Diseño térmico y mecánico de un reactor de plasma a escala de laboratorio

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(1)DISEÑO TÉRMICO Y MECÁNICO DE UN REACTOR DE PLASMA A ESCALA DE LABORATORIO. JAIME ALBERTO RAMÍREZ OSPINA. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTA 2005. 1.

(2) DISEÑO TÉRMICO Y MECÁNICO DE UN REACTOR DE PLASMA A ESCALA DE LABORATORIO. JAIME ALBERTO RAMÍREZ OSPINA. PROYECTO DE GRADO. JAIRO ARTURO ESCOBAR GUTIERREZ ING. MECÁNICO, Msc, Dr. ING.. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTA 2005. 2.

(3) ANOTACIONES _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________ _______________________. ___________________________________ JAIRO ARTURO ESCOBAR GUTIERREZ ASESOR. BOGOTÁ 25 DE ENERO DE 2005. 3.

(4) OBJETIVOS. •. Hacer el diseño térmico y mecánico de un reactor de plasma a escala de laboratorio. •. M odelar las condiciones de intercambio de calor al interior del rector sin tener en cuenta la energía suministrada por el plasma.. •. Diseñar la resistencia necesaria para el calentamiento auxiliar.. •. Diseñar el sistema de enfriamiento para la pared del reactor.. •. Diseñar el contenedor que albergará los diferentes sistemas que hacen parte del reactor.. 4.

(5) CONTENIDO. INTRODUCCIÓN.................................................................................................................. 9 1. Definición del problema ............................................................................................... 11 2. Transferencia de calor por radiación ................................................................................ 12 2.1 Intensidad espectral.................................................................................................... 14 2.2 Potencia emisiva......................................................................................................... 16 2.3 Irradiación .................................................................................................................. 17 2.4 Radiación de cuerpo negro ......................................................................................... 17 2.4.1 Propiedades del cuerpo negro: ............................................................................ 18 2.4.2 Distribución espectral de Plank:.......................................................................... 19 2.4.3 Ley de Stefan-Boltzmann:................................................................................... 20 2.5 Propiedades de los materiales reales .......................................................................... 20 2.6 Ley de Kirchhoff ........................................................................................................ 22 2.7 Cuerpo gris ................................................................................................................. 22 2.8 Cuerpo espejo............................................................................................................. 23 2.9 Intercambio de radiación entre superficies ................................................................. 24 2.9.1 Intercambio radiante entre dos diferenciales de área: ......................................... 24 2.9.2 Factor de forma: .................................................................................................. 25 2.9.3 Propiedades del factor de forma:......................................................................... 25 2.9.4 Intercambio de calor en un recinto cerrado: ........................................................ 27 2.9.5 Casos especiales de Intercambio radiante entre superficies:............................... 29 3. Transferencia de calor por convección............................................................................. 30 3.1 Correlaciones empíricas para flujo interno. ............................................................... 31 4. Esfuerzos y deformaciones en contenedores de pared delgada sujetos a presión............ 35 4.1 Cilindros a Presión: .................................................................................................... 35 4.2 Teoría de esfuerzos en membrana para contenedores a presión: ............................... 36 4.2.1 Contenedores elípticos a presión:........................................................................ 37 4.3 Dilatación de contenedores a presión:........................................................................ 38 4.4 Concentración de esfuerzos en contenedores a presión: ............................................ 39 5. Teoría de falla................................................................................................................... 41 5.1 Teoría de energía de distorsión para materiales dúctiles:........................................... 41 6. Diseño de la resistencia .................................................................................................... 42 6.1 M odelado del intercambio de calor: ........................................................................... 42 6.1.1 M odelos de materiales adoptados: ...................................................................... 42 6.1.2 M odelos geométricos usados: ............................................................................. 43 6.1.3 Cálculo de factores de forma:.............................................................................. 47 6.2 Análisis en estado estable:.......................................................................................... 57 6.3 Análisis en estado transitorio: .................................................................................... 63. 5.

