Thomas Malthus, en su ensayo Essay on the Principle of Population as it affects the Future Improvement of Society, publicado en 1798, afirmaba que una población agotará siempre sus recursos alimenticios, puesto que la población crece exponencialmente, mientras que los alimentos crecerían linealmente.
El crecimiento exponencial de poblaciones viene dado por: P(t) = P0 · a k t, en donde t:
tiempo; P(t): número de individuos en el instante t; Po: población inicial; a, k: constantes que dependen de la población a estudiar.
Modelo de decrecimiento exponencial: El modelo de crecimiento poblacional de Malthus también sirve para el estudio de desintegración de sustancias radioactivas. En este caso el parámetro k es negativo.
1. Se introducen 100 alces en una biorreserva. El número N(t) de animales vivos después de t años se predice mediante N(t) = 100 · (0.9)t. Estima el número de animales vivos después de 1 año, 5 años, 10 años.
2. El cuerpo elimina cierto fármaco a través de la orina. Supón que para una dosis inicial, la cantidad en el cuerpo está dada por: F(t) = 10 · (0.8)t, con t en horas y F en miligramos. t = 0 equivale a la administración
del fármaco.
a) ¿Cuál fue la dosis inicial?
b) ¿Qué cantidad del medicamento queda en el cuerpo luego de 8 horas?
c) ¿Qué porcentaje del fármaco que permanece en el cuerpo se elimina cada hora?
3. En determinadas condiciones, una población de mosquitos crece ajustándose a la función f(t) = 2 + 0,5 e0,4 t,
donde f(t) es el número de mosquitos en miles y t es el tiempo en días. a) ¿Cuánto tiempo, en días, tardará en duplicarse la población inicial?
b) ¿Después de cuántos días la población de mosquitos será superior a 100 mil? c) ¿Qué pasa, según este modelo, después de un par de años?
4. El profesor C. F. ha sido asesinado y sabemos que X. C. es la principal sospechosa. Cuando la policía llegó al lugar de los hechos, a las 12 del día, tomó la temperatura del cadáver: 28º C. Antes de irse, media hora después, volvió a tomar la temperatura: 25º C. También tomó la temperatura de la habitación: 20º C. El abogado de X. C. trató de probar su inocencia usando la Ley de Enfriamiento de Newton, que permite calcular la temperatura de un objeto que se enfría. Según esta ley, el abogado afirma que el cuerpo de C. F. se enfrió según la función: T(t) = 20 + 8 e -0.94 t (t en horas).
a) Sin entrar a discutir cómo obtuvo el abogado dicha función, y suponiendo que t = 0 significa las 12 del día, calcule la temperatura de C. F. a las 13:00, a las 13:30 y a las 14:00.
b) Si T. S. fue vista saliendo de la casa de C. F a las 11:30, ¿es posible que haya cometido el asesinato? (suponga que al morir, C. F. tenía una temperatura de 37º)
Álgebra de Funciones
Guía 7: Función exponencial y logarítmica.
Profesores: Ximena Cánovas & César Fernández
5. La bacteria Escherichia coli se encuentra, como toda persona educada bien sabe, en el intestino de muchos mamíferos. Su tiempo de duplicación es de 30 minutos. Si partimos con un cultivo de 500 bacterias, ¿cuántas habrá al cabo de 2 horas? ¿Y después de un día? (usar a = e)
6. Suponga que un solo vidrio elimina 3% de la luz que pasa por él.
a) Determine una función que permita modelar el porcentaje p de luz que pasa por n vidrios. a) ¿Qué porcentaje de luz pasará por 10 vidrios?
b) ¿Cuántos vidrios son necesarios para que pase a lo más 50% de la luz?
7. Si un niño se cae y se hace una herida, entonces el área de la herida luego de n días se puede modelar con la
función 0,35
0
( ) n
A n =A ⋅e− , donde A0 representa el área original de la herida, si es que no hay infecciones que
retrasen la curación. Suponga que un niño se hace una herida circular de 3 cm de radio. a) ¿Qué área tendrá la herida luego de 3 días?
b) Suponga que se dice que la herida está sanada, cuando el área es 1% de la original. ¿Cuántos días demora en sanar la herida?
8. El radio se descompone radiactivamente. La cantidad de él existente en una muestra después de t años viene dada por C(t) = C0 · e-0,00041 · t
a) ¿Qué cantidad de radio queda de una muestra de 10 g. al cabo de 1500 años? b) ¿Cuál es la vida media del radio (en años)?
(Vida media: tiempo que tarda en descomponerse la mitad de una sustancia radiactiva)
9. Para un hueso se calculó que se había desintegrado el 20% del carbono-14. Si el porcentaje de carbono-14 en restos fósiles viene dado por la fórmula: p(t) = 100 e - 0,00012 t, calcula
a) La edad aproximada del hueso.
b) ¿Cuántos años deben pasar para que quede sólo el 5% del carbono-14?
