1.
CÁLCULO DE PRIMITIVAS
Definición 1.1. Primitiva.
Una función F(x) es primitiva de f(x) si F0(x) =f(x) para todo x del dominio de f.
Obsérvese que si F(x) es primitiva def(x), entonces F(x) +C también lo es para todo C∈R.
Definición 1.2. Dada la funciónf(x), llamamos integral indefinida def(x)
al conjunto de todas sus primitivas. Se denotaR f(x)dx=F(x) +C, donde
C es una constante arbitraria y F(x) es una primitiva cualquiera de f(x).
Obsérvese que R f(x) +g(x)dx=R f(x)dx+R g(x)dx yR af(x)dx= aR f(x)dx. DIFERENCIALES f0(x) =dxdy =d(fdx(x)), d(f(x)) =f0(x)dx 1.d(f(x))n=n(f(x))n−1f0(x)dx 2.d(lnf(x)) = ff0((xx))dx 3.d(logaf(x)) = logae f0(x) f(x)dx 4.d(af(x)) = lna af(x)f0(x)dx 5.d(ef(x)) =ef(x)f0(x)dx 6.d(senf(x)) = cos(f(x))f0(x)dx 7.d(cosf(x)) =−sen(f(x))f0(x)dx 8.d(tgf(x)) = f 0 (x) cos2f(x)dx 9.d(cotgf(x)) =− f0(x) sen2f(x)dx 10.d(secf(x)) =f0(x) secf(x) tgf(x)dx
11.d(cosecf(x)) =−f0(x) cosecf(x) cotgf(x)dx
12.d(arc senf(x)) =√f0(x) 1−f(x)2dx 13.d(arc cosf(x)) =−√f0(x) 1−f(x)2dx INTEGRALES f(x) +C=R f0(x)dx 1. f(xn)+1n+1+C=R f(x)nf0(x)dx 2.lnf(x) +C=R f0(x) f(x)dx 3.logaf(x) +C= R f0(x) f(x) logae dx 4.af(x)+C=R af(x)f0(x) lna dx 5.ef(x)+C=R ef(x)f0(x)dx 6.senf(x) +C=R cos(f(x))f0(x)dx 7.cosf(x) +C=R −sen(f(x))f0(x)dx 8.tgf(x) +C=R f0(x) cos2f(x)dx 9.cotgf(x) +C=R − f0(x) sen2f(x)dx 10.secf(x)+C=R f0(x) sec(f(x)) tg(f(x))dx 11.cosecf(x)+C=R −f0(x) cosec(f(x)) cotg(f(x))dx 12.arc senf(x) +C=R √f0(x) 1−f(x)2dx 13.arc cosf(x) +C=R √−f0(x) 1−f(x)2dx 14.d(arc tgf(x)) = 1+f0f((xx))2dx 15.d(arccotgf(x)) =− f0(x) 1+f(x)2dx 14.arc tgf(x) +C=R f0(x) 1+f(x)2dx 15. arccotgf(x) +C=R −f0(x) 1+f(x)2dx
Integración por partes. R
f g0 =f g−R
f0g
Integración por sustitución. R
f(x)dx=R
2 1 CÁLCULO DE PRIMITIVAS
1.1. INTEGRALES INMEDIATAS. EJEMPLOS
Instrucciones de uso: tápese la solución antes de empezar a hacer la in-tegral. Después de resuelta, compruébese que es correcta (sólo después).
