[MODULO 1: RELACIONES Y FUNCIONES] UNIDAD 1 RELACIONES Y FUNCIONES

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Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO| Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos1| 1 PARES ORDENADOS Y PLANO CARTESIANO.

= (a, b )

Ubicar los puntos o pares ordenados en el plano cartesiano requiere la interpretarlos así:

( x , Y)

La primera componente “a” en el eje de las abscisas “x” y la segunda componente “b” en el eje de las

ordenadas “y”.

PRÁCTICA

Coloca los siguientes pares ordenados en el plano cartesiano:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

pero cuando los puntos están ubicados en los ejes del plano cartesiano, tienen las formas

siguientes: Cuando están en el eje “x”; (a , 0), su representación en el plano es ( x , 0)

Cuando están en el eje “y”; (0, b), su representación en el plano es (0 ,Y), este valor (0 , b ) es

llamado Intercepto pues ahí corta al eje “Y” el grafico. Ahora ubica los puntos siguientes:

( )

( )

( )

( )

IGUALDAD DE PARES ORDENADOS

Definiciones importantes:

Par Ordenado; Los arreglos de la forma (a,b) se llaman pares

ordenados donde: a= primera componente y b= segunda componente.

Igualdad de Pares Ordenados: el par ordenado (a,b) es igual a (c,d) solo

si a = c y b = d.

Plano Cartesiano: Sistema de coordenadas cartesianas formada por

dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto llamado

origen.

Origen: representa el valor de cero

“0”

Eje de las ordenadas

o eje de las “y”

Eje de las abscisas ò eje de las “x”

Igualdad de Pares Ordenados: El par ordenado (a,b) es igual a (c,d) solo si a = c y b = d.

En otras palabras, serán iguales si tienen iguales sus respectivas componentes así:

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Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO| Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos1| 2 Hagamos un mapa mental de cómo se desarrolla la igualdad de pares ordenados:

Mi problema: Encontrar los valores de la incógnita si los pares ordenados son; ( ) ( )

Recuerda la forma de los puntos: (x , y) = (a , b)

Son la primera componente: Igualemos cada componente: la primera con

Primera en cada punto y segunda con segunda: 3 – 4x = -5 y

Entonces: ( ) ( ) Ahora despejemos las incógnitas en cada caso: 3 – 4x = -5 Son la segunda componente: 3 + 5 = 4x = x y = 2 ( 2) 2 = X y = 4

PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS

1

2

3

Definición Importante:

Si se tienen dos conjuntos A y B, se pueden formar parejas cartesianas de tal manera que

la primera

componente ( a , _ )

pertenezca al primer conjunto A, y

la segunda componente

( _ , b ) pertenezca al

segundo conjunto, B; al conjunto formado por todas las parejas cartesianas se le llama P

roducto

Cartesiano de A x B.

Se representa así: A x B = { (a , b ) / a ε A y b ε B -

Desarrolla los siguientes casos y entrégalos a tu docente:

Ejercicio 1.- ( - 𝑥 , 4 - 𝑦 ) = ( 𝑥 , 1 - 𝑦 ) Ejercicio 2.- ( 𝑥 , 12y - 9) = (1 - x , 𝑌 )

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A x B {(1,2, (1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)}

PRODUCTO CARTESIANO DE INTERVALOS.

LIMITES

CORCHETES

Ejemplo 1.

Dados los conjuntos: A = {1, 3, 5 } y B = {2, 4 } Encontrar A x B Mi problem a Mi herramienta

Usa el diagrama de Veen Euler: A B 1 3 2 4 Mi Resultado Ahora grafica el producto A x B en el plano cartesiano Observa lo siguiente: La primera componente (a, _ ) pertenece al primer conjunto.

La segunda componente (_, b ) pertenece al segundo conjunto. Ejercicio: Encontrar B x A.

Como está estructurado un intervalo?

[ 1 , 4 ]

Tipos de Corchetes: [ _ , _ ] Corchete Cerrado:

Los Límites están Incluidos en este intervalo.

] _ , _ [ Corchetes Abiertos:

Los Límites NO están incluidos en este intervalo

[ 1 , 4 [ Corchete Semi Cerrado. El Limite 1 Esta Incluido, pero el Limite 4 No está Incluido.

