Tema 1. Divisibilidad y números entros. Soluciones del tema

(1)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 16

Empezamos este nuevo curso repasando algunos contenidos que ya

estudiaste el año pasado.

Las relaciones de divisibilidad te ayudarán a profundizar en la

estruc-tura de los números, y algunos de sus procedimientos, especialmente

la obtención del mínimo común múltiplo, serán imprescindibles para

operar con fracciones y resolver ecuaciones.

La operativa con números enteros es una herramienta que utilizarás a

partir de ahora en cualquier proceso matemático.

1

_{Los trenes inician el servicio a las 6 h.}

a) ¿Saldrá de la estación un tren de la línea A a las 7 h? ¿Y uno de la línea C?

b) ¿A qué hora vuelven a coincidir las salidas de un tren de A con otro de B?

a) A las 7 h saldrá un tren de la línea A (1 h = 60 min 8 60 es múltiplo de 5). A las 7 h no saldrá un tren de la línea C (60 no es múltiplo de 7).

b) A las 6 h 15 min, porque 15 es el mín.c.m. de 3 y 5.

HORARIO DE CERCANÍAS de 6 h a 22 h FRECUENCIAS

LÍNEAA 8CADA5 MINUTOS LÍNEAB 8CADA3 MINUTOS LÍNEAC 8CADA7 MINUTOS

HORARIO DE CERCANÍAS de 6 h a 22 h FRECUENCIAS LÍNEAA 8CADA5 MINUTOS LÍNEAB 8CADA3 MINUTOS

ZONA OCIO

ZONA COMERCIAL

ANDENES

V 1 V 2 V 3

APARCAMIENTO

APARCAMIENTO ESTACIÓN DE CERCANÍAS

PRENSA DIARIA

TAQUILLAS

MODA PARA LA MUJER PANADERÍA-BOLLERÍA

(2)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

2

_{¿Cuántas plantas has de subir si te desplazas desde el aparcamiento inferior}

a la zona comercial? ¿Cuál de estas expresiones refleja ese desplazamiento?:

(+1) – (–3) (+1) + (+3)

4 plantas: (+1) – (–3).

3

_{Si la altura de cada planta es de cuatro metros, ¿a qué nivel asocias estas}

can-tidades?

0m 8 nivel 0 +4 m 8 nivel 1 –12 m 8 nivel –3 – 4 m 8 nivel –1

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ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1

_{¿Está 18 contenido una cantidad exacta de veces en 126? ¿Y en 218?}

• 18 está contenido una cantidad exacta de veces en 126:

8 126 = 18 · 7 división sin resto.

• 18 no está contenido una cantidad exacta de veces en 218:

8 218 = 18 · 12 + 2 división con resto.

2

_{Una cuenta bancaria tiene un saldo de 75 €. ¿Cuál será el nuevo saldo si}

in-greso una deuda de 80 €?

Saldo: –5 €

(+75 €) + (– 80 €) = –5 €

3

_{Separa los números enteros de los que no lo son:}

• Enteros: – 4 86 0 –35 1 000 • No enteros: 1,3 2/3 0,06 –1,8

1 000 –35

–1,8 0,06

0 86

2/3 1,3

– 4

218 18 002 12 126 18 000 7

– 4 m –12 m

+4 m 0 m

(3)

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Soluciones a las actividades de cada epígrafe

4

_Calcula.

a) 3 · 9 – 2 · 4 b)3 · (9 – 2) · 4

c) 3 · (9 – 2 · 4) d)(3 · 9 – 2) · 4

a) 3 · 9 – 2 · 4 = 27 – 8 = 19 b) 3 · (9 – 2) · 4 = 3 · 7 · 4 = 84

c) 3 · (9 – 2 · 4) = 3 · (9 – 8) = 3 · 1 = 3 d) (3 · 9 – 2) · 4 = (27 – 2) · 4 = 25 · 4 = 100

PÁGINA 19

1

_{Busca, entre estos números, parejas emparentadas por la relación de}

divisibili-dad:

13 y 91 8 91 : 13 = 7 15 y 90 8 90 : 15 = 6

15 y 225 8 225 : 15 = 15

18 y 90 8 90 : 18 = 5

23 y 92 8 92 : 23 = 4 81 y 243 8 243 : 81 = 3

2

_{Calcula mentalmente y contesta.}

a) ¿Es 18 múltiplo de 5? ¿Y de 6? b) ¿Es 50 múltiplo de 10? ¿Y de 9? c) ¿Es 6 divisor de 20? ¿Y de 300? d) ¿Es 10 divisor de 75? ¿Y de 750?

a) 18 no es múltiplo de 5.

18 es múltiplo de 6 8 6 · 3 = 18 b) 50 es múltiplo de 10 8 10 · 5 = 50

50 no es múltiplo de 9. c) 6 no es divisor de 20.

6 es divisor de 300 8 300 : 6 = 50

d) 10 no es divisor de 75.

10 es divisor de 750 8 750 : 10 = 75

243 225

92 91

90

81 23

18 15

13

(4)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

3

_{Calcula con lápiz y papel y responde.}

a) ¿Es 17 divisor de 153? ¿Y de 204? b) ¿Es 780 múltiplo de 65? ¿Y de 80?

a) 17 es divisor de 153 8 153 : 17 = 9 17 es divisor de 204 8 204 : 17 = 12

b) 780 es múltiplo de 65 8 65 · 12 = 780 780 no es múltipo de 80 8 780 = 80 · 9 + 60

4

_{Selecciona, entre estos números:}

a) Los múltiplos de 10. b) Los múltiplos de 12. c) Los múltiplos de 15. d) Los múltiplos de 30.

a) Múltiplos de 10: 20 - 30 - 40 - 50 - 60 - 80 - 90 - 120 - 130 b) Múltiplos de 12: 36 - 60 - 96 - 120 - 300

c) Múltiplos de 15: 30 - 60 - 75 - 90 - 120 - 300 d) Múltiplos de 30: 30 - 60 - 90 - 120 - 300

