Función estocástica de Schrodinger en sistemas abiertos

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(1)Función Estocástica de Schrödinger en Sistemas Abiertos Felipe Caycedo Soler Profesor Asesor: Ferney J. Rodríguez Dueñas 14 de agosto de 2003.

(2) Índice general 1. PRÓLOGO. 3. 2. INTRODUCCIÓN. 7. 2.1. Sistemas Interactuantes y la Matriz Densidad . . . . . . . . . . . 2.1.1. Aproximación de Born y de Markov. . . . . . . . . . . . . 2.2. Sistemas abiertos y trayectorias cuánticas. . . . . . . . . . . . . .. 3. Función de onda de Monte-Carlo MCWF.. 3.1. Modelo de interacción átomo-vacío: Emisión espontánea. . . 3.1.1. El proceso de medida, argumento preliminar. . . . . 3.1.2. Evolución del estado condicionado a detección nula. 3.1.3. Saltos Cuánticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. El promedio sobre las trayectorias. . . . . . . . . . . 3.1.5. Resultados de la simulación numérica. . . . . . . . .. 4. Interacción con campos clásicos.. 4.1. Átomo de dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Interacción átomo-campo eléctromagnético clásico 4.1.2. Interacción con el vacío electromagnético . . . . . 4.1.2.1. Matriz densidad . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2.2. MCWF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2.3. Promedio de las trayectorias . . . . . . . 4.1.2.4. Resultados de la simulación Numérica . . 4.1.3. Dos niveles con degeneramiento de Zeeman. . . . . 4.1.3.1. Resonancia Oscura . . . . . . . . . . . . . 4.1.3.2. Matriz densidad . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Átomo de tres niveles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Matriz densidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Cálculo de operadores a distintos tiempos. . . . . . . . . . 4.4. Sistemas Biológicos, el modelo del Cromoforo . . . . . . .. 5. Cavidades Ópticas. . . . . . . . . . . . . . .. 15. . . . . . .. . . . . . .. . 15 . 17 . 18 . 23 . 26 . 27. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 5.1. Disipasión por reservorio atómico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Teoría de reservorio-Operador densidad. . . . . . . . . . . 1. 7 9 11. 31. 32 32 32 32 33 34 34 35 37 38 40 43 46 54. 59. 59 60.

(3) 2. ÍNDICE GENERAL 5.1.2. MCWF en Cavidades ópticas . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.1.3. Simulaciones Numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2. Ecuaciones Estocásticas de Schrödinger para distintos esquemas de medida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.2.1. MCWF y operador densidad . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.2.2. Saltos Cuánticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2.3. Acercamiento a un comportamiento difusivo. . . . . . . . 75 5.3. Estado de polarización espontánea y biestabilidad óptica. . . . . 83. 6. Reservorios no markovianos. 87. 7. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS. 93.

(4) Capítulo 1. PRÓLOGO El modelaje de sistemas aislados de su entorno es una manera convencional de tratar problemas en física. Por un lado, es pedagógicamente adecuado si estamos interesados en un entendimiento básico de las situaciones e intentamos corroborar la aplicación de las teorías que hemos creado. Por otro lado, ninguno de nosotros es enemigo de la simplicidad en las matemáticas, y una solución que tenga en cuenta los principales procesos involucrados a partir de aproximaciones equilibradas, es usualmente mejor aceptada frente a otra demasiado rigurosa, cuya tendencia a oscurecer el principio básico, no nos deja entender aquello que se intenta mostrar. Es por estas razones que la trayectoria de un proyectil se aproxima a una parábola cuando la resistencia del aire no se tiene en cuenta, o la cantidad de movimiento y energía se conserva en una (hipotética) colisión elástica. Son modelos cuya descripción es el, si se desea establecer la relación entre la altura alcanzada por un proyectil y su velocidad inicial, o si se quiere saber la fuerza necesaria para batear una bola y sacarla del estadio; pero se quedan cortos si queremos saber cómo se comporta la capa límite alrededor de un cohete en nuestra atmósfera, o nos interesa la deexión en la bola mientras recibe el impacto del bate. El uso de modelos simplicados llega a ser una visión sesgada de todo el panorama e irremediablemente, un límite para el entendimiento y para la implementación tecnológica del conocimiento. Es claro para la comunidad cientíca, el hecho de que la ciencia avanza mientras se le añaden más interacciones (reales) a los sistemas, y sus soluciones son debidamente interpretadas. Por esta razón en Mecánica Cuántica es importante empezar a agregar complejidad a los modelos, pues el avance tanto teórico como tecnológico, requiere un mayor nivel de conocimiento para su eventual implementación. El estudio de sistemas cuánticos interactuantes con su entorno corresponde a un avance de carácter obligatorio si se quiere llegar a este n. El uso de operadores y por ende, de la matemática matricial no conmutativa en la Mecánica Cuántica ha hecho de ésta un escenario en donde el uso de modelos simplicados es común. Hasta el problema más sencillo (ej. átomo de dos niveles) resulta pesado tanto conceptual como matemáticamente para cualquier 3.

(5) 4. CAPÍTULO 1. PRÓLOGO. alumno en sus estudios de pregrado. El escrito que se presenta tiene por objetivo estudiar un método computacional (la Función de Onda de Monte Carlo o MCWF)[1] para la solución de sistemas abiertos en la mecánica cuántica (sistemas que interactúan con su entorno). Como se verá, se trata de un método que no cambia complejidad por comprensión. Tiene la cualidad que la fìsica que subyace no se pierde en el desarrrollo tedioso que un manejo analítico le daría. El método utiliza la evolución de un vector de estado con una partesuave gobernada principalmente por la ecuación de Schrödinger, y una parteestocástica generada por el proceso de interacción, básicamente incoherente entre sistema y entorno. La parte estocástica de la evolución del vector de estado lo hace irrepetible. La evolución de cada uno de estos vectores estocásticos se le conoce como trayectoria cuántica. Es preciso aclarar que una trayectoria cuántica no hace alusión a una trayectoria en el sentido clásico (pues violaría el principio de incertidumbre de Heisenberg) sino más bien a una de las muchas maneras en las que el vector de estado que representa a un sistema puede evolucionar. Un promedio entre todas estas trayectorias nos da un resultado conforme a la información obtenida del tratamiento habitual con la matriz densidad. Las bondades de éste método encontradas mientras se desarrolló este trabajo son: 1. Puede aplicarse a problemas con varios tipos interacciones entre sistema y entorno. 2. Dado que la evolución de los sistemas está gobernada por la ecuación de Schrödinger y el uso de operadores que tienen en cuenta la interacción del sistema con el entorno, los conceptos siguen siendo básicos. No se pierde claridad a medida que se incrementa la complejidad. 3. Con la posibilidad que existe de intercambiar entre las guras de Schrödinger y Heisenberg, el método no está limitado a el cálculo de valores esperados de operadores a un mismo tiempo. Se puede extender el cálculo a valores esperados de operadores en distintos tiempos, y con esto se abre la puerta al cálculo de funciones de correlación fuera del régimen estacionario. 4. Siendo la matriz densidad un promedio sobre todas las trayectorias posibles, al atacar los problemas con la ecuación de movimiento de la matriz densidad directamente se pierde información y control sobre cada una de las trayectorias que la componen. Con MCWF es posible entender más profundamente el signicado de la matriz densidad, dado que se visualiza cada una de las posibles formas en las que el sistema puede evolucionar y consolidar un promedio. Algunos autores [1] han sugerido la importancia de este método desde un punto de vista de eciencia computacional, pues es necesario para un sistema de N niveles calcular N coecientes y no N 2 , dado que se utilizan vectores de estado y no matrices. Esta armación es cierta cuando se trabajan sistemas de.