(6) 6.3.1 Análisis transitorio con resistencia estable:......................................................... 63 6.3.2 Análisis completamente transitorio:.................................................................... 67 6.4 Análisis del intercambio de calor externo: ................................................................. 69 6.5 Diseño físico de la resistencia: ................................................................................... 70 7. Diseño del contenedor ...................................................................................................... 71 8. Diseño del sistema de enfriamiento.................................................................................. 77 9. Conclusiones .................................................................................................................... 80 Bibliografía........................................................................................................................... 81 ANEXO 1 Programas en M ATLAB.................................................................................... 82 ANEXO 2 Planos ................................................................................................................. 94 ANEXO 3 Hoja de cálculo ................................................................................................... 95. 6.

(7) TABLA DE FIGURAS. Figura 2.1. Enfriamiento por radiación de un sólido caliente (tomado de Fundamentos de transferencia de calor de Frank Incropera)................................................................. 12 Figura 2.2. Sistema de coordenadas esféricas. (Tomado de Fundamentos de transferencia de calor) ....................................................................................................................... 14 Figura 2.3 Ángulo sólido generado por dAn en un punto sobre dA1. (Tomado de Fundamentos de transferencia de calor)...................................................................... 15 Figura 2.4 Geometría del Recinto. ....................................................................................... 18 Figura 2.5 Ilustración de una superficie espejo ................................................................... 23 Figura 2.6 Intercambio de radiación entre superficies. (Tomado de Termal radiation heat transfer)........................................................................................................................ 24 Figura 2.7 Intercambio de Energía Entre dos áreas con una subdividida en dos. (Tomado de Termal radiation heat transfer)............................................................................... 26 Figura 2.8 Recinto Compuesto de N superficies................................................................... 27 Figura 2.9 Ilustración del intercambio de calor entre dos planos paralelos infinitos y dos cilindros de longitud infinita. ....................................................................................... 29 Figura 3.1 Transferencia de Calor por Convección............................................................. 30 Figura 3.2 Transferencia de calor entre un fluido que corre a través del tuvo y la Pared del tubo............................................................................................................................... 32 Figura 4.1 Esfuerzo radial y tangencial en un anillo circular (Tomado de “Theory and Design of Pressure Vessels” de John Harvey)............................................................. 35 Figura 4.2 Esfuerzo longitudinal en un cilindro................................................................... 36 Figura 4.3 Esfuerzos en Membrana, (Tomado de Theory and Design of Pressure Vessels)37 Figura 4.4 placa infinita cargada en una sola dirección ..................................................... 40 Figura 6.2 Divisiones a lo largo de los ejes x e y. ................................................................ 44 Figura 6.3 Divisiones a lo largo del eje z............................................................................. 45 Figura 6.5 Geometría de los escudos. .................................................................................. 47 Figura 6.6 Intercambio interno de calor con divisiones en x e y. ........................................ 48 Figura 6.7 Intercambio interno de calor con divisiones en z ............................................... 49 Figura 6.8 Ilustración factor de forma entre la cara expuesta del elemento y la resistencia. ...................................................................................................................................... 50 Figura 6.9 Ilustración factor de forma entre la cara expuesta del elemento y la tapa superior. ....................................................................................................................... 52 Figura 6.10 Ilustración del factor de forma entre vecinos cercanos.................................... 53 Figura 6.11 Factor de forma entre un elemento j y la resistencia. ...................................... 55 Figura 6.12 Factor de forma del elemento j con respecto al elemento k ............................. 56 Figura 6.13 Análisis en estado estable variando el diámetro de la resistencia ................... 59 Figura 6.14 Resultado de energía requerida en análisis estable variando las divisiones en x e y............................................................................................................................... 60. 7.

