Abastecimiento y distribución de agua

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UNIVERSIDAD DE NUEVO LEON

F A C U L T A D D E I N G E N I E R I A C I V I L

E S C U E L A D E G R A D U A D O S - I N G E N I E R Í A E N S A L U D P U B L I C A

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F e c h a C l a s i f i c ó C a t a l o g ó

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UNIVERSIDAD DE NUEVO LEON

F A C U L T A D D E I N G E N I E R I A C I V I L

E S C U E L A D E G R A D U A D O S - I N G E N I E R Í A E N S A L U D P U B L I C A

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BIBLIOTECA UNIVERSITARIA "ALFONSO REYES11

M O N T E R R E Y , M E X I C O

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U N I V E R S I D A D DE N U E V O L E O N

F A C U L T A D DE I N G E N I E R I A C I V I L

CURSO INTENSIVO SOBRE

ABASTECIMIENTO Y DISTRIBUCION DE AGUA

HIDRAULICA APLICADA

I N G . SABAS RODRIGUEZ RODRIGUEZ Prof. de la Facultad de Ingenierfa

Mecánica y Eléctrica, UNL.

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CONTENIDO

CAPITULO I

1 . - Presión . . . 3

2 . - Principio de Pascal 3 3 . Diferencia de presión entre 2 puntos de un fluTdo en

-reposo. 4 4 . - Escalas de medida de la presión 6

5 . - Manómetros 7 6 . - Presión total sobre superficies planas y curvas 8

CAPITULO II

7 . - Movimiento de los fluTdos 14 8 . - LFnea de corriente y tubo de corriente 16

9 . - Ecuación de la continuidad 17 10- Ecuación de la energfa 18

CAPITULO III

11.- Viscosidad 28 12.- Número de Reynolds 31

13. Resistencia al flu|o en tubos circulares con flujo

-laminar. 34 14.- Gradiente Hidráulico y Gradiente de E n e r g f a . . . 38

15. Resistencia al flujo turbulento en conductos abiertos

-y cerrados 38 16.- Resistencia debida al rozamiento en canales abiertos.. 40

17.- Resistencia debida al rozamiento en tuberfas 42

(7)

HIDRAULICA APLICADA

l o . - Presión: Presión unitaria se interpreta como la fuerza nor-mal que actúa sobre una superficie dividida por el área. Si la — presión unitaria es la misma en todos los puntos de una área A se-llama presión media.

p = £ e - i )

Si la presión unitaria es diferente en cada punto de una superficie la presión unitaria en cualquier punto es igual al límite del cocien te de la fuerza (presión total) actuando sobre la superficie que ro-dea al punto dividida entre esa área cuando el área tiende a cero.

p = lim d - 2 )

Para evitar ambigüedades en la terminologfa se entenderá por el -término presión, para abreviar, presión unitaria. Cuando sea ne-cesario hablar de presión total o fuerza se aclarará el término com pletamente.

Las unidades de presión en el sistema técnico deben de ser -7—— í • Q fcQ i ^ i , debido a facilidades técnicaíes común usar otras

relacio-nes tales como: kg/cm^, kg/mm^, gr/cm^ etc. En el sistema in glés las relaciones más comunes son: l b / ft2 o Ib/in2.

La presión resultante en un plano cualquiera en un flufdo en repo-so es siempre normal. Por definición un flufdo en reporepo-so no puede resistir esfuerzos de corte.

2 o . - Principio de Pascal: En cualquier punto de un flufdo en re poso la presión es la misma en todas direcciones.

Para demostrar lo anterior consideramos un prisma fig 1 infinitesi-mal de forma triangular en un flufdo en reposo, en cuerpo libre.

(8)

Como no hay esfuerzos de cortelas presiones son normales a cortelas superficies. El peso del prisma por ser un infinitésimo de orden -superior se puede despreciar. Las ecuaciones de equilibrio en las -direcciones X y Y son:

p¿: dy - ps Sen 0 ds = 0 (2-1)

py dx - Ps eos 0 d s r 0 (2-2) as sen 9 = dy ds eos 0 =. dx Px d y - psG d y = 0 (2-3)

Py dx - p; dx =. 0 (2-4)

Px = Ps= Py. (2-5)

Como 0 es un ángulo arbitrario, -esta ecuación prueba que la presión en un punto de un fluTdo en -reposo, es la misma en todas di — recciones. La demostración se ha hecho en un caso bidimensional, -pensando en una profundidad uniforme y las presiones en el sentido — perpendicular al papel se anularan. Se podrra haber demostrado el -caso tridimensional con las ecuaciones de equilibrio aplicadas a un te taedro infinitesimal de flurdo con tres caras en los planos coordenados y la cuarta arbitrariamente inclinada.

3 o- ~ Diferencia de presión entre dos puntos de un flurdo en reposo:

Se estudiará primero el caso en que los 2 puntos están en un plano ho-rizontal en un flufdo en reposo:

Se toma un cuerpo libre cilindrico AB y de bases normales al eje en A y B. Las

| 1 i únicas fuerzas que actúan en dirección

# * ^ axial son Pa da y Pb da siendo "da" el

g* 2 " área de la sección del cilindro. Toman

do suma de fuerzas en la dirección del eje tenemos que p a ^ pb, lo que prueba que en 2 puntos del mismo plano horizontal en una masa — continua de un flufdo en reposo existe la misma presión.

4 Fig. #1

Como no hay variación de presión en una dirección horizontal se

estudiará ahora la dirección vertical. Consideremos un cuerpo

-libre de un flufdo en reposo Fig 3 consistente en un prisma de sec ción recta A con un eje vertical de altura dy, la base está a una" altura y por encima de un origen arbitrario.

La presión en y es p . La va-— riación de p en el sentido y es dp/dy.

Como no existen tensión de ~ cortadura y el cuerpo está en -reposo, las fuerzas que actúan sobre el prisma tienen que e s -tar en equilibrio.

i i '

PA - dy)

0A( 3 Td y

Fig

pA . pA dyA -Simplificando

P

d

donde V* es el peso unitario del fluido.

A d y = O (3-2)

- tf dy (3-4) 4 = = 0 - 3 ) dp =

Esta ecuación diferencial relaciona la variación de presión con el peso unitario y con la variación de la altura, sirve.indistintamente para flufdos comprensibles e incomprensibles. Para flufdos i n -comprensibles ^ es constante y la ecuación puede integrarse.

P = - + Const. (3-5)

que se conoce como la ecuación fundamental de la hidrostática

Aplicando la ecuación de la hidrostática a un flufdo con

(9)

eje libre Fig. 4 y llamando PQ la presión atmosférica en la

superfi-cie y p presión en cualquier punto, tenemos que para y ^ H p ^ p

Fig. #4

Pos" -tfH f Const. (3-6)

C - P 0 M H (3-7)

P ^ ; Y x + P o + T j H (3-8)

p ^ Po + i f ( H - y ) (3-9)

P ^ P04= >fh (3-10)

b o

que es la formula común de, la ley de la hidrostática para calcular la presión en cualquier profundidad de un flufdo incompresible en -reposo» S. se quiere encontrar la sobre presión o presión sobre là ~ presión atmosférica la fórmula se reduce p - "Jh (3-11)

4 0' " Pealas de medida de la presión: Las presiones pueden

expresarse con referencia a un origen arbitrario. Los orígenes más u s u a -les son el vacío absoluto y la presión atmorférica local. Cuando se orna como origen la presión atmosférica local, se llama presión r e -lativa o manomètrica. Obviamente que presión absoluta negativa es imposible a la presión negativa relativa se acostumbra llamar vacfo-o succión. La Fig. 5 ilustra lvacfo-os vacfo-orígenes y escalas mas frecuentes.

Al hablar de presión es manomètrica a menos que se especifique-el término presión absoluta.

Transmisión de la presión en un flufdo incompresible.

Escribiendo la ecuación: p — pQ f ^ H (3-10)

en la forma p^ — p^ +- ^ H (4-1 )

Se interpreta que la presión en cualquier punto 1 en un flufdo en reposo es igual a la presión en cualquier otro punto 2, más la pre sión ejercida por una columna de flufdo de altura H/ la cual es -igual a la diferencia de elevación entre los 2 puntos. Cualquier cambio de presión en 2 causará un cambio de presión en 1 . Ex-presado en otra forma, una presión aplicada en cualquier punto en un líquido en reposo se transmite igualmente y sin perder intensi-dad a cualquier punto del flufdo. Este principio atribuido a Pas— cal tiene una amplia aplicación. (Prensa Hidráulica, Servo Me— canismo, etc.)