(6) 5 muchos niveles, como el caso de campos electromagnéticos con alto número esperado de fotones [2], en donde es necesario trabajar con una base truncada de Fock cercana a doscientos estados. Utilizar este método en sistemas de pocos niveles sin algoritmos de paso varible [3] o ruido adaptativo [4], no es eciente computacionalmente, pero si es enriquecedor conceptualmente. Esta tesis pretende mostrar cómo el método y la evolución de los vectores de estado en MCWF pueden hacer referencia a sistemas abiertos en los campos de la física atómica y la óptica cuántica, en donde explícitamente se involucre el proceso de medida. Para lograr este objetivo, un pequeño repaso sobre los conceptos del operador densidad y su uso en sistemas interactuantes se hace en {2.1}. También se muestra bajo qué circunstancias las aproximaciones de Born y Markov son aplicadas. Después en {2.2}, se introduce el marco teórico que sustenta el modelo de la función estocástica de Schrödinger (incluyendo su dos versiones: la primera que mantiene normalizado el vector de estado, y la segunda que necesita una normalización posterior), y a través del ejemplo de emisión espontánea se establecen argumentos tanto teóricos como heurísticos para que el lector comprenda en un modelo sencillo, las principales facultades y características del método. Una vez se comprenden los fundamentos de la evolución del vector estocástico, se introducen situaciones de física atómica más comlejas, añadiendo al sistema de dos niveles la interacción con un láser en {4.1.1}, describiendo el degeneramiento Zeeman en el caso concreto de la resonancia oscura {4.1.3}, e intentando generalizar a sistemas atómicos de más niveles en {4.2}. También se utliza en {4.3} la evolución del vector estocástico para calcular operadores a distintos tiempos, en particular las funciones de coherencia de primer y segundo orden. En {4.4} se hace uso de la versatilidad del método de MCWF, para un modelo biólogico, con el ejemplo de la molécula de cromoforo. En este ejemplo se explota la asociación entre entre un salto cuántico y la emisión de un fotón, para construir una estadística acumulativa de fotones, relacionarla con las oscilaciones de Rabí y reconocer el comportamiento sub-poissoniano de dicha estadística para la molécula en el régimen de tiempos cortos. En otra área de interés: la óptica cuántica, se estudia el intercambio de energía en una cavidad óptica con un reservorio a temperatura nita, simulado por un ujo de átomos de dos niveles al interior de la cavidad {5.1}. Con un modelo parecido al anterior, pero incluyendo un pulso clásico a los átomos al cabo de su interacción con la cavidad, en {5.2} se obtiene un comportamiento difusivo, parecido al expuesto por [5]. Una unión entre cavidades ópticas y átomos se hace en el régimen de alto acoplo en {5.3}, mostrando la generación de un estado biestable de la cavidad óptica, altamente inuenciado por el estado de polarización atómica. Por último, se pasa del límite markoviano en {6}, basados en relaciones de correspondencia entre la ecuación integro-diferencial no markoviana que domina la evolución del operador densidad reducido, y la ecuación markoviana que rige al operador densidad de un sistema expandido por osciladores cticios. Dichos osciladores representan aquellos modos del reservorio que más fuertemente se acoplan en la interacción con el sistema. Finalmente se presentan las conclusiones y perspectivas del trabajo..

(7) Capítulo 2. INTRODUCCIÓN 2.1. Sistemas Interactuantes y la Matriz Densidad La evolución temporal del vector de estado |ψs i que representa a un sistema en mecánica cuántica está dado por la ecuación de Schrödinger: i |ψ˙s i = − Hs |ψs i h̄. (2.1). en donde Hs es el hamiltoniano que incluye las interacciones en el sistema. Siempre y cuando el sistema se mantenga aislado, su evolución se puede representar como una suma de vectores linealmente independientes en la base de preferencia |ψn i, cuyos coecientes βn son función del tiempo y obedecen la ecuación (2.1): |ψs i =. X. βn (t)|ψn i.. (2.2). n. A este tipo de estados se les conoce como estados puros. Si ahora dejamos a dos sistemas interactuar, el nuevo vector de estado total |Ψ(t)i evoluciona según la ecuación de Schrödinger con el Hamiltoniano total H = Hs1 + Hs2 + H1−2. (2.3). En donde Hs1 y Hs2 son los hamiltonianos de cada uno de los sistemas aislados y H1−2 corresponde a la energía de interacción entre ambos sistemas. Aún si el estado inicial era factorizable |Ψ(0)i = |ψs1 i ⊗ |ψs2 i (en donde el subíndice en si marca al sistema i) , el efecto de H1−2 es el de correlacionar los estados de ambos sistemas, de tal forma que para t > 0 el estado |Ψi ya no se podrá factorizar. Sin embargo, el estado |Ψ(t)i siempre se podrá expandir de la forma: 7.

(8) 8. CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN. |Ψ(t)i =. X. βi (t)|ψis1 i|ψis2 i. (2.4). i. De esta manera, varios estados |ψis1 i contribuirán al estado |Ψ(t)i y atribuirle a S1 un sólo estado |ψs1 i ya no logra describir adecuadamente la evolución de S1 ⊕ S2 . Un caso especial y muy representativo es el de un sistema abierto. En éste, se combina un sistema pequeño caracterizado por un vector de estado|ψi acoplado a un reservorio, también llamado baño, caracterizado por un vector |φi . Esta caracterización de los los vectores de estado, con |ψi para el sistema de interés, |φi para el reservorio y |Ψi para el vector sistema ⊕ reservorio es consistente a lo largo de todo el texto. Típicamente, el baño es mucho más grande que el sistema en términos de grados de libertad, de tal forma que suponemos que cambios en el sistema no afectan el baño, pero el contrario si afecta al sistema. Debido a la interacción del sistema con el baño, la información del sistema se pierde de manera irreversible mientras aumenta su correlación con el vector de estado del reservorio. Después de un breve periodo de interacción el sistema sólo podrá ser correctamente descrito por una distribución probabilística de los posibles estados puros en los que se pueda encontrar. Esta información la da el operador matriz densidad del sistema ρs [6]: ρs (t) =. X. pi |ψi ihψi |. (2.5). i. en donde pi corresponde a la probabilidad de encontrar en una medición al sistema en el estado puro |ψi i. Una vez se reconoce que el vector de estado del sistema está correlacionado con el baño, usualmente se procede a denir el operador matriz densidad del baño-sistema: ρ(t) = |Ψ(t)ihΨ(t)| X ρ(t) = |βi (t)|2 |ψi i|φi ihφi |hψi |. (2.6) (2.7). i. P Nótese que según esta notación, |ψi i = n βn |ψn i, es decir, el estado del sistema |ψi i puede estar descrito por múltiples componentes en su base de expansión. La traza sobre las variables del baño trB de la matriz densidad ρ nos da como resultado ρs : trB ρ(t) = trB |Ψ(t)ihΨ(t)|=. XX i. βn (t)βi∗0 (t)hφi0 ||ψi i|φi ihψi |hφi ||φi0 i. (2.8). i0. trB ρ(t) = ρs =. X i. kβi (t)k2 |ψi ihψi |. (2.9).

(9) 2.1. SISTEMAS INTERACTUANTES Y LA MATRIZ DENSIDAD. 9. Podemos obtener la ecuación de movimiento para la matriz densidad a partir de la ecuación de Schrödinger (2.1).Tomando la derivada con respecto al tiempo a ρ, se obtiene: ρ̇ = (|Ψ̇ihΨ| + |ΨihΨ̇|). (2.10). Insertando este resultado en la ecuación (2.1), se obtiene la evolución temporal de la matriz densidad sistema ⊕ reservorio [6, 7]: i ρ̇ = − [H, ρ] (2.11) h̄ La ecuación (2.11) se le conoce normalmente como la ecuación de evolución de la matriz densidad de Liouville o Von Newmann [7]. Es una ecuación de movimiento para la matriz densidad completa ρ sistema⊕ reservorio . Es más general que la ecuación de Schrödinger, pues utiliza la matriz densidad en lugar de un vector de estado especíco, así que puede dar información del estado cuántico como de su estadística [6]. Para llegar a una ecuación que involucre únicamente al sistema (sin el reservorio) es necesario llevar a cabo ciertas aproximaciones, como se verá en la siguiente sección. Es común partir de la forma de la ecuación (2.11) para llegar a una que muestre la evolución de la matriz densidad del sistema (o matriz densidad reducida), añadiendo constantes fenomenológicas que describan el resultado de su interacción con el entorno. Estos procesos hacen referencia, por ejemplo, a el proceso de decaimiento en un átomo hacia niveles de menor energía a través de la emisión de un fotón, o a las pérdidas de energía asociadas a una cavidad resonante con un modo del campo electromagnético. Algunos procesos de relajación simples del sistema pueden ser tenidos en cuenta añadiendo la matriz Γ, e incorporándola a la ecuación de movimiento de la forma: 1 i (2.12) ρ˙s = − [Hs , ρs ] − {Γ, ρs } h̄ 2 en donde {Γ, ρ} = Γρ + ρΓ. Se verá que Γ está asociado a la tasa de decaimiento atómico de varios niveles y al factor de calidad Q de una cavidad resonante con un modo electromagnético y espejos semitransparentes.. 2.1.1. Aproximación de Born y de Markov. La exposición que sigue se puede encontrar en [6]. En la derivación de la ecuacion de Liouville (2.11) nada se dijo de la naturaleza de los sistemas interactuantes ni de la intensidad del acople. Para hacer la ecuación de movimiento de la matriz densidad tratable, hemos de hacer uso de la suposición en la que los muchos grados de libertad que posee el reservorio comparado con los que tiene el sistema, reduce la posibilidad de una acción recíproca. Es decir, lo que sucede en el sistema en poco afecta al reservorio, mientras que lo que le suceda al reservorio afecta en gran medida al sistema. Integrando formalmente la ecuación (2.11) en la gura de interacción, se obtiene:.