5

_{Encuentra, entre estos números:}

a) Los divisores de 60. b) Los divisores de 75. c) Los divisores de 90. c) Los divisores de 100.

a) Divisores de 60: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 10 - 12 - 15 - 30 b) Divisores de 75: 1 - 3 - 5 - 15 - 25

c) Divisores de 90: 1 - 2 - 3 - 5 - 6 - 10 - 15 - 30 d) Divisores de 100: 1 - 2 - 4 - 5 - 10 - 25 - 50

6

_{Escribe los cinco primeros múltiplos de 12 y los cinco primeros múltiplos de 13.}

• 12 - 24 - 36 - 48 - 52 • 13 - 26 - 39 - 52 - 65

7

_{Encuentra todos los múltiplos de 15 comprendidos entre 420 y 480.}

435 - 450 - 465

50 30

25 15

12

10 9

8 7

6

5 4

3 2

1

300 222

120 112

96

90 80

75 65

60

50 40

36 30

20

(5)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

8

_{Calcula el primer múltiplo de 13 mayor que 1 000.}

1 001

1 000 : 13 = 76 · 13 + 12 = 988 + 12 8 988 + 13 = 1 001

9

_{Calcula todos los divisores de cada uno de los siguientes números:}

• 1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 12

• 1 - 2 - 4 - 8 - 16

• 1 - 2 - 3 - 5 - 6 - 10 - 15 - 30

• 1 - 71

• 1 - 2 - 5 - 10 - 13 - 26 - 65 - 130

• 1 - 2 - 3 - 5 - 6 - 10 - 15 - 25 - 30 - 50 - 75 - 150 • 1 - 7 - 29 - 203

PÁGINA 21

1

_{Descompón en dos factores los siguientes números:}

93 = 31 · 3 95 = 19 · 5

153 = 51 · 3 = 17 · 9

168 = 84 · 2 o las posibles combinaciones de sus factores primos. 325 = 65 · 5 = 25 · 13

533 = 41 · 13

663 = 221 · 3 = 17 · 39 = 51 · 13

2

_{Descompón los siguientes números en el máximo número de factores que sea}

posible:

32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 81 = 3 · 3 · 3 · 3 84 = 2 · 2 · 3 · 7 132 = 2 · 2 · 3 · 11 200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 221 = 13 · 17

221 200

132 84

81 72

32

663 533

325 168

153 95

93 203

150 130 71 30 16 12

203 150

130 71

30 16

12

(6)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

3

_{Descompón en factores, de todas las formas que sea posible, el número 100.}

• Con 4 factores:

2 · 2 · 5 · 5

• Con 3 factores:

2 · 2 · 25 2 · 5 · 10 4 · 5 · 5

• Con 2 factores:

2 · 50 5 · 20 4 · 25 10 · 10

4

_{Separa, entre los siguientes números, los primos de los compuestos:}

Primos: 29, 83, 101, 113

Compuestos: 39, 57, 91, 111, 243, 341

PÁGINA 22

5

_{Descompón mentalmente en el máximo número de factores.}

a) 12 b)16 c) 18

d)20 e) 24 f ) 30

g) 32 h)36 i) 40

j) 50 k)75 l) 100

a) 12 = 2 · 2 · 3 b) 16 = 2 · 2 · 2 · 2 c) 18 = 2 · 3 · 3

d) 20 = 2 · 2 · 5 e) 24 = 2 · 2 · 2 · 3 f ) 30 = 2 · 3 · 5

g) 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 h) 36 = 2 · 2 · 3 · 3 i) 40 = 2 · 2 · 2 · 5

j) 50 = 2 · 5 · 5 k) 75 = 3 · 5 · 5 l) 100 = 2 · 2 · 5 · 5

6

_{Copia y completa los procesos de descomposición factorial.}

2 600 2 300 3 150 7 75 7 25 1 5 1

588 = 2· · 2 600 = 3· · 2 8

8 5

341 243

113 111

101

91 83

57 39

29

(7)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

2 600

2 300

3 150

7 75

7 25

1 5

1

588 = 2· · 2 600 = 3· · 2

7

Descompón estos números en el máximo número de factores: a) 270 b) 360 c) 630 d) 750 e) 1 000 f ) 1 100

a) 270 = 2 · 33· 5 b) 360 = 23· 32· 5 c) 630 = 2 · 32· 5 · 7 d) 750 = 2 · 3 · 53 _{e) 1 000 = 2}3_{· 5}3 _{f ) 1 100 = 2}2_{· 5}2_{· 11}

8

_{Descompón en factores primos los números siguientes:}

a) 84 b) 130 c) 160 d) 280 e) 230 f ) 400 g) 560 h) 594 i) 720 j) 975 k) 2 340 l) 5 230

a) 84 = 22· 3 · 7 b) 130 = 2 · 5 · 13 c) 160 = 25· 5

d) 280 = 23· 5 · 7 e) 230 = 2 · 5 · 23 f ) 400 = 24· 52 g) 560 = 24_{· 5 · 7} _{h) 594 = 2 · 3}3_{· 11} _{i) 720 = 2}4_{· 3}2_{· 5}

j) 975 = 3 · 52_{· 13} _{k) 2 340 = 2}2_{· 3}2_{· 5 · 13} _{l) 5 230 = 2 · 5 · 523}

9

_{Calcula los números que tienen las siguientes descomposiciones factoriales:}

a) 22_{· 3 · 7} _{b) 2}3_{· 5}3 _{c) 3}2_{· 5}2_{· 7} _{d) 2}2_{· 7 · 13}

a) 84 b) 1 000 c) 1 575 d) 364

PÁGINA 23

10

Escribe factorizados, sin hacer ninguna operación, tres múltiplos de 12 = 22_{· 3.} Por ejemplo:

22· 2 · 2 22· 3 · 3 22· 3 · 5

11

_{Escribe factorizado un número que sea a la vez múltiplo de}_a_{= 2 · 3 · 3 y de}

b= 2 · 3 · 5.

