Determinación de ruta más corta desde la Sede Principal
hasta la Sede Doctor Angélico de la Universidad Santo
Tomás por medio del Algoritmo de Djikstra y
planteamiento del modelo matemático
Natalia Marcela Martínez Olarte1, Laura Camila Navarrete Cárdenas 2,Oscar Mauricio Gelves Alarcón3
Resumen
El algoritmo de la ruta más corta permite optimizar distancias entre puntos con el fin de reducir costos y tiempos de movilización, de tal forma que el desplazamiento se vuelva más eficiente. La Universidad Santo Tomás de Bogotá tiene cuatro sedes, tres de ellas ubicadas en Chapinero y la otra en el norte de la ciudad, por tal motivo gran parte de la población académica debe desplazarse entre sedes para realizar sus actividades, siendo principales los recorridos que se realizan entre las sedes de Chapinero ya que debido a su cercanía permite que el recorrido se realice caminando. El objetivo de esta investigación fue encontrar la ruta más corta desde la Sede Principal de la Universidad Santo Tomás, ubicada en la Carrera 9 #51-11, hasta el Edificio Doctor Angélico, ubicado en la Carrera 9 #72-90, teniendo en cuenta que la salida de la Sede Principal está ubicada sobre la carrera 13. Para la solución de la ruta se utilizó el Algoritmo de Dijkstra, y se planteó el modelo matemático. Finalmente se comparó la distancia obtenida con la distancia que arroja Google Maps y se determinó que la distancia se aproxima de forma significativa.
Palabras Claves
Djikstra, Programación lineal, Ruta más corta,
TÍTULO DEL ARTÍCULO EN INGLÉS
Calculation of the shortest route from the Headquarters to the Angelic
Doctor Headquarters of the Santo Tomás University through the
Dijkstra Algorithm and approach to the Linear Programming model
ABSTRACT
The algorithm of the shortest route allows to optimize distances between points in order to reduce costs and mobilization times, so that the displacement becomes more efficient. The Santo Tomás University of Bogotá has four locations, three of them located in Chapinero and the other in the north of the city, for this reason a large part of the academic population must travel between venues to carry out their activities, the main routes being They take place between the offices of Chapinero since, due to its proximity, it allows the route to be made on foot. The objective of this research was to find the shortest route from the Main Headquarters of the
is significantly approximated.
Keywords:Djikstra, Linear Programming, Shortest Route
Introducción
El traslado de un punto a otro en una ciudad como Bogotá es importante para realizar análisis e investigaciones, ya que es una ciudad en la cual la mayoría de las calles no cuenta con distancias estándar, y hay muchos caminos posibles de un origen a un destino. Encontrar la ruta más corta de un punto a otro puede generar una disminución de tiempos e incluso de costos importantes para una persona y/o empresa. En el caso de la universidad Santo Tomás Sede Bogotá, muchos de los estudiantes y profesores se tienen que trasladar entre las cuatro sedes, principalmente a través de las tres que están en la localidad de Chapinero. Uno de las herramientas para determinar la ruta más corta entre dos puntos es el Algoritmo de Dijkstra, esta herramienta permitió determinar la mínima distancia que se debe recorrer entre la Sede Principal y el Edificio Doctor Angélico caminando. También se hace el planteamiento del modelo matemático para la programación lineal del problema.