(10) 10. CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN. ρ = ρ(0) −. i h̄. Z. t. [V (t), ρ]dt 0. (2.13). en donde V (t) es el Hamiltoniano en la gura de interacción: i. i. V (t) = e h̄ (Hs +HB )t Hs−B e− h̄ (Hs +HB )t. (2.14). y HB es el hamiltoniano del baño o reservorio. Sustituyendo en la ecuación (2.11) nuevamente: 1 i ρ̇ = − [V (t), ρ(0)] − 2 h̄ h̄. Z. t. [V (t), [V (t0 ), ρ(t0 )]]dt0. 0. (2.15). Si la energía de interacción es cero, el sistema y el reservorio son independientes. La matriz ρ se podrá factorizar como un producto directo ρ = ρs ⊗ ρB (0) asumiendo un reservorio en equilibrio. Supóngase que el Hamiltoniano en la gura de interacción V (t) es pequeño. Se puede asumir una solución para la matriz densidad de la forma: ρ = ρs ⊗ ρB + ρc. (2.16). Con ρc ∝ V 2 y trB (ρc ) = 0 para lograr que trB (ρ) = ρs . Esta suposición constituye la aproximación de Born y es análogo a la aproximación (que lleva el mismo nombre) en series de integrales que se encuentra en la literatura de teoría de dispersión (scattering)[8]. El propósito de esta aproximación, basada en el acople moderado sistemareservorio consiste en eliminar términos en el hamiltoniano de interacción mayores a segundo orden, tal y como la aproximación de Born en scattering reduce la posibilidad de múltiples dispersiones a partir del mismo potencial. La aproximación de Born plantea un límite para la intensidad de interacción reservoriosistema. Sustituyendo a (2.16) en (2.15), sacando la traza sobre las variables del baño y dejando términos hasta segundo orden en V se obtiene: i 1 ρ˙s = − trB [V (t), ρs (0) ⊗ ρB (0)] − 2 h̄ h̄. Z. t 0. [V (t), [V (t0 ), ρs (t0 ) ⊗ ρB (0)]]dt0. (2.17) Según la ecuación (2.17) el operador ρs (t) que determina las propiedades estadísticas del sistema, depende de toda su historia desde t0 = 0 hasta t0 = t, pues ρs (t0 ) se encuentra dentro del integrando. Sin embargo, el reservorio es típicamente un sistema extendido, con muchos grados de libertad, que bajo ciertas suposiciones [6], lleva a función delta δ(t − t0 ) en el integrando, lo que nos indica que ρs (t0 ) puede ser reemplazado por ρs (t). En tal caso, la evolución de ρs (t) sólo depende de su presente, conforme a la razonable suposición de que el amortiguamiento debido al reservorio destruye la memoria del pasado en el sistema. La ecuación (2.17) se convierte en:.

(11) 2.2. SISTEMAS ABIERTOS Y TRAYECTORIAS CUÁNTICAS.. 1 i ρ˙s = − trB [V (t), ρs (0) ⊗ ρB (0)] − 2 h̄ h̄. 11. Z [V (t), [V (t0 ), ρs (t) ⊗ ρB (0)]]dt0. (2.18) La aproximación de Markov supone que los tiempos de correlación del baño son muy pequeños comparados con la escala natural de tiempo del sistema, por tanto el sistema evoluciona según su valor presente, sin depender de su historia hasta ése instante. Estas dos aproximaciones representan muchas de las interacciones en sistemas abiertos (decaimiento atómico en el vacío, amortiguamiento en cavidades QED de alta calidad) y la ecuación (2.18) es válida para un sistema representado por ρs interactuando con un reservorio con muchos grados de libertad representado por ρB . En casos en donde el acople reservorio-sistema es muy fuerte, o en donde los tiempos de correlación del reservorio son comparables con los del sistema, la aproximación de Born-Markov no representa a ρ apropiadamnete (decaimieniento atómico en un reservorio cuya función espectral tiene un ancho nito de banda o cavidades interactuantes) y a veces es necesario ir más allá de la aproximación de Markov o de la aproximación de Born para modelar correctamente estos problemas.. 2.2. Sistemas abiertos y trayectorias cuánticas. La dinámica de sistemas abiertos se describe frecuentemente a través de la ecuación de Liouville, sacando la traza sobre los grados de libertad del baño y utilizando la aproximación de Born-Markov. Una forma alternativa de acercarse al problema, es determinar las contribuciones individuales en la expansión (2.4). Un eventual promedio ponderado reproducirá los resultados de la matriz densidad. Establecer estas constribuciones se puede hacer si se logra factorizar el estado del sistema y el reservorio. La escogencia de un estado para el reservorio determina unívocamnete el estado del sistema. Monitorear continuamente al reservorio es proyectar constantemente un estado posibilitando la factorización del estado del sistema. La escogencia de la base en la que se expande el estado del reservorio debe corresponder a los vectores propios del observable (A) a medir (A|φi = a|φi), con el n de que el proceso de medida continuo sobre el reservorio permita factorizar como un producto directo el vector de estado total del sistema|Ψ(t)i = |ψ(t)i ⊗ |φ(t)i. El vector de estado total en la gura de Schrödinger cambia en el tiempo según el operador de evolución U (t): |Ψ(t)i = U (t)|Ψ(0)i i. (2.19). con U (t) = e− h̄ Htotal t , |Ψi dado en (2.4) y Htotal es el Hamiltoniano total sistema ⊕ baño. El esquema general consiste en hacer una medida sobre el reservorio cada intervalo de tiempo δt, el cual ha de ser lo sucientemente corto como para que el.

(12) 12. CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN. estado del sistema |ψ(t + δt)i no varíe apreciablemente con respecto a |ψ(t)i, y sea necesario expandir hasta primer o segundo orden el operador de evolución, lo cual es computacionalmente apropiado. El intervalo δt ha de ser lo sucientemente largo como para evitar el efecto cuántico Zeno (con relación a Zeno de Elea y al sosma de Aquiles y la tortuga) que predice la supresión del decaimiento de un sistema inestable por un monitoreo llevado a cabo a intervalos de tiempo demasiado cortos [9]. Es interesante notar que aunque en este documento el aparato de medida no es tratado como un sistema cuántico sujeto a la ecuación de Schrödinger, algunas publicaciones si lo hacen [10], inriendo que la eciencia del detector bajo ciertas condiciones lleva al efecto cuántico Zeno o Anti-Zeno (el segundo promueve el decaimiento del sistema). Ambos regímenes son indeseables. Con la medida se desea una hacer una proyección sobre alguno de los estados propios del observable (A), pero no se quiere intervenir en la dinámica del sistema ⊕ reservorio (aumentando o disminuyendo la rata de decaimiento Γ). Es necesario dejar pasar un tiempo mínimo δt de forma tal que el aparato de medida interferiera lo menos posible en la dinámica del sistema y los efectos cuánticos Zeno o Anti-Zeno no sean apreciables. Para los límites asumidos en δt, una expansión en series de Taylor del operador evolución, U (t), se puede hacer hasta primer o segundo orden. La dependencia de |Ψi será a lo sumo cuadrática en el tiempo: |Ψ(t + δt)i = U (δt)|Ψ(t)i. y U (t) ≈ 1 −. 1 2 i δt2 + Oδt3 Htotal δt − Htotal h̄ h̄. (2.20). (2.21). Una evolución para el estado del sistema |ψ(t+δt)i que dependa únicamente del estado actual |ψ(t)i se basa en asumir un intervalo de tiempo mayor a el tiempo típico de correlación del baño, y nos lleva a la aproximación de Born-Markov para la evolución de |ψ(t)i. Como resultado de cada medida sobre el baño, el estado |Ψ(t)i colapsa con probabilidad |βi (t)|2 en un estado propio |φi i, mientras que se deja al sistema en un estado puro |ψi i. El sistema evoluciona según el resultado de la medida que se obtuvo. Es importante notar que todos los coecientes βi (t) son normalmente distintos de cero, así que el resultado de la medición y la reducción al estado |φi i es un proceso aleatorio. Es necesario generar un número pseudo-aleatorio en cada instante de medición que se compare con kβi (t)k2 y permita establecer el resultado del proceso de medida. Esta componente pseudo-aleatoria hace que la evolución del vector de estado del sistema |ψi tenga una evolución suave (en el sentido de que las amplitudes de probabilidad siguen la ecuación de Schrödinger con un hamiltoniano no hermítico) y una parte estocástica, dependiente del resultado aleatorio del proceso de medida sobre el baño. La continua proyección del estado total |Ψ(t)i en uno de los estados propios |φi i genera una trayectoria cuántica. La trayectoria |ψ(t)i corresponde al resultado de una medición indirecta, pues la medición en sí, sólo toca al baño, pero hace uso de la correlación entre baño y sistema para proyectar despúes de la medición sobre un.

(13) 2.2. SISTEMAS ABIERTOS Y TRAYECTORIAS CUÁNTICAS.. 13. estado puro |ψi i. El promedio sobre las trayectorias |ψ(t)ihψ(t)| corresponderá a la suma de cada trayectoria por su probabilidad de que ocurra: X |ψ(t)ihψ(t)| = kβi (t)k2 |ψi (t)ihψi (t)| (2.22) |ψ(t)ihψ(t)| = trB |Ψ(t)ihΨ(t)| = ρs (t). (2.23). Según la ecuación (2.23) el promedio sobre trayectorias de estados puros se puede identicar como la matriz densidad del sistema. Aunque la elección de la base del reservorio |φi i determine unívocamente la base |ψi i, el observable A no es único, por tanto la expansión (2.4) tampoco lo es. Distintos esquemas de medición, correspondientes a distintos observables, harán uso de diferentes vectores propios |φi i, generando también diferentes trayectorias cuánticas |ψi (t)i, que serán válidas si su promedio se identica con la matriz densidad del sistema ρs . Cualquier grupo de trayectorias que en promedio representen la matriz densidad, son computacionalmente equivalentes. Si lo que se necesita es eciencia computacional, ha de elegirse la que mayor convergencia tenga. Sin embargo, si es posible asociarles a las trayectorias un proceso físico, generalmente corresponderán a esquemas distintos de medida..

