hallar; a) Ecuación del plano que pasa por r y por (1, 3, 8) b) Distancia desde el origen al plano anterior

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(1)

1. Distancia entre la recta z 5 2 y 3 1 x− == y el plano (x, y, z) = (0, 1, 0) + τ(2, 5, −1) + λ(1, 0, 2)

2. Distancia del punto (2, 3, 5) a la recta 2 1 x− = y−2 = 2 z

3. Distancia entre las rectas r ≡ 3 2 x+ = y−2 = 3 z y s ≡ x = 2 2 y− = z 4. Sea la recta r ≡    = + − = − − 8 z 5 y x 2 1 z y 2 x 3 hallar;

a) Ecuación del plano que pasa por r y por (1, 3, 8) b) Distancia desde el origen al plano anterior

5. Sea el plano π≡ 4x − y + z = 9

a) Hallar la ecuación de un plano paralelo a π cuya distancia al origen sea 2 . b) Hallar el punto de π más próximo al origen.

6. Posición relativa y distancia entre las rectas: a) r ≡ 3 1 x− = 5 2 y+ = z; r' ≡ 2 x − = 3 1 y− = z b) r ≡ (x, y, z) = (3, 1, 0) + t (4, −6, −2); r' ≡    = − = + 0 z 3 y 0 z 2 x c) r ≡ (x, y, z) = (1, 0, 3) + t (−1, 3, 0); r' ≡ x−2 = y−3 = z

7. Distancia entre la recta 6 2 x− = 3 1 y+ = 4 3 z− y el plano 3x + 2y − 6z + 7 = 0. 8. Distancia entre r ≡ 3 x = 2 7 y − − = 2 6 z − − y r' ≡ 2 3 x − − = y−3 = 2 3 z−

. Hallar el punto de corte de ambas

rectas con su perpendicular común.

9. Longitud del segmento de la recta x−1= 1 y − = 4

3 z+

de extremo, los puntos de intersección de esta con los planos de ecuación π1 ≡ x − 3y − 2z + 8 = 0 y π2 ≡ x − y + z − 1 = 0

10. Se considera el paralelogramo ABCD tal que A(0, 0, 0), B(0, 1, 1) y C(2, 3, 5), halla el vértice D y su área.

11. Distancia entre la recta r ≡      λ − − = λ + = λ + = 1 z 2 y 2 1 x y el plano π≡ 2x − 3y + z = 0. 12. Distancia de P(1, 2, 3) a la recta r ≡    = + − − = + + 0 1 z y x 0 z y x

(2)

14. Dado el tetraedro O(0, 0, 0), A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) hallar: i) ángulos de aristas AB , OA y BC .

ii) Recta que corta a OA y BC perpendicularmente iii) Volumen

iv) Altura sobre la cara ABC v) Distancia de AB a OC

15. Dado el triángulo vértices A(2, 0, 1), B(−1, 2, 0), C(0, 3, 2). Hallar el ortocentro.

16. Hallar el simétrico del punto (−1, 3, −2) respecto de la recta que pasa por el punto (2, 0, 1) y tiene por vector de dirección (4, 2, 3)

17. Dados los puntos A(1, 0, −1), B(0, 1, 0) y la recta 2 x = 1 y − =3 z

. Hallar un punto C de la recta tal

que el triángulo ABC sea rectángulo en C.

18. Hallar el simétrico del punto A(1, 2, 3) respecto de la recta r ≡ (x, y, z) = (1, 2, 4) + λ(2, 3, 5) 19. Hallar el simétrico del punto P(0, 1, 4) respecto del plano π ≡ 4x − 2y − 3z + 4 = 0.

20. Ecuación del conjunto de puntos que equidistan de A(1, 2, 3), B(5, 0, 5) y C(7, 2, 1) 21. Ecuación del plano que contiene a la recta r≡

   = − = − + + 0 1 z 0 1 z y x

y determina con los planos

coordenados un tetraedro de volumen 1/6 u²

22. Dadas las rectas r ≡ (x, y, z) = (1, 0, 2) + λ(1, −1, −3) y s ≡ (x, y, z) = (0, 0, 2) + µ(1, −2, −3). Hallar un punto P de r y otro Q de s de modo que el vector PQ sea perpendicular a ambas. Hallar la distancia de P a Q.

23. Ecuación de los planos paralelos al plano x − 2y + 3z + 6 = 0 y que disten 12 unidades del origen. 24. Ecuación de los planos perpendiculares a la recta r≡

   = = 0 x z y

y distan 1 unidad del punto (1,2,3).