Marco teórico
Teoría de Redes
Las redes están expresadas gráficamente, está compuestas por una cantidad específica de nodos unidos por arcos ya sean en una dirección, o bidireccionales. La red busca representar un flujo entre nodos, que pasa por entre los arcos. En este caso también es utilizado el concepto de nodo origen o nodo fuente que, se refiere a el nodo donde empiezan a salir los ramales, su orientación siempre es hacia fuera, por otra aparte está el nodo destino al cual llegan todos lo ramales, es decir todos los arcos van hacia él, por otra parte, hay nodos de transición los cuales tiene entradas y salidas de flujo. [1]
Algoritmo de la ruta más corta
Es un modelo mediante el cual se genera una red que permite establecer rutas posibles y determinar aquella que represente menor distancia desde un nodo origen hasta un nodo destino. En este algoritmo solo un nodo está denominado como el origen, y otro diferente denominado como el destino, y en medio de estos hay distintos nodos de transición que permiten establecer la ruta óptima para el recorrido. [2]
1 Universidad Santo Tomás, Sede Bogotá. Contacto: nataliamartinezo@usantotomas.edu.co. 2 Universidad Santo Tomás, Sede Bogotá. Contacto: lauranavarrete@usantotomas.edu.co
𝑖=1
Algoritmo de Dijkstra
“[…] es un modelo que se clasifica dentro de los algoritmos de búsqueda. Su objetivo, es determinar la ruta más corta, desde el nodo origen, hasta cualquier nodo de la red. Su metodología se basa en iteraciones, de manera tal que en la práctica, su desarrollo se dificulta a medida que el tamaño de la red aumenta, dejándolo en clara desventaja, frente a métodos de optimización basados en programación matemática.” [3]
Algunas características de este algoritmo es que trabaja por etapas, es decir que a medida que avanza la red va ofreciendo resultados óptimos sin tener en cuenta que pasará a futuro, por ello es posible que la mejor solución esté cambiando constantemente a medida que se avanza en el desarrollo del algoritmo. [4]
Programación Lineal
“La programación lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de resolución de problemas que tiene por objeto ayudar a los responsables en las decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables.” [5] El objetivo de la programación lineal es resolver problemas, logrando minimizar o maximizar un resultado encontrando soluciones viables de acuerdo a restricciones dadas.
Programación lineal ruta más corta
Xij =
1 Tomar el arco desde el origen i=1, 2, 3…m al destino j=2,3,4…n 0
Dij= distancia del arco i=1…m hasta j=1…n
MinZ = ∑𝑚 𝑛 𝑗=1 𝑑𝑖𝑗𝑋𝑖𝑗 S.a 𝑛 ∑ 𝑋𝑖𝑗 = 1 𝑗=1 𝑚 ∑ 𝑋𝑛𝑗 = 1 𝑖=𝑛 Equilibrio
Total Flujo de entrada del =Total flujo de salida del nodo
Xij es 1 ó 0
Metodología
Inicialmente se dibujó la red de grafos del recorrido, tomando cada esquina como nodo, y cada calle o carrera que une las esquinas como arcos. Se tuvo en cuenta que la salida de la sede principal está ubicada sobre la carrera 13, por tanto, se limitó la red entre la Calle 51 y la Calle 73, y entre la Carrera 7 y la Carrera 13. Con base en ello, se toman arcos sobre la carrrera 13 hasta que llega a la calle 67, ya que en este punto la carrera se une a la Avenida Caracas, saliéndose de tal forma de los límites establecidos, en este punto se tuvieron en cuenta otras carreras que estaban dentro de los límites para continuar con el recorrido. Finalizada la red con nodos y arcos, se tomaron las distancias con la información proporcionada en Google Maps.
En el Anexo 1 se encuentra la red con distancias.
Imagen 1. Red entre las dos sedes (Ver en Anexo 1).
Seguido a esto se aplicó el modelo de Dijkstra sobre la red, y se determinó la ruta más corta entre las sedes.
En el Anexo 1 se encuentra la red con la aplicación del Algoritmo Dijkstra.
Imagen 2. Aplicación de algoritmo de Dijkstra (Ver en Anexo 1)
Resultados
Algoritmo de Dijkstra
Por medio del algoritmo de Dijkstra se determinó que la ruta más corta entre la sede Principal y el Edificio Doctor Angélico tiene una distancia de 2445 metros, alcanzando dicha distancia en la iteración número 26 de la red. La ruta está dada de la siguiente forma: nodo 1 ubicado en la carrera 13 con calle 51 (Sede Principal), nodo 2 ubicado en la carrera 13 con calle 52, nodo 5 ubicado en la carrera 13 con calle 52ª, nodo 7 ubicado en la carrera 13 con calle 53, nodo 11 ubicado en la carrera 13 con calle 54, nodo 15 ubicado en la carrera 13 con calle 55, nodo 24 ubicado en la carrera 13 con calle 57, nodo 28 ubicado en la carrera 13 con calle 58 Bis, nodo 30 ubicado en la carrera 13 con calle 59, nodo 36 ubicado en la carrera 13 con calle 60, nodo 37 ubicado en la calle 60 con carrera 9ª, nodo 42 ubicado en la carrera 9ª con calle 61, nodo 47 ubicado en la 9ª con calle 62, nodo 54 ubicado en la carrera 9ª con calle 63, nodo 64 ubicado en la carrera 9ª con calle 64, nodo 70 ubicado en la carrera 9 con calle 65, nodo 77 ubicado en la carrera 9 con calle 66, nodo 86 ubicado en la carrera 9 con calle 67, nodo 90 ubicado en la carrera 9 con calle 67ª, nodo 94 ubicado en la carrera 9 con calle 69, nodo 100 ubicado en la
carrera 9 con calle 69ª, nodo 103 ubicado en la carrera 9 con calle 69ª bis, nodo 107 ubicado en la carrera 9 con calle 70, nodo 115 ubicado en la carrera 9 con calle 70ª, nodo 118 ubicado en la carrera 9 con calle 71, nodo 121 ubicado en la carrera 9 con calle 72, y finalmente el nodo 126 que está ubicado en la carrera 9 con calle 72 – 90 (Edificio Doctor Angélico).