(14) Capítulo 3. Función de onda de Monte-Carlo MCWF. 3.1. Modelo de interacción átomo-vacío: Emisión espontánea. Para presentar el método de la función de onda de Monte-Carlo, utilizaremos como sistema a un átomo con estructura interna que interactúa con un baño de fotones (el vacío electromagnético), basado en un esquema ideal de detección de fotones. El sistema está rodeado por un detector que cubre un ángulo sólido de 4π . Los detectores son sensibles al cambio en el observable nλ = a†λ aλ (λ identica a un modo en el baño de fotones con vector de onda k y polarización ²ˆk ). Por tanto, la base |φi i serán los estados de Fock {nλ }, que constituyen una base ortogonal y completa. Cada operador número de fotones nλ tiene valores propios 0, 1, 2.... El Hamiltoniano del sistema es Hs =. X p2 + h̄ ωij szij + V (r) 2m i,j. (3.1). en donde szij = 12 (|iihi| − |jihj|) toma en consideración los niveles en los que es posible una transición, y h̄ωij es la diferencia de energía entre los niveles |ii y |ji. El potencial V (r) representa las interacciones del átomo con otros sistemas o campos (e.g, una atracción dipolar con un átomo cercano o el acople a un campo electromagnético clásico como se trata en {4}.) Consideremos un átomo de dos niveles cuyo estado más general es: |ψ(t)i = (α|ei + β|gi) ⊗ |ri. (3.2). siendo |ei y |gi sus estados excitado y base, respectivamente, y |ri su estado translacional. La única interacción que el átomo desarrrolla, es con el vacío del campo electromagnético cuantizado. En tal caso V (r) = 0 y el hamiltoniano será: 15.

(15) 16. CAPÍTULO 3. FUNCIÓN DE ONDA DE MONTE-CARLO MCWF.. Hs =. p2 + h̄ω0 sz 2m. (3.3). con sz = 12 (|eihe| − |gihg|). El Hamiltoniano del campo electromagnético será: HB =. X λ. 1 h̄ωλ (a†λ aλ + ) 2. (3.4). y su estado más general: |φ(t)i =. X. (3.5). βnλ (t)|nλ i. {nλ }. El acople entre el átomo y el baño se describe dentro de la aproximación dipolar (que supone que no hay gradientes del campo electromagnético dentro del átomo, el campo es constante en el espacio, y con un valor que corresponde al campo que siente el núcleo del átomo que se encuentra en r [6]) con el Hamiltoniano de interacción: ~ ⊥ (r) Hs−B = −~ µ·E (3.6) en donde µ es el operador dipolar atómico: µ ~ = µ ~ eg =. µ ~ eg s† + µ ~ ge s qhe|~r|gi. (3.7) (3.8). con q como la carga del electrón, s = |gihe| y el operador de campo eléctrico ~ ⊥ [11] transversal E r X h̄ωλ ~ ~⊥ = E (aλ ²̂λ eik·~r + H.c) (3.9) 2²0 L3 λ. q 3 λ en donde H.c es el conjugado hermítico. Con Eλ = 2²h̄ω siendo el volú3, L 0L men de cuantización y ²̂λ real, el hamiltoniano de interacción Hs−B se escribe en componentes cartesianas: XXh λ. ~. ~. ~. ~. µe,gi Eλi (aλ eik·~r + a†λ e−ik·~r )s† + µg,ei Eλi (aλ eik·~r + a†λ e−ik·~r )s. i. (3.10). i,j. con i, j = x, y, z . El estado total |Ψ(t)i evoluciona según el hamiltoniano total Htotal = Hs + HB + Hs−B (3.11).

(16) 3.1. MODELO DE INTERACCIÓN ÁTOMO-VACÍO: EMISIÓN ESPONTÁNEA.17. Consideraremos el estado inicial del campo electromagnético en vacío |φ(0)i = |0i. El estado inicial total es: |Ψ(0)i = |ψ(0)i|0i. (3.12). Para el caso de emisión espontánea, una evolución dinámica del sistema require que |ψ(0)i 6= |gi pues el estado |gi ⊗ |0i es un estado propio de Htotal . Si el átomo y el campo se encuentran en el estado base, permanecerán ahí. Toda la energía de interacción ha de venir de la componente del nivel excitado |ei de |ψi. El vector de estado total |Ψ(t)i se puede expandir como |Ψ(t)i = β0 (t)|ψ0 (t)i|0i +. X. β{nλ } (t)|ψ{nλ } (t)|nλ i. (3.13). {nλ }. En donde el vector |ψ0 (t)i es el vector de estado del sistema condicionado a que hayan cero fotones en el baño (estado de vacío |0i).. 3.1.1. El proceso de medida, argumento preliminar. Se ha dicho que es necesario monitorear constantemente el sistema para lograr reducir el estado del baño |φi y factorizar el estado del sistema |ψi. De manera heurística vamos a involucrar al detector y a anticipar como los posibles resultados del proceso de medida afectan al sistema atómico. Si el tiempo δt entre mediciones es lo sucientemente corto como para evitar que exista más de un fotón en el campo, y el fotón que se detecta es destruído (bastante parecido a lo que ocurre en los experimentos reales), es suciente trabajar con los primeros dos estados de Fock |0i y |1λ i para el reservorio. No detectar fotón (baño en |0i), dado que no se detecta fotón hasta el tiempo t implica 1. El estado no normalizado del átomo era β0 (t)|ψ0 (t)i y evoluciona a β0 (t + δt)|ψ0 (t + δt)i. 2. El reservorio permanece en |0i. Detectar al baño en el estado |1λ i, dado que no se detecta fotón hasta el tiempo t implica que: 1. El átomo que estaba en β0 (t)|ψ0 (t)i queda en el estado base |gi. La detección del fotón es producto únicamente de la desexcitación del átomo. 2. El reservorio vuelve a su estado de vacío |0i, pues el fotón detectado fué destruido..

(17) 18. CAPÍTULO 3. FUNCIÓN DE ONDA DE MONTE-CARLO MCWF.. Para tiempos posteriores, una vez se inere que el átomo está en |gi se llega a un estado estacionario. El estado combinado estará descrito por dos vectores condicionales [1]: |Ψ(t + δt)i = |Ψ0 (t + δt)i + |Ψ1 (t + δt)i. (3.14). Vector de estado condicionado, no se detecta fotón: |Ψ0 (t + δt)i = |ψ0 (t + δt)i ⊗ |0i. (3.15). Vector de estado condicionado, si se detecta fotón: |Ψ1 (t + δt)i = |gi ⊗ |0i. (3.16). Cualquiera sea el estado del átomo antes de la medición, el detectar un fotón implica una discontinuidad en el estado del átomo. Este comportamiento discontinuo en la función de onda del sistema atómico |ψi, se conoce como salto cuántico o Quantum Jump y se puede interpretar como si el átomo, debido a la inestabilidad de su estado excitado |ei salta a su estado base |gi, emitiendo un fotón en el proceso. Este fotón cambia el estado de vacío electromagnético y nalmente, en el proceso de medida, es detectado y destruído. Cualquiera sea el resultado de la medida, el estado del campo será |0i después de hacer la medida, y es posible asociarle al sistema atómico un estado puro.. 3.1.2. Evolución del estado condicionado a detección nula. En la gura de interacción, tanto vectores de estado como operadores dependen explícitamente del tiempo. En ausencia de detectores, tenemos que el vector de estado total en la gura de interacción |Ψ̃(t)i evoluciona según: d i |Ψ̃(t)i = − V (t)|Ψ̃(t)i dt h̄. con. y. i. |Ψ̃(t)i = e h̄ (Hs +HB )t |Ψ(t)i. i. i. V (t) = e h̄ (Hs +HB )t Hs−B e− h̄ (Hs +HB )t. (3.17). (3.18). (3.19). haciendo uso de la identidad [6]: eαA Be−αA = B + α[A, B] +. α2 [A, [A, B]] + ....... 2!. (3.20).