25. Dado el plano 3x − 2y + z = 6, hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de intersección de dicho plano con los ejes de coordenadas.

26. Dado el triángulo de vértices A(3, 4, −3), B(2, 0, −1),C(−1, 3, 0). Hallar: i) Ecuación de la mediana que parte de A

ii) El baricentro.

27. Calcular las coordenadas de un punto de la recta r ≡ 2 2 X− = 3 1 y+ = 2 2 z−

, que equidiste de los

planos π≡ 3x + 4y − 1 = 0 y π' ≡ 4x − 3z − 1 = 0

28. Calcular la distancia entre el punto (3, 2, 7) y la recta diagonal del primer optante del espacio R3 29. Obtener las coordenadas del punto simétrico del A(1, −3, 7) respecto de la recta

r≡ 2 4 z 3 y 1 x− = + = −

(3)

30. Hallar una recta que sea perpendicular al plano x − y + 2z + 1 = 0 y que pase por el punto de

dicho plano que esté más próximo al origen.

31. Se consideran las rectas r

   = + = − 0 3 y 0 2 x y s≡    = + = − 3 z y 1 z 2 x , se pide:

a) Estudiar la posición relativa de r y s b) Hallar la mínima distancia entre ambas.

32. Hallar la distancia del punto A = (1, 2, 3) a la recta r

   = = 0 y 0 x

y la ecuación del plano que pasa

por A y es perpendicular a r.

33. Dadas las rectas r≡

     λ + = λ + = λ − − = 1 z 3 y 1 x y s≡ z 1 4 4 y 2 4 x − = − = −

hallar la ecuación de la recta que las

corta perpendicularmente.

34 Determinar un punto de la recta

2 z 1 y 2

x= = que forme con los puntos (0,0,0), (1,0,0), (0,1,−1) un tetraedro de volumen 1.

35. Un triángulo tiene por vértices los puntos A(0,0,0), B(1,1,1) y el tercer vértice C, sobre la recta

   = = ≡ 1 z y 2 x

r . Calcular las coordenadas del tercer vértice, sabiendo que el área del triángulo es 2

2 .

36. Hallar las ecuaciones de la recta r proyección ortogonal de la recta r≡x−1=y+2:z=3 sobre el plano π≡ x − y + 2z + 4 = 0

37. Hallar la proyección del punto P(2,−1,3) sobre la recta      + = − = = ≡ 2 t 2 z 7 t 5 y t 3 x r

38. Hallar el punto del plano x + y + z =1 que equidiste de los puntos A(1,−1,2), B(3,1,2) y C(1,1,0). 39. Se consideran los puntos A(1, λ, 0), B(1, 1, λ−2) y C(1, −1, λ)

a) (1 punto)Comprobar que no están alineados, cualquiera que sea el valor que tome el parámetro λ. b) (1 punto) Hallar el área del triángulo que determinan los tres puntos

40. Sean los puntos P(8, 13, 8) y Q (−4, −11, −8). Se considera el plano π, perpendicular al segmento

PQ por su punto medio.

(a) ( 1 punto ) Obtener la ecuación del plano π.

(b) ( 1 punto ) Calcular la proyección ortogonal del punto O ( 0, 0, 0 ) sobre π.

(c) ( 1 punto ) Hallar el volumen del tetraedro determinado por los puntos en los que el plano π corta a los ejes coordenados y el origen de coordenadas.

(4)

41. Sean la recta r y el plano π dados por      λ = λ − = λ − − = ≡ 2 z y 1 x r , π ≡ 2x – 3y + z + 1 = 0 a) (1 punto) Calcular el seno del ángulo que forman la recta r y el plano π

b) (2 puntos) Hallar la ecuación de la recta proyección ortogonal de r, sobre π.

42. Sean A, B y C los puntos de la recta

3 6 z 2 6 y 12 x− = + = − que están en los planos coordenados x = 0. y = 0 y z = 0 respectivamente.

a) (1 punto) Determinar razonadamente cual de los tres puntos se encuentra entre los otros dos.

b) (1 punto) Siendo D un punto exterior a la recta, indicar, razonadamente, cuál de los triángulos DAB,

DAC, o DBC tiene mayor área.

43.

a) (1 punto) Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos de ecuaciones

3x − 4y + 5 = 0 y 2x − 2y + z + 9 = 0.

b) (1 punto) ¿Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos?.