En total el recorrido tiene un total de 26 iteraciones, recorriendo en total una distancia de 2445 metros.
Programación lineal – Modelo matemático
Xij 1 Es escoger arco origen i= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125 al destino j= 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126. 0 Ecuación objetivo MinZ = 100X12 + 140X11.5 + 87X1.51.8 + 90X1.53 + 87X1.81.5 + 83X1.84+ 55X25 + 160X23 + 160X32 + 50X36 + 87X34 + 90X31.5 + 87X43 + 130X410 + 83X41.8 + 55X52 + 160X56 + 57X57 + 50X63 +160X65 + 63X69 + 57X75 + 110X78 + 74X711 + 110X87 + 70X89 + 61X812 + 63X96 + 70X98 + 75X910 + 61X913 + 130X104 + 75X109 + 53X1014 + 74X117 + 120X1112 + 150X1115 + 61X128 + 120X1211 + 72X1213 + 70X1216 + 61X139 + 72X1312 + 66X1314 + 53X1410 + 66X1413 + 160X1421 + 150X1511 + 120X1518 + 200X1524 + 70X1612 + 56X1617 + 83X1618 + 56X1716 + 78X1720 + 83X1816 + 120X1815 + 35X1819 + 35X1918 + 62X1920 + 72X1922 + 78X2017 + 62X2019 + 81X2021 + 160X2114 + 81X2120 + 78X2123 + 72X2219 + 83X2223 + 130X2226 + 78X2321 + 83X2322 +130X2327 + 200X2415 + 98X2425 + 110X2428 + 98X2524 + 110X2526 + 100X2529 + 110X2625 + 130X2622 + 87X2627 + 130X2723 + 87X2726 + 120X2733 + 110X2824 + 140X2829 + 110X2830 + 100X2925 + 140X2928 + 71X2931 + 110X3028 + 170X3031 + 96X3036 + 71X3129 + 170X3130 + 100X3132 + 58X3134 + 100X3231 + 52X3233 + 61X3235 + 120X3327 + 52X3332 + 120X3339 + 58X3431 + 110X3435 + 55X3438 + 61X3532 + 1103534 + 96X3630 + 100X3637 + 120X3640 + 100X3736 + 110X3738 + 110X3742 + 55X3834 + 110X3837 + 110X3839 + 110X3843 + 120X3933 + 110X3938 + 110X3944 + 120X4036 + 85X4041 + 89X4045 + 85X4140 + 54X4142 + 130X4146 + 110X4237 + 54X4241 + 120X4243 + 120X4247 + 110X4338 + 120X4342 + 120X4344 + 130X4350 + 110X4439 + 120X4443 + 87X4451 + 89X4540 + 100X4546 + 83X4552 + 130X4641 + 100X4645 + 77X4647 + 120X4742 + 77X4746 + 78X4748 + 91X4754 + 78X4847+ 36X4849 + 81X4855 + 36X4948 + 52X4950 + 70X4955 + 130X5043 + 52X5049 + 120X5051
+ 99X5056 + 87X5144 + 120X5150 + 130X5157 + 83X5245 + 60X5258 + 72X5253 + 72X5352 + 150X5354 + 59X5359 + 91X5447 + 150X5453 + 82X5455 + 61X5464 + 81X5548 + 70X5549 + 82X5554 + 43X5556 + 49X5560 + 99X5650 + 43X5655 + 100X5657 + 75X5660 + 130X5751 + 100X5756 + 77X5766 + 60X5852 + 79X5859 + 91X5861 + 59X5953 + 79X5958 + 120X5963 + 56X5962 + 49X6055 + 75X6056 + 31X6065 + 91X6158 + 97X6162 + 97X6167 + 56X6259 + 97X6261 + 100X6263 + 100X6268 + 120X6359 + 100X6362 + 87X6364 + 96X6369 + 61X6454 + 87X6463 + 57X6465 + 91X6470 + 31X6560 + 57X6564 + 130X6566 + 89X6571 + 77X6657 + 130X6665 + 100X6672 + 97X6761 + 120X6768 + 110X6773 + 100X6862 + 120X6867 + 110X6869 + 99X6874 + 96X6963 + 110X6968 + 99X6970 + 120X6975 + 91X7064 + 99X7069 + 67X7071 + 130X7077 + 89X7165 + 67X7170 + 120X7172 + 75X7179 + 100X7266 + 120X7271 + 70X7280 + 110X7367 + 150X7374 + 110X7381 + 99X7468 + 150X7473 + 110X7475 + 93X7482 + 120X7569 + 110X7574 + 51X7576 + 80X7584 + 51X7675 + 50X7677 + 78X7685 + 130X7770 + 50X7776 + 80X7778 + 74X7786 + 80X7877 + 53X7879 + 67X7887 + 75X7971 + 53X7978 + 120X7980 + 70X8072 + 120X8079 + 120X8088 + 110X8173 + 180X8182 + 93X8274 + 180X8281 + 75X8283 + 160X8291 + 75X8382 + 41X8384 + 120X8392 + 80X8475 + 41X8483 + 50X8485 + 62X8489 + 78X8576 + 50X8584 + 58X8586 + 74X8677 + 58X8685 + 76X8687 + 68X8690 + 67X8778 + 76X8786 + 120X8788 + 120X8880 + 120X8887 + 110X8897 + 62X8984 + 110X8990 + 67X8993 + 68X9086 + 110X9089 + 53X9094 + 160X9182 + 71X9192 + 110X91104 + 120X9283 + 71X9291 + 54X9293 + 62X9298 + 67X9389 + 54X9392 + 110X9394 + 53X9490 + 110X9493 + 75X9495 + 73X94100 + 75X9594 + 73X9596 + 180X95108 + 73X9695 + 83X9697 + 180X96109 + 110X9788 + 83X9796 + 190X97110 + 62X9892 + 47X98101 + 59X98105 + 110X99100 + 11X99101 + 73X10094 + 110X10099 + 26X100103 + 11X10199 + 47X10198 + 12X101102 + 12X102101 + 110X102103 + 26X103100 + 110X103102 + 67X103107 + 110X10491 + 81X104105 + 33X104111 + 59X10598 + 81X105104 + 8X105106 + 8X106105 + 160X106107 + 12X106112 + 67X107103 + 160X107106 + 76X107108 + 96X107115 + 180X10895 + 73X108109 + 76X108107 + 180X10996 + 73X109108 + 86X109110 + 190X11097 + 86X110109 + 100X110116 + 33X111104 + 85X111112 + 70X111113 + 12X112106 + 85X112111 + 71X112114 + 70X113111 + 83X113114 + 83X113117 + 71X114112 + 83X114113 + 150X114115 + 96X115107 + 150X115114 + 240X115116 + 74X115118 + 100X116110 + 240X116115 + 190116122 + 83X117113 + 240X117118 + 120X117119 + 74X118115 + 240X118117 + 99X118121 + 120X119117 + 150X119120 + 150X119123 + 150X120119 + 110X120121 + 150X120124 + 99X121118 + 110X121120 + 200X121122 + 160X121126 + 190X122116 + 200X122121 + 150X122125 + 150X123119 + 140X123124 + 150X124120 + 140X124123 + 100X124126 + 150X125122 + 180X125126. Sujeto a:
Restricciones de origen y destino
1. X11.5 + X12 = 1
2. X121-126 + X124-126 + X125-126 = 1
Restricción binaria
Restricciones de nodos de transición 4. Nodo 1.5= X11.5+X31.5+X1.81.5=X1.53+X1.51.8 5. Nodo 1.8= X1.51.8+X41.8=X1.81.5+X1.84 6. Nodo 2= X12 + X32 + X52 = X25 + X23 7. Nodo 3= X23+X63+X43=X32+X36+X34 8. Nodo 4= X34+X104=X43+X410 9. Nodo 5= X25+X75+X65=X52+X56+X57 10. Nodo 6= X36+X56+X96=X63+X65+X69 11. Nodo 7= X57+X87+X117=X75+X78+X711 12. Nodo 8= X78+X98+X128=X87+X89+X812 13. Nodo 9= X89+X69+X109+X139=X98+X96+X910+X913 14. Nodo 10= X410+X910+X1410=X104+X109+X1014 15. Nodo 11= X711+X1211+X1511=X117+X1112+X1115 16. Nodo 12= X812+X1112+X1312+X1612=X128+X1211+X1213+X1216 17. Nodo 13= X1213+X913+X1413=X1312+X139+X1314 18. Nodo 14= X1014+X1314+X2114=X1410+X1413+X1421 19. Nodo 15= X1115+X1815+X2415=X1511+X1518+X1524 20. Nodo 16= X1216+X1716+X1816=X1612+X1617+X1618 21. Nodo 17= X1617+X2017=X1716+X1720 22. Nodo 18= X1518+X1618+X1918=X1815+X1816+X1819 23. Nodo 19= X1819+X2019+X2219=X1918+X1920+X1922 24. Nodo 20= X1720+X1920+X2120=X2017+X2019+X2021 25. Nodo 