(18) 3.1. MODELO DE INTERACCIÓN ÁTOMO-VACÍO: EMISIÓN ESPONTÁNEA.19 y de los conmutadores (del algebra de matrices de Pauli para spin 1/2) [s, s† ] = [s, sz ] =. (3.21) (3.22). −sz 2s. se llega a †. †. eih̄ωλ aλ aλ t aλ e−ih̄ωλ aλ aλ t e. iω0 sz t/2 † −iω0 sz t/2. s e. aλ e−iωλ t s† eiω0 t. = =. (3.23) (3.24). utilizando (3.10) se llega a la expresión para el hamiltoniano en la gura de interacción: V (t) =. XX λ. +. ~. ~. µe,gi Eλi (aλ eik·~r+(ω0 −ωλ )t + a†λ e−ik·~r+(ω0 +ωλ )t )s†. i,j ~. ~. µg,ei Eλi (aλ eik·~r−(ω0 +ωλ )t + a†λ e−ik·~r−(ω0 −ωλ )t )s. (3.25). Integrando formalmente la ecuacion (3.17) se obtiene: |Ψ̃(t)i = |Ψ̃(0)i −. i h̄. Z. t. dt0 V (t0 )|Ψ̃(t0 )i. 0. (3.26). El hamiltoniano de interacción tiene términos que oscilan rápidamente, proporcionales a e±(ω0 +ωλ )t y otros que oscilan más despacio, proporcionales a e±(ω0 −ωλ )t . En virtud de la integral de (3.26), los términos rápidamente oscilatorios se pueden despreciar, dado que su promedio temporal en una escala mayor a 1/ωλ es 0. Son estos mismos términos proporcionales a a†λ s† y a aλ s, procesos que hacen referencia a la absorción de un fotón en el átomo y el aumento en 1 del número de fotones del campo; y a la emisión de un fotón en el átomo con la disminución en 1 del número de fotones del campo. Ambos procesos clásicamente violan el principio de conservación de la energía (aunque cuánticamente, debido a la importancia de las uctuaciones, se pueden dar). Excluir los términos rápidamente oscilatorios en el hamiltoniano de interacción o aquellos términos que no conserven energía en el hamiltoniano Hs−B en la gura de Schrödinger corresponde a realizar la Aproximación de Onda Rotante (RWA)[6]. Bajo la aproximación de Onda Rotante, se llega a que el hamiltoniano de interacción es: ³ ´ XX ~ ~ V (t) = Eλi µe,gi aλ s† eik·~r+(ω0 −ωλ )t + µg,ei sa†λ e−ik·~r−(ω0 −ωλ )t s (3.27) λ. i,j. De la misma manera como se hizo en la ecuación (2.15) con la matriz densidad, sustituimos (3.26) en (3.17) y encontramos: d i 1 |Ψ̃(t)i = − V (t)|Ψ̃(0)i − 2 V (t) dt h̄ h̄. Z 0. t. dt0 V (t0 )|Ψ̃(t0 )i. (3.28).

(19) 20. CAPÍTULO 3. FUNCIÓN DE ONDA DE MONTE-CARLO MCWF.. El resultado de no tener conteo de fotones es el de proyectar continuamente el estado |Ψ̃(t)i sobre el estado |0i del campo electromagnético. El estado |ψ̃(t)i del sistema atómico será entonces el estado condicionado a detección nula |ψ̃0 (t)i. La probabilidad de que esto suceda hasta el tiempo t corresponderá a |β0 (t)|2 . Dado que V (t) es proporcional a a† y a a, sólo puede conectar estados de Fock adyacentes, por tanto V (t) no tiene elementos diagonales. Llevando a cabo la proyección sobre el estado |0i y teniendo en cuenta que el término h0|V (t)|0i = 0, se llega a : Z t d 1 β0 (t)|ψ̃0 (t)i = − 2 dt0 h0|V (t)V (t0 )|0iβ0 (t0 )|ψ̃(t0 )i (3.29) dt h̄ 0 Bajo la aproximación de onda rotante, h0|V (t)V (t0 )|0i se simplica sabiendo que los operadores de creación y destrucción asociados al campo eléctrico cumplen: h0|aλ aλ0 |0i =. 0;. h0|a†λ a†λ0 |0i h0|a†λ aλ0 |0i h0|aλ a†λ0 |0i. =. 0;. =. 0;. =. δλλ0 .. así que: h0|V (t)V (t0 )|0i =. X. µeg,i µge,j s† sh0|. i,j. X. 0. Eλ,i Eλ,j aλ (t)a†λ (t0 )|0ieiω0 (t−t ) (3.30). λ. con aλ (t) =. aλ e−iωλ t ;. a†λ (t). a†λ eiωλ t .. =. con τ = t − t0 se dene la función de correlación del vacío X Gij (t, τ ) = h0| Eλ,i Eλ,j aλ (t)a†λ (t − τ )|0i. (3.31). λ. La integral en la ecuación (3.29) se puede simplicar, bajo la suposición de que la función de correlación del vacío Gij (t, τ ) decae a cero rápidamente. Si esto sucede, el integrando será cero para casi toda la historia en la que se evalúa. Sólo para instantes de tiempo muy cercanos a t (t ≈ t0 ), el valor del integrando es distinto a cero. Según lo asumido para la función de correlación (3.31) la integral al lado derecho de (3.29) puede extender su límite inferior a −∞ y el estado |ψ(t0 )i puede reemplazarse por |ψ(t)i dado que durante el corto intervalo de tiempo τ en el que el integrando es distinto a cero, el estado |ψ(t0 )i es aproximadamente constante y muy cercano a |ψ(t)i. Si el reservorio ha llegado a un estado estable es válido asumir que la función de correlación del vacío del reservorio es invariante bajo translación temporal [12], entonces Gij (t, τ ) =.

(20) 3.1. MODELO DE INTERACCIÓN ÁTOMO-VACÍO: EMISIÓN ESPONTÁNEA.21 Gij (τ ). Las suposiciones sobre la función de correlación del campo vacío, y la simplicación de la integral en (3.29), corresponden a las aproximaciones de Markov y Born, ya comentadas para la matriz densidad en la sección {2.1.1}. El estado condicional |Ψ0 (t)i con la aproximación de Markov depende únicamente de su valor presente y no de su historia: 1 d β0 (t)|ψ̃0 (t)i = − 2 dt h̄. Z. ∞. dτ h0|V (t)V (t − τ )|0iβ0 (t)|ψ̃0 (t)i 0. (3.32). Volviendo a la gura de Schrödinger de la ecuación (3.26), con la ayuda de (3.20) se tiene que: i. i. e− h̄ Hs τ s† e h̄ Hs τ e. − h̄i Hs τ. se. i h̄ Hs τ. = =. s† e−iω0 τ seiω0 τ. (3.33). ambos términos exponenciales se eliminan en h0|V (t)V (t0 )|0i y la evolución del estado sin normalizar β0 |ψ0 (t)i esta gobernada por la ecuación diferencial:. con. d i 1 [β0 (t)|ψ0 (t)i] = − Hs β0 |ψ0 i − Γs† sβ0 (t)|ψ0 (t)i dt h̄ 2 Z ∞ 1 1 X µeg,i µge,j dτ Gij (τ )eiω0 τ Γ = Re 2 2 h̄ i,j 0. (3.34) (3.35). De la evolución del vector |ψ0 i se sabe que el intervalo δt entre mediciones ha de ser lo sucientemente corto como para que el estado |ψ0 (t)i no cambie apreciablemente, y su dependencia sea a lo sumo cuadrática en el tiempo (expansión del operador evolución hasta segundo orden (2.21)). Los procesos a los que hacen referencia la ecuación de Liouville (2.11) normalmente tienen una escala de tiempo dada (e.g, un tiempo típico de colisión) y no son válidas a escalas menores de tiempo. Intuitivamente podemos decir que si no se da suciente tiempo para que el baño se relaje, es posible que el proceso de medida altere la dinámica del sistema abierto. Llevar la integral en τ hasta −∞ en (3.29) se hace porque se supone que desde t hasta t + δt se está dando suciente tiempo para que la función de correlación Gij se desarrolle completamente. Dado que el área representiva deGij se abarca completamente de t hasta t + δt es posible aumentar el límite hasta −∞ y lograr que Γ no dependa de t. El llevar a cabo una medición en t + δt con δt demasiado pequeño haría que la integral en (3.29) compute el área de la función de correlación parcialmente. La rata de decaimiento ahora depende del tiempo, pues no se puede llevar a cabo la extensión del límite inferior hasta −∞. Sumado a esto, el valor de esta nueva rata de decaimiento dependiente del tiempo es menor que la encontrada como constante . Si se lleva al límite δt → 0 el valor de la tasa de decaimiento → 0: el decaimiento de estados excitados es suprimido por un monitoreo demasiado.