44. Dados los puntos A(1, −3, 1), B(2, 3, 1) y C(1, 3, −1) Se pide: a) (1 punto) Obtener la ecuación del plano π que los contiene.

b) (1 punto) Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano π.

c) (1 punto) Determinar el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y el origen de coordenadas.

45.

a) (1’5 puntos) Hallar un punto A que esté sobre la recta y = 1+ x, z = 1 + 2x, que diste del punto

B (1, 0, 1) doble que del punto C (0, 0, 0) y que esté por debajo del plano XY

b) (1’5 puntos) Hallar la proyección ortogonal de C sobre la recta BP, donde P es el punto en el que la recta

dada en el apartado anterior corta al plano YZ.

46. Los rayos del sol descienden según la dirección y sentido del vector (−5, −1), en el plano XOY. En el punto A(1, 0) se sitúa un pequeño espejo plano de manera que el rayo de sol que llega a A, tras reflejarse en el espejo, pasa por el punto B(0, 3).

Hallar la ecuación de la recta sobre la que se asienta el espejo

47. Dos varillas fijas AA’ y BB’ , de espesor despreciable, están entrelazadas por una goma elástica (del modo que se indica en la figura adjunta). La goma, que está tensa, puede deslizar libremente por las varillas (sin rozamiento). Se sabe que las varillas ocupan las posiciones (en ejes cartesianos rectangulares xyz):    = = − − = − = − 4 z 3 y x : ' BB ; 2 5 z 2 4 y 1 2 x : ' AA

a) ¿Qué posiciones relativas tienen las rectas AA’ y BB’?

(5)

48. (Puntuación máxima: 4 puntos) En el espacio (y en ejes OXYZ; El eje OZ es vertical

ascendente, el plano OXY es horizontal) se considera la varilla vertical de extremos A (−1, 2, 9) y

A’(−1, 2, 0). En dos momentos determinados de un mismo día, las sombras que proyecta A sobre el plano OXY son los puntos S1 (4, −3, 0) y S2(1, 6, 0). Se pide:

a) La recta que describe la sombra de A a lo largo del día.

b) La sombra S0 de A en el momento en el que la sombra de AA es mas corta. '

c) La sombra S3 de A en el otro momento del día en el que la sombra de AA tiene la misma longitud '

que la sombra S1 A’.

49. Consideremos el plano π ≡ 20x + 12y + 15z − 60 = 0. Hallar:

a) Los puntos A, B, C de intersección de π con los ejes coordenados 0X, 0Y, 0Z. b) La distancia entre la recta 0B y el eje OX.

50. Hallar las ecuaciones del lugar geométrico de todos los puntos del plano x=y que distan 1 del plano 2x−y+2z = 2.

51. Hallar el punto de la recta x = −2y = −2z cuya distancia al origen es el doble que su distancia a la recta:    = = + ≡ 3 z 3 y x r

53. Calcular c para que la recta    = + + − = + + − ≡ 0 1 z 4 y 3 x 4 0 3 z y 2 x 3

r sea paralela al plano π ≡ 2x −y + cz −2 = 0. Para el valor de c obtenido calcular la distancia entre r y π

54. Comprueba si son perpendiculares: a) r ≡ 2 x = 3 1 y− = 4 z − y s ≡ 3 1 x− = 2 2 y+ = 3 3 z+ b) r ≡ x−1 = 2 2 y+ = 2 z − y π≡ 2x + 4y − 4z = 0 c) π ≡ 2x − y + 4z − 1 = 0 y σ ≡ x + 6y + z − 3 = 0

56. Angulo que forma la recta    = + + = + − 4 z y 3 x 0 z y x 2 con el plano x − 3y + 4z = −3 57. Angulo que forma el plano 2X + Y − Z = 1 con el eje OX.

58. Dados los puntos A(0,2,1), B(1,0,-1), C(2,2,2), D(3,3,2). Hallar el ángulo que forma la recta AB con el plano BCD

59. Ángulo del plano ABC con π siendo A(1,−2,1), B(3,1,2), C(−1,5,1) y π≡(x,y,z)=(1,2,−1)+λ(2,−1,3)+µ(1,2,1). 60.. Ángulo de la recta r ≡    = − + + = + − 0 z 3 y 2 x 4 1 0 z y 3 x 2 con π≡ 5 + 3x + 8y + z = 0 2.

a) Demostrar que los puntos del plano z =0, equidistan de las rectas r: x = y = z y s: x = y = −z b) Hay algún punto (x, y, z) con z ≠ 0 que equidiste de r y s?

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