Por ejemplo:

22· 33· 5 5 3 2 7

3 2

5 5 7

3 9

4

2 7

4 1

2 4

9 2

2 8

8 5

(8)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

12

_{Escribe tres múltiplos comunes a los números}_m_{= 2}2_{· 3 y}_n_{= 2}2_{· 5.} Por ejemplo:

22· 3 · 5 23· 3 · 5 22· 3 · 52

13

_{Escribe factorizados, sin hacer operaciones, todos los divisores de 75 = 3 · 5 · 5.}

Por ejemplo:

3 · 5 · 5 5 · 5 3 · 5 5 3

14

Escribe un número que sea divisor de a= 2 · 3 · 5 y de b= 2 · 5 · 5 a la vez.

Por ejemplo:

2, 5 ó 2 · 5

15

Escribe tres divisores comunes a los números m= 23_{· 3}2 _y_n_{= 2}2_{· 3 · 5.} Tres cualquiera de los siguientes:

2 · 3 22· 3 2 3

PÁGINA 24

1

_{Calcula mentalmente.}

a) mín.c.m. (3, 5) b) mín.c.m. (6, 8) c) mín.c.m. (10, 15) d) mín.c.m. (20, 30)

a) 15 b) 24 c) 30 d) 60

2

_Calcula.

a) mín.c.m. (12, 18) b) mín.c.m. (21, 35) c) mín.c.m. (24, 36) d) mín.c.m. (36, 40) e) mín.c.m. (72, 90) f ) mín.c.m. (90, 120)

a) 36 b) 105 c) 72

d) 360 e) 360 f ) 360

3

_Calcula.

a) mín.c.m. (4, 6, 9) b) mín.c.m. (6, 8, 9) c) mín.c.m. (12, 18, 30) d) mín.c.m. (24, 28, 42) e) mín.c.m. (60, 72, 90) f ) mín.c.m. (50, 75, 100)

a) 22_{· 3}2_{= 36} _{b) 2}3_{· 3}2_{= 72} _{c) 2}2_{· 3}2_{· 5 = 180}

d) 23_{· 3}2_{· 7 = 504} _{e) 2}3_{· 3}2_{· 5 = 360} _{f ) 2}2_{· 3 · 5}2_{= 300}

4

_{Se apilan, en una torre, cubos de 30 cm de arista y, al lado, en otra torre,}

cu-bos de 36 cm de arista. ¿A qué altura coinciden las cimas de ambas torres?

Las torres coinciden a una altura de 180 cm.

mín.c.m. (30, 36) = 22_{· 3}2_{· 5 = 180, ya que} 30 = 2 · 3 · 5

36 = 22_{· 3}2 °

¢ £

(9)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 25

1

a) máx.c.d. (4, 6) b) máx.c.d. (6, 8) c) máx.c.d. (5, 10) d) máx.c.d. (15, 20) e) máx.c.d. (18, 27) f ) máx.c.d. (50, 75)

a) 2 b) 2 c) 5

d) 5 e) 9 f ) 25

2

_Calcula.

a) máx.c.d. (24, 36) b) máx.c.d. (28, 42) c) máx.c.d. (63, 99) d) máx.c.d. (90, 126) e) máx.c.d. (165, 275) f ) máx.c.d. (360, 450)

a) 12 b) 14 c) 9

d) 18 e) 55 f ) 90

3

_Calcula.

a) máx.c.d. (6, 9, 12) b) máx.c.d. (12, 18, 24) c) máx.c.d. (32, 40, 48) d) máx.c.d. (36, 60, 72) e) máx.c.d. (50, 60, 90) f ) máx.c.d. (75, 90, 105)

a) 3 b) 2 · 3 = 6 c) 23= 8

d) 22· 3 = 12 e) 2 · 5 = 10 f ) 3 · 5 = 15

4

_{Se desea dividir un terreno rectangular, de 100 m de ancho por 120 m de}

lar-go, en parcelas cuadradas lo más grandes que sea posible. ¿Cuánto debe medir el lado de cada parcela?

El lado de cada parcela debe medir 20 m.

8 máx.c.d. (100, 120) = 22· 5 = 20

PÁGINA 27

1

a) 5 – 7 b) 2 – 9 c) 3 – 4 d) 6 – 10 e) 5 – 12 f ) 9 – 15 g) –12 + 17 h) –22 + 10 i) –21 + 15 j) –3 – 6 k) –1 – 9 l) –12 – 13

a) –2 b) –7 c) –1

d) – 4 e) –7 f ) – 6

g) 5 h) –12 i) – 6

j) –9 k) –10 l) –25

° ¢ £

100 = 22_{· 5}2

120 = 23· 3 · 5

(10)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

2

_Resuelve.

a) 10 – 3 + 5 b) 5 – 8 + 6 c) 2 – 9 + 1 d) 7 – 15 + 2 e) 16 – 4 – 6 f ) 22 – 7 – 8 g) 9 – 8 – 7 h) 15 – 12 + 6

a) 12 b) 3 c) – 6 d) – 6

e) 6 f ) 7 g) – 6 h) 9

3

_Calcula.

a) –3 + 10 – 1 b) –8 + 2 – 3 c) –5 + 6 + 4 d) –12 + 2 + 6 e) –18 + 3 + 6 f ) –20 + 12 + 5 g) –7 – 3 – 4 h) –2 – 13 – 5

a) 6 b) –9 c) 5 d) - 4

e) –9 f ) –3 g) –14 h) –20

4

Copia y completa como en el ejemplo.