(21) 22. CAPÍTULO 3. FUNCIÓN DE ONDA DE MONTE-CARLO MCWF.. recurrente en el tiempo del reservorio. Este efecto se le conoce como el efecto cuántico Zeno [10]. La parte imaginaria de la integral de (3.34) da lugar a un cambio en el cero de energía y se puede incorporar dentro de la denición de de los niveles de energía del sistema atómico. Se puede decir que la evolución del estado condicional a la no detección de fotones evoluciona a través del Hamiltoniano no hermitico H 0 : H 0 = Hs −. ih̄ † Γs s 2. (3.36). † La parte ih̄ 2 Γs s reduce las componentes excitadas del estado condicional no normalizado en una cantidad (1 − h̄2 Γ)δt en cada intervalo δt. El estado condicional proyectado continuamente sobre |0i pierde amplitud en el estado excitado, lo cual coincide con la inferencia de que si el campo nunca estuvo en |1λ i ha de haber sido porque el átomo siempre estuvo en |gi. La ecuación diferencial (3.34) es lineal y no preserva la norma del estadoβ0 (t)|ψ0 (t)i. Es necesario en cada paso δt normalizarlo, y a partir de este estado normalizado, calcular aquel observable del sistema atómico que nos interese. Algunos autores [13] sostienen que la ecuación (3.34) es apenas una relación matemática. Existe un témino disipativo 12 Γs† s que hace que las amplitudes de estados excitados disminuyan en el tiempo, mientras que las de los estados base permanecen intactas. La norma de β0 (t)|ψ0 (t)i disminuye en el tiempo, violando el principio de conservación de probabilidad ∇ · P = 0. Claramente esto sucede por el hecho de que se trabaja con un estado condicional. Es evidente que parte de la probabilidad también está asociada al estado condicional en el que el resultado de la medición es |1λ i. La divergencia de la probabilidad es cero únicamente para un sistema aislado, y distinta a cero para cada una de sus partes. Una ecuación que preserve la norma, trabajará únicamente con el estado puro |ψ0 (t)i. Tal ecuación se puede derivar partiendo de (3.34):. β̇0 |ψ0 (t)i + β0 |ψ̇0 (t)i hψ0 (t)|β̇0 |ψ0 (t)i + β0 |ψ̇0 (t)i. β̇0 + β0 hψ0 (t)|ψ̇0 (t)i hψ0 (t)|ψ̇0 (t)i. i 1 = − Hs β0 (t)|ψ0 (t)i − Γs† sβ0 (t)|ψ0 (t)i h̄ 2 i = −hψ0 (t)| Hs β0 (t)|ψ0 (t)i h̄ 1 −hψ0 (t)| Γs† sβ0 (t)|ψ0 (t)i 2 i 1 = − β0 (t)hHs i − β0 (t)Γhs† si h̄ 2 i 1 β̇0 = − hHs i − Γhs† si − (3.37) h̄ 2 β0. se aprovechó el hecho de que hψ0 (t)|ψ0 (t)i=1. Se quiere preservar la norma: d (hψ0 (t)|ψ0 (t)i) = 0 dt hψ̇0 (t)|ψ0 (t)i + hψ0 (t)|ψ̇0 (t)i = 0. (3.38).

(22) 3.1. MODELO DE INTERACCIÓN ÁTOMO-VACÍO: EMISIÓN ESPONTÁNEA.23 Al sacar el conjugado hermítico de (3.37) hψ̇0 (t)|ψ0 (t)i =. β̇0 i 1 hHs i − Γhs† si − h̄ 2 β0. (3.39). y sumando (3.37) y (3.39), utlizando (3.38) se llega a: 0. =. Γhs† si − 2. β̇0 β0. 1 β̇0 = − Γhs† siβ0 2. (3.40). La ecuación (3.40) nos muestra la evolución en el tiempo de la amplitud de probabilidad β0 correspondiente encontrar el campo en |0i. Para su derivación fué necesario suponer que β0 es real. La fase de β0 es intercambiable con el estado |ψ0 (t)i. Agregar una fase global a |ψ0 (t)i genera un estado físicamente indistinguible. Sin pérdida de generalidad, el resultado (3.40) se puede sustituir en (3.37), para nalmente encontrar la ecuación de evolución del estado normalizado |ψ0 (t)i: i 1 1 d [|ψ0 (t)i] = − Hs |ψ0 i − Γs† s|ψ0 (t)i + Γhs† si|ψ0 (t)i dt h̄ 2 2. (3.41). que es una ecuación diferencial no lineal, puesto que el valor esperado hs† si se toma con respecto al estado |ψ0 (t)i. Es importante notar que la evolución del vector de estado condicional normalizado en (3.41) dista de ser parecida a la ecuación de Schrödinger (2.1) para un sistema aislado.. 3.1.3. Saltos Cuánticos. Una vez se ha establecido la evolución del estado atómico condicionado a la medición |0i en el reservorio, hemos de establecer el comportamiento del sistema atómico cuando se detecta un fotón. La probabilidad de que no sea detectado fotón alguno hasta un tiempo t será |β(t)|2 . Una manipulación sencilla de la ecuación 3.40 (elevar al cuadrado ambos lados, omitiendo el término Oδt2 ), conduce a la siguiente relación: |β0 (t + δt)|2 = |β0 (t)|2 [1 − Γhs† siδt]. (3.42). Escogiendo un intervalo de tiempo adecuado según la discusión de la sección anterior, la probabilidad de no detectar fotón en t + δt se puede escribir como la probabilidad de no detectar fotón en el intervalo δt, dado que no se detectó fotón hasta el tiempo t: P0 (t + δt) = P0 (t)P0 (δt). (3.43). La probabilidad de no detectar fotón con la de detectarlo en el intervalo δt son mutuamente excluyentes (P0 (δt) + P1 (δt) = 1). Haciendo una analogía entre la ecuación (3.43) y (3.42), se puede decir que P0 (δt ) = 1 − Γhs† siδt. (3.44).

(23) 24. CAPÍTULO 3. FUNCIÓN DE ONDA DE MONTE-CARLO MCWF.. por tanto. P1 (δt ) = Γhs† siδt. (3.45). La probabilidad de detectar un fotón es pequeña. Es proporcional al intervaloδt y a la población en el estado excitado. El sistema evoluciona casi todo el tiempo según (3.41), interrumpido ocasionalmente por la emisión de un fotón. El estado en el que se encuentra después de una medida se puede conocer aplicando el operador evolución a |Ψ(t)i y proyectando sobre el estado |1λ = |λi, que tiene un fotón con vector de onda en la dirección k̂ . Así pues para un tiempo (t + δt): i (3.46) |Ψ(t + δt)i = e h̄ (Hs +HB +Hs−B )δt |ψ0 (t)i|0i y haciendo una expansión de Taylor gracias a la magnitud de δt hasta primer orden, se obtiene i |Ψ(t + δt)i ≈ 1 − δt (Hs + HB + Hs−B )|ψ0 (t)i|0i h̄ Hs |ψ0 (t)i|0i. = |0iHs |ψ0 (t)i. HB |ψ0 (t)i|0i. =. X h̄ λ. Hs−B |ψ0 (t)i|0i. 2. ωλ |ψ0 (t)i|0i. = (µeg s† + µge s·). X. Eλ (aλ ²̂k − a†λ ²̂∗k )|ψ0 (t)i|0i (3.47). λ. Ni Hs ni HB aplicados sobre |Ψ0 i contribuyen al hacer la proyección sobre |λi, siendo |λi el estado con un fotón en el modo λ. En (3.47) el término s† a†λ lleva al átomo desde su estado base a su estado excitado y crea un fotón en el modo λ, resultando en la ganancia de aproximadamente 2h̄ωλ de energía. De la misma forma saλ sugiere una pérdida de energía aproximada de 2h̄ωλ . La aproximación de onda rotante ya mencionada en {3.1.2} consiste en eliminar estos términos que no conservan energía. Como el estado al que se le aplicaHB es |0i, el término proporcional s† aλ tampoco contribuye (aλ |0i = 0). El estado que contribuirá a la detección de un fotón Ψ(1) (t + δt) será X |Ψ(1) (t + δt)i = µge s Eλ eik·r a†λ ²̂∗k |ψ0 (t)i|0i λ. |Ψ(1) (t + δt)i =. µge s. X. eik·r βλ (t + δt)|ψλ (t + δt)i|λi. (3.48). λ. Debe darse que la probabilidad de encontrar un fotón ha de ser la suma de las probabilidades de encontrarlo en cada uno de los modos λ, X P1 (δt) = |βλ (t + δt)|2 = Γhs† siδt (3.49) λ. en donde la última igualdad se conoce de (3.45). Como estamos tratando con un sistema atómico, la energía entre |ei y |gi está denida (posiblemente sobre.