10. Un arqueólogo descubre que en unos restos óseos queda sólo el 20% del carbono-14 de lo que hay en la atmósfera. ¿Qué edad tienen esos restos si ella vida media del carbono-14 es de 5730 años?
11. Un isótopo radiactivo del Galio, utilizado en el diagnóstico de tumores malignos, tiene una semivida de 47 horas. ¿Cuántos miligramos quedarán, de una cantidad inicial de 250 miligramos, después de transcurridas 24 horas?
12. Estima la semivida de un material radiactivo que se desintegra siguiendo la ley: Q = Q o · e- 0,0015 t, con t
medido en años.
Respuestas: 1. 90; aprox. 59; aprox. 35 2. a) 10 mg. b) 1.68 mg c) 20% 3. a) aprox 4.5días b) A partir del día 14 c) 2 + 0,5 e292 : esto nos indica que éste es un modelo de crecimiento poblacional a corto plazo 4. a) 23.13º; 21.95º; 21.22º b) ¡T. S.
sigue y seguirá siendo la principal sospechosa! ¡Justice, Justice, we want justice! 5. 8000 bacterias después de 2 horas. Después de 1 día: muuuuchas! Esto nos indica que este es un modelo de crecimiento poblacional a corto plazo 6. a) p(n) = 100 · 0,97n≈100 · e – 0,03n b) aprox. 74% c) 24 vidrios 7. a) aprox. 9,9 cm2 b) aprox. 13 días
8. a) aprox. 5,4 g b) aprox. 1690,6 años 9. a) aprox 1859,5 años b) aprox. 24964 años 10. aprox. 13305 años 11. aprox. 175,4 miligramos 12. aprox. 462 años
Crecimientos exponenciales acotados:
Existen otros dos modelos asociados a la función exponencial, que permiten que el crecimiento sea limitado.
13. ¡Cuidado con los rumores!
Suponga que alguien malintencionadamente “echa a correr” un rumor acerca de usted. La cantidad de personas N que habrá escuchado el rumor luego de d días se puede modelar mediante la función:
(
0,15)
( ) 1 d
N d P e−
= − , en donde P es el número de alumno del colegio. Suponga que en el colegio hay 1000 alumnos,
a) ¿cuántas personas habrán escuchado el rumor después de 3 días? b) ¿En cuántos días lo habrá escuchado el 90% del colegio?
14. Para una prueba de matemáticas un alumno debe haber hecho previamente varias guías y tareas que suman en total 500 ejercicios. Suponga que la cantidad de ejercicios C que el alumno sabe hacer después de t minutos de estudio se modela con la función C t( )=500 1
(
−e−0,00061t)
.a) ¿Qué porcentaje de los ejercicios sabrá hacer un alumno que estudia el día antes de la prueba solamente? (Suponga que ese día estudia 5 horas)
b) ¿Cuántas horas debe haber estudiado en total un alumno, para saber el 90% de los ejercicios? 15. El número de personas afectadas por una enfermedad contagiosa viene dado por la fórmula:
C(t) = t e 2,1· 999 1 1000 − + .
a) Si t está en días, ¿cuántas personas estarán contagiadas pasados 1, 2, 7 días? b) Representa gráficamente la evolución de la enfermedad.
c) ¿Tras cuántos días hay 100, 800, 2000 enfermos?
d) Saca conclusiones. Compara el modelo de Malthus con el logístico.
16. Si el número de partículas contaminantes por metro cúbico de aire viene dado por: N(t) = t
e 0,1 · 249 1 5000 − + ,
donde el tiempo t se mide en semanas. En el supuesto que no se aplique ninguna medida correctora:
a) ¿Cuántas partículas contaminantes hay por metro cúbico en el momento inicial? ¿Ya las 2, 5, 10 semanas? b) Si el máximo admisible para personas con problemas respiratorios es de 2000 partículas por metro cúbico, ¿al cabo de cuántas semanas se plantearán problemas de salud para esas personas?
17. Algunos analistas opinan que la población mundial se ajusta, desde 1960, a la función: P(t) = t e 0,02123 11 1 36000 − + .
(t en años, t = 0 significa 1960 ; P(t) se mide en millones de personas.)
a) ¿Cuántas personas había o habrá en los años: 1960, 1970, 1980, 1990, 2000 y 2010?
b) Representa gráficamente la evolución de la población y, a partir de la gráfica, indica cuándo se duplicará la población existente en el año 2000.
c) Calcula exactamente el valor de la parte b)
d) Según este modelo, ¿cuál es la capacidad de población mundial? 18. Una población de conejos se ajusta a la función: P(t) = t
e 0,42· 199 1 20000 − +
a) ¿Cuántos conejos hay inicialmente?
b) ¿Después de cuánto tiempo se duplica la población inicial?
c) ¿ Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población conejil llegue a 30000?