] 1 , 4 ] Corchete Semi Abierto. El Limite 1 NO está incluido pero el Limite 4 SI está incluido en el Intervalo. Los Símbolos de Desigualdad

asociados a los corchetes son:

[ _ , _ ]

≥ ≤

] _ , _ [

> <

2 4

Practica estos casos: Dados los conjuntos P = {0, 1, 2, 3, 4 }, Q = {3, 4, 5 }, R = { 4, 6 } Encontrar: P x Q Q x P Q x R R x Q P x R R x P Aplica el proceso de arriba y preséntalos a tu profesor/a

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Resuelve junto con tu maestro/a los siguientes casos:

A = ,x ε z / -3 ≤ x ≤ 0} B = , x ε R / 2 ≤ x ≤ 5-

Paso 1.- A = {-3,-2, -1, 0}

B = [2 , 5 ]

Paso 2.- A x B = ,(X , Y) ε Z x R / -3≤ x ≤ 0 , 2 ≤ y ≤ 5-

En otra forma te resulta así: = {-3, -2, -1,0} X [2,5 ]

Paso 3.- En el Plano Cartesiano:

5

2 -3 -2 -1 0

En un Problema de Producto Cartesiano donde intervienen Intervalos se presentan de la siguiente manera: Representar gráficamente] -2 , 3 ] X ] -3 -1 ], encontrar A x B Entonces:

Problema planteado:] -2 , 3 ] X ] -3 -1 + A se ubica en el eje “X” y B se ubica en el eje “Y” Grafícalo en el plano cartesiano

Quienes son los intervalos A y B? -2 ] -1 3 ] -3 1 3 2 4

Producto A x B

Ruta de solución: 1.- Identifica los elementos de cada conjunto.

A = estará formado por los Enteros. B = estará formado por los Reales. Cuales es la diferencia o que tiene que ver esta aclaración?

_______________________________ _______________________________. 2.- Establece el producto cartesiano A x B. 3.- ubícalos en el plano cartesiano.

4.- Interpreta y completa la gráfica, pues en (-3,2), (-3,5) es cerrado, busca los otros si son cerrados o abiertos. Cuando los límites son números Reales los Intervalos son llamados: FINITOS

Desarrolla los siguientes ejercicios: Entrégalos en limpio a tu profesor/a a) A = [2 , 8 ] B = ] -5 , 3[ Representa A x B en el Plano Cartesiano. b) A = [-4 , 4[ B = ]-3 , 5] Representa A x B en el Plano Cartesiano. c) A = ]-3 , 0] B = ]2 , 4] Representa A x B en el Plano Cartesiano

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Dados los conjuntos: M = { 2, 3 } y N = { 2, 3,4 }, encontrar la Relación R = “ Es Igual a”

¿Cómo se resuelve un problema de Relaciones?

Identifica la regla de correspondencia: “Es Igual a”.

Usa el diagrama de Veen Euler para tener mejor visualización del problema:

“Es Igual a”

M N

Encontremos la Relación. “Es Igual a” R = {(2 , 2), ( 3 , 3)}

Para dar por resuelta una Relación, debes encontrar el Dominio “D“ y el Recorrido “ R”.

Por último grafícala, ubica esos pares ordenados de la Relación en el Plano Cartesiano.

Definición Importante:

RELACIONES: una relación de A en B es un sub conjunto del

Producto Cartesiano de A x B de tal manera que cada par ordenado

formado

CUMPLA CON UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA

.

Una Relación normalmente se representa por R.

1 2 2 3 2 3 4

Para la regla de correspondencia “Es igual a” solo estos elementos cumplen 2 de M es igual a 2 de N y 3 de M es igual a 3 de N.

3

Resuelve con esos mismos conjuntos la relación: R = ,“es menor que”-

4

Dominio: está formado por todas las primeras componentes de los pares ordenados que

cumplen con la Regla de Correspondencia de la Relación y se agrupan en un sub conjunto que

las representa, así; D = , _, _, _, …-

Recorrido: está formado por todas las segundas componentes de los pares ordenados que

cumplen con la Regla de Correspondencia de la Relación y se agrupa en un sub conjunto que las

representa, así; R = , _, _, _, …-

5

Hagamos el siguiente Ejemplo:

Sean los conjuntos: P = {1, 4, 9} y Q = {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4}

Encontrar la Relación de P en Q ; R = “Es el cuadrado de”.