(24) 3.1. MODELO DE INTERACCIÓN ÁTOMO-VACÍO: EMISIÓN ESPONTÁNEA.25 un ancho determinado por el ancho de banda natural), y es posible que la distribución de los modos λ se sitúe cerca al modo que corresponde a esta energía de transición. Encontrar la dirección ²̂λ es entonces suciente para determinar el modo k. Es claro que si nuestro sistema de detección no es capaz de discernir entre diferentes P ²̃λ , entonces todo este tratamiento es innecesario y se puede reemplazar β(t + δt)λ |λi por β1 |1i. Una vez se encuentra el vector unitario ²̂λ , procedemos a proyectarlo sobre |λi, y se llega al vector condicional normalizado |ψλ (t + δt)i ~. ~ ge eik·~r ²ˆ∗ · µ s p |ψλ (t + δt)i = −i ∗ k |ψ0 (t)i |²̂k · µ ~ ge | hs† si. (3.50). Para el caso de emisión espontánea sin degeneramiento de Zeeman, el factor ²̂∗k ·µge únicamente agrega una fase global y se puede omitir. El estado|ψλ (t+δt)i salvo una fase, será |gi. El estado del campo vuelve a |0i, pues el fotón fue destruido y no podrá alterar el estado general en un futuro. Si |gi ⊗ |0i no fuera un estado propio del sistema, el estado |ψλ (t + δt)i ⊗ |0i sería el punto de partida para una nueva medición en 2δt y una posterior evolución de Ψ(t)i. En el caso de estados con degeneramiento Zeeman el operador s deberá cambiarse por ²̂λ · s0 en donde s0 es un operador que conecta los niveles |ei i con |gi i, con transiciones proporcionales a los coecientes de Clebsh-Gordon [1]. En tal caso será necesario encontrar la polarización del fotón para generar un estado factorizable. El nivel de detalle que se requiera en la descripción del sistema atómico determina la complejidad del aparato de medida. Por ahora, sea nuestro sistema atómico uno sin degeneramento. Dejando los factores irrelevantes en (3.50), concluimos que el estado evoluciona según s. |ψ(t + δt)i = p. hs† si. |ψ(t)i. (3.51). cuando un fotón con vector de onda k es detectado en el intervalo δt. El cambio diferencial del estado atómico d|ψi será: Ã ! s d|ψ(t)i = p |ψ(t)i − 1 |ψ(t)i (3.52) hs† si Llamando Nk al número de fotones emitidos al fotodetector con vector k, dNk corresponderá a su cambio en el intervalo δt. Como no se permite más de un fotón en cada intervalo de tiempo, a lo sumo en δt una de estas variables dNk es 1, las demás serán cero. Es claro que en el caso de emisión espontánea sólo una vez alguna dNk puede ser 1. Además el valor esperado de la suma de dNk para todos los modos debe igualar a la probabilidad de emisión P1 (δt) * + X X |βλ |2 = Γhs† siδt (3.53) dNk = ~ k⊥²̂. λ.

(25) 26. CAPÍTULO 3. FUNCIÓN DE ONDA DE MONTE-CARLO MCWF.. Podemos combinar la evolución de los dos posibles resultados de detección (ecuaciones (3.51) y (3.34)) en una sola ecuación estocástica, comúnmente llamada ecuación estocástica de Schrödinger: µ ¶ X i 1 † † d|ψi = (1 − dNk ) − Hs |ψiδt − Γ(s s − hs si)|ψiδt h̄ 2 k⊥² Ã ! X s p + − 1 |ψidNk (3.54) † si hs λ La posibilidad de que todos los dNk sean cero se describe por el primer P renglón de (3.54). Al promediar las trayectorias, para un t dado, el factor dNk en el primer renglón de (3.54) se vuelve del orden de δt como muestra la relación (3.53). Los términos proporcionales a δtdNk se pueden omitir d|ψi. i 1 = − Hs |ψiδt − Γ(s† s − hs† si)|ψiδt h̄ µ 2 ¶ X s √ |ψ(t)i) − 1 |ψidNk . + s† s. (3.55). El salto, cuando ocurre, es mucho más grande al cambio innitesimal del estado condicional de no detección de fotón, por tanto, en la práctica la ecuación (3.55) aunque no es plenamente satisfactoria, puede ser implementada en forma segura para cálculos numéricos.. 3.1.4. El promedio sobre las trayectorias. En la sección {2.2} se demuestra que el promedio sobre todas las trayectorias corresponde al resultado de la matriz densidad |ψ(t)ihψ(t)| = ρs . En el proceso de promediar, nosotros como observadores perdemos información sobre los diferentes resultados del experimento. Nos sometemos a la incertidumbre de no conocer continuamente el estado del baño. Dado que el experimento se hizo sobre el baño y no directamente sobre el sistema, hacer el promedio sobre los resultados debería reproducir el estado del sistema abierto. El precio que se paga por nuestra indiferencia es que debemos trabajar con una matriz (densidad) sopesando cada posible estado del sistema por su probabilidad de ocurrencia. Ya no es posible trabajar con vectores. Queda por demostrar cómo el promedio sobre un grupo de trayectorias cuánticas que obedecen la ecuación estocástica de Schrödinger (3.54) representan la matriz densidad del sistema. Podemos derivar ρs (t) multiplicando |ψ0 (t)ihψ0 (t)| y |ψ1 (t)ihψ1 (t)| por sus respectivas probabilidades de que ocurran, haciendo una suma ponderada. · ¸ i 1 |ψ(t)ihψ(t)| = 1 − Hs δt − Γδt(s† s − hs† si) |ψ(t)ihψ(t)| h̄ 2 · ¸ i 1 × 1 + Hs δt − Γδt(s† s − hs† si) (1 − Γhs† siδt) h̄ 2.

(26) 3.1. MODELO DE INTERACCIÓN ÁTOMO-VACÍO: EMISIÓN ESPONTÁNEA.27 +. X e−ik0 k̂·~r s|ψ(t)ihψ(t)|s† eik0 k̂·~r k. hs† si. Γhs† siδt. (3.56). en donde k0 = ω0 /c es la magnitud del número de onda correspondiente al centro del espectro de frecuencia de la transición ω0 . Si hacemos un promedio de (3.56) dejando términos hasta primer orden en δt e identicamos a |ψ(t)ihψ(t)| como ρs llegamos a la ecuación de la evolución de un sistema abierto: X ¢ i 1 ¡ d ρs = − [Hs , ρs (t)] − Γ s† sρs (t) + ρs (t)s† s + Γ se−ik0 k̂·r ρs (t)s† eik0 k̂·r dt h̄ 2 k (3.57) Sin tener en cuenta el estado externo |ri del átomo, podemos suponer que éste se ubica en r = 0. No tenemos que hacer una suma sobre las direcciones de los vectores de onda k y la matriz densidad toma una forma más simple: d i 1 ρs = − [Hs , ρs (t)] − Γ(s† sρs (t) + ρs (t)s† s − 2sρs (t)s† ) dt h̄ 2. (3.58). 3.1.5. Resultados de la simulación numérica. Los pasos seguidos para la simulación del comportamiento de las trayectorias en el sistema atómico de dos niveles interactuando con el vacío electromagnético fueron los siguientes: 1. Se escoge un estado inicial para el sistema atómico distinto a |gi. Esta escogencia ha de estar de acuerdo con ρs (0). No necesariamente ha de ser el mismo estado en todas las corridas, sólo debe corresponder a la distribución inicial de estados puros que represente ρs (0) 2. El sistema evoluciona hasta δt según la ecuación estocástica de Schrödinger (3.54) en su defecto la ecuación (3.34) con la posterior normalización del estado atómico. 3. Se simula la aletoriedad del resultado (detección o no de fotón) con la generación de un número pseudoaleatorio. Éste se compara con la probabilidad de emisión Γhs† siδt que en el átomo de dos niveles corresponde a ΓΠe δt siendo Πe la población en el estado excitado (Πe (t) = |α|2 , con α como la amplitud del estado excitado) y permite decidir sobre cual estado se ha de proyectar. 4. En caso de detección de fotón, se hace uso del operador s y el estado del átomo es |gi durante el resto de la corrida. 5. En caso de no detectar fotón se utiliza la ecuación (3.41) o en su defecto (3.34) con la posterior normalización del estado en el segundo caso para hallar el estado para t = 2δt. 6. Se vuelve al tercer paso y se repite el proceso hasta que haya emisión de fotón o hasta que la continua proyección sobre el estado |0i lleve al átomo a |gi..

(27) 28. CAPÍTULO 3. FUNCIÓN DE ONDA DE MONTE-CARLO MCWF.. En el desarrollo de la solución numérica se hizo uso de la ecuación estocástica de Schrödinger (3.41). La evolución de los coecientes del estado interno del átomo, tal y como se denieron en (3.2) es: µ ¶ i Γ Γ α(t + δt) = α(t) 1 − ω0 δt − δt + Πe δt (3.59) 2 2 2 µ ¶ i Γ β(t + δt) = β(t) 1 + ω0 δt − Πe δt (3.60) 2 2 Se puede ver de (3.59) que α(t + δt) depende únicamente de α(t) y no de β(t). Lo mismo sucede con β(t+δt). Por tanto si β(0) es 0, β(t) es 0 también. Si existe completa certeza de que el átomo se encuentra en |ei en t = 0, α(t) debería ser 1 hasta un evento de detección. Una mirada más cercana a la ecuación (3.59) para este caso especial nos muestra que: µ ¶ i α(t + δt) = α(t) 1 − ω0 δt (3.61) 2 en magnitud:. Ãr |α(t + δt)| = |α(t)|. 1 1 + (ω0 δt)2 4. !. (3.62). α cambia en el tiempo, aumentado su magnitud de manera proporcional a ω0 . Bajo el formalismo de la ecuación estocástica de Schrödinger (3.41), para el caso 1 especial |ψ(0)i = √1+² (²|gi + |ei) con ² ¿ 1, la magnitud |α| crece por encima 2 de 1. El rango para ² es pequeño si ω0 también lo es (en unidades de Γ). Este problema no sucede con la evolución según (3.34) pues el estado es normalizado continuamente y un estado inicialmente en |ei, seguirá salvo una fase global en |ei hasta la detección de un fotón. En la gura 3.1 se muestra el comportamiento errático en líneas punteadas que sigue la ecuación (3.41) y el correcto (en líneas continuas) seguido tras la normalización del estado generado por (3.34) para varias trayectorias para el estado atómico inicial |ei.. La gura 3.2 muestra el desarrollo de varias trayectorias utilizando (3.41). Se encuentra que si la amplitud inicial para el estado excitado α(0) es alta, es muy posible que se detecte un fotón. En el otro extremo (β(0) grande) es más difícil encontrar una trayectoria en donde haya detección de fotón. La continua proyección sobre |0i reduce la amplitud del estado excitado, permiténdonos inferir que si nunca se detectó fotón es porque el átomo siempre estuvo en |gi. Finalmente, la gura 3.3 muestra en líneas continuas el resultado analítico según la matriz densidad bajo la aproximación de Born-Markov: ρee (t) = |α(t)|2 = |α(0)|2 e−Γt. (3.63). En líneas punteadas se muestra el resultado de promediar 500 MCWF para dos estados iniciales distintos..

