Funciones

FUNCIONES

FUNCIONES

MATEMÁTICAS

FUNCIONES

FUNCIONES

• Definición de función. Dominio y codominio.

• Representación gráfica

• Clasificación de funciones

• Ceros de una función

Las funciones constituyen una herramienta

útil para describir, analizar e interpretar

diversas situaciones provenientes de la

Matemática y de otras ciencias.

Permiten expresar relaciones entre variables

y construir modelos referidos a distintas

áreas (biología, economía, física, etc.).

Funciones

¿Qué es una función?

y

x

yyy

y

x

Esta unidad te presenta un nuevo desafío: el estudio de funciones. Seguramente tendrás alguna idea sobre este tema estudiado en la escuela.

¿Función?

f(x) = x - 4

f(x) = x2 _{+ 3}

Para pensar…

Ud. es seleccionado para trabajar como vendedor en una concesionaria de automóviles. En la entrevista se acuerdan las condiciones del trabajo, beneficios que se le otorgan y la forma en que se compone el sueldo.

Cada vendedor recibe un sueldo fijo de $700 y $200 adicionales por cada automóvil vendido. El número máximo de unidades a vender por cada vendedor es de 8 y si se presenta la oportunidad de una nueva venta, a partir de la octava, deberá cederla a otro vendedor.

¿Qué sueldo recibirá si vende 6 automóviles?

¿Y si no realiza ninguna venta?

$700 + 6 . $200 = $1900 ¿Y si vende 3 automóviles? $700 + 3 . $200 = $1300

$700

¿Y si vende x automóviles? y = $700 + $200. x

Fórmula

Por lo tanto estás relacionando en cada caso dos variables:

número de autos vendidos variable independiente (x) sueldo que le corresponde variable dependiente (y)

Los datos obtenidos se pueden organizar en una tabla de valores donde

y = 700 + 200 x

x y 6 3 0 … 1900 1300 700 …

Cada mes, tu sueldo puede variar,¿de qué depende esa variación? El sueldo depende de la cantidad de vehículos vendidos

Podés observar que:

“a cada vendedor de la agencia se le asigna

un único sueldo en el mes”, quedando el mismo determinado por la cantidad de vehículos vendidos.

Observá las gráficas.¿Cuál corresponde al problema?

¿Por qué?

Gráfica A Gráfica B

Sueldo percibido en función de los autos vendidos

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x y 200 1000 2000 2400 0

Sueldo percibido en función de los autos vendidos

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

¿Qué valores puede tomar la variable y?

Pensá:¿Puede percibir un sueldo de $600, trabajando en esa agencia?

¿Qué valores puede tomar la variable x?

Pensá: ¿Puede venderse 2,7 autos? ¿Y 10 autos?

NO,

solo pueden venderse

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

autos

NO

,

Sueldo percibido en función de los autos vendidos

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x (autos vendidos) y (sueldo) 200 2400 1000 2000 0 Titulo Variables Escala Además:

Para realizar un gráfico que describa la información que querés transmitir debés tener en cuenta:

• Escribir un título que permita determinar la información suministrada.

• Ubicar la variable independiente en el eje horizontal y la dependiente en el eje vertical.

• Elegir la escala a utilizar para cada variable (pueden ser diferentes).

Representación gráfica

Representación gráfica

Llegamos de esta manera a formalizar la definición de función

Se llama función del conjunto A en el conjunto B ( f : A  B ) a toda correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos, de modo que a

todo elemento del conjunto A le corresponde un único elemento del conjunto B.