§ § § 9

•7 – 4 – 6 – 2 + 5 + 3 – 4 = 15 – 16 = –1

§ § § § 7

a) 3 – 9 + 4 – 8 – 2 + 13 = – = b) –15 – 4 + 12 – 3 – 11 – 2 = – =

a) 3 – 9 + 4 – 8 – 2 + 13 = – =

b) –15 – 4 + 12 – 3 – 11 – 2 = – =

5

_Calcula.

a) 3 – 7 + 2 – 5 b) 2 – 6 + 9 – 3 + 4 c) 7 – 10 – 5 + 4 + 6 – 1 d) –6 + 4 – 3 – 2 – 8 + 5 e) 12 + 5 – 17 – 11 + 20 – 13 f ) 16 – 22 + 24 – 31 + 12 – 15

a) –7 b) 6 c) 1

d) –10 e) – 4 f ) –16

6

_{Quita paréntesis y calcula.}

a) (–3) – (+4) – (–8) b) –(–5) + (–6) – (–3) c) (+8) – (+6) + (–7) – (–4) d) –(–3) – (+2) + (–9) + (+7)

a) (–3) – (+4) – (–8) = –3 – 4 + 8 = 1 b) –(–5) + (–6) – (–3) = 5 – 6 + 3 = 2

c) (+8) – (+6) + (–7) – (–4) = 8 – 6 – 7 + 4 = –1 d) –(–3) – (+2) + (–9) + (+7) = 3 – 2 – 9 + 7 = –1

–23 35

12

1 19 20

(11)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

7

_{Resuelve de dos formas, como en el ejemplo.}

• a) 10 – (13 – 7) = 10 – (+6) = 10 – 6 = 4 b) 10 – (13 – 7) = 10 – 13 + 7 = 17 – 13 = 4

a) 15 – (12 – 8) b) 9 – (20 – 6) c) 8 – (15 – 12) d) 6 – (13 – 2)

e) 15 – (6 – 9 + 5) f ) 21 – (3 – 10 + 11 + 6)

a) 15 – (12 – 8) = 15 – (+4) = 15 – 4 = 11 15 – (12 – 8) = 15 – 12 + 8 = 23 – 12 = 11

b) 9 – (20 – 6) = 9 – (+14) = 9 – 14 = –5 9 – (20 – 6) = 9 – 20 + 6 = 15 – 20 = –5

c) 8 – (15 – 12) = 8 – (+3) = 8 – 3 = 5 8 – (15 – 12) = 8 – 15 + 12 = 20 – 15 = 5

d) 6 – (13 – 2) = 6 – (+11) = 6 – 11 = –5 6 – (13 – 2) = 6 – 13 + 2 = 8 – 13 = –5

e) 15 – (6 – 9 + 5) = 15 – (11 – 9) = 15 – (+2) = 15 – 2 = 13 15 – (6 – 9 + 5) = 15 – 6 + 9 – 5 = 24 – 11 = 13

f ) 21 – (3 – 10 + 11 + 6) = 21 – (20 – 10) = 21 – (+10) = 21 – 10 = 11 21 – (3 – 10 + 11 + 6) = 21 – 3 + 10 – 11 – 6 = 31 – 20 = 11

8

_{Resuelve de una de las formas que ofrece el ejemplo:}

• a) (8 – 13) – (5 – 4 – 7) = (8 – 13) – (5 – 11) = = (–5) – (–6) = –5 + 6 = 1 b) (8 – 13) – (5 – 4 – 7) = 8 – 13 – 5 + 4 + 7 =

= 19 – 18 = 1

a) (4 – 9) – (5 – 8) b) –(1 – 6) + (4 – 7) c) 4 – (8 + 2) – (3 – 13) d) 12 + (8 – 15) – (5 + 8)

e) (8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2) f ) (5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 – 5)

En cada caso, de cualquiera de las dos formas: a) (4 – 9) – (5 – 8) = (–5) – (–3) = –5 + 3 = –2

(4 – 9) – (5 – 8) = 4 – 9 – 5 + 8 = 12 – 14 = –2

b) –(1 – 6) + (4 – 7) = –(–5) + (–3) = 5 – 3 = 2 –(1 – 6) + (4 – 7) = –1 + 6 + 4 – 7 = 10 – 8 = 2

c) 4 – (8 + 2) – (3 – 13) = 4 – (+10) – (–10) = 4 – 10 + 10 = 14 – 10 = 4 4 – (8 + 2) – (3 – 13) = 4 – 8 – 2 – 3 + 13 = 17 – 13 = 4

d) 12 + (8 – 15) – (5 + 8) = 12 + (–7) – (13) = 12 – 7 – 13 = 12 – 20 = –8 12 + (8 – 15) – (5 + 8) = 12 + 8 – 15 – 5 – 8 = 20 – 28 = –8

(12)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

e) (8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2) = (+2) – (3 – 9) + (3 – 8) = = (+2) – (– 6) + (–5) = +2 + 6 – 5 = 8 – 5 = 3

(8 – 6) – (3 – 7 – 2) + (1 – 8 + 2) = 8 – 6 – 3 + 7 + 2 + 1 – 8 + 2 = 20 – 17 = 3

f ) (5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 – 5) = (–11) – (7 – 9) – (9 – 18) = = (–11) – (–2) – (–9) = –11 + 2 + 9 = 11 – 11 = 0

(5 – 16) – (7 – 3 – 6) – (9 – 13 – 5) = 5 – 16 – 7 + 3 + 6 – 9 + 13 + 5 = = 32 – 32 = 0

10

_Calcula.

a) 7 – [1 + (9 – 13)] b) –9 + [8 – (13 – 4)] c) 12 – [6 – (15 – 8)] d) –17 + [9 – (3 – 10)] e) 2 + [6 – (4 – 2 + 9)] f ) 15 – [9 – (5 – 11 + 7)]

a) 7 – [1 + (9 – 13)] = 7 – [1 + 9 – 13] = 7 – 1 – 9 + 13 = 20 – 10 = 10

b) –9 + [8 – (13 – 4)] = –9 + [8 – (9)] = –9 + [8 – 9] = –9 + [–1] = –9 – 1 = –10 c) 12 – [6 – (15 – 8)] = 12 – [6 – 15 + 8] = 12 – 6 + 15 – 8 = 27 – 14 = 13 d) –17 + [9 – (3 – 10)] = –17 + [9 – (–7)] = –17 + [9 + 7] = –17 + 16 = –1 e) 2 + [6 – (4 – 2 + 9)] = 2 + [6 – 4 + 2 – 9] = 2 + 6 – 4 + 2 – 9 = 10 – 13 = –3 f ) 15 – [9 – (5 – 11 + 7)] = 15 – [9 – (12 – 11)] = 15 – [9 – (+1)] = 15 – [9 – 1] =