(8) Figura 6.14 Resultado de Temperatura en análisis estable variando las divisiones en x e y. ...................................................................................................................................... 61 Figura 6.15 Resultado de energía requerida en análisis estable variando las divisiones a lo largo de z...................................................................................................................... 62 Figura 6.16 Resultado de Temperatura en análisis estable variando las divisiones en z.... 62 Figura 6.17 Análisis transitorio variando el diámetro de la resistencia.............................. 64 Figura 6.17 Análisis transitorio variando las divisiones en x e y. ....................................... 65 Figura 6.18 Análisis transitorio variando las divisiones a lo largo de z. ............................ 66 Figura 6.19 Resultado de la temperatura para el control on-off. ........................................ 68 Figura 6.20 Resultado de la energía requerida por la resistencia en el control on-off. ..... 68 Figura 6.21 Sección transversal de tubería.......................................................................... 70 Figura 7.1 Dimensiones de una elipse.................................................................................. 71 Figura 7.2 Geometría enmallada.......................................................................................... 74 Figura 7.3 Cargas aplicadas. ............................................................................................... 74 Figura 7.4 Esfuerzos equivalentes. ....................................................................................... 75 Figura 7.5 Zona de esfuerzo equivalente máximo. .............................................................. 76 Figura 8.1 Diagrama esquemático del sistema de enfriamiento .......................................... 77 Figura 8.2 Montaje del intercambiador. .............................................................................. 78. 8.

(9) INTRODUCCIÓN El plasma es un estado de la materia en el cual una gran cantidad de los átomos se encuentran en forma de iones. Los plasmas están constituidos por una gran cantidad de iones, partículas neutras y electrones libres, haciendo esto que a escala macro el estado sea eléctricamente neutro, los cuales colisionan entres si haciendo que este estado sea muy energético. En la industria el plasma se usa para procesos de corte y remoción de material, deposición de materiales vaporizados, procesos de sinterización y tratamientos térmicos a materiales como nitruración y carburización entre otros. El equipo que se usa comúnmente para procesos de tratamientos en materiales, que es el de interés en este proyecto, es el reactor de plasma, el cual se ilustra en la siguiente figura: + Escudos. Sistema de enfriamiento. Contenedor. Sistema de calentamiento auxiliar. V. Sistema de vacío e inyección de gases. Electrodos. El alcance de este proyecto se limita a diseñar los escudos, el sistema de calentamiento auxiliar y el contenedor. Los demás sistemas, aunque son primordiales para el reactor, no se diseñaran en este proyecto. Este proyecto surgió en respuesta a la necesidad que tiene el departamento de ingeniería mecánica, en especial el CIPEM , de contar con un equipo de laboratorio capaz de realizar diferentes procesos con temperaturas y atmósferas controladas.. 9.

(10) Se espera que este equipo sirva de apoyo en las investigaciones que se están realizando en la ciencia de los materiales, además de ser una herramienta que mejore las actividades académicas realizadas por el departamento, así como ayudar a los estudiantes a tener una mejor comprensión y visualización de los fenómenos que tienen lugar en los diferentes procesos que se pueden llevar a cabo en el procesamiento de los materiales. Por último este proyecto ayudará al desarrollo de las herramientas de diseño y construcción de este tipo de equipos para en un futuro poder, con este conocimiento adquirido, hacer un aporte al desarrollo de la industria colombiana. Para resolver el problema se empezó por hacer una revisión bibliográfica, con el objetivo de poder comprender y modelar los diferentes fenómenos que se presentan en cada uno de los sistemas que se van a diseñar, es decir que e los capítulos del 2 al 5, en los que se presenta dicha revisión bibliográfica, las ideas allí expresadas no pertenecen al autor si no que hacen parte de un recuento de la teoría consignada en las obras reportadas en la bibliografía de este documento. En los capítulos del 6 al 8 se presenta la metodología de solución y los resultados obtenidos para los diferentes problemas planteados. Estos resultados se amplían en los diferentes anexos.. 10.