1.R 1 (2x+1)2dx= −1 2(2x+1)+C 2.R 2x+1 (x2+x+1)2dx= −1 x2+x+1+C 3.R 1 x2+2x+1dx= −1 x+1+C 4.R 1 x3+3x2+3x+1dx= −1 2(x+1)2+C 5.R √ x 3x2+1dx= √ 3x2+1 3 +C 6.R √ x+1 3 √ x+1dx= 6(x+1)7/6 7 +C 7.R √ x+1 x+1 dx= 2 √ x+ 1 +C 8.R x2√1 +x3dx=2(1+x3)3/2 9 +C 9.R x√1−x2dx=−(1−x2)3/2 3 +C 10.R√ 1 +xdx=2(1+3x)3/2+C 11.R 1 3x+5dx= 1 3ln|3x+ 5|+C 12.R 3 ax+bdx= 3 aln|ax+b|+C 13.R x2 x3+2dx= 1 3ln|x 3+ 2|+C 14.R 2x2 6x3+1dx= 1 9ln|6x 3+ 1|+C 15.R ex 1+exdx= ln(1 +ex) +C 16.R senx−cosx
senx+cosxdx=−ln|senx+cosx|+C 17.R 1 xlnxdx= ln(lnx) +C 18.R 1 (1+x2) arc tgxdx= ln(arc tgx) +C 19.R e2x+1dx=1 2e 2x+1+C 20.R e−x2xdx=−1 2e −x2 +C 21.R ex3+1x2dx=1 3e x3+1+C 22.R etgxsec2xdx=etgx+C 23.R 5x9xdx= 45x ln 45+C 24.R earc tgx 1+x2 dx=earc tgx+C 25.R e2x+1dx=1 2e 2x+1+C 26.R 2xcos(x2+ 2)dx= sen(x2+ 2) +C 27.R cos(−x+ 1)dx=−sen(−x+ 1) +C 28.R 3 cos(2x+ 6)dx= 3 2sen(2x+ 6) +C 29.R cos(√x) 2√x dx= sen( √ x) +C 30.R cos(lnx) x dx= sen(lnx) +C 31.R cos(tgx) cos2x dx= sen(tgx) +C 32.R cos(arc tgx) 1+x2 dx= sen(arc tgx) +C 33.R 1 1+(3x+27)2dx= arc tg(3x+27) 3 +C 34.R x3 1+x8dx= arc tg(x4) 4 +C 35.R ex 1+e2xdx= arc tg(ex) +C 36.R sec2x 1+tg2x=x+C 37.R 2x 1+4xdx= arc tg(2x) ln 2 +C 38.R √ 1 x(1+x)dx= 2 arc tg( √ x) +C 39.R 1 x(1+(lnx)2)dx= arc tg(lnx) +C 41.R 1 x2+2x+2dx= arc tg(x+ 1) +C 42.R 1 9+x2dx= 1 3arc tg( x 3) +C 43.R 1 3+x2dx=√13arc tg(√x3) +C 44.R 1 4x2+4x+2dx= 1 2arc tg(2x+ 1) +C 45.R sec2(−x+ 1)dx=−tg(−x+ 1) +C 46.R 3 sec2(2x+ 6)dx=3 2tg(2x+ 6) +C 47.R xsec2(x2)dx=1 2tg(x 2) +C 48.R sen(2x+ 5)dx=−1 2cos(2x+ 5) +C 49.R 2xsen(x2+ 2)dx=−cos(x2+ 2) +C 50.R sen(lnx) 2x dx=− 1 2cos(lnx) +C 51.R sen(√x) √ x dx=−2 cos( √ x) +C 52.R sen(arc tgx) 1+x2 dx=−cos(arc tgx) +C 53.R 2x+1 x2+x−6dx= ln|x 2+x−6|+C 54.R x−1 x2−2x−6dx= 1 2ln|x 2−2x−6|+C
55.R 1+2x 1+x2dx= arc tgx+ ln(1 +x2) +C 56.R x2+1 x−1dx= x2 2 +x+ 2 ln|x−1|+C 57.R 1 (x−1)2dx= −1 x−1+C 58.R (lnx)3 x dx= (lnx)4 4 +C 59.R sen2(3x) cos(3x)dx= 1 9sen 3(3x) +C 60.R senx+tgx cosx dx=−ln|cosx|+ 1 cosx+C 61.R x−1 3x2−6x+5dx= 1 6ln|3x 2−6x+ 5|+C 63.R√ x2−2x4dx=−1 6(1−2x 2)3/2+C 64.R dx
cosec 2x−cotg 2x= ln|senx|+C 65.R x x4+3dx= √ 3 6 arc tg( x2√3 3 ) +C 66.R x2+2x (x+1)2dx= x2 x+1+C 67.R dx 1+cosx =−cotx+ cscx+C 68.R √ dx 25−16x2 = 1 4arc sen(4x/5) +C 69.R dy y2+10y+30 = √ 5 5 arc tg( (y+5)√5 5 )+C 70.R √ dx 20+8x−x2 = arc sen( x−4 6 ) +C 71.R dx √ 28−12x−x2 = arc sen( x+6 8 ) +C 72.R √ x+1 x2+2x−4dx= √ x2+ 2x−4 +C 73.R dx 1+cos 3x= 1−cos 3x 3 sen 3x +C 74.R e2x 1+e4xdx= 1 2arc tg(e 2x) +C 75.R cos 2x sen22x+8dx= √ 2 8 arc tg( sen 2x 2√2 ) +C 76.R dx x√4−9(lnx)2 = 1 3arc sen(ln(x 3 2)) +C 77.R sec2x √ 1−4 tg2xdx= 1 2arc sen(2 tgx) +C 1.2. INTEGRALES RACIONALES
Dados dos polinomios P(x), Q(x), si grad(P(x))≥grad(Q(x)), se tiene
P(x)
Q(x) =C(x) +
R(x)
Q(x) siendo grad(R(x))<grad(Q(x)).