= 15 – [+8] = 15 – 8 = 7

11

_Resuelve.

a) (2 – 9) – [5 + (8 – 12) – 7] b) 13 – [15 – (6 – 8) + (5 – 9)] c) 8 – [(6 – 11) + (2 – 5) – (7 – 10)] d) (13 – 21) – [12 + (6 – 9 + 2) – 15] e) [4 + (6 – 9 – 13)] – [5 – (8 + 2 – 18)] f ) [10 – (21 – 14)] – [5 + (17 – 11 + 6)]

a) (2 – 9) – [5 + (8 – 12) – 7] = (2 – 9) – [5 + (– 4) – 7] = (2 – 9) – [5 – 4 – 7] = = (–7) – [5 – 11] = –7 – [– 6] = –7 + 6 = –1

b) 13 – [15 – (6 – 8) + (5 – 9)] = 13 – [15 – 6 + 8 + 5 – 9] = = 13 – 15 + 6 – 8 – 5 + 9 = 28 – 28 = 0

c) 8 – [(6 – 11) + (2 – 5) – (7 – 10)] = 8 – [(–5) + (–3) – (–3)] = 8 – [–5 – 3 + 3] = = 8 – [–8 + 3] = 8 – [–5] = 8 + 5 = 13

d) (13 – 21) – [12 + (6 – 9 + 2) – 15] = (13 – 21) – [12 + 6 – 9 + 2 – 15] = = 13 – 21 – 12 – 6 + 9 – 2 + 15 = 37 – 41 = – 4

e) [4 + (6 – 9 – 13)] – [5 – (8 + 2 – 18)] = [4 + (6 – 22)] – [5 – (10 – 18)] = = [4 – 16] – [5 + 8] = –12 – 13 = –25

f ) [10 – (21 – 14)] – [5 + (17 – 11 + 6)] = [10 – 21 + 14] – [5 + 17 – 11 + 6] = = 10 – 21 + 14 – 5 – 17 + 11 – 6 = 35 – 49 = –14

(13)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 29

12

_Multiplica.

a) (+10) · (–2) b) (–4) · (–9) c) (–7) · (+5) d) (+11) · (+7)

a) –20 b) 36 c) –35 d) 77

13

_{Observa los ejemplos y calcula.}

•(–3) · (+2) · (–5) = (–6) · (–5) = +30

14243

•(–3) · (+2) · (–5) = (–3) · (–10) = +30

14243

a) (–2) · (–3) · (+4) b) (–1) · (+2) · (–5) c) (+4) · (–3) · (+2) d) (–6) · (–2) · (–5)

a) (–2) · (–3) · (+4) = (+6) · (+4) = +24 (–2) · (–3) · (+4) = (–2) · (–12) = +24 b) (–1) · (+2) · (–5) = (–2) · (–5) = +10

(–1) · (+2) · (–5) = (–1) · (–10) = +10

c) (+4) · (–3) · (+2) = (–12) · (+2) = –24 (+4) · (–3) · (+2) = (+4) · (– 6) = –24

d) (–6) · (–2) · (–5) = (+12) · (–5) = – 60 (–6) · (–2) · (–5) = (– 6) · (+10) = – 60

14

_Divide.

a) (–18) : (+3) b) (–15) : (–5) c) (+36) : (–9) d) (–30) : (–10) e) (–52) : (+13) f ) (+22) : (+11)

a) – 6 b) +3 c) – 4

d) +3 e) – 4 f ) +2

15

_{Calcula el valor de}_x _{en cada caso:}

a) (–18) :x= +6 b) (+4) ·x= –36 c)x· (–13) = 91 d)x: (–11) = +5

a)x= –3 b)x= –9 c)x= –7 d)x= –55

16

_{Copia, completa y compara. ¿Qué observas?}

(+60) : [(–30) : (–2)] = (+60) : [+15] = [(+60) : (–30)] : (–2) = [ ] : (–2) =

(+60) : [(–30) : (–2)] = (+60) : [+15] =

[(+60) : (–30)] : (–2) = [ ] : (–2) =

Se observa que la división no es asociativa. +1 –2

+4

(14)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

17

_Calcula.

a) (–28) : [(+12) : (–3)] b) [(–45) : (+3)] : (+5) c) (–100) : [(–36) : (–9)] d) [(–72) : (+9)] : (–8)

a) (–28) : [(+12) : (–3)] = (–28) : [– 4] = +7 b) [(–45) : (+3)] : (+5) = [–15] : (+5) = –3

c) (–100) : [(–36) : (–9)] = (–100) : [+4] = –25

d) [(–72) : (+9)] : (–8) = [–8] : (–8) = +1

18

Calcula siguiendo el ejemplo.

• [(–8) · (+9)] : [(+6) · (–3)] = [–72] : [–18] = +4 –72 –18

+4

a) [(+5) · (–8)] : [(–2) · (–5)] b) [(+28) : (–7)] · [(+20) : (–4)] c) [(–10) : (+5)] : [(–28) : (+4)]

a) [(+5) · (–8)] : [(–2) · (–5)] = [– 40] : [+10] = – 4

b) [(+28) : (–7)] · [(+20) : (–4)] = [– 4] · [–5] = +20

c) [(–10) : (+5)] : [(–28) : (+4)] = [–2] : [–7] = +2/7

19

_{Calcula como en el ejemplo.}

• 15 – 8 · 3 = 15 – 24 = –9

a) 18 – 5 · 3 b) 6 – 4 · 2 c) 7 · 2 – 16

a) 18 – 5 · 3 = 18 – 15 = 3 b) 6 – 4 · 2 = 6 – 8 = –2

c) 7 · 2 – 16 = 14 – 16 = –2

20

_Calcula.