5 o . - Manómetros: De la ecuación (p^ V*h) despejando h tenemos h p ; que se interpreta como la altura de una columna

-de flufdo d^peso unitario necesaria para producir una presión p. Este principio es usado en los manómetros para mediciones de presión o diferencias de presión.

(10)

ma-nómetros diferenciales se conectan las ramas a diferentes recipientes sin medir la presión en cada uno.

Fig.#6

Para resolver los problemas relacionados con manómetros puede se guirse un procedimiento general.

a) Hacer un croquis o bosquejo del manómetro.

b) Partir de un extremo y marcar los puntos notables (meniscos) c) Partir de un extremo con .Ja presión désconocida en ese punto o su equivalente en metros de algún fluTdo, (generalmente agua) sumar — algebraicamente a ésta el cambio de presión hasta el siguientes punto

notable y asi0 sucesivamente hasta llegar al otro extremo.

d.) De la ecuación resultante del paso c) encontrar la presión en e l -punto que se desea o la diferencia de presión entre 2 recipientes.

La expresión tendrá un incógnita si el manómetro es abierto. No es-conveniente aprender de memoria la fórmula que dá la presión de un manómetro particular, es preferible en cada caso aplicar el procedi-miento anterior.

6 o . - Presión total sobre superficies planas y curvas:

En párrafos anteriores se han estudiado las variaciones de presión enun flufdo en reposo. El conjenunto de fuerzas que resultan de la a c -ción de un flurdo sobre la cara de una superficie de área finita puede

8

ser reemplazado por una fuerza resultante. En este párrafo vere-mos la forma de determinar la magnitud y localización de la fuer-za resultante por integración y por fórmulas. El método semigráfi co para la determinación de la fuerza resultante no se tratará enc-este repaso.

Superficies planas: En la figura se muestra una superficie plana-inclinada un ángulo 8 arbitrario con la horizontal, sujeta a fuer zas hidrostáticas de un flufdo con superficie libre.

Fig

Considerando que la superficie M N está formada por un número-infinito de tirillas horizontales cada una con un área dA y una al tura dy y tan pequeña que se pueda considerar la presión p en to-da la tirilla como constante (Aplicando el teorema funto-damental- fundamental-del cálculo integral) la presión total en cada tirilla será dP~ pdA, la fuerza hidrostática sobre la superficie M N es fe í p dA (6-1)

de la ecuación p s ^ h (3-11) J

substituyendo esta en (6=1) y , h por y sen © P s j y y sen 9 dA (6-2)

y sen © | ydA (6=3)

De la definición de centro de gravedad

[ y d A s , Ay (6-4)

(11)

p = y sen 9 Ay (6-5)

Ahora y sen 0 nos da la profundidad del centro de gravedad del área

M N la cual se llamará K

)fh"A (6-6)

donde h" es la presión en el centro de gravedad de A j a fórmula (6-6) se puede expresar: La fuerza resultante sobre una superficie plana -sujeta a presión hidrostática de un fluido con superficie libre es igual al producto del área de la superficie por la presión en el centro de -gravedad. Ahora se determinará la localización de la línea de ac— ción de la fuerza resultante o del punto de aplicación, el cual se lia mará centro de presión» Se basará en el principio de que la fuerza ~ resultante aplicada en el centro de presión causará los mismos efectos en la superficie tomada como cuerpo libre, que la presión hidrostáti-ca total" se determinará la posición de la linea horizontal que con— tiene el centro de presión tomando momentos de todas las fuerzas que actúan en la superficie alrededor de algún eje horizontal en el plano.

La fig (7) se tomará la linea S-S como eje de momentos: Designando por Yp la distancia al centro de presiones desde el eje de momen— tos. Tenemos aplicando el teorema fundamental del cálculo integral:

- J ydP

Y. (6-8)

Substituyendo: dP = ^ y sen 9 dA y Ps ^ y sen 9 A

y „ p -

4

sen 9 f y2 dA (6-9)

sen 9

Simplificando y por definción tomamos

mentó de Inercia de M N con respecto al eje S„S

J y 2 dA = I s-s el mo—

v - ,ss (6-10)

donde Ss es el momento estático de M N con respecto al eje S„S

10

En caso de que se trate de una superficie que tenga un eje de si — metria vertical, el centro de presión caerá en este eje y se hace -necesario solamente calcular su localización en una línea horizon t a l . Si es necesario determinar la posición de la linea vertical que contiene el centro de presión se hará semejante al procedimiento -para localizar la línea horizontal, tomando momentos alrededor de un eje vertical en el plano de la superficie:

P xp= J x P (6-11)

Aplicando la fórmula de translación de ejes para el momento de — inercia la ecuación (6-10) la podemos escribir en

P Ay

tomando ahora el momento de inercia con respecto al eje horizon-tal queípasa por el centro de gravedad de M N y simplificando

yP = _ J g . y ( 6 - 1 3 ) 3

Ay \ i i x — ~ ~ ~

\

" W

A

Sustituyendo yp por y e; donde "e" es la distancia entre el centro de gravedad y el centro de presiones resulta:

e - lg (6-14) Ss

Como en la mayoría de los casos se conoce el momento de inercia de algunas figuras geométricas, con respecto al eje que pasa por el centro de gravedad la ecuación (614) es conveniente para su -uso en la generalidad de los casos, analizando los resultados ante-riores podemos concluir:

a) que el centro de presiones siempre estará bajo el centro de gra-vedad para una superficie sujeta a presión hidrostática en un sólo-lado excepción hecha al caso en que la superficie esté horizontal

(12)

en cuyo caso el centro de gravedad y de presión coinciden por ser -la presión constante sobre toda -la superficie.

b) que a medida que aumenta la profundidad de la superficie el — centro de presión y de gravedad se acercan. En la ecuación (6-14) lg es constante y Ss aumenta con la profundidad.

c) Cuqndo ambos lados de una superficie están sujetos a presión — hidrostática de fluFdos del mismo peso unitario la presión resultante es uniforme y el centro de presión coincide con el centro de grave-dad .

Superficies curvas: En superficies curvas sujetas a presión hidros -tática es conveniente tratar con la componente horizontal y la com-ponente vertical de la fuerza resultante.

En la figura 8 se muestra una superficie curva A B sujeta a presión de un flurdo. La superficie puede te-ner una longitud arbitraria perpen-dicular a la figura. Se escogen los ejes como se muestra. B C es la — traza de un plano perpendicular al plano X Y . Se considera el equili-brio del volumen de Irquido de sec ción transversal A B C y cuyos ex~ tremos son paralelos al plano X Y . Las Únicas fuerzas que actúan pa-ralelas al eje X , son las componentes en X de las presiones normales a la superficie A B y la presión normal en el plano vertical B C, el -cual es la proyección de la superficie A B en un plano normal al eje

X . Estas fuerzas deberán ser iguales en magnitud. ASr se puede

de-cir que: la componente horizontal de la fuerza hidrostática resultan-te en cualquier superficie es igual a la fuerza resultanresultan-te en la proyec ción de la superficie en un plano vertical. La localización de la componente horizontal es através del centro de presión de la proyec-ción.

De manera semejante las fuerzas que actúan paralelas al eje y en e i volumen A B C son: las fuerzas debidas a la gravedad representadas

(13)

CAPITULO II

7 . Movimiento de los fluidos: La estática de los fluidos que se es-tudió en el capitulo anterior está .basada en Jeyes rígidas.que se man

tienen, en la práctica . ~~

En cambio la naturaleza del movimiento de un fluido indudablemente toma lugar de acuerdo con ciertas leyes, la naturaleza de ellas no -es completamente conocida, por lo que se nec-esita recurrirá la ex-perimentación^ combinando el análisis basado en los principios de me cónica con la experimentación ordenadora sido posible resolver —--gran número de problemas de Ingeniería que incluyen fluidos en mo-vimiento o En esta parte repasaremos los fundamentos analíticos y — las ecuaciones fundamentales de continuidad y energía. Se estudia-rá el movimiento undimensional sin la investigación detallada de las pérdidas, el movimiento undimensional con estudio detallado de las pérdidas de energía se estudiará en el siguiente capitulo.

Tipos de flujo: Al movimiento de un fluido se le llama flujo. El flu jo de un fluido puede clasificarse de muchas maneras, tales como: ~ turbulento, laminar, real, ideal, isotermo, isoentrópico, permanen-te^ uniforme, no uniforme: Los métodos particulares usados en el aná lisis del flujo varían grandemente con el tipo de este.