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RESUELVE

9 9

Sigue la ruta de solución: Paso 1: Mi problema:

Paso 2: Mi herramienta:

Recuerda:

1 1 1 1

Observa: Al graficar una Relación, la grafica es el conjunto de puntos del plano cartesiano que representan a cada uno de los pares ordenados que cumplen la Regla de Correspondencia

Paso 3: Mi resultado Paso 4: Obtener;

Dominio: primeras componentes. Recorrido: segundas componentes. Paso 5:

Grafica el dominio X, el recorrido Y

Sean los conjuntos P = {1, 4, 9} y Q = {-4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4} Encontrar la Relación de P en Q; R = “Es el cuadrado de”. Usando el diagrama de Venn Euler puedo visualizar la Relación.

P

el cuadrado de

Q

R = {(1,-1)(1, 1), (4,-2),(4, 2), (9,-3), (9, 3)}

D = {1, 4, 9}

R = {-1, -2, -3, 1, 2, 3}

• - 9 •

• - 4 •

• -1•

…-3 -2 -1 1 2 3…

1 4 9 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 R= , (x , y ) ε R x R / Y = 2 - x} R= { (x , y ) ε D x D / Y= 3x +2- R= , ( x, y) ε R x R / Y = 𝑥

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¿Cómo se resuelve un problema de ecuaciones?

Definición importante: FUNCION:

Se llama función a toda Relación que cumple con la condición siguiente

; A cada valor del Dominio le corresponde un único valor del Recorrido, o

también que a todo valor de A tiene una y solo una imagen en B.

Dominio: El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente “X”, llamado conjunto de partida.

Recorrido: El Recorrido de una función es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente “Y”, llamado conjunto de llegada.

Recordemos la estructura de los pares ordenados. ( a, b ) (X, Y), entonces, lo que era la primera componente es la variable independiente y la segunda componente es la variable dependiente.

Tipos de Funciones: Funciones Algebraicas.

Función Lineal: Expresada como 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 𝑏 se llama función lineal de x.

Características: El grafico es una Línea Recta.

La expresión 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 𝑏es la Ecuación de la Línea Recta.

El exponente de x es 1.

Recordando: Primera Componente” X” Segunda Componente “Y”

( X , Y )

Variable Independiente “X” Variable Dependiente “Y”

1 2

3 RUTA DE SOLUCIÓN:

1.- La función debe estar expresada en la forma:

𝑓(𝑥) 𝑥 Es lo mismo Y = 3 – 2X

2.- has una tabulación para mayor facilidad: X Y = 3 – 2X ( x , y ) -3 Y= 3 – 2(-3) = 9 ( -3, 9 ) -2 Y= 3 - 2(-2) = 7 ( -2, 7 ) -1 Y = 3 – 2(-1) = 5 ( -1, 5 ) 0 Y = 3 – 2(0) = 3 ( 0 , 3 ) 1 Y = 3 – 2(1) = 1 ( 1 , 1 ) 2 Y = 3 -2(2) = -1 ( 2, -1 ) 3 Y = 3 -2(3) = -3 ( 3, -3 )

3.- Dominio:,…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…- = Números Reales

Recorrido: ,…9, 7, 5, 3, 1, -1, -3…- =Números Reales

4.- Ahora grafícala. Función Lineal: 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 𝑏 a = es la pendiente “m” de la recta. b = es el intercepto. CASO I

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FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

Cuando en un cociente aparece la variable X formando parte del

denominador, entonces el denominador debe ser diferente de “0”. Por ejemplo, Encuentra el

Dominio y Recorrido y grafica la función siguiente:

𝑓

𝑥 𝑥+

. Su grafica se llama

Hipérbola

Equilátera.