Entonces R PQ((xx))dx = R C(x)dx+R QR((xx))dx. Calculemos R QR((xx))dx con grad(R(x))<grad(Q(x)).
1. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES.
Supondremos queQ(x)queda factorizado del siguiente modo:
Q(x) =k(x−α)q· · ·(x−ρ)r[(x−a)2+b2]m· · ·[(x−c)2+d2]n R(x) Q(x) = A1 x−α +· · ·+ As (x−α)q +· · ·+ R1 x−ρ +· · ·+ Rr (x−ρ)r+ + M1x+N1 (x−a)2+b2 +· · ·+ Mmx+Nm [(x−a)2+b2]m +· · ·+ + M 0 1x+N10 (x−c)2+d2 +· · ·+ Mn0x+Nn0 [(x−c)2+d2]n
Al hacer la suma de las fracciones se iguala el numerador a R(x) y se determinan los coeficientesAi, . . . , Ri, Mi, Ni, . . . , Mi0, Ni0. Para
cal-cular R R(x)
Q(x)dx bastará determinar las integrales de las fracciones del segundo miembro de la igualdad.
i) R A1
4 1 CÁLCULO DE PRIMITIVAS ii) R A1 (x−α)ddx= −A1 (d−1)(x−α)d−1 +C sid6=−1 iii) R M x+N
(x−a)2+b2 dx= M2 log[(x−a)2+b2] +M ab+N arc tg x−a b +C iv) R M x+N [(x−a)2+b2]ddx = R M(x−a)+M a+N [(x−a)2+b2]d dx = −M 2(d−1)[(x−a)2+b2]d−1 + (M a+N)R [(x−adx)2+b2]d
La integralR [(x−adx)2+b2]d se resuelve haciendo el cambio
(x−a)/b=t y se transforma en Id= Z dx (x2+ 1)d = Z x2+ 1−x2 (x2+ 1)d dx= = Z dx (x2+ 1)d−1 − Z x2 (x2+ 1)ddx=Id−1−J.
IntegrandoJ por partes, {u=x, dv= (xx dx2+1)d}, se obtiene
Id=
x
2(d−1)(x2+ 1)d−1 + 2d−3 2d−2Id−1
Se calcula de modo recurrente el valor deId y se resuelve el caso
iv).
2. MÉTODO DE HERMITE.
Sea Q(x) = k(x−α)q· · ·(x−ρ)r[(x−a)2+b2]m· · ·[(x−c)2 +d2]n admitiendo raíces complejas múltiples.
