 en una recta de 5 elementos. En cambio, si la recta estaba comprendida entre 0 y 1, los niños no cometían errores. También presentaban confusiones a la hora de reconocer la unidad. Con la introducción del sistema métrico decimal es menos probable que tal experiencia se produzca espontáneamente, lo que muestra a las claras la conveniencia de confeccionar tales escalas para uso en el aula. Muchos niños no son capaces de reconocer que una fracción puede representarse en una recta hasta una edad bien avanzada.
3.8.1.5. Las fracciones como resultado de una operación de división.
Esta faceta del significado de las fracciones asocia una fracción a la operación de dividir un número entero por otro; así, por ejemplo, 3/5 se identifica con el resultado de 3÷5, o de “repartir 3 unidades entre 5 personas”:
Payne señala que este es un aspecto de las fracciones que requiere investigación; no fue incluido con los otros aspectos en los estudios mencionados por Payne o Novillis. Sin embargo, Streefland lo utiliza como núcleo de su programa de enseñanza.
En un informe de Hart, podemos ver cálculos, que figuraban también la cuestión paralela de “3÷5”.
En cada caso, el 33% de los niños de 12 a 13 años respondió correctamente a 3/5. Este dato sugiere que solamente un tercio de los niños de los dos primero años de secundaria se han percatado de que cualquier número entero puede ser dividido entre cualquier otro dando un resultado exacto expresable mediante una fracción.
3.8.1.6. Las fracciones como método de comparación de los tamaños de dos conjuntos, o de dos medidas.
Este aspecto de las fracciones, resumido en las figuras de a continuación, constituye el fundamento de muchas de las aplicaciones de las fracciones en la vida real, particularmente las concernientes a las ideas de razón o escala.
Tanto en los ejemplos discretos como en los continuos podríamos fácilmente haber invertido la comparación. Lo cual significa que no existe una “unidad” natural o un “todo” como en los otros aspectos del significado.
Novillis halló que este aspecto de las fracciones se desarrollaba más tarde que los aspectos “área” y “conjuntos”. Esta afirmación está respaldada por un cierto número de estudios relativos a la comprensión del concepto de razón, que sugieren que la mayor parte de los adolescentes encuentran dificultades en la idea de que un número o
cantidad pueda venir expresado como fracción de otro. En particular, los estudios realizados por Piaget, Karplus y Hart han revelado que los niños propenden a recurrir a comparaciones aditivas.
En consecuencia, resulta difícil obtener una estimación de la dificultad de este paso aislado. Sin embargo, está claro que la capacidad de comparar dos números de esta forma constituye un componente esencial en la resolución de muchos de tales problemas.
3.8.1.7 Compresión del significado de los decimales
La relación entre fracciones y fracciones decimales, es similar entre la relación existente entre el sistema de numeración romano y arábigo; las diferencias vienen marcadas por los convenios particulares de cada sistema. Al principio el sistema de numeración romano es más sencillo de asimilar para los niños, al igual que pasa con las fracciones (3/5).
La notación decimal al igual que la notación arábiga, producen dividendos superiores al igual que las aplicaciones más refinadas (cálculo, ordenación,…), por esta razón la notación decimal es el sistema utilizado en calculadoras, ordenadores…, renegando a un segundo plano las fracciones.
Para operar correctamente con fracciones decimales es necesario:
-Comprender y saber utilizar los convenios rotacionales del sistema del valor relativo.
-Captar la noción subyacente a “tres decimales”. Lo que supone saber operar con los diversos significados de una fracción.
Por lo general se suele introducir primeramente la fracción y luego la fracción decimal.
En el momento de la introducción de los decimales, de ordinario posterior, se carga el acento en las relaciones del sistema notacional decimal con el de las fracciones, de forma bastante abstracta, dando por hecho que la noción de fracción ya estaba adquirida. De forma que:
-como décimas (1/10) -como centésimas (1/100) -como milésimas (1/1000)
Con lo que el numero 34,275 se dice que tiene un 2 en la columna de las décimas (2/10), un 7 en las centésimas (7/100), un 5 en las milésimas (5/1000). A la mayoría de los niños les resulta difícil traducir la notación decimal en notación fraccionaria por este procedimiento:
-Según la APU (1890) niños de 15 años solo muestran un 10% de aciertos y apenas el 40% de 11 años expresan decimales sencillos (0,5).
La confusión puede deberse a la utilización de los decimales en el dinero, ya que en cuyo caso si es licito leer 3,54 como “tres libras, cincuenta y cuatro.
Los resultados de las pruebas anteriores nos dicen que la mitad de los niños de 12 años y la tercera parte de los de 15 no comprenden la notación decimal.