RUTA DE SOLUCIÓN:

1.- La función debe estar expresada en la forma: 𝑓(𝑥) 𝑥+ Es lo mismo Y = 𝑥+

2.- has una tabulación para mayor facilidad: 4.- Ahora grafícala. X 𝑓 (𝑥) 𝑥+ ( x , y ) -3 -2 -1 0 1 2 3 3.- Dominio: Recorrido:

Cuando aparecen raíces pares y la variable X es parte del radicando, entonces el radicando debe ser mayor o igual que “0”. Por ejemplo, Encuentra el Dominio y Recorrido y grafica la función siguiente: 𝑓(𝑥) 𝑥. Llamada también Función Raíz Cuadrada

CASO II

RUTA DE SOLUCIÓN: 1.- La función debe estar expresada en la forma:

𝑓

(𝑥)

𝑥

2.- has una tabulación para mayor facilidad: 4.- Ahora grafícala. X

𝑓

(𝑥)

𝑥

( x , y ) -3 -2 -1 0 1 2 3 3.- Dominio: Recorrido:

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Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO| Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos1| 9 FUNCION CUADRATICA.

La función cuadrática se expresa como 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐. También: Y= 𝑥

Características: La Grafica es una Parábola y es simétrica. El Exponente de X es 2.

Si a > 0; y X ≥ 0 la convexidad es hacia abajo. Si a < 0; y X ≥ 0 la convexidad es hacia arriba.

1 2

RUTA DE SOLUCION

Ejemplo: Encontrar el Dominio y Recorrido y grafica la función: 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 1

Complétalo con tu profesor/a

1.- has una tabulación para mayor facilidad: X 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 1 ( x , y ) -3 ( ) ( ) 1 (-3, 16) -2 (-2, 9) -1 (-1, 4) 0 (0, 1) 1 (1, 0) 2 (2, 1) 3 (3, 4) 2.- Dominio: Recorrido:

FUNCION CONSTANTE Su forma: 𝑓𝑥 𝐶

Características: No posee variable “X”, en todo caso es de la forma 𝑥0. Y La grafica es una línea recta horizontal pues el valor 𝐶 corresponde al intercepto en el eje “Y”.

RUTA DE SOLUCION: Ejemplo: Encontrar el Dominio y Recorrido y grafica la función: 𝑓(𝑥)

1.- La tabulación para mayor facilidad:

X

Y = 2

( x , y ) -3

Y = 2

(-3, 2) -2 -1 0 1 2 3 2.- Dominio: Recorrido 1 2

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Ahora a practicar; no olvides la ruta de solución, Tabular, Dominio y Recorrido y graficar:

Entrégalos a tu maestro/a en limpio

FUNCION CUBICA Su forma es: 𝑓𝑥 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐𝑥 𝑑

Características: Si grado de la función polinomial es tres ( 𝑥 ), entonces la función es cubica. La grafica es una Parábola cubica. O así

1 2

RUTA DE SOLUCION

Ejemplo: Encontrar el Dominio y Recorrido y grafica la función: 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑥 𝑥 1

Complétalo con tu profesor/a

1.- has una tabulación para mayor facilidad:

X Y = 𝑥 𝑥 𝑥 1 ( x , y ) -3 (-3, -64) -2 (-2, -27) -1 (-1, -8) 0 (0, -1) 1 (1,0) 2 (2, 1) 3 (3, 8) 2.- Dominio: Recorrido: 1) 𝑓𝑥 1 𝑥 6) 𝑓𝑥 𝑥3−𝑥 2) Y = 𝑥 7) 𝑓𝑥 𝑥 3) 𝑌 𝑥 1 8) 𝑓𝑥 𝑥 4) 𝑓𝑥 𝑥2 9) Y = 2 5) 𝑓𝑥 𝑥 10) Y = -2

Evaluación de las Funciones. Evaluar una función significa encontrar el valor de la variable dependiente, al sustituirla en la Regla de Correspondencia el respectivo valor de la variable independiente.

Función Real de Variable Real: Es aquella en la que el Dominio y el Recorrido lo constituyen el conjunto de los números Reales “R”.

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FUNCION INVERSA

Practica y entrégalos a tu maestro/a Definición Importante:

Funciones Crecientes y Decrecientes: al graficar una función nos podemos dar cuenta si es creciente o

decreciente así: Creciente, Cuando a un aumento en el Dominio “X” corresponde un aumento en el Recorrido “Y”, por el contrario es Decreciente cuando a un aumento en el Dominio “X” corresponde una disminución en el Recorrido “Y”. Toda función Creciente o Decreciente es uno a uno.