a) 18 – 15 : 3 b) 3 – 30 : 6 c) 20 : 2 – 11

a) 18 – 15 : 3 = 18 – 5 = 13

b) 3 – 30 : 6 = 3 – 5 = –2

c) 20 : 2 – 11 = 10 – 11 = –1

(15)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

21

• 21 – 4 · 6 + 12 : 3 = 21 – 24 + 4 = 25 – 24 = 1

a) 20 – 4 · 7 + 11 b) 12 – 6 · 5 + 4 · 2 c) 15 – 20 : 5 – 3 d) 6 – 10 : 2 – 14 : 7 e) 5 · 3 – 4 · 4 + 2 · 6 f ) 7 · 3 – 5 · 4 + 18 : 6

a) 20 – 4 · 7 + 11 = 20 – 28 + 11 = 31 – 28 = 3

b) 12 – 6 · 5 + 4 · 2 = 12 – 30 + 8 = 20 – 30 = –10

c) 15 – 20 : 5 – 3 = 15 – 4 – 3 = 15 – 7 = 8

d) 6 – 10 : 2 – 14 : 7 = 6 – 5 – 2 = 6 – 7 = –1 e) 5 · 3 – 4 · 4 + 2 · 6 = 15 – 16 + 12 = 27 – 16 = 11

f ) 7 · 3 – 5 · 4 + 18 : 6 = 21 – 20 + 3 = 24 – 20 = 4

22

_{Observa el ejemplo y calcula.}

• (–3) · (–4) + (–6) · 3 = (+12) + (–18) = 12 – 18 = –6 a) 5 · (–8) – (+9) · 4

b) 32 : (–8) – (–20) : 5 c) (–2) · (–9) + (–5) · (+4) d) (+25) : (–5) + (–16) : (+4) e) (+6) · (–7) + (–50) : (–2) f ) (+56) : (–8) – (–12) · (+3)

a) 5 · (–8) – (+9) · 4 = (– 40) – (+36) = – 40 – 36 = –76

b) 32 : (–8) – (–20) : 5 = (– 4) – (– 4) = – 4 + 4 = 0

c) (–2) · (–9) + (–5) · (+4) = (+18) + (–20) = 18 – 20 = –2 d) (+25) : (–5) + (–16) : (+4) = (–5) + (– 4) = –5 – 4 = –9

e) (+6) · (–7) + (–50) : (–2) = (– 42) + (+25) = – 42 + 25 = –17

f ) (+56) : (–8) – (–12) · (+3) = (–7) – (–36) = –7 + 36 = 29

23

_Calcula.

a) 18 – 5 · (3 – 8) b) 11 – 40 : (–8)

c) 4 · (8 – 11) – 6 · (7 – 9) d) (4 – 5) · (–3) – (8 – 2) : (–3)

a) 18 – 5 · (3 – 8) = 18 – 5 · (–5) = 18 – (–25) = 18 + 25 = 43 b) 11 – 40 : (–8) = 11 – (–5) = 11 + 5 = 16

c) 4 · (8 – 11) – 6 · (7 – 9) = 4 · (–3) – 6 · (–2) = (–12) – (–12) = –12 + 12 = 0

d) (4 – 5) · (–3) – (8 – 2) : (–3) = (–1) · (–3) – (+6) : (–3) = (+3) – (–2) = 3 + 2 = 5

(16)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

25

_Calcula.

a) 15 + 2 · [8 – 3 · 5]

b) (–3) · (+5) – 3 · [11 + 3 · (5 – 11)] c) 28 : (–7) – (–6) · [23 – 5 · (9 – 4)] d) (–2) · (7 – 11) – [12 – (6 – 8)] : (–7) e) [18 + 5 · (6 – 9)] – [3 – 16 : (5 + 3)]

a) 15 + 2 · [8 – 3 · 5] = 15 + 2 · [8 – 15] = 15 + 2 · [–7] = 15 – 14 = 1

b) (–3) · (+5) – 3 · [11 + 3 · (5 – 11)] = –15 – 3 · [11 + 3 · (– 6)] = = –15 – 3 · [11 – 18] = –15 – 3 · [–7] = –15 + 21 = 6

c) 28 : (–7) – (–6) · [23 – 5 · (9 – 4)] = (– 4) – (– 6) · [23 – 5 · (5)] = = – 4 + 6 · [23 – 25] = – 4 + 6 · [–2] = – 4 + (–12) = –16

d) (–2) · (7 – 11) – [12 – (6 – 8)] : (–7) = (–2) · (– 4) – [12 – (–2)] : (–7) = = 8 – [12 + 2] : (–7) = 8 – [14] : (–7) = 8 – (–2) = 8 + 2 = 10

e) [18 + 5 · (6 – 9)] – [3 – 16 : (5 + 3)] = [18 + 5 · (–3)] – [3 – 16 : 8] = = [18 + (–15)] – [3 – 2] = [+3] – [+1] = 3 – 1 = 2

PÁGINA 30

26

_{Escribe en forma de potencia.}

a) (–2) · (–2) b) (+5) · (+5) · (+5) c) (–4) · (–4) · (–4) · (–4)

d) (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2)

a) (–2)2 b) (+5)3 c) (– 4)4 d) (–2)6

27

_{Copia y completa.}

P O T E N C I A B A S E E X P O N E N T E V A L O R

(–1)7 _–1 ₇ _–1

(–2)4 _–2 ₄ ₊₁₆

(+3)3 ₊₃ ₃ ₊₂₇

(–4)2 – 4 2 +16

P O T E N C I A B A S E E X P O N E N T E V A L O R

(–1)7 (–2)4 (+3)3 (–4)2

(17)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

28

_{Escribe en forma de producto y calcula:}

a) (–2)6 b) (–3)1 c) (+3)4 _{d) (–5)}2

e) (–10)5 f ) (–8)3

a) (–2)6= (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = +64

b) (–3)1= (–3) = –3

c) (+3)4_{= (+3) · (+3) · (+3) · (+3) = +81}

d) (–5)2= (–5) · (–5) = +25

e) (–10)5= (–10) · (–10) · (–10) · (–10) · (–10) = –100 000

f ) (–8)3= (–8) · (–8) · (–8) = –512

29

_{Calcula con ayuda de la calculadora como se hace en el ejemplo.}

• 125 ₈

_12**====

₈

_{{∫“¢°°«“}}

a) 86 b)(–8)6

c) 115 d)(–11)5

e) 277 _{f ) (–27)}7

a) 86= 262 144 b) (–8)6= 262 144

c) 115= 161 051 d) (–11)5= –161 051 e) 277_{= 10 460 353 203} _{f ) (–27)}7_{= –10 460 353 203}