En este párrafo se definen brevemente los diversos tipos de flujo:

Flujo turbulento: Es el más frecuente en las aplicaciones de la inge nieria» En esta clase de flujo las partículas del fluido se mueven si~ guiendo trayectorias muy irregulares, originando un intercambio d e -cantidad de movimiento de una porción del fluido a otra, de manera algo semejante al intercambio de cantidades de movimientos molecu-lares, pero a una escala mayor. Las partículas fluidas implicadas en el intercambio de cantidades de movimiento pueden tener desde un tamaño muy pequeño (unos pocos de miles de moléculas) hasta muy -grande (miles de metros cúbicos en la turbulencia atmosférica). En-los casos en que el flujo puede ser unas veces turbulento y otras la— minar, el turbulento origina una mayor tensión de cortadura en el -fluido y es la causa de que una mayor proporción de energía

mecáni-14

ca se convierta en térmica. Asi en el flujo turbulento, la pérdida de energía mecánica varia aproximadamente con el cuadrado de la velocidad, mientras que en el laminar varia iinealmente con la ve-locidad. El proceso turbulento de violento intercambio de cantida-des de movimiento origina una continua conversión de energía mecá nica en energía térmica.

Flujo laminar: En el flujo laminar las partículas del fluido se mué ven a lo largo de trayectorias uniformes en capas o láminas, desli-zándose una capa sobre la adyacente. En el flujo laminar se cum-ple la ley de Newton de la viscosidad que relaciona la tensión de cortadura con la velocidad angular de deformación por medio de -una propiedad física del fluido: la viscosidad. En el flujo laminar

la acción de la viscosidad frena la tendencia a la turbulencia. El flujo laminar no es estable cuando es pequeña la viscosidad, o grande la velocidad o el caudal y se rompe transformándose en tur-bulento.

Flujo ideal: es el flujo de un fluido ideal, es decir un fluido considerado sin rozamiento e incompresible como en los casos en que -interviene grandes extensiones de fluido,- el movimiento de un sub marino en el océano, el movimiento un avión en la atmósfera, si un fluido ideal está inicialmente en reposo puede demostrarse que -todas las partículas deben continuar teniendo la misma energía me-cánica total. Este tipo de flujo se llama potencial o irrotacional.

Flujo Isotermo: Cuando un fluido gaseoso fluye sin cambio alguno-de temperatura se dice que el flujo es isotermo.

Flujo isoentrópico: Cuando el flujo es tal que no entra ni sale ca-lor através de los límites del fluido el flujo adiabático reversible-se llama flujo isoentrópico.

(14)

^ V - n ^

2

T

^ - - 0

donde V es veleidad, densidad, T temperatura, Q gasto. En -el flu¡o turbulento debido al azar de las partreulas flufdas, siempre se presentan pequeñas fluctuaciones en un punto. La definición de-flujo permanente debe ser generalizada teniendo en cuenta estas — fluctuaciones.

Flujo no permanente: Cuando las condiciones en algún punto cam-bian con el tiempo, ejemplo:

, 0

Flujo uniforme: Se dice que el flujo es uniforme cuando en cual quier punto del fluido el vector velocidad es idéntico en un instante

dado. Esto es V

0 cuando el tiempo se mantiene

cons-tante; ^ s es 5 desplazamiento en una dirección cualquiera.

En el flujo de un fluTdo real en un conducto abierto o cerrado, la de finición anterior puede extenderse con pequeño error aún cuando el vector velocidad en las paredes es siempre cero.

Flujo no uniforme: Se dice que el flujo es no uniforme cuando el — vector velocidad varía en un instante dado de un punto a otro

80.- Linea de corriente y tubo de corriente: una línea de corriente

es una linea continua trazada en el fluFdo que es en cada punto tan-gente al vector velocidad. A través de una linea de corriente no — puede pasar fluTdo. Como una partícula se mueve en la dirección de una linea de corriente en cualquier instante su desplazamiento A s

que tienen las componentes A x, A. y , A. z , tiene la

dirección-del vector velocidad q , cuyas componentes son u, v , w , en las di — recciones x, y , z, respectivamente.

Las igualdades.

A x Z i y _ A z

u V w 16

establecen que los correspondientes módulos de las componentes — son proporcionales y por lo tanto que A s y q tienen la misma d i -rección. Expresando los desplazamientos en forma diferencial.

dx _ dy _ dz (8-1) * u V w

obtenemos las ecuaciones diferenciales de una linea de corriente. Las ecuaciones (8-1) son dos ecuaciones independientes. Cualquier linea continua que las satisfaga es una línea de corriente.

Cuando el flujo es permanente no hay cambios en el tiempo en la -dirección del vector velocidad, cualquiera que sea el punto que se considere, por lo que las líneas de corriente tienen una tangente -invariable en el tiempo en cada punto y son, por consiguiente, in-variables en el espacio. Una partícula se mueve siempre tangente a una línea de corriente; por consiguiente, en flujo permanente la trayectoria de una partícula es una línea de corriente. Cuando el flujo no es permanente al transcurrir el tiempo las líneas de corrien te varían de un instante a otro. Una partícula sigue entonces una-línea de corriente un instante, otra al instante siguiente y así* sucesivamente, de manera que la trayectoria de la partícula puede no -tener parecido ninguno a una linea de corriente instantánea dada.

Para estudiar experimental mente el movimiento de un fluFdo, con -frecuencia se inyecta en él un colorante, o humo. Las huellas del colorante, o del humo, se llaman líneas de trazas. En el movimien to permanente, la linea de trazas es una línea de corriente y es — también la trayectoria de una partícula.

Un tubo de corriente es un tubo formado por todas las líneas de co-rriente que pasan por una pequeña curva cerrada. En flujo perma-nente el tubo está fijo en el espacio y no puede haber paso del flufdo a través de sus paredes porque el vector velocidad no tiene -componente normal a la superficie del tubo.

(15)

número de partículas pasando a través de cualquier sección transver-sal de una corriente es la misma se dice que el flujo es continuo o — que hay continuidad de f l u j o . Si Q , A y V representan respectivamente, gasto área y velocidad medid/ la ecuación de la c o n t i n u i

-dad puede expresarse para fluidos rfo compresibles.

Q - A , V , - A2 V2 A3 V3 etc (9-1)

Esta ecuación (9-1) se aplica cuando el número de particulas de flui^ dos por unidad de volumen se considera constante. Cuando el flujo-de un fluido compresible o sea su flujo-densidad pueflujo-de cambiar la ecua —

ción de la continuidad se expresa: [s- ,

/ ? A , V , = / f A 2 V2 " y ^ A3V3 etc. (9-2) densidad.

o sea a que la masa por unidad de tiempo que pasa a través de c u a l

-quier sección es constante. Puesto que f3 es proporcional al peso —

unitario ^ la ecuación (9-2) puede escribirse .

1 A , V , $ A 2V2 = ^ A 3 V3 (9-3)

10.) Ecuación de la energía: Las ecuaciones de la energía y de la cantidad de movimiento se usan, además de la continuidad, en el — análisis del movimiento de un fluido. Ambas se derivan de la 2da.

-ley de Newton. En este párrafo obtendremos la ecuación de la ene_r gia a partir de lo siguiente: Las componentes de las fuerzas que ac— túan en una partícula fluida en la dirección del movimiento se

igualan al producto de la masa de la partícula por la aceleración a lo -largo de la linea de corriente, la ecuación se obtiene en forma dife-rencial, se supone que el flujo es permanente y sin rozamientos. La ecuación entonces puede integrarse si se dá la densidad en función de la presión y se obtiene la ecuación de la energía como se había -dicho antes.

Sea s en la Fig (9) una linea de corriente de un flujo permanente. El elemento es un prisma de sección recta dA y longitud ds. Se supone un líquido sin rozamiento para eliminar las fuerzas cortantes en el —

18

Fia.#9 ¿P

cálculo, p es la presión-dp el gradiente de presión

a lo largo de la línea de -corriente. Las fuerzas que actúan sobre las caras late

rales del prisma son norma-les a la linea de corriente-y no entran en la ecuación . Aplicamos la ecuación

^ . f s = m as

pda " (p * ds) d A - }fdA ds eos 9~ d A d s as( 1 0 - l )

dividiendo por el peso del elemento y simplificando

1

V

dpds +

eos 0 4. 9

0 (10-2)

dz es el incremento de altura correspondiente a un desplazamiento ds sobre la línea de corriente lugeo eos 0 — ^ (10-3)

la aceleración as es como el flujo es permanente v es una fujn ción de s.

dv

as " ds

pues ds — dt~~

ds

dt v

-dv

ds (10-4)

la ecuación (10-2) se convierte en:

Tf

Í P . ds dz ds dv ds 0 (10-5)

(16)

Multiplicando (10-5) por g ds

gdz +. v d v 4 SjP = 0 (10-6)

integrando (10-6)

, • v2 ( do

d z + — - 4 - J - y r = constante (10-7)

En la cual la: consfanste de:tn^ñ&ipi\^^c!deM%ma'Ji6^a:^ie-cbrrlieote a otra, pero permanece invariable a lo largo de una misma linea de corriente.