21= X2021+X1421+X2321=X2114+X2120+X2123 26. Nodo 22= X1922+X2322+X2622=X2219+X2223+X2226 27. Nodo 23= X2123+X2223+X2723=X2321+X2322+X2327 28. Nodo 24= X1524+X2524+X2824=X2415+X2425+X2428 29. Nodo 25= X2425+X2925+X2625=X2524+X2529+X2526 30. Nodo 26= X2526+X2226+X2726=X2625+X2622+X2627 31. Nodo 27= X2627+X2327+X3327=X2726+X2723+X2733 32. Nodo 28= X2428+X2928+X3028=X2824+X2829+X2830 33. Nodo 29= X2529+X2829+X3129=X2925+X2928+X2931 34. Nodo 30= X2830+X3130+X3630=X3028+X3031+X3036 35. Nodo 31= X2931+X3031+X3431+X3231=X3129+X3130+X3134+X3132 36. Nodo 32= X3132+X3332+X3532=X3231+X3233+X3235 37. Nodo 33= X2733+X3233+X3933=X3327+X3332+X3339 38. Nodo 34= X3134+X3534+X3834=X3431+X3435+X3438 39. Nodo 35= X3435+X3235=X3534+X3532 40. Nodo 36= X3036+X4036+X3736=X3630+X3640+X3637 41. Nodo 37= X3637+X4237+X3837=X3736+X3742+X3738 42. Nodo 38= X3438+X3738+X4338+X3938=X3834+X3837+X3843+X3839 43. Nodo 39= X3339+X3839+X4439=X3933+X3938+X3944 44. Nodo 40= X3640+X4140+X4540=X4036+X4041+X4045 45. Nodo 41= X4041+X4641+X4241=X4140+X4146+X4142
46. Nodo 42= X4142+X4742+X4342=X4241+X4247+X4243 47. Nodo 43= X4243+X5043+X4443=X4342+X4350+X4344 48. Nodo 44= X4344+X5144=X4443+X4451 49. Nodo 45= X4045+X4645+X5245=X4540+X4546+X4552 50. Nodo 46= X4546+X4146+X4746=X4645+X4641+X4647 51. Nodo 47= X4247+X4647+X4847+X5447=X4742+X4746+X4748+X4754 52. Nodo 48= X4748+X4948+X5548=X4847+X4849+X4855 53. Nodo 49= X4849+X5549+X5049=X4948+X4955+X4950 54. Nodo 50= X4950+X4350+X5150+X5650=X5049+X5043+X5051+X5056 55. Nodo 51= X4451+X5051+X5751=X5144+X5150+X5157 56. Nodo 52= X4552+X5352+X5852=X5245+X5253+X5258 57. Nodo 53= X5253+X5953+X5453=X5352+X5359+X5354 58. Nodo 54= X5354+X4754+X6454+X5554=X5453+X5447+X5464+X5455 59. Nodo 55= X4855+X4955+X5455+ X5655 + X6055=X5548+X5549+X5554+X5556+ X5560 60. Nodo 56= X5056+X5556+X6056+X5756=X5650+X5655+X5660+X5657 61. Nodo 57= X5157+X5657+X6657=X5751+X5756+X5766 62. Nodo 58= X5258+X5958+X6158=X5852+X5859+X5861 63. Nodo 59= X5359+X5859+X6259+X6359=X5953+X5958+X5962+X5963 64. Nodo 60= X5560+X6560+X5660=X6055+X6065+X6056 65. Nodo 61= X5861+X6261+X6761=X6158+X6162+X6167 66. Nodo 62= X5962+X6162+X6362+X6862=X6259+X6261+X6263+X6268 67. Nodo 63= X5963+X6263+X6963+X6463=X6359+X6362+X6369+X6364 68. Nodo 64= X6364+X5464+X6564+X7064=X6463+X6454+X6465+X6470 69. Nodo 65= X6065+X6465+X6665+X7165=X6560+X6564+X6566+X6571 70. Nodo 66= X5766+X6566+X7266=X6657+X6665+X6672 71. Nodo 67= X6167+X6867+X7367=X6761+X6768+X6773 72. Nodo 68= X6268+X6768+X6968+X7468=X6862+X6867+X6869+X6874 73. Nodo 69= X6369+X6869+X7569+X7069=X6963+X6968+X6975+X6970 74. Nodo 70= X6470+X6970+X7170+X7770=X7064+X7069+X7071+X7077 75. Nodo 71= X6571+X7071+X7271+X7971=X7165+X7170+X7172+X7179 76. Nodo 72= X6672+X7172+X8072=X7266+X7271+X7280 77. Nodo 73= X6773+X7473+X8173=X7367+X7374+X7381 78. Nodo 74= X6874+X7374+X7574+X8274=X7468+X7473+X7475+X7482 79. Nodo 75= X6975+X7475+X8475+X7675=X7569+X7574+X7584+X7576 