30

Calcula el valor de x en cada caso:

a) (–2)x= +16 b) (–3)x= –27 c) (+6)x= +36 d) (–5)x= –125 e) (–10)x= +10 000 f ) (–10)x= –10

a)x= 4 b)x= 3 c)x= 2

d)x= 3 e)x= 4 f )x= 1

31

Averigua el valor o los valores de x que cumplen la igualdad en cada caso: a)x2= +4 b)x3= –64

c)x6= +1 d)x7= –1 e)x4= 2 401 f )x5= –100 000

a)x= 2 y x= –2 b)x= – 4

c)x= 1 y x= –1 d)x= –1

e)x= 7 y x= –7 f )x= –10

(18)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 32

32

_Calcula.

a) (–2)6_{+ (–2)}5

b) 104+ (–10)3– 102+ (–10) c) (–5)2_{– (–2)}4_{+ (–1)}6

d) (+4)3: (–2)4+ (+9)2: (–3)3 e) (+4)2_{· [(–2)}3_{+ (–3)}2_{] : (–2)}3 a) (–2)6_{+ (–2)}5_{= 64 + (–32) = 32}

b) 104+ (–10)3– 102+ (–10) = 10 000 + (–1 000) – 100 + (–10) = = 10 000 – 1 110 = 8 890

c) (–5)2_{– (–2)}4_{+ (–1)}6_{= 25 – (+16) + (+1) = 26 – 16 =10}

d) (+4)3: (–2)4+ (+9)2: (–3)3= (64) : (+16) + (81) : (–27) = 4 + (–3) = 1

e) (+4)2· [(–2)3+ (–3)2] : (–2)3= 16 · [–8 + 9] : (–8) = 16 · (+1) : (–8) = –2

33

Reduce a una sola potencia como en el ejemplo.

• 25_{· (–3)}5_{= [2 · (–3)]}5_{= (–6)}5

a) 32_{· 4}2

b) (–2)3· 43 c) (–5)2_{· (+3)}2

d) 36· (–2)6

a) 32_{· 4}2_{= (3 · 4)}2_{= 12}2

b) (–2)3_{· 4}3_{= [(–2) · 4]}3_{= (–8)}3

c) (–5)2· (+3)2= [(–5) · (+3)]2= (–15)2

d) 36· (–2)6= [3 · (–2)]6= (– 6)6

34

_{Expresa con una sola potencia igual que en el ejemplo.}

• (–15)4: (+3)4= [(–15) : (+3)]4= (–5)4= 54 a) 94: 34

b) (+15)3: (–5)3 c) (–20)2_{: (– 4)}2

d) (–18)4: (–6)4

a) 94_{: 3}4_{= (9 : 3)}4_{= 3}4

b) (+15)3_{: (–5)}3_{= [(15) : (–5)]}3_{= (–3)}3_{= –3}3

c) (–20)2: (– 4)2= [(–20) : (– 4)]2= 52

d) (–18)4: (–6)4= [(–18) : (– 6)]4= 34

(19)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

35

_{Reduce aplicando la propiedad}_am_·_an₌_am+n_.

• a3·a2= a5

a)x2·x3 b)m3·m5

c)a4_·_a4 _d)_z5_·_z

a)x2· x3= x5 b)m3· m5= m8

c)a4· a4= a8 d)z5· z= z6

36

a) (–6)3_{· (–6)}4_{= (–6)} _{b) (+3)}6_{· (+3)}2_{= 3}

c) (–2)8· (–2)2= 2 d) (–5)3· (+5)2= (–5)

a) (–6)3· (–6)4= (–6)7 b) (+3)6· (+3)2= 38 c) (–2)8_{· (–2)}2_{= 2}10 _{d) (–5)}3_{· (+5)}2_{= (–5)}5

37

_{Reduce a una sola potencia.}

a) 25_{· 2}7 _{b) (–2)}3_{· (+2)}6

c) (–12)2· (+12)2 d) (+9)4· (–9)2

a) 25_{· 2}7_{= 2}12 _{b) (–2)}3_{· (+2)}6_{= (–2)}9

c) (–12)2_{· (+12)}2_{= 12}4 _{d) (+9)}4_{· (–9)}2_{= 9}6

38

_{Reduce aplicando la propiedad}_am_:_an₌_am–n_.

a)x7:x4 b)m5:m4

c)a7:a2 d)z8: z3

a)x7_:_x4₌_x3 _b)_m5_:_m4₌_m

c)a7:a2= a5 d)z8: z3= z5

39

Copia y completa:

a) 59: 53= 5 b) (–2)6: (–2)3= (–2) c) (– 4)8_{: (+4)}3_{= 4} _{d) (+6)}8_{: (–6)}5_{= (–6)} a) 59: 53= 56 b) (–2)6: (–2)3= (–2)3

c) (– 4)8: (+4)3= 45 d) (+6)8: (–6)5= (–6)3

40

_{Reduce a una potencia única.}

a) (–7)8: (–7)5 b) 109: (–10)4 c) 124: (–12) d) (– 4)10: (+4)6

a) (–7)8: (–7)5= (–7)3= –73 b) 109: (–10)4= 105

c) 124: (–12) = (–12)3= –123 d) (– 4)10: (+4)6= 44

(20)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

41

_{Aplica la propiedad (}_am₎n₌_am·n_{, y reduce.}

a) (x3₎2 _{b) (}_m4₎3

c) (a3)3 d) (z6)3

a) (x3)2= x6 b) (m4)3= m12

c) (a3₎3₌_a9 _{d) (}_z6₎3₌_z18

42

a) (32)4= 3 b) [(–2)4]3= (–2) c) [(+5)2]2= (+5) d) [(–6)3]5= (– 6)

a) (32₎4_{= 3}8 _{b) [(–2)}4_]3_{= (–2)}12

c) [(+5)2]2= (+5)4 d) [(–6)3]5= (– 6)15

43

Reduce a una sola potencia.