Para aplicar la ecuación (107) a casos particulares debe tomarse en cuenta la hipótesis que se hicieron para establecer la ecuación, las cuales son: Un flufdo sin rozamiento, flujo permanente, y que -J ) función únicamente de P,

Si además suponemos que el flufdo es incomprensible la (10-5) puede escribirse.

- 1 f + 4 ) = o

Integrando con respecto a s

2

gz f +• L . = constante (10-8) o z

Donde la constante toma diferentes valores para cada línea de corrien te.

/

Esta es la ecuación de Bernouilli para f l u p permanente de un flufdo sin rozamiento e incompresible a lo argo de una línea de corrí en

te_. Las dimensiones de (10-8) son long2/tiempo2/ o sea, energfacpor

unidad de masa.

Dividiendo (10-8) por g .

p v^

Z + y = contante ( 1 Q_9 )

Cada uno de los términos de la ecuación (10-9) tiene dimensiones de energía por unidad de peso es decir kilográmetros por kilogramo peso, o más simplemento metros. Multiplicando (10-8) por ^ :

2

^ Z + p + ~ c o n s t» (10-10)

Cuyas dimensiones son energfa por unidad de volumen es decir; k i -lográmetros por metro cúbico, y es la forma más conveniente para-aplicarla cuando el flufdo es un gas (que se supone incompresible)

Cada uno de los términos de la ecuación de Bernouilli (10-9) pue-de ser interpretado como una forma pue-de energfa,Z es la energfa po-tencial del flufdo por unidad de peso, medida a partir de un ori — gen arbitrario. El trabajo necesario para elevar Wkg desde orgen a la altura Z es Wz kg-m que es su energfa potencial. Su energfa potencial por kilogramo es Wz/W Kgm/kg o m.

El trabajo que el flufdo es capaz de realizar en virtud de su pre— sión se ilustra en la figura 10. Si el pistón empujado por la fuerza debida a la presión del flufdo pA (donde A es el área del pistón), se desplaza una distancia "di" contra una fuerza resistente, reali-za un trabajo que es producto de la fuerreali-za por el desplareali-zamiento, o sea pA di kg-m; el número de kilogramos de flufdo necesarios — para realizar este trabajo es ^ A d i , ya que esta cantidad de f l u f do debe ser de vuelta al cilindro para permitir al pistón volver a -su posición original para otra embolada. Dividiendo el trabajo — realizado por el peso del flufdo necesario se calcula el trabajo realizado por unidad de peso que es

pA di _ _ p _

di - ~y

(17)

y se aplica sólo cuando el flujo es permanente. Asi por ejemplo en-un recipiente de agua puede haber en-un gran valor de p/^ si el tapón se aprieta fuertemente

Fig.#10

pero el agua es incapaz de realizar mucho trabajo, porque la presión-cae rápidamente cuando el desplazamiento del tapón aumenta su volu-men. El término p / ^ se llama también energía de presión.

La energía cinética de un elemento de fluido es mv^/2, o sea

siendo W el peso del elemento. Por consiguiente, la energía cinética por unidad de peso es.

que es el tercer término de (10-9). El término v^/2g se llama altura-de-velocidad. La ecuación de Bernouilli establece que la suma de — las energías cinética, potencial y de presión por unidad de peso perma nece constante a lo largo de una línea de corriente.

Modificación de las hipótesis bajo las que se estableció la ecuación de Bernouilli. En condiciones especiales, cada una de las cuatro hipóte-sis que se hicieron para establecer la ecuación de Bernouilli puede ser modificada.

a . Cuando todas las lineas de corriente tiene su origen en un

depósi-22

to donde la energi contenida es la misma en todos los puntos, la -constante de integración no cambia de una línea de corriente a — otra y los puntos 1 y 2, para aplicar la ecuación de Bernouilli, — pueden elegirse arbitrariamente, es decir, no es necesario que es-tén en la misma linea de corriente.

b. En el movimiento de un gas, tal como en un sistema de ventila ción, donde el cambio de presión es solo una pequeña fracción — (un pequeño tanto porciento) de la presión absoluta, el gas puede considerarse incompresible. La ecuación (10-10) puede aplicarse,-con un peso especifico medio.

c . Para flujo no permanente con un cambio muy lento de las con-diciones de permanencia, tal como el vaciado de un gran depósito, la ecuación de Bernouilli puede aplicarse sin error apreciable.

d . Todos los fluidos reales son viscosos y en su movimiento apare-cen tensiones de cortadura que convierten la energía mecánica en energía térmica. En muchas aplicaciones esta energía no vuelve-a convertirse en su formvuelve-a mecánicvuelve-a, y debe considervuelve-arse como unvuelve-a

pérdida. La ecuación de Bernouilli puede aplicarse a un fluido -real añadiéndole un término adicional que tiene en cuenta esta — pérdida de energía mecánica. Si se considera un punto, aguas — arriba, y un punto 2, abajo, la energía por unidad de peso E] en 1,

es igual a la energía por unidad de peso E2 en 2 más toda la

ener-gía perdida entre los dos puntos:

2 2

-YL = Z2 + P2/ 4- - ü - + pérdidas

^f 2g ^ 2g

El problema de un orificio a través del cual descarga un fluido de un recipieji te se puede resolver por la ecuación -de Bernouilli en la f i g . 11 aplicando-la ecuación de Bernouilli entre el pun-to 1 en la superficie del liquido y el — punto 2 exactamente a la salida del cho^ rro tenemos:

Aplicaciones: Orí i c i o s :

(18)

2 2 ?

vi i _Pj . zí = Va , p.¿ , Zo , pérdidas

2g ° ¥ T 1

Tomando como origen la presión atmosférica Pj ^ ^ 0 tomando como origen de alturas un plano horizonte que pase por el punto 2 Z_2= 0 Z | s H . Despreciando las pérdidas y la velocidad del -<• fluTdo en el recipiente y substituyendo nos da:

O f O + H r V2 + 0 + 0

2g

v2 = \ | 2 i h " (10-11)

que establece que la velocidad teórica de sólida del fluTdo es igual a la velocidad de carda libre desde la sup. del depósito o sea la teo ría de Torricelli.

Para calcular el gasto Q aplicando la ecuación

Q = AV

para que quede determinado el problema completamente.

Por el mismo método se podría aplicar a un orificio colocado en una tubería usado para determinar gastos.

Venturfmetro: Otra aplicación de la ecuación de Bermouilli es re— solver el problema del tubo de ventuiT, usado para medición de gas-to en tuberas. Para gas-tomar un caso general consideremos la f i g . 12 que muestra un tubo de venturf colocado en una tubería inclinada -arbitrariamente con respecto a la horizontal.

Tomemos un punto 1 en la base del Venturf y un punto 2 en la gar-ganta o parte mas estrecha del medidor. Escribiendo la ecuación de Bermouilli entre estos puntos:

_ I L + Z1 - V2 P Z + pérdidas

2g y * ~ _ £ + _ £ + 2 T

2g S

Despreciando las pérdidas y transfiriendo términos

A . v? <p, + z, > - <p, + z 2)

29

T " t

( , 0

-

1 2 )

Esta ecuación muestra que el aumento en energía cinética es igual a la disminución de energía potencial. La ecuación puede escri-— birse en forma.

V 2' " P, P2 4. Z1 " Z2

2g 2g - | fl (10-13)

La diferencia de cargas de presión puede conocerse por medio de -un manómetro diferencial, la diferencia de alturas entre los p-untos 1 y 2 se puede conocer, queda solo por relacionar las velocidades

Vr Y V2 Po r medio de la ecuación de la continuidad:

V1A1 = V2 A2 ( 9 _ 1 )

V1 = V2 -£2. (9-1 a)

Ai

(19)

generalmente se trata con tuberías circulares, luego la ecuación

puede poner en forma. se

V ' = V2

2g 2g

V2 - V2

2 2

2g 2g

(DI)

( D 2 ) 4

(Dj) substituyendo en (10-13)

(D 2 j

(D,)

Pi P? + Z1 " Z2

V_ 2g

Despejando V,

V 2

1

-

«V-T

P1 " P2 + Z1 " Z2

2g PfP

' 2 + Z 1 "Z 2

I - Y

i (D2)4

Vertederos: El caudal de un conducto abierto, puede medirse con un vertedero, el cual es una obstrucción en el canal que obliga al líqui-do a estancarse detrás y a verter por encima de é l . Midienlíqui-do la altu-ra aguas arriba se puede determinar el caudal del canal.