80. Nodo 76= X7576+X7776+X8576=X7675+X7677+X7685 81. Nodo 77= X7677+X7077+X8677+X7877=X7776+X7770+X7786+X7778 82. Nodo 78= X7978+X7778+X8778=X7879+X7877+X7887 83. Nodo 79= X7179+X7879+X8079=X7971+X7978+X7980 84. Nodo 80= X7280+X7980+X8880=X8072+X8079+X8088 85. Nodo 81= X7381+X8281=X8173+X8182 86. Nodo 82= X7482+X8182+X9182+X8382=X8274+X8281+X8291+X8283 87. Nodo 83= X8283+X9283+X8483=X8382+X8392+X8384 88. Nodo 84= X8384+X7584+X8584+X8984=X8483+X8475+X8485+X8489
90. Nodo 86= X8586+X7786+X8786+X9086=X8685+X8677+X8687+X8690 91. Nodo 87= X7887+X8687+X8887=X8778+X8786+X8788 92. Nodo 88= X8088+X8788+X9788=X8880+X8887+X8897 93. Nodo 89= X8489+X9089+X9389=X8984+X8990+X8993 94. Nodo 90= X8690+X8990+X9490=X9086+X9089+X9094 95. Nodo 91= X8291+X9291+X10491=X9182+X9192+X91104 96. Nodo 92= X9192+X8392+X9892+X9392=X9291+X9283+X9298+X9293 97. Nodo 93= X8993+X9293+X9493=X9389+X9392+X9394 98. Nodo 94= X9094+X9394+X10094+X9594=X9490+X9493+X94100+X9495 99. Nodo 95= X9495+X9695+X10895=X9594+X9596+X95108 100. Nodo 96= X9596+X9796+X10996=X9695+X9697+X96109 101. Nodo 97= X8897+X9697+X11097=X9788+X9796+X97110 102. Nodo 98= X9298+X10198+X10598=X9892+X98101+X98105 103. Nodo 99= X10199+X10099=X99100+X99101 104. Nodo 100= X94100+X99100+X103100=X10094+X10099+X100103 105. Nodo 101= X99101+X98101+X102101=X10199+X10198+X101102 106. Nodo 102= X101102+X103102=X102101+X102103 107. Nodo 103= X100103+X102103+X107103=X103100+X103102+X103107 108. Nodo 104= X91104 +X105104 + X111104 = X10491 + X104105 + X104111 109. Nodo 105= X98105 + X104105 + X106105 = X10598+ X105104 + X105106 110. Nodo 106= X105106 + X107106 + X112106 = X106105+ X106107 + X106112 111. Nodo 107= X103107 + X106107 + X108107 + X115107 = X107103 + X107106 + X107108 + X107115 112. Nodo 108= X95108 + X107108 + X109108 = X10895 + X108107+ X108109 113. Nodo 109= X96109 + X108109 + X110109 = X10996 + X109108 + X109110 114. Nodo 110= X97110 + X109110 + X116110 = X11097 + X110109 + X110116 115. Nodo 111= X104111 + X112111 + X113111 = X111104 + X111112 + X111113 116. Nodo 112= X106112 + X111112 + X114112 = X112106 + X112111 + X112114 117. Nodo 113= X111113 + X114113 + X117113 = X113111 + X113114 + X113117 118. Nodo 114= X112114 + X113114 + X115114 = X114112 + X114113 + X114115 119. Nodo 115= X107115 + X114115 + X116115 +X118115 = X115107 + X115114 + X115116 + X115118 120. Nodo 116= X110116 + X115116 + X122116 = X116110 + X116115 + X116122 121. Nodo 117= X113117 + X118117 + X119117 = X117113 + X117118 + X117119 122. Nodo 118= X115118 + X117118 + X121118 = X118115 + X118117 + X118121 123. Nodo 119= X117119 + X120119 + X123119 = X119117 + X119120 + X119123 124. Nodo 120= X119120 + X121120 + X124120 = X120119 + X120121 + X120124 125. Nodo 121= X118121 + X120121 + X122121 = X121118 + X12120 + X121122 + X121126 126. Nodo 122= X116122 + X121122 + X125122 = X122116 + X122121 + X122125 127. Nodo 123= X119123 + X124123 = X123119 + X123124 128. Nodo 124= X120124 + X123124 = X124120 + X124123 + X124126 129. Nodo 125= X122125 = X125122 + X125126