a) [(–2)2]2 b) [(+5)3]2 c) [(+7)3_]3 _{d) [(– 4)}2_]4 a) [(–2)2_]2_{= (–2)}4_{= 2}4 _{b) [(+5)}3_]2_{= 5}6

c) [(+7)3]3= 79 d) [(– 4)2]4= (– 4)8= 48

44

_{Reduce como en el ejemplo.}

• (a6· a4) :a7= a10:a7= a3

a) (x5· x2) :x4 b)m7: (m2· m3) c) (a· a6) : (a2· a4) d) (z5·z3) : (z6· z2)

a) (x5_·_x2_{) :}_x4₌_x7_:_x4₌_x3 _b)_m7_{: (}_m2_·_m3_{) =}_m7_:_m5₌_m2

c) (a· a6) : (a2· a4) = a7:a6= a d) (z5·z3) : (z6· z2) = z8:z8= 1

45

Calcula como en el ejemplo.

• [(– 4)7_{· 4}3_{] : [(– 4)}2_]4_{= (– 4)}10_{: (– 4)}8_{= (– 4)}2_{= 16}

a) (58_{· 5}4_{) : (5}2₎5

b) [(–2)6_{· (+2)}3_{] : [(+2)}3_]2

c) [(–3)3]3: [(–3)2· (–3)3] d) [(–7)8_{· 7}5_{] : (7}4₎3

a) (58· 54) : (52)5= 512: 510= 52

b) [(–2)6· (+2)3] : [(+2)3]2= 29: 26= 23

c) [(–3)3_]3_{: [(–3)}2_{· (–3)}3_{] = (–3)}9_{: (–3)}5_{= (–3)}4_{= 3}4

d) [(–7)8_{· 7}5_{] : (7}4₎3_{= 7}13_{: 7}12_{= 7}

(21)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

46

• 125: 65= (12 : 6)5= 25= 32

a) 154: 54 b) (–12)3: 63 c) (–20)5: (–2)5 d) 86_{: (–2)}6 _{e) (6}3_{· 4}3_{) : (–8)}3 _{f ) [8}4_{· (–5)}4_{] : (–20)}4 a) 154_{: 5}4_{= (15 : 5)}4_{= 3}4_{= 81}

b) (–12)3: 63= [(–12) : 6]3= [–2]3= –8

c) (–20)5: (–2)5= [(–20) : (–2)]5= [+10]5= 100 000 d) 86_{: (–2)}6_{= [8 : (–2)]}6_{= [– 4]}6_{= 4 096}

e) (63_{· 4}3_{) : (–8)}3_{= [(6 · 4) : (–8)]}3_{= [24 : (–8)]}3_{= [–3]}3_{= –27}

f ) [84· (–5)4] : (–20)4=

[

[8 · (–5)] : (–20)

]

4= [(– 40) : (–20)]4= [2]4= 16

47

Opera y calcula.

a) 106: (54· 24) b) (–12)7: [(–3)5· 45] c) [(–9)5_{· (–2)}5_{] : 18}4 _{d) [5}7_{· (– 4)}7_{] : 20}4

e) 84: (25· 42) f ) 253: [(–15)5: 35]

a) 106: (54· 24) = 106: (5 · 2)4= 106: (10)4= 102= 100

b) (–12)7_{: [(–3)}5_{· 4}5_{] = (–12)}7_{: [(–3) · 4]}5_{= (–12)}7_{: (–12)}5_{= (–12)}2_{= 144}

c) [(–9)5_{· (–2)}5_{] : 18}4_{= [(–9) · (–2)]}5_{: 18}4_{= 18}5_{: 18}4_{= 18}

d) [57· (– 4)7] : 204= [5 · (– 4)]7: 204= (–20)7: 204= (–20)3= –8 000

e) 84: (25· 42) = (23)4: (25· (22)2) = 212: (25· 24) = 212: 29= 23= 8 f ) 253_{: [(–15)}5_{: 3}5_{] = (5}2₎3_{: [(–15) : 3]}5_{= 5}6_{: (–5)}5_{= –5}

PÁGINA 33

48

Calcula, si existen.

a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j) k) l)

a) = ±1 b) No existe. c) = ±5

d) No existe. e) = ±10 f ) No existe.

g) = ±11 h) No existe. i) = ±20

j) √(– 400) No existe. k)√(+484)= ±22 l) √(–1 000) No existe.

√(+400)

√(–169)

√(+121)

√(–100)

√(+100)

√(–36)

√(+25)

√(–1)

√(+1)

√(–1 000) √(+484)

√(– 400)

√(+400) √(–169)

√(+121)

√(–100) √(+100)

√(–36)

√(+25) √(–1)

√(+1)

(22)

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe

49

_{Reflexiona y calcula, si existen.}

a) b) c) d) e) f ) g) h) i) j) k) l)

a) = 3 b) = –3 c) = ±2

d) No existe. e) = 2 f ) = –2

g) = ±2 h) No existe. i) = 1

j) 7√–1 = –1 k)8√(+1) = ±1 l) 8√–1 No existe.

7

√(+1)

6

√–64

6

√64

5

√–32

5

√32

4

√–16

4

√16

3

√–27

3

√27

8

√–1

8

√(+1)

7

√–1

7

√(+1)

6

√–64

6

√64

5

√–32

5

√32

4

√–16

4

√16

3

√–27

3

√27