En este párrafo de aplicación tomaremos el vertedero mas simple o ~

26

lllííül

ja un vertedero rectangular de pared delgada sin contracciones-iterales. Aplicando la ecuación de Bernouilli se puede llegara na fórmula para calcular el gasto. En la f i g . (13) despreciandois contracciones en la parte superior e inferior de la lámina de quido y suponiendo las líneas de corriente paralelas, se aplica -i ecuac-ión de la energía entre los puntos 1 y 2 .

H + 0+0 =

_ H - y-fO 2g

Tomando el origen de alturas en la cresta -del vertedero y despre ciando la carga por

-velocidad en el canal de aproximación. Des pejando v

Fig.#13

I gasto teórico Q t es

• í— f.

vLdy = v|2gL | y* dy _ 2 LH \ í2g Y

3/2

iendo L el ancho del vertedero. La experiencia demuestra que el xponente de H es correcto, pero que el coeficiente 2 ^j2g, es —

3

luy grande para un vertedero de cresta afilada. La contracción y as pérdidas hacen que el caudal real, sea un 60% del caudal teó-ico, la fórmula quedaría

3 Q 1 .84 LH2

o

(20)

CAPITULO III

RESISTENCIA AL FLUJO.

En el capitulo anterior se estudió las ecuaciones fundamentales que-se usan en el análisis del movimiento de un fluido. Siempre que-se con-sideró que el fluido no tenía rozamiento interno, o sea sin pérdidas-de energía, cuando se habló pérdidas-de pérdidas al analizar la ecuación pérdidas- de-la energía no se habló de de-las causas que de-las originan. En ese caprtu luo trataremos con fluidos reales, es decir, fluidos con rozamiento-interno en los que en la convensión de energía mecánica en energía térmica es importante. En estos fluidos la viscocidad desempeña un papel principal en su movimiento. Para estudiar los efectos de la -resistencia al flujo comenzaremos definiendo y estudiando la visco-cidad después introduciremos el concepto de No de Reynolds. A — continuación se deduce el caso de flujo laminar para tubos circula-res, sigue después el estudio de la resistencia al flujo en conductos abiertos y cerrados para terminar con las principales fórmulas para -flujo de agua.

II VISCOCIDAD: De todas las propiedades de los f l üTd os :e s -esta la que requiere mayor atención en el estudio del movimiento de un flurdo. En este párrafo estudiaremos la viscocidad como p r o p i e -dad de un fluÍ*do asr como sus dimensiones y los factores de conver— sión de viscocidades absoluta: y cinemática: de unas unidades a otras. La viscocidad es la propiedad de un fluido en virtud de la — cual este ofrece resistencia a los esfuerzos de corte. La ley de la-viscocidad de Newton establece que para una velocidad angular de deformación del fluido el esfuerzo de corte es directamente

propor-cional a la viscocidad. Para explicar la ley de Newton f se

colo-ca una substancia fluida entre dos láminas paralelas Fig. 14, lo suficientemente largas para que pueda despreciarse el efecto de los -bordes. La lámina inferior está en reposo y sobre la lámina supe rior se aplaca una fuerza tangencial F que origina un esfuerzo de -corte F/A en el fluido colocado entre las láminas, A es el área de la lám ina superior. Cuando F, por muy pequeña que sea hace m o -ver la lámina superior con una velocidad constante se puede conclu

28

Y!

ir que la substan-cia entre las làmi ñas cumple con la definición general de un fluido.

¡» - ' _

La experiencia de-i / muestra que F es dde-i ¡¿ / L rectamente

propor-cional a A y a U e inversamente propor

Fig 0#14 cional a " t " , de ma

F o< UA (11-1) t

iij.ii

nera que

donde U es la velocidad de la lámina superior y t la distancia en— tre las láminas. La ecuación (11-1) es cierta si U, t y A permane-cen constantes.

La expresión U/t es la velocidad angular de deformación de ab, o la velocidad angular de deformación del fluido, la velocidad angu lar puede escribirse también como du/dy y ambos U / t y du/dy expresan la variación de velocidad dividida por la distancia en que -esta variación se produce, sin embargo du/dy es más general y sir-ve en todos los casos, aún en aquellos en que la sir-velocidad angular y el esfuerzo de corte varian. La expresión (11-1) puede escribir-se .

Fe* A _du_ o JF_ ^ du (11-2) dy A dy

£ es el esfuerzo de corte que se representará por % (tau) A

t ^ du (11-3) dy

(21)

Para establecer la igualdad tenemos que introducir un factor de pro-porcionalidad .

~r — JU. — Í1 1"4)

6 dy

Este factor de proporcionalidad JA. (miu) se le llama coeficiente de

viscocidad o viscocidad y a la expresión (11-4) se le llama ley de — Newton de la viscocidad.

En un fluido en reposo con movimiento tal que no existe movimiento-relativo entre una capa con relación a la adyacente, no habrá esfuer zo de corte aparente y estará desprovisto de viscocidad ya que du/dy es cero en todo el fluido. Por eso cuando estudiamos el capitulo de

la hidrostática no se consideró esfuerzos de corte en el flu-idOo

Para presiones ordinarias la viscocidad varia con la temperatura y — es independiente de la presión.

Las dimensiones del coeficiente de viscocidad que llamaremos adelan te solo viscocidad se determinan por la ley de Newton despejándole" de. (11-4)

/ du/dy

Tomando F, L, T, las dimensiones para fuerza, long. y tiempo.

FL-2 = FL"2T

LT~' L"1

Si se pone las unidades de ( F ) en función de unidades de Masa (M)-usando la segunda ley de Newton, del movimiento F~ MLT"2 las di-mensiones de quedan.

MLT"2 L~2 T M L ' V1

Es el sistema c.g.s. la unidad de viscocidad se llama poise y es —

30

1 dina seg y en unidades de masa cm2

gr . El centipoise es la centésima parte del poise. El cm. seg. agua a 20°C tiene una viscocidad del 1 centipo]_ se.

En el sistema técnico de unidades, la unidad de viscocidad es

1 K g . - s e g / m 2 , |a c u a| n o tiene nombre especial.

Al coeficiente M , también se le llama viscocidad absoluta o vis-cocidad dinámica, este último nombre se le dá por tener en sus d[ mensiones unidades de fuerza.

Otro término ligado con la viscocidad es la realción de la viscos dad dinámica y la densidad de un fluido, la cual se denomina vis-cocidad cinemática y se representa por y (niu)

Las dimensiones de S)

( H - 5 )

son:

Debido a que las dimen-siones tienen solamente-unidades de long y tiem-po se le llama viscocidad i i o i

ML T"1 — L T cinemática en el sistema

c . g . s . la unidad es 1 cm2 y se llama stoke.

seg

En el sistema técnico la unidad es 1 m^ y no tiene nombre espe— c i a l . seg

12. Número de Reynolds. Se define el flujo laminar como aquel -flujo en el cual el fluido se mueve en capas o láminas deslizándo-se una fina capa sobre la adyacente con sólo un intercambio mole-cular de cantidades de movimiento. Cierta tendencia hacia la — inestabilidad y la turbulencia es frenada por las fuerzas de corta—

(22)

dura viscosas que resisten los movimientos relativos de las capas — flufdas adyacentes. El flujo turbulento en cambio tiene un movi-miento de partículas fluidas muy errático, con un violento intercam

bio transversal de cantidades de movimiento. La naturaleza del flujo, es decir el que sea laminar o turbulento, y su posición rela-tiva en una escala que indica la importancia relarela-tiva de la tenden-cia que sea laminar o turbulento, se expresa por el número de Reynolds. El concepto de número de Reynolds y su interpretación se estudia en esta sección. En el párrafo 10 se dedujo la ecuación -del movimiento en el supuesto de que el fluido estuviera desprovis-to de razonamiendesprovis-tos internos, es decir, de que careciera de visco-sidad. Se pueden deducir ecuaciones más generales que incluyen-la viscosidad teniendo en cuenta incluyen-la tensión de cortadura. Estas — ecuaciones diferenciales de derivadas parciales (Navier-Stokes) ~ son complicadas, no lineales y , en general no pueden integrarse, -es decir no puede encontrarse una solución general. En el siglo pa sado Osborne Reynolds estudio estas ecuaciones para intentar de— terminar cuando dos flujos diferentes pueden considerarse

semejanDos flujos fluidos se dice que son dinámicamente semejantes c u a n -do:

a.) Son semejantes geométricamente, es decir, las relaciones l i -neales correspondientes están en una relación constante; y

b.) Las lineas de corriente correspondientes son semejantes geomé tricamente, o las presiones en puntos correspondientes están en una relación constante.