Una de las formas para intentar corregir este problema puede ser relacionar la notación con significados concretos análogos a los sugeridos para las fracciones, en lugar de limitarse a definir el significado de la notación decimal en términos abstractos.
Bell, Swan y Taylor (1981) utilizaron la calculadora para enseñar el manejo de los números decimales a niños de 14 años, consiguiendo como resultado una mejor compresión del principio de valor relativo en los decimales; se piensa que no hay ningún problema a la hora de presentar los decimales a los niños antes que las fracciones (ya que normalmente el niño posee algún conocimiento informal de las fracciones, ½, ¼…). En 1972 Wilson demostró que este hecho era factible sin que hubiera una pérdida de eficacia, y Faires en 1963 probó que este hecho, incluso, podía aportar algún beneficio.
Los decimales proporcionan una notación alternativa al número racional, que también puede ser expresado en fracciones, se utilizan e introducen en la enseñanza cada uno de los “significados” concretos de fracción ya nombrados.
En la vida cotidiana el campo donde más utilizaremos los decimales es el de las medidas, donde continuamente se utilizan unidades de patrón de fracción; por ejemplo:
“1,2 metros” en lugar de “1 metro y un 20% de metro”. Así pues, al analizar el “significado” de los decimales de una manera concreta, serán resaltados los siguientes aspectos:
Los decimales en tanto que subáreas de una región unitaria:
0,3
Los decimales en tanto que puntos de una recta numérica:
0,3 1 2
Los decimales como resultado de una operación de división: 3 dividido entre 10
1 unidad 1 unidad 1 unidad
Estos tres aspectos fueron estudiados por Brown (1981), encontrando que los aspectos de <<área>> y <<recta numérica>> ofrecían dificultades similares; en uno y otro, las décimas solo demostraron ser mucho más sencillas de manejar que las décimas y centésimas combinadas
Resultados seleccionados de cuestiones para verificar el significado de los decimales en el sentido de subárea de una región unidad y de puntos de una recta numérica
Este cuadro tiene 1 unidad de área
a)
La región sombreada tiene 2,3 unidades de área Aciertos: 69/76/81/84%
b)
La región sombreada tiene 1,43 unidades de área Aciertos: 58/69/72/75%
c)
La región sombreada tiene 1,7 unidades de área Aciertos: 32/36/48/55%
d)
Este número es 5,8 Aciertos: 62/74/53/85% e)
Este número es aproximadamente 14,65 Aciertos: 24/36/53/61%
Alrededor del 65% de los chicos de 12 años, y el 85% de los de 15, es capaz de interpretar decimales en los que sólo intervengan décimas en cada uno de los casos anteriores. Con las centésimas, sólo el 25-30% de los de 12 y el 55-60% responden correctamente. Los resultados anteriores están respaldados por los de Galloway (1975) y Payne (1976), lo que induce a pensar que a los niños de 9 a 10 años se les puede enseñar con éxito tanto el significado de área como el de punto de la recta numérica de los decimales, siempre que intervengan únicamente décimas. Resultados concernientes a cuestiones relativas al resultado de la división de un número entero entre otro.
Cuestión Respuesta Porcentaje
12 años 13 años 14 años 15 años Divide 16 entre 20… (escribe NO si
te parece que no tiene solución
0,8 8 12 26 37
No (51) (58) (43) (23)
Rodea con un círculo el número que te parezca de VALOR MÁS CERCANO
a la solución: 59 ÷ 190 0,003/0,03/0,3/3/30/300/3000
0,3 15 10 13 22
Muy pocos niños se percatan de que es posible utilizar decimales para dar el resultado de una división de números enteros; el 60% de los niños de 13 años consideran que 16 no puede ser dividido por 20. Otra de las cuestiones era comprobar si los niños se percataban de que los decimales pueden tener aplicaciones en la vida cotidiana. El 35% de los niños de 12 años, y hasta un 48% de los de 15 supieron idear un contexto apropiado en el que utilizar decimales. Otros dieron respuestas completamente inadecuadas, y en algunos casos indicaron que los decimales no se usaban para nada en la vida ordinaria.
3.8.1.8 Comprensión del significado de los porcentajes
Los porcentajes suponen un tercer método de representación de los números racionales, aunque estén
emparentados de cerca con el sistema decimal. Al usar porcentajes nos estamos refiriendo casi exclusivamente a las fracciones como operadores, pocas veces los encontraremos como medida. Lo más frecuente es que exprese la relación de una subárea a un área unidad, o de un subconjunto al conjunto completo, o de un número a otro. La única referencia que hemos encontrado acerca del significado de los porcentajes fue una conclusión del equipo APU, en el sentido de que la conversión de decimales a porcentajes y viceversa, actividad que era efectuada tan sólo por el 50% de los niños de 11 años. Análogamente, parece existir muy poca información disponible sobre los