(28) 3.1. MODELO DE INTERACCIÓN ÁTOMO-VACÍO: EMISIÓN ESPONTÁNEA.29. 1 0.9 0.8. Π. e. 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0. 0.5. 1. 1.5. 2. 2.5. 3. Γt Figura 3.1: Comportamiento de Πe según la ecuación estocástica de Schrödinger (en lineas punteadas) y según (3.34) en lineas continuas.. 1 0.9 0.8 0.7. Πe. 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0. 0.5. 1. 1.5. 2. Γt. 2.5. 3. 3.5. 4. Figura 3.2: Evolución estocástica de la población excitadaΠe para varios estados iniciales..

(29) 30. CAPÍTULO 3. FUNCIÓN DE ONDA DE MONTE-CARLO MCWF.. 1 0.9 0.8 0.7. Πe. 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0. 1. 2. Γt. 3. 4. 5. Figura 3.3: Promedio para 500 MCWF, en lineas punteadas. En línea continua el resultado analítico de la matriz densidad (3.63)..

(30) Capítulo 4. Interacción con campos clásicos. Todo el modelaje teórico desarrollado en el capítulo anterior nos sirve para aplicarlo en sistemas en donde la aproximación Born-Markov se mantiene. La siguiente exposición (átomo de dos niveles y degeneramiento Zeeman) es una minuciosa reproducción de [1]. Para utilizar el método de la función de onda de Monte-Carlo (MCWF) en sistemas con interacciones más complejas, es necesario reemplazar el hamiltoniano (3.3) por uno que involucre todos los procesos que queremos estudiar. El uso de un hamiltoniano distinto a (3.3) tendrá claramente distintos estados propios a los del proceso de emisión espontánea, y las trayectorias no tendrán (por lo general) tendencia a un estado |gi o |ei en particular. Sin embargo, se debe conservar el hecho de que el promedio de las trayectorias generadas reproduzca el resultado de la matriz densidad. Las situaciones que en este capítulo se estudian también suponen un detector que mide el observable a† a del campo electromagnético, por tanto la base sobre la que se expande el estado electromagnético serán los estados de Fock{nλ }. En este ejemplo, por simplicidad, nos desharemos del subíndice λ pues omitiremos los grados de libertad traslacionales del átomo, así que la medición que utilizaremos no diferenciará entre los distintos modos que pueden existir en el campo; por esta misma razón se omitirá el término p2 /2m en Hs , y sólo enfocaremos nuestra atención en el estado interno del átomo. Se estudia la interacción de un sistema atómico con un campo eléctrico clásico monocromático de la forma E0 cos(ωL t), generado posiblemente por un láser. En primera instancia, se estudiarán trayectorias para el estado atómico interno en un sistema de dos niveles sin degeneramiento tipo Zeeman. Su promedio será comparado con el resultado de la matriz densidad. Después, en un esquema de medida en donde también se detecta la polarización del fotón emitido se trata el problema del átomo de dos niveles con degeneramiento de Zeeman. Finalmente, se extiende el tratamiento a un sistema atómico de tres niveles sin 31.

(31) 32. CAPÍTULO 4. INTERACCIÓN CON CAMPOS CLÁSICOS.. degeneramiento Zeeman.. 4.1. Átomo de dos niveles 4.1.1. Interacción átomo-campo eléctromagnético clásico El hamiltoniano para un átomo de dos niveles, inmerso en campo electromagnético clásico E0 cos(ωt) en un marco rotando con frecuencia ω , es bajo la aproximación de onda rotante [14]: Hs = −h̄∆s† s −. h̄ Ω(eiφ s + e−iφ s† ) 2. (4.1). en donde Ω es la frecuencia de Rabí, la cual lleva información sobre el elemento |µ |E dipolar µge = hg|r|ei y la amplitud del campo clásico; Ω = geh̄ 0 . ∆ = ω − ω0 siendo ω0 la frecuencia atómica de transición entre |ei y |gi y φ es la fase del elemento µge . La solución de este sistema aislado del vacío electromagnético se conoce analíticamente [6]. La solución general para las amplitudes de probabilidad es: ½ · µ ¶ µ ¶¸ µ ¶¾ ΩR t i∆ ΩR t Ω −iφ ΩR t α(t) = α(0) cos − sin +i e β(0)sin ei∆t/2(4.2) 2 ΩR 2 ΩR 2 ½ · µ ¶ µ ¶¸ µ ¶¾ ΩR t i∆ ΩR t Ω iφ ΩR t β(t) = β(0) cos + sin +i e α(0)sin e−i∆t/2(4.3) 2 ΩR 2 ΩR 2 √ con ΩR = Ω2 + ∆2 . En el caso de resonancia (∆ = 0) las amplitudes del sistema atómico oscilan con la frecuencia de Rabí (llamada así por su analogía con el problema de la precesión de un dipolo magnético de spin 1/2 en un campo magnético).. 4.1.2. Interacción con el vacío electromagnético Ahora tendremos en cuenta la interacción sistema (átomo+láser) con el vacío electromagnético |0i.. 4.1.2.1. Matriz densidad es:. La ecuación de movimiento de la matriz densidad del sistema atómo-láser d i Γ ρs = [ρs , Hs ] − (s† sρs + ρs s† s) + Γsρs s† dt h̄ 2. (4.4). Si sacamos los elementos matriciales, denotando hi|ρs |ji = ρij s encontramos que las ecuaciones de movimiento de los elementos son.

(32) 4.1. ÁTOMO DE DOS NIVELES. ˙ ρee s ˙ ρeg s ˙ ρgg s ˙ ρge s. iΩ eg ee (ρ − ρge s ) − Γρs 2µ s ¶ Ω ee Γ eg = i (ρs − ρgg ) + δρ − ρeg s s 2 2 s iΩ ge ee (ρ − ρeg = s ) + Γρs 2 s ˙ ∗ = (ρeg s ) =. 33. (4.5) (4.6) (4.7) (4.8). 4.1.2.2. MCWF Se utilizará la evolución del vector condicional a detección nula que no conserva la norma (ecuación (3.34)). Este estado condicional evoluciona según la ecuación de Schrödinger con el hamiltoniano no hermítico: ih̄ † Γs s 2 h̄ ih̄ H 0 = −h̄∆s† s − Ω(s + s† ) − Γs† s (4.9) 2 2 El operador evolución U(t) se expande a primer orden en δt para obtener los coecientes del estado no normalizado β0 |ψ0 (t)i: µ ¶ i β0 |ψ0 (t + δt)i = 1 − δtH 0 β0 |ψ0 (t)i (4.10) h̄ H0. = Hs +. los coecientes en t + dt. µ ¶ Γ Ω α(t + δt) = α(t) 1 − δt + i∆δt − iβ(t) δt (4.11) 2 2 Ω β(t + δt) = β(t) − iα(t) δt (4.12) 2 El proceso es el mismo que el seguido en el caso de emisión espontánea. Con un estado inicial que corresponda a ρs (0) se deja al sistema átomo+láser evolucionar libremente hasta δt en donde se hace una medida del observable a† a sobre el reservorio, cuyo resultado se simula con la comparación entre la probabilidad de emisión Πe Γδt y un número pseudoaleatorio entre 0 y 1. En caso de no detectar fotón, las amplitudes α(δt) y β(δt) son calculadas con el resultado de (4.11) y (4.12). El estado se normaliza. En el caso de detectar fotón, la aplicación del operador s deja al átomo en |gi. El átomo está siendo continuamente estimulado por el campo eléctrico del láser. Por esto, a diferencia del caso de emisión espontánea, una vez es detectado un fotón, el átomo después de algún tiempo volverá a estar en una combinación α(t)|ei + β(t)|gi. |gi ya no es un estado propio de Hs y pueden ser detectados varios fotones en una sola corrida a medida que el sistema atómico aumenta su población en el estado excitado. Cualquiera haya sido el resultado de la medición, este estado se toma como base para el cálculo del estado atómico en 2δt..