v

Considerando dos f l u j o s semejantes geométricamente, Reynoldsdedujo que son semejantes dinámicamente si las ecuaciones d i f e -renciales generales son idénticas. Cambiando las unidades de ma sa, longitud y tiempo en un sistema de ecuaciones y determinant do las condiciones que deben satisfacerse para hacerlas idénticas— a las ecuaciones originales, Reynolds encontró que el parámetro adimensional J¿L? debia ser el mismo en ambos casos. En éste

-A 32

u es una velocidad caracteristica, L es una longitud caracteristica ^Jes la densidad yyties la viscocidad. Este parámetro se llama -número Reynolds. Re

Re __ u I

p

Para encontrar el significado de su parámetro adimensional, Rey— nolds hizo las experiencias de movimiento de agua a través de tu-bos de cristal. Un tubo de vidrio se montó horizontalmente con un extremo en un depósito y una válvula en el extremo opuesto. El -extremo de aguas arriba se hizo abocinado, disponiéndose frente a la bocina un fino filete de una tinturajReynolds eligió para formar su número la velocidad media V como velocidad característica y -el diámetro d-el tubo D como longitud caracteristica, de tal mane-ra que Re _ VD P

(23)

laridades que originan flujos turbulentos para valores mucho menores del numero de Reynolds.

Comenzando con flujo turbulento en el tubo de vidrio Reynolds en— contró que se convertía siempre en laminar cuando la velocidad se -reducía hasta que se hiciera Re menor que 2.000. Este es el número de Reynolds critico inferior para movimiento de fluidos en tuberias-y es el de verdadera importancia práctica.

En las instalaciones usuales, el flujo cambiará de laminara turbu — lento en el intervalo de números de Reynolds entre 2.000 y 4 . 0 0 0 . Nosotros supondremos que el cambio ocurre para 1^=2.000. En f l u -jo laminar la pérdida de energía es directamente proporcional a la-velocidad media, mientras que en flujo turbulento la pérdida es — proporcional a la velocidad elevada a un exponente que varia e n tre 1, 7 y 2.

-13. Resistencia al Flujo en Tubos Circulares con Flujo Laminar: La distribución de velocidades, el gasto y la caida de presión pue— den determinarse analiticamente en el caso de un tubo circular rec-to con flujo laminar y permanente. En la fig (15) se muestra un tu-bo horizontal del cual se tomará un cilindro coaxial de fluido en —

.^ cuerpo libre, co mo el flujo es —

f permanente y

co-i mo el tamaño

de-is- U la sección no cam - ' ¿ I W R - Í'3

cuerpo libre debe ser igual a cero.

, bia, las partículas "se mueven sin ace

leración y por lo tanto la suma de Fig .#15 fuerzas sobre el

-Analizando las fuerzas en la dirección de I , se ve que existen fuer-zas de corte sobre la superficie del cilindro. Tomando suma de fuerza en la dirección de I tenemos

p m r - ( p - d p di) f j r2 2 f f r d l t = 0 (13-1)

di

Simplificando y dividiendo por. *7f r di

X - - DP _r_

di 2 (13-2)

El término dp/dl depende únicamente de I para un flujo dado. Esta ecuación demuestra que el esfuerzo de corte es cero en el eje del tubo y máximo en la pared del tubo. En un tubo horizontal y -sin cambio de sección, la energia cinética y la energia potencial-permanecen constantes, la energia de presión es la única fuente de energia capaz de vencer la resistencia al movimiento, luego la pre sión debe disminuir en la dirección del f l u j o . La ecuación (13-2) sirve también para flujo turbulento, lo mismo que para laminar ya -que al deducirla no se hizo ninguna suposición sobre la naturaleza del f l u j o ,

Para flujo laminar el esfuerzo de corte esta' ligado con la viscosi-dad al acuerdo con la ley de Newton

T = " U * L 0 3 - 3 )

/ dr

du_

El signo menos es debido a que dr es negativo por la elección de-las coordenada^ cuando u aumenta, r disminuye. Eliminando £ en-tre (13-2) y (13-3).

du _ J_ _dp_ _r_ (13-4)

dr ~ J J i di 2

Pasando a forma diferencial.

du _ J _ dp _r_ dr (13-5) di 2

Y *

^LÍ-Puesto que el término di es la caida de presión por unidad de long_[ tud de tubo, no es función de r ni de u; Integrando. (13-5)

(24)

yuu

DP di

r 2 ^ C (13-6)

Para determinar la constante de integración tomamos que u s o

cuan-do r s rQ o sea en la pared del tubo

I E F E

Ajjl di

2

ME ro

Y O DI

Substituyendo C . tenemos

(13-7)

' u = - ( r2 „ r 2)

Esta ecuación nos da la distribución de velocidades a lo largo de un-diámetro del tubo. De acuerdo con la ecuación la variación es para bólica y la velocidad máxima ocurre en el e¡e del tubo (F~o) y t i e -ne un valor:

Umax _ - J _dp r2 (13-8)

y j u di °

El gasto a través de un anillo de ancho d r es

dQ udA — u2 f T rdr

Substituyendo u por su valor (13-7)

dQ dp (r2 - r2) rdr

2YL¿ di °

0 3 - 9 )

Efectuando la integración entre los limites r ~ o r¿s, r

Q I R dP

di

(R2 - RF) _ A R

2

A

o r ü r o

dp 4 2 2

r ro r W S j i

di 4 2 o" 8/1

(

3-10 J

I B

El término - d r puede escribirse A p siendo A p

la caida de presión en la longitud L substituyendo en la ecuacio— nal

Q _ AP T T rj (13-11)

Usando el D en lugar del radio r _ D r4__ D^

~ ~ 2 ~ ) ~ ~ 1 6 ~

Q _ AP I T D4 (13-12)

~ 128JJU L

O

La velocidad media la obtenemos V _ Q ; A =. / f f rQ

~ "A *

V _ A. P r2 ( 1 3 - 1 3 )

~ i

que es la mitad de la velocidad máxima, lo cual comprueba tam — bién que la distribución de velocidades es un paraboloide de revo-lución .

Si se quiere obtener la caida de presión se despeja Ap de (13-12)

A p _ 128 O.JLQ L (13-14)

I T D4

Dividiendo por obtenemos la pérdida de carga en una

longi-tud L

A P _ hf _ 128 Q^jLL L (13-15)

Subst ituyendo NA —>pg ( densidad) y ^

h 128 Q f L 7 '

(25)

De la (13-14) se observa que la pérdida de energía es directamente proporcional al gasto, a la viscosidad y a la longitud e inversamen te proporcional a la cuarta potencia del diámetro. Debe notarse — que la rugosidad del tubo no entra en la ecuación. La ecuación — (1312) es conocida como la ecuación de HagenPoiseuille en h o nor de Hagen que la obtuvo en 1839 e independientemente o b t e n i

-da por Pouseville un año más tarde;la deducción analítica se

debe-a Wiedemdebe-ann (1856).

14. Gradiente Hidráulico y Gradiente de Energía: Las pérdidas-de carga en un tubo recto se muestran gráficamente en la f i g . (16)-en la cual se trazan 2 líneas designadas respectivam(16)-ente gradi(16)-ente- gradiente-hidráulico y gradiente de energía. El gradiente gradiente-hidráulico se define como el lugar geométrico de las elevaciodefines, a las cuales el l í -quido se levantaría en tubos piezométricos colocados sucesivamente en el tubo y es por lo tanto, una representación gráfica con respec to a cualquier plano arbitrario tomado como origen, de la carga de presión más la carga potencial que el líquido posee en todas las — secciones del tubo. I

El gradiente de -energía esta sobre el gradiente hi— dráulico una dis-tancia igual a la-carga por veloci-dad en cada sec-ción y es así una-Fig. #16 representación — gráfica, con respecto a un plano arbitrario tomando como origen,-de la carga total que posee el fluido.

Resistencia al flu|o turbulento en conductos abiertos y cerra— dos: En flu¡o turbulento permanente en conductos de sección cons tante actúa en la pared del tubo que moja el líquido como fuerza -resistente, una fricción superficial, la cual es igual al producto — del valor medio del esfuerzo de corte "j^en la pared por la

superfi-38

cié de la pared del tubo que moja el fluido. Pl, donde P es el pe-rímetro mojado.

El esfuerzo de corte en la pared en flujo turbulento varia proporcio nalmente con el cuadrado de velocidad.

t o V_2 (15-1) ¿

/ 2 donde A. es un coeficiente sin dimen siones<.