19. La relación entre la intensidad del sonido I, medido en watts/m 2, y el nivel de decibeles db) del sonido es:
db = 10 log (I · 10 12).
a) En un equipo de amplificación se lee la siguiente información: "2.000 watts/m2 de salida" ¿A qué nivel de
sonido, en decibeles, corresponde esta información?
b) Si otro equipo tuviera la lectura "4.000 watts/m2 de salida", ¿correspondería a un nivel de sonido igual al
doble de decibles que el anterior?
20. Una escala utilizada para medir la magnitud de un sismo es la escala de Richter. La cantidad de energía liberada en un movimiento sísmico está dada por la fórmula
Log E = 1.5 R + 11.8,
donde E es la energía liberada medida en ergios y R es la magnitud del sismo en grados de la escala de Richter.
a) Expresar la energía liberada en su forma exponencial b) ¿qué cantidad de energía se liberó para el terremoto pasado?
c) Desde que se dispone de instrumentos de medición sísmica, el terremoto de mayor magnitud registrada es el de Valdivia en el año 1960, que tuvo una magnitud de 9,5 grados en la escala de Richter. Comparar la energía liberada en este terremoto con el terremoto de 1985 en Valparaíso que tuvo una magnitud de 8,1 grados en la escala de Richter.
RESPUESTAS: 13. a) aprox. 362 alumnos b) en aprox. 15 días 14. a) aprox. 16,7% b) aprox. 63 horas 15. a) 8; aprox. 63; 1000. c) al tercer día; al cuarto día; jamás. La función de crecimiento logístico es un modelo a largo plazo 16. a) 20; aprox. 24; aprox. 33; aprox. 54 b) aprox. 51 semanas 17. a) 3000 millones; aprox.3.637,855 millones; aprox.4.393,27 mill.; aprox.5.280 mill.; aprox. 6.309,89 mill.; aprox.7.491,73 mill. b) el año 2043 c) 36 mil mill. 18. a) 100 b) en aprox. 1,7 años c) jamás
Interés compuesto y continuo:
El interés es la ganancia o renta producida por un capital durante un período de tiempo; este interés puede ser simple, compuesto o continuo. La tasa de interés, que generalmente se da en “tantos por cientos”, puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, diaria o continua.
Interés compuesto: En el interés compuesto el capital inicial va incrementándose con los intereses producidos en los periodos anteriores de tiempo (anuales, semestrales, etc.).
La fórmula que da el capital acumulado al cabo de t años a una tasa de interés anual r, es: C = C0 · (1 +
n
r
) n· t ,
siendo: C0 = capital inicial; n = número de períodos anuales; t = años
21. Supón que se invierten $1.000 a una tasa de interés compuesto de 9%.
a) Encuentra la cantidad acumulada al cabo de un año, si el interés es compuesto cada 3 meses, 1 mes, 1 semana, a diario, por hora, y cada minuto.
b) Conjetura: ¿Qué pasaría, si el interés se compone cada segundo?
22. Supón que se invierte $1, a un 1 % durante 1 año, y el interés se compone cada nanosegundo. ¿Cuál sería el capital acumulado?
Interés continuo: Si consideramos períodos de tiempo infinitesimales el interés se llama continuo. La fórmula que da el capital acumulado al cabo de t años a una tasa de interés anual r, es: C = C0 · e r · t
Siendo: C0 = capital inicial; t = tiempo en años
23. Calcula el capital acumulado al cabo de 8 años para 1 millón de pesos al 5 % de interés compuesto, si los intereses se abonan : a) anualmente b) trimestralmente c) mensualmente d) continuamente 24. Calcula el capital acumulado para un depósito bancario de 4.500.000 pesos en las siguientes condiciones:
a) al 5 % de interés compuesto anual, durante 9 años b) al 6 % de interés compuesto semestral, durante 8 años
c) al 6,24 % de interés compuesto semanal, durante 7 años (considera que 1 año tiene 52 semanas) d) al 7 % de interés continuo, durante 6 años.
25. Una persona tiene 3 millones de pesos para depositar en una cuenta bancaria, pudiendo mantener el depósito durante 5 años. Estudia las condiciones de diferentes bancos:
El banco A le ofrece un interés compuesto de 7,8 % abonando los interese anualmente El banco B le ofrece un interés compuesto de 7,7 % abonando los interese trimestralmente El banco C le ofrece un interés compuesto de 7,65 % abonando los interese mensualmente El banco D le ofrece un interés continuo de 7,6 %.
¿En qué banco le interesa más depositar su dinero?
26. ¿Durante cuánto tiempo debes mantener 1 millón de pesos en un banco, a una tasa de interés de 6,1%, si quieres duplicar tu capital?