Análisis de resultados
El algoritmo de Dijkstra fue la herramienta utilizada para determinar la distancia mínima que se recorre en la ruta más corta, que en este caso se obtuvo de 2445 metros. Por otra parte, no se pudo realizar la aplicación de la programación lineal en solver debido a la capacidad del sistema, ya que el modelo consta de 403 variables y 129 restricciones.
Utilizando la herramienta Google Maps, se hizo la comparación de la ruta más corta y de la distancia obtenida:
Imagen 4. Parte 1 de ruta propuesta por Google Maps.
Como se puede observar en las imágenes la ruta propuesta por Google Maps, la ruta es la misma que se determinó con el algoritmo de Dijkstra, consistiendo en tomar la carrera 13 desde la calle 51 hasta la calle 60, en este punto girar y tomar la carrera 9ª, continuar por esta carrera desde la calle 60 hasta la calle 64, y desde este punto continuar por la carrera 9 hasta llegar al destino.
Imagen 6. Distancia por Google Maps.
La distancia que muestra la plataforma de Google Maps para el recorrido es de 2.5 km, en el algoritmo desarrollado se determinó que la distancia es de 2.445 km, es decir que se presenta un error porcentual de 2.2%, la distancia determinada por medio del algoritmo es 2.2% menos que la distancia que determina Google Maps.
Conclusiones
Se determinó que la ruta más corta entre la Sede Principal y el Edificio Doctor Angélico de la Universidad Santo Tomás (Bogotá) recorre una distancia total de 2.445 km, siendo similar en un 97.8% a la distancia que se obtiene de Google Maps.
La ruta que se debe recorrer para utilizar la ruta más corta entre las dos sedes está dada por la siguiente consecución de nodos: 1-2-5-7-11-15-24-28-30-36-37-42-47-54-64- 70-77-86-90-94-100-103-107-115-118-121-126, estableciendo así un total de 26 iteraciones.
El error porcentual entre la distancia obtenida por medio del Algoritmo de Dijkstra y la distancia de Google Maps es del 2.2%, es decir 55 metros, por ello se concluye que la aplicación del algoritmo se acerca en gran proporción al resultado guía, dicho error puede deberse a la calibración que hace el sistema de Google Maps para aproximar distancias, y/o al error del factor humano al ajustar las distancias sobre la red.
El modelo matemático se planteó con base en 403 variables representadas por los arcos y nodos, y con 129 restricciones, debido a la limitación de programas disponibles para resolver la programación lineal teniendo en cuenta la capacidad necesaria, en esta investigación no fue posible resolver el modelo para comparar con el resultado del algoritmo de Dijkstra, se establece como punto de partida para futuras investigaciones.
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