Función Inyectiva o función uno a uno: es aquella en donde a cada valor de “Y” en el Recorrido, le corresponde uno y solamente un único valor de “X” en el Dominio.

Evaluar la función si es uno a uno: debemos graficar la función y trazar rectas horizontales que intersecten la grafica, si las rectas horizontales la cortan una sola vez entonces es una función uno a uno.

Por Ejemplo: demostrar que la función 𝑓𝑥 𝑥

3

𝑥 es creciente o uno a uno. Paso 1. Siempre Tabula:

X

Y =

𝑥3 𝑥 ( x , y ) -3 -2 -1 0 1 2 3 Es Creciente en]-α, -2+ U *2, α+* Es Decreciente]-2, 2]

…Creciente Decreciente Creciente…

𝑓𝑥

1 𝑥

Indica los intervalos donde la función dada es creciente y donde es decreciente.

𝑓𝑥 9 𝑥

Indica los intervalos donde la función dada es creciente y donde es decreciente.

𝑓𝑥 𝑥 1

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Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO| Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos1| 12 No todas las funciones tienen una función inversa, las únicas funciones que poseen inversa son las funciones uno a uno o Inyectivas o lo que es lo mismo las que son crecientes o decrecientes.

Si 𝑓 es una función Inyectiva entonces su inversa es 𝑓− , de aquí concluimos que: 1) El Dominio de 𝑓 = Rango de 𝑓− . 2) El Rango de 𝑓 = Dominio de 𝑓− . X 𝑓(𝑥) x ( x , y ) 0 Y=5(0) – 4 = -4 (0, -4) 1 Y=5(1) – 4 = 1 (1, 1) 2 Y= 5(2) – 4= 6 (2, 6) X 𝑓− (𝑥) 𝑥 ( x , y ) -4 Y =0 (-4, 0) 1 Y =1 (1, 1) 6 Y =2 (6, 2)

El método para encontrar la Función Inversa de una Función es: a) Se determina si la función dada es uno a uno o Inyectiva. b) Se intercambian las variables “X” y “Y” para obtener 𝑥 𝑓(𝑦).

“ X “ por “ Y “ y “Y “ por 𝑓−

Hagamos un ejemplo: Encontrar la función inversa 𝑓− de la función 𝑓(𝑥) 𝑥

Demuestra si la función es uno a uno. “Complétalo” X

Y = 3x + 4

( x , y ) -3 -2 -1 0 1 2 3 Primero

Y = 3X + 4 Intercambiemos: “ X “ por “ Y “ y “X “ por 𝑓− X = 3 𝑓− + 4 ahora despejemos “𝑓− ” 4 esta sumando pasa a restar. X – 4 = 3𝑓− 3 esta multiplicando pasa a dividir.

𝑥 – = 𝑓− así hemos encontrado Inversa.

Compara las graficas y que concluyes? Segundo

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Practica y entrégalo a tu maestro/a:

Encuentra las funciones inversas a las funciones siguientes:

𝑦 𝑥 1 2) 𝑦 𝑥 3) 𝑓(𝑡) 𝑡

No olvides la ruta de solución: Verifica si es uno a uno, intercambia las variables

X por Y , despeja Y , luego sustituye a y por 𝒇−𝟏.

Cuando una función NO cumple con la condición de ser uno a uno o Inyectiva, se puede

restringir el dominio, de tal manera que la función dada se convierta en una función uno a uno y poder obtener su inversa, el procedimiento para ello es el siguiente:

Ejemplo: para 𝑓(𝑥)= 𝑥− 𝑓(𝑥) 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑠𝑖 𝑥 ≥

(𝑥 ) 𝑠𝑖 𝑥 < 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝑠𝑖 𝑥 < . Hagamos la grafica: usa algunos valores Observa: está formada por dos Rectas.

Y = X – 3 Dominio: [-3, +α * e y =-(x – 3) Dominio:]-α, 3+

Por lo tanto 𝑓(𝑥) 𝑥 no es Inyectiva.

Para Transformarla en Inyectiva tomamos cualquiera de los dominios: Dominio: [-3, +α * ó Dominio:]-α, 3+ .