Las fuerzas cortantes en la pared en flujo permanente están equili-bradas por las fuerzas debidas a la presión, por la componente axial del peso del fluido en el conducto o por ambas fuerzas Figo-(7) Tomando suma de fuerzas en la dirección a x i a l .

(P ] - P2) A f ^ A L s e n G - ^ L P

Lsen 0 s ü z

V P 2 ) tf A á z , J L P

(26)

A p a Pi " P2

A p 4- ) j A z = rc P (15-2)

L A

La relación A_ se llama radio hidráulico del conducto y se nombra por R P

I A l _ ro - Í P V2 0 5 - 3 )

L - - 2 - - / 2 R

Si dividimos portf. A - P - 4 - ^ A z representa la pérdida de energía

• " . ; : ' ' • • •

mecánica por unidad de pesa o la pérdida de carga.

hf= 4- Y z

f ^

i * - L / v2 _ / v2

hf L ~ 2 R £ - 2 Rg

-j—- es la pendiente del gradiente de energía que se denotará por S

s _ L v2

2 Rg

Despejando V

V

i

2g \[RS = C y i T (15-4)

i

Esta es la fórmula de Chezy en la que originalmente se creyó que el coeficiente C era constante para cualquier tamaño de conducto y con diciones de la superficie de la pared, actualmente se usan diversas-" fórmulas para encontrar el coeficiente de Chezy.

16.- Resistencia debida al rozamiento de canales abiertos:

Numerosas fórmulas empíricas han sido desarrolladas para encontrar

40

el coeficiente en la fórmula de Chezy para aplicarse a canales — abiertos. Aquí" solo mencionaremos las 3 fórmulas más usadas en

-la hidráulica:

Fórmula de Gánguil let y Kutter (1877)en sistema métrico es:

2 3 + 0 - O O I 5 5 . + 4

C - 5 ^ 0 6 - 1 )

Donde n es el coeficiente de rugosidad, R es el radio hidráulico y S la pendiente del gradiente de energía. Esta fórmula es conocida como la fórmula de Kutter.

Fórmula de Bazin fué publicada en 1897 basada en numerosas ob-servaciones, considera C como función de R pero no de S

C 87 I , M

* V R (16-2)

donde m es el coeficiente de rugosidad.

Fórmula de Manning (1890) da el siguiente valor de C para la fór-mula de Chezy

1/6

C _ _ l _ R (16-3) n

pero la fórmula se escribe generalmente: 2/3 1/2

(27)

n es el coeficiente de rugosidad de la fórmula de Kutter. Ha sido -encontrado en la práctica que la fórmula de Manning es válida en un amplio rango de flujos en canales abiertos asi.como en tubos rugosos, razón por la cual es una de las fórmulas más usadas en la práctica — actualmente.

17, Resistencia debida al rozamiento en tuberías:

En la fórmula de Chezy (15-4)

V

\

A

p r

Cuando se substituye f / 4 y R = D_ (para tubos circula-res) se obtiene la fórmula 4

h f _L_ V2 (17-1)

f D 2g

Conocida como la ecuación de Darcy-Weisbach, donde D es el diá— metro interior de la tubería y f_ es un factor adimensional. Todas las magnitudes de la fórmula pueden medirse experimentaImente excepto-_f. Una manera de determinar hf en la práctica es medir en una tube-ría recta el gasto y el diámetro interior para determinar la velocidad-m e d i a ^ . La pérdida de energía se puede velocidad-medir conectando un velocidad-manó metro diferencial en 2 tomas de presión en 2 secciones separadas por -una distancia L.

<-a experiencia demuestra que en flujo permanente la pérdida de ener-gía por unidad de peso.

a) Es directamento proporcional a la longitud de la tubería, b) Es proporcional aprox. al cuadrado de la velocidad, c) Es inversamente proporcional aprox. al diámetro.

d) Depende de la rugosidad de las paredes internas del tubo, e) Depende de la densidad y viscosidad del fluido,

f) Es independiente de la presión,

El coeficiente f debe determinarse de tal forma que la fórmula (171) de la pérdida de carga, f no es consonante, depende de la -velocidad V , del diámetro D, de la densidad , de la visco

sidad jLL y de ciertas características de la-Tugosidad de la

pa-red que se designan con las letras E, E', m. las cuales

significan:-E, es una medida del tamaño de las rugosidades, E1, es una medida

de la localización o disposición de las rugosidades y m es un fac— tor que depende de la forma de las rugosidades, E y E' tienen unida des de longitud y m no tiene unidades. El coeficiente f como se ve de lo anterior no es un coeficiente constante sino que depende de -siete magnitudes:

f = función (V, D E ' E' ' m)

Como f es un factor adimensional debe depender de varios paráme-tros sin dimensiones, agrupando en forma conveniente estas siete — magnitudes. Para tuberías lisas E ~ E ' ~ 0 , con lo que_f solo depen-de depen-de las 4 primeras magnitudepen-des. Estas puedepen-den agruparse en la

for-ma para formar un parámetro adimensional, que es el

nú-mero cíe Reynolds. Los términos E y E1 pueden hacerse adimencio

nales dividiéndolos por D.

f función ( V D , E, E ' , m) V D D

La prueba de esta relación se hace experimentalmente. El gráfico del coeficiente de rozamiento en función del número de Reynolds-en un papel logarítmico se llama diagrama de Stanton.

Blasius hizo investigaciones en tuberías lisas con flujo turbulento

-obteniendo una fórmula empírica válida hasta Re~ 80,000 que es

f 0.316

En tuberías rugosas el término E/D se llama rugosidad relativa,-Nikuradse probó la validez del concepto de la rugosidad relativa-con investigaciones en tuberías de rugosidad artificial formada relativa-con arena. Estas investigaciones demostraron que para un valor de

(28)

E/D la función que liga_f con Re es independiente del diámetro de

la tubería. Dichas investigaciones no permiten variaciones de E'/D y m para un tipo de rugosidad pero prueban la validez de que

f = función (Re, _E_)

D

Estudios hechos por Prandtl y vonKarman dieron por resultado las si-guientes ecuaciones para determinar_f para 2 condiciones extremas de flujo en tubos.

Para tubos lisos: _ ,

& J L

Í J =2>°¿ 2.5,

Para tubos rugosos con turbulencia completamente desarrollada

1 = 2 log (3.7 D ) (17-4)

Ñ T T " E

Estas ecuaciones han sido comprobadas en la práctica y muestra que

para tuberías lisas_f depende solamente del Re y cuando la turbulen

cia está completamente desarrollada_f depende solamente de la ru-gosidad relativa.

Entre estas 2 condiciones límites de flujo existe una región de transí ción para la cual Colebrook y Whíte desarrollaron la siguiente ecüa ción para tubos comerciales.

} = - 2 log E 2.51 ) (17-5)

\ F 1 3 . 7 D + R \TT '

e *

Esta ecuación cumple también con las condiciones limites de f l u j o .

Cuando Re es pequeño E/D tiende a cero y la (17-5) se

transforma-en la (17-3) cuando Re es grande y la turbulencia es total el

segun-do término del paréntesis tiende a cero y la (17-5) deja la (17-4). Moody (1944) ha construido una de las gráficas más prácticas para -la determinación de_f en tubos comerciales, basado en -la

ecuación-44

de Colebrook.

Para flujo laminar se encontró que la ecuación de Hägen (13-11) puede transformarse para darle la forma de la ecuación de Darcy:

dividiendo (13-11) por: V ; / \ p — hr y substituyendo rQ — D

° tf ~ 2

hf _ 8V / ¿ L _ 32 yLL L

Í

r

i y

0 D

V

Dividiendo y multiplicando por 2g y teniendo que ^ __ ~

g /

h 64 M - L V 6 A/i L V1 „ 64 L V2

/ T D D 2g ~ ^ D V D 2 g ~ _ D V D 2g

DV número de Reynolds.

7

hf _ f _L_ _64_ _L_ _ V Í (17-6)

D 2g ~ Re D 2g

de donde f 64 (17-7)

Lo cual muestra que en flujo laminar el coeficiente f es función -de R«. Estos valores también se incluyen en la gráfica -de Moody.

Cuando la turbulencia está completamente desarrollada se enunció que f depende de la rugosidad relativa; Rouse sugiere la ecuación.

R - 400 D log (3.7 D)

£ E

Para determinar el número de Reynolds a partir del cual la turbu — lencia es total y f es de ese número en adelante constante.