R(x) Q(x) = A x−α +· · ·+ B x−ρ+ Cx+D (x−a)2+b2 +· · ·+ Ex+F (x−c)2+d2+ + d dx a0xk+a1xk−1+· · ·+ak (x−α)q−1· · ·(x−ρ)r−1[(x−a)2+b2]m−1· · ·[(x−c)2+d2]n−1
siendok=grado del denominador−1. Los coeficientesA, . . . , B, C, D, . . . , E, F, ai, se calculan derivando la expresión del cociente,
multipli-cando ambos miembros de la igualdad por Q(x) e identificando R(x) con la suma del segundo miembro de la igualdad porQ(x). Tendremos entonces: Z R(x) Q(x)dx= Z A x−αdx+· · ·+ Z B x−ρdx+ + Z Cx+D (x−a)2+b2dx+· · ·+ Z Ex+F (x−c)2+d2dx+ + a0xk+a1xk−1+· · ·+ak (x−α)q−1· · ·(x−ρ)r−1[(x−a)2+b2]m−1· · ·[(x−c)2+d2]n−1
1.3. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS Fórmulas fundamentales de trigonometría:
1.sen2x+ cos2x= 1 8.senxseny= 1
2[cos(x−y)−cos(x+y)] 2.1 + tg2x= sec2x 9.cosxcosy = 12[cos(x−y) + cos(x+y)] 3.1 + cotg2x= cosec2x 10.1−cosx= 2 sen2(x2)
4.sen2x= 12(1−cos 2x) 11.1 + cosx= 2 cos2(x2) 5.cos2x= 12(1 + cos 2x) 12.1±senx= 1±cos(π2 −x) 6.senxcosx= 12sen 2x 13.cos 2x= cos2x−sen2x
7.senxcosy= 12[sen(x−y) + sen(x+y)] 14.sen 2x= 2 senxcosx
Integrales trigonométricas:
1. Las integrales del tipoRsenmxcosnxdx,R senmxsennxdxyR cosmxcosnxdx
se resuelven con cambios de las fórmulas fundamentales 7, 8 y 9. 2. Las integrales del tipoR sennxdxyR cosnxdx se resuelven:
Sines par, n= 2k, reduciéndolas de grado con las fórmulas 4 y 5. Si n es impar, n = 2k+ 1, R
sennxdx = R
sen2kxsenxdx = R (1−
cos2x)ksenxdx y, desarrollando el binomio, se obtienen integrales in-mediatas.
Técnicas análogas se utilizan para resolver integrales del tipoR
senmxcosnx dx. 3. Las integrales del tipoR
R(senx,cosx)dxse resuelven:
3.1. Cambio general t = tgx2. Entonces senx = 1+2tt2, cosx = 1−t 2
1+t2,
dx= 1+2dtt2 .
Cambios especiales:
3.2. SiR(−senx,cosx) =−R(senx,cosx), impar ensenx, se hace el cambiocosx=t. Entonces,senx=√1−t2,dx= √−dt
1−t2.
3.3. SiR(senx,−cosx) =−R(senx,cosx), impar en cosx, se hace el cambiosenx=t. Entonces,cosx=√1−t2,dx= √dt
1−t2 .
3.4. Si R(−senx,−cosx) = R(senx,cosx), par en senx y cosx, se hace el cambio tgx = t. Entonces, senx = √ t
1+t2, cosx = 1 √ 1+t2, dx= 1+dtt2 . 1.4. INTEGRALES IRRACIONALES 1. RR x, ax+b cx+d m/n , . . . , ax+b cx+d r/s dx. Se hace el cambio axcx++db =tp, siendo p=m.c.m.(n, . . . , s).
6 1 CÁLCULO DE PRIMITIVAS
2. R
R(x,√ax2+bx+c)dx.
-Sia >0, se hace el cambio√ax2+bx+c=√ax+t. -Sic >0, se hace el cambio √ax2+bx+c=tx+√c.
-Sia < 0 yc <0, se hace el cambio√ax2+bx+c=t(x−α) siendo
αuna raíz de la ecuación ax2+bx+c= 0. 3. RR(x,√x2+a2)dx. Se hace el cambiox=atgt. 4. R
R(x,√x2−a2)dx. Se hace el cambiox=asect. 5. R
R(x,√a2−x2)dx. Se hace el cambiox=asent.
6. RR(ax)dxcon a >0. Se hace el cambio t=ax,dx= ln1adtt, obtenién-dose la integral racional ln1aR R(t)
t dt.
El caso 2 se puede reducir a los casos 3, 4 ó 5 completando cuadrados en la expresiónax2+bx+c.