Si tomamos el Dominio restringido: [-3, +α *, corresponde a

Y = x – 3

saquemos la función inversa:

Y = x – 3

Se intercambian las variables “X” y “Y” para obtener 𝒙 𝒇(𝒚). “ X “ por “ Y “ y “Y “ por 𝒇−𝟏 . 𝑥 𝑦 despejando “y” 𝑦 𝑥

Entonces 𝒇−𝟏 𝑥 , grafiquemos esta función: ¡probemos si es uno a uno ¡

Ojo

Y = -(x – 3)

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FUNCIONES TRASCENDENTES

Definiciones importantes: 𝑓(𝑥) ( . )𝑥𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑓(𝑥) 1 𝑥 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 1 𝑓(𝑥) е𝑥 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒.

Función Exponencial:

Las funciones exponenciales describen crecimientos o decrecimientos acelerados y su aplicación se da en campos como la Demografía, la Química, la Economía, la Biología entre otras ciencias.

𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 Llamada función exponencial de base

a.

Algunos ejemplos de bases son:

𝑓(𝑥) 𝑥 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 .

Veamos cada una de ellas: Forma de la Función exponencial.

Exponencial

Si tomamos el otro Dominio Dominio:]-α, 3+

que corresponde a y = - (x – 3) =

𝑦 𝑥

.

Encontremos su inversa:

𝑦 𝑥

𝑥 𝑦

𝑦 𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝒇 𝟏 𝑥 Grafiquemos;

Intenta uno: 𝑓(𝑥) 𝑥 y entrégalo.

CARACTERISTICAS DE LA FUNCION EXPONENCIAL.

1) Dominio = Reales. 2) Recorrido = Reales + 3) El intersecto es (0, 1) 4) Es función uno a uno

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Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO| Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos1| 15 Paso II: Grafícala

El Dominio, Recorrido y la Grafica de una Función Exponencial:

Para 𝑓(𝑥) 𝑎𝑥 con a > 0 y ǂ 1 se tiene que:

Dominio = Reales y el Recorrido = Reales +

𝐹(𝑥) 𝑥

Hagamos un ejemplo:

Encuentra el Dominio y Recorrido y Grafícala.

SIGUE LA RUTA YA APRENDIDA: Paso I: Tabular, complétala:

X 𝑦 𝑥 ( x , y ) -3 ( -3, 0.125) -2 ( -2, 0.25 ) -1 (-1, 0.50 ) 0 ( 0, 1) 1 ( 1 , 2 ) 2 ( 2, 4 ) 3 ( 3 , 8 )

Paso III: Dominio: Reales Recorrido: Reales + +++

Resuelve las siguientes funciones, siguiendo los pasos de arriba, compáralas y llega a conclusiones con tu profesor/a, no olvides presentarlos en limpio.

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Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO| Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos1| 16 CRECIMIENTO EXPONENCIAL.

Una aplicación de las funciones exponenciales es la descripción del crecimiento poblacional, la propagación de una enfermedad, el crecimiento del dinero depositado en una cuenta de ahorros, hagamos algunas demostraciones.

Ejemplo 1: Elisa deposita $ 500.00 en un banco que paga el 5.56% de interés anual ¿Cuánto dinero tendrá ahorrada después de uno, tres y cinco años?, si la ley de asignación que se aplica es

𝑓(𝑥) 𝐶𝑒𝑟𝑥

Donde: C = Cantidad inicial ó capital r = tasa de crecimiento X = Tiempo 𝑓(𝑥) Cantidad

Final

Ruta a seguir:

1: que ley de asignación se aplica. 𝑓(𝑥) 𝐶𝑒𝑟𝑥

2: con que datos contamos. C = $ 500.00 r = 5.56% X = 1, 3, 5 años.

3: sustituir estos datos en la ley de asignación: 𝑓( ) 𝑒(0.0 ) ; 𝑓( ) 𝑒(0.0 ) ;

𝑓( ) 𝑒(0.0 )

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Función Logarítmica.

1) Se ahorran $2,200.00 si pasados x años el nuevo saldo se rige por la ley de asignación: 𝑓(𝑥) (1. )𝑥 ¿cuanto dinero se tendrá al cabo de 3 años?