El conjunto A es el dominio de la función y el conjunto B el codominio

x y = 700 + 200 x

6 3 0 1 2 4 5 7 8 1900 1300 700 900 1100 1500 1700 2100 2300

Si se designa con x a los elementos del conjunto A

y con y a los elementos del conjunto B, la relación entre las variables la simbolizamos:

y = f(x), y = g(x), y = s(x), etc.

donde f, g, s, … es el nombre de la función

y es la imagen de x y x es la pre-imagen de y f(6) = 1900, es decir:

1900 es la imagen de 6 o 6 es la pre-imagen de 1900

Además: f(6) es el sueldo que cobrará si vende 6 autos

Función: definición

Función: definición

El conjunto formado solo por los posibles sueldos es el conjunto imagen: Im f = { 700, 900, 1100,1300, 1500, 1700, 1900, 2100, 2300 }

El conjunto formado por todos los valores que puede tomar la variable independiente es el dominio de la función, y el conjunto

de todos los valores que puede tomar la variable dependiente es el conjunto imagen.

Dominio, codominio y conjunto imagen

Dominio, codominio y conjunto imagen

Dm f se lee dominio de f

Codm f se lee codominio de f

Im f se lee imagen de f

El dominio en el problema de la agencia es {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Se escribe: Dm f = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

El codominio es cualquier conjunto al que pertenezcan los posibles sueldos de los vendedores.

Codm f = { 700, 900, 1100,1300, 1500, 1700, 1900, 2100, 2300 } o

Codm f = {x / x < 3000 } o

Ceros o raíces

Crecimiento y decrecimiento

Una función puede tener intervalos de

crecimiento, de decrecimiento, y otros en los

que sea constante. En éstos, cuando x

Periodicidad

Una función es periódica cuando la forma

de su gráfica se repite cada cierto intervalo.

La longitud de dicho intervalo se llama

Continuidad

Una función es continua cuando se puede

dibujar sin interrumpir el trazo.

Clasificación de funciones

Clasificación de funciones

•

Función lineal:

es toda función cuya fórmula sea de la forma y = a x

+ b

Su gráfica es una recta: a es la pendiente y b es la ordenada al origen.

b = 0, es de proporcionalidad directa.

a = 0, una función constante.

•

Función cuadrática

, se expresa y = a . x² + b . x + c

Su gráfica es una curva llamada parábola. Cada parábola tiene un eje

de simetría paralelo al eje de las ordenadas, y un vértice que es el

punto del eje de simetría que pertenece a la curva.

Funciones

Lineales

Cuadráticas

•

De proporcionalidad directa:

toda función que sea de la forma

y = k . x (k distinto a 0)

Las gráficas de estas funciones son rectas que contienen al origen

de coordenadas.

El número k es la constante de proporcionalidad y gráficamente

está asociado a la inclinación de la recta.

•

De proporcionalidad inversa:

toda función cuya expresión sea de

la forma y = k/x (k es un número real; x distinto a 0 y k distinto a 0)

Los puntos de su gráfica están sobre una curva llamada hipérbola,

que no tiene contacto con los ejes cartesianos.

f(3) = 10 es el valor que toma f cuando x = 3 ó 10 es la imagen de 3

ó 3 es la pre-imagen de 10 ó (3, f(3)) ϵ f

ó (3, 10) ϵ f

El número x = a es cero o raíz de f(x)  f(a) = 0

Es decir: Si el número x = a es cero o raíz de f(x) entonces f(a) = 0 y si f(a) = 0 entonces el número a es cero o raíz de f(x)

 se lee: “si y solo si”

Ceros de una función

Ceros de una función

Si f(x) es una función, indicamos con f(a) al valor que toma la función cuando x = a

Ejemplo: Calculá los ceros de f(x) = x2 _{– 4}

debés encontrar los valores de x para los cuales

x2 _{– 4 = 0}

Ceros de una función

Ceros de una función

-3 -2 -1 1 2 3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x y

Ceros de f(x)

Para calcular los cero de una función f, debés hallar los valores para los cuales f(x) = 0

Al resolver la ecuación, resulta x₁ = 2 y x₂ = -2

2 es cero de f porque f(2) = 22 _{– 4 = 0}

-2 es cero de f porque f(-2) = (-2)2 _{– 4 = 0}

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