(29)

(Diagrama de Moody)

1 8 . - Otras fórmulas de tuberías: La fórmula de Darcy es una fórmu-la general para fórmu-la determinación de fórmu-la pérdida de carga en tuberfas-para cualquier fluido. Debido a que el agua es el fluido más común de uso en el diseño de tuberias se han desarrollado otras fórmulas — además de la Darcy para tuberías que se usen para conducción de — agua.

Fórmula de Manning: Al hablar de conductos abiertos se hizo men-ción que la fórmula de Manning.

V = I 3 ' 1

era válida en un amplio rango para flujo en tubos rugosos.Para tube-rias es más conveniente usar la fórmula en las formas siguientes:

V = O . M ? J F I C - ' / I .

(30)

Fórmula de Hcfeen Willigpis: Esta fórmula establecida tanto para-flujo en canales abiertos como para tuberías, tiene un uso muy ex-tenso en el diseño de sistemas de abastecimiento de agua. La se— lección de los exponentes se hizo con la idea de conseguir una va riación mínima del coeficiente C| para todos los conductos del mis mo grado de rugosidad .

La fórmula original publicada por el autor es:

V = 1,318 C , R0-6 3 S0-5 4

en sistema inglés V en ft/seg y R en piés.

El valor 1 .318 fué introducido para que C| sea igual al valor de C , en la fórmula de Chezy en el sistema pié-libra-segundo. En el sis tema métrico kilogramo (peso) -metro-segundo la fórmula es:

V = 1,538 CrR0'6 3 S0-5 4

El valor 1,538 fué introducido para que C| sea igual al valor C en la fórmula de Chezy en el sistema citado.

Los autores de la fórmula establecen que "Si los exponentes pudie-ran seleccionarse en perfecta concordancia con los hechos, el va-lor de C| dependería solamente de la rugosidad, y a un grado dado de ésta C| serla constante. No es posible alcanzar esta condición en la realidad, porque los valores de los exponenetes varían con

-las diferentes superficies, y además porque no son exactamente los mismos en diámetros grandes que en los pequeños ni para las i n c l i -naciones fuertes que para las nulas. Sin embargo, se pueden ele— gir exponentes que representen aproximadamente condiciones me— dias, de manera que el valor C| para una condición dada de super ficie varíe tan poco que pueda considerarse prácticamente cons— tante. Se han sugerido varias fórmulas exponenciales de esta na-turaleza. Estas fórmulas son de las más satisfactorias entre las ideadas hasta ahora, pero su aplicación queda limitada por la difi cuitad de calcular con ellas. Esta dificultad se ha conseguido e l i -minar con el empleo de una regla de cálculo construida para el ob

(31)

BIBLIOGRAFIAo-MECANICA DE LOS FLUIDOS.- Víctor L. Streeter

HYDRAULICS.- King, Wisler, Woodburn

MANUAL DE HIDRAULICA King y Brater

ENGINEERING FLUID MECHANICS.- Charles Jeager

TECHNISCHE HYDRO-AND AEROMECHANIK. Walter Kaufmann

TECHNISCHE STROMUNGSHEHREBruno Eck

FLUID MECHANICS.- Dodge and Thompson

FLUID MECHANICS.- Dougherty and Ingersoll

TRATADO DE HIDRAULICA A P L I C A D A D a v i s

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UNIVERSIDAD DE NUEVO LEON FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

CURSO INTENSIVO SOBRE ABASTECIMIENTO Y DISTRIBUCION DE AGUA

ALMACENAMIENTO Y REGU LARI ZAC I O N

I N G . HORACIO GONZALEZ SANTOS

Prof. de Ingeniería Sanitaria, UNL0

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ALMACENAMIENTO Y REGULARIZACION

CONTENIDO

I GENERALIDADES

II ALMACENAMIENTO Funcionamiento

Determinación de la capacidad

III REGULARIZACION Funcionamiento

Determinación de la capacidad a) Método gráfico

b) Método numérico

IV TIPOS Y DETALLES SOBRE ^ CONSTRUCCION DE DEPOSITOS a) a nivel de tierra

b) elevados

V IMPERMEABILIZANTES Y PROTECCION ANTICORROSIVA

VI ESPECIFICACIONES DE LA S..-R. H„ REFERENTE

A TANQUES DE MAMPOSTERIA y / o CONCRETO PARA REGULARIZACION DE AGUA POTABLE

VII MANTENIMIENTO

(34)

GENERALIDADES

Dentro de las partes fundamentales que integran un sistema de abas-tecimiento de agua, lo que se refiere al sistema de distribución representa frecuentemente más del 50% del costo total del a b a s t e c i miento. Para garantizar un eficiente servicio es necesario contar -con depósitos de almacenamiento y regularización, cuya capacidad está influenciada por la clase de consumo de agua (doméstico, c o mercial, pdblico, industrial y protección contra incendio). En e l -planeamiento del sistema de distribución lo que se refiere a la loca lización de industrias o centros de gran consumo se prefiere sean — abastecidos independientemente, esto es ventajoso ya que disminu -ye la capacidad de almacenamiento»

El abastecimiento de agua en poblaciones, el abasto debe ser s u f i -ciente para satisfacer las demandas en las 24 horas del día de máxi-mo consumáxi-mo, la mayoría de las veces se prefiere sean abastecidas de tanques de almacenamiento, los cuales deben contar con una reser-va que podrá ser usada en una conflagración. Otras veces la capa cidad será aquella que satisfaga las necesidades de la población ~ cuando se tenga que suspender el servicio de abastecimiento por re-paración de la línea de conducción o por trabajos de mantenimientOo En resumen el almacenamiento deberá satisfacer los siguientes facto ress

l o o- Regularización del abasto y almacenamiento para una co rrecta operación, en especial para satisfacer las

demandas-máximas.

2oo- Reserva pera satisfacer las demandas por incendio.

3 o , - Reserva de emergencia =

(35)

las casas / edificios, la incidencia de incendios es menor; de cual-quier manera se hará mención a las especificaciones de la NATÍO-NAL BOARD Oí F!RE UNDERWRiTERS considerando qué pérsonal » técnico nacional podrá intervenir en proyectos de los pueblos fronte rizos o bien los Estados Unidos de América. En proyectos de sistemas de distribución para poblados de la América Latina, lo r e f e -rente a incendio pasa a segundo término, ya que al considerarlo po dría ocasionar que el abasto sea antieconómico. En nuestros países estemos en la etapa de entregar agua al menor costo posible.

La dotación influye notablemente en la determinación de la capaci dad de los tanques de almacenamiento, así como la demanda maxi" ma diaria que está influenciada por el clima de la región cuyos va= lores están sobre 1 .2 y 2.0 del promedio dicrio anual, asi también-incluye la demanda máxima horaria cuyos valores o coeficientes en relación a la demanda máxima diaria es de 2,0 a 2 „ 5 . En algunas-poblaciones podrá tener valores más altos con una importancia deci siva en el cálculo del sistema de distribución. Desde luego todos estos coeficientes están cambiantes a medida que las poblaciones -crecen.

Otro factor que influye en los sistemas de distribución es la operación a presiones altas y variables, y las pérdidas por fugas en los sistemas de distribución ya que estas pueden representar hasta un -30% (Monterrey, N<LC) o bien entre 2 a 5 mts3 por día, por k i l ó

metro de tuberia. Los valores antes expuestos son importantes ya -que influyen en los volúmenes de consumo y consecuentemente en-la capacidad de los tanques de almacenamiento y de reguen-lariza ción.

En el párrafo anterior se mencionaba que la presión influye en el consumo de agua de la población. La Secretaria de Recursos H i

-dráulicos recomienda una presión minima de 1 .4 kls por cm2 (14

-mts de columna de agua) en ocasiones esta presión podrá reducirse

en algunos puntos aislados hasta 0.8 kls por cm2 (8 mts). En las

-ciudades se preveen presiones mínimas de 2 „5 kls por cm2 (25 mts)

hasta 4.5 kls por cm2 (45 mts). No es deseable presiones excesi—

2

vas, digamos mayores de 5 kls por cm2 en virtud de que ello

trae-ría consigo un mayor gasto en consumo y por fugas, conviene pro-teger las lineas con válvulas especiales»

Es importante determinar el almacenamiento requerido de agua que nos asegure el correcto funcionamiento de la red, la cual tiene co mo finalidad: a) regular las demandas y en especial con la máxima horaria, b) una reserva para imprevistos como lo son la demanda -por incendio, y un almacenaje para compensar las deficiencias — cuando se presenten interrupciones de energía en los equipos de bombeo o cuando se efectúe mantenimiento y reparación de las l i -neas de alimentación. En este trabajo se prestará especial aten— ción para conocer los almacenamientos requeridos.

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