2) Se ahorro una cantidad C de dinero, el nuevo saldo pasado 10 años es de $ 63510.00 y se rige por la ley de asignación 𝑓(𝑥) 𝐶𝑒0.0 𝑥

3) Un trabajador se jubila al cabo de 30 años de servicio y recibe una bonificación de $ 25,000.00 y desea ahorrarlo a una tasa de 8% de interés, cuanto tendrá ahorrado al final 5 años.

4.- El crecimiento demográfico en cierta ciudad de El Salvador se rige por la ley de asignación

𝑝(𝑥) (1 )0.0 𝑡. Cual es la población al momento del estudio?, que población

después de un año? Y la población después de quince años.

5.- Un cultivo de Bacterias crece de acuerdo a la ley de asignación 𝑦 1 𝑒0. 𝑡 . Donde t esta expresado en días, a) después de una semana. b) después de tres semanas

Conceptos importantes:

𝑓

(𝑥)

𝑎

𝑥

Los logaritmos nos ayudan a resolver problemas de aritmética y

geometría entre otros con mayor facilidad, de esta manera en lugar de

multiplicaciones se hacen solamente sumas; llamado esto PROPIEDAD

1, y en lugar de las Divisiones se hacen restas; PROPIEDAD2.

La Función exponencial es uno a uno por lo tanto tiene su Inversa de

aquí la función logarítmica.

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Logaritmo base a de x

𝑦 𝑙𝑜𝑔

𝑎

𝑥

Si solo si

𝑥 𝑎

𝑦

Es decir que “y” es el logaritmo base “a” de “x”

esto solo si “y” es el exponente al cual se eleva

la base “a” para obtener “x”

𝑙𝑜𝑔 8 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 8 𝑙𝑜𝑔 9 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 9 𝑙𝑜𝑔 1 1 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑒𝑠 1 1 − Ejemplo:

Otros Ejemplos:

Expresar en forma Logarítmica:

9

9

solución:

𝑙𝑜𝑔

9

9

Si

𝑙𝑜𝑔

00

𝑥

encontrar el valor de “x” solución:

1

2

𝑥

= x, x = 20

Se sabe que

𝑦 𝑙𝑜𝑔

encontrar el valor de “y”

Solución:

𝑦 𝑙𝑜𝑔

es equivalente a

𝑦

entonces

𝑦

por lo tanto y = -1

Un ultimo caso

𝑙𝑜𝑔

𝑎

1

encontrar el valor de a.

Solución:

Lo pasamos a forma logarítmica:

𝑎

1

Pasamos el exponente a positivo:

𝑎3

1

Despejamos

𝑎

1 1 𝑎

𝑎

encontramos a

3

= a=

𝑙𝑜𝑔9 9

Pasando de Exponencial a Logarítmica

9

9

.

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Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO| Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos1| 19

Cuales son las características de una función logarítmica?

Grafiquemos la función

1 2

Características:

𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 o 𝑥 𝑎𝑦 con

а > 0 y

а ǂ 1

1.- El dominio: Reales Positivos.

2.- El Recorrido: Los Reales

3.- La Función es creciente para

а > 1

y decreciente

cuando 0< a < 1.

4.- Es una función uno a uno.

5.- intersecta al eje “x” en (1 ) y no corta al eje “y”.

6.- El eje de las “y” es una asíntota

𝑙𝑜𝑔

𝑒

𝑠𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑠 "𝑒"

Interpretación:

𝑙𝑜𝑔

0

𝑥

Significa que la base es 10.

A los logaritmos de base 10 se llama: LOGARITMOS COMUNES. Cuando escribimos: 𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑥 sabemos que:

Dominio es un intervalo de cero al infinito positivo y el Recorrido son los reales. Entonces todo numero positivo x se puede expresar como una potencia, así: Forma Exponencial Forma Logarítmica

1 − . 1 log . 1 Característica: 1 1 − . 1 log . 1 1 − .1 1 log .1 1 0= 1 0 = log 1 Mantisa: 0.39794 1 1 1 log 1 Log25 = 1.39794 𝑙𝑜𝑔 9 9

Pasando de Logarítmica a Exponencial:

Leemos así:

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Proyecto de Graduación UNICAES ILOBASCO| Walberto de Jesús Ortiz; Lorenzo Arcides Bolaños; José Raúl Antonio Ramos1| 20

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