(11) 1. Definición del problema Un reactor de plasma es un equipo que trabaja en su interior con una mezcla de gases que se encuentran a presiones por debajo de la presión atmosférica y que por medio de una diferencia de potencial muy alta, del orden de miles de voltios, genera plasma en su interior. La ventaja de este tipo de aparatos es que usa la alta energía que posee el estado del plasma para realizar procesos de deposición de vapores, recubrimientos, sinterización, etc. El equipo en algunos casos cuenta con un sistema de calentamiento auxiliar que ayuda a que el proceso que se esta llevando acabo sea más controlable y estable. Las especificaciones con las que se cuenta para resolver el problema son: •. Temperatura máxima: 900 °C, está restricción la estableció la disponibilidad de materiales comerciales en la industria colombiana.. •. Volumen Efectivo de trabajo: prisma de base cuadrada de 10 cm de lado y 20 cm de altura.. Para desarrollar el problema se dividió el diseño en los siguientes sistemas: Diseño Térmico: •. •. Sistema de calentamiento auxiliar y aislamiento: Este sistema esta encargado de proporcionar el calentamiento auxiliar que requiera el proceso que se este realizando al interior del reactor. De este sistema hacen parte una resistencia y 6 escudos que aislaran la radiación de calor al interior. Sistema de enfriamiento: La función de este sistema es impedir que la temperatura del contenedor del reactor supere los 30 °C, esto con el objetivo de proteger los instrumentos de medida que se utilicen y permitir que las personas que lo estén operando se puedan acercar a este.. Diseño Mecánico: El diseño mecánico está constituido por un contenedor dentro del cual se albergaran los demás sistemas y los correspondientes elementos de sujeción de los mismos.. 11.

(12) 2. Transferencia de calor por radiación El modo de transferencia de calor por radiación se tiene en cuenta en este proyecto ya que por medio de las teorías y modelos desarrollados alrededor de este campo es que se podrá dimensionar y diseñar el sistema de calentamiento auxiliar y las perdidas a través de los escudos, esto es debido a que al trabajar en una atmósfera de vacío, los demás modos de transferencia de calor tendrán un aporte despreciable. A continuación se explicará la teoría de transferencia de calor por radiación que será útil para los fines de este proyecto. Considérese un sólido que inicialmente esta a una temperatura T s, mayor que la temperatura de los alrededores T alr, pero en torno del cual existe un vacío y no existe ningún contacto entre los alrededores y el cuerpo como se muestra en la Figura 2.1.. qrad, neto Rad. de los alrededores Emisión de Radiación superficial. Sólido Ts Vacío T alr. Alrededores Figura 2.1. Enfriamiento por radiación de un sólido caliente (tomado de Fundamentos de transferencia de calor de Frank Incropera). La presencia del vacío evita la transferencia de energía desde la superficie por convección o conducción, haciendo esto que el único modo de transferencia de energía entre el sólido y los alrededores sea la radiación térmica, que se presentara hasta que el cuerpo alcance el equilibrio termodinámico con sus alrededores.. 12.

(13) Este enfriamiento está asociado con una reducción de la energía interna del sólido, la cual es consecuencia de la emisión de radiación térmica que se da desde la superficie del sólido. De la misma forma, el cuerpo interceptará y absorberá la radiación originada en los alrededores. Sin embargo, dado que la temperatura del cuerpo es mayor que la de la periferia, el flujo neto de calor se va a dar desde la superficie del sólido hacia los alrededores hasta que el sólido alcance la misma temperatura que el entorno, es decir T s=T alr, esto para el caso en el que no existen fuentes de calor. A partir de lo anterior se puede definir la radiación térmica como la intensidad con que la materia emite energía como resultado de su energía interna, expresada en términos de su temperatura. El mecanismo de emisión esta relacionado con la energía liberada como consecuencia de las oscilaciones y transiciones de los muchos de electrones que forman la materia. Dichas oscilaciones, a su vez, son sostenidas por la energía interna, razón por la cual relacionamos la emisión de radiación térmica con condiciones provocadas térmicamente al interior de la materia. Todas las formas de la materia tienen la capacidad de emitir radiación. Para los gases y sólidos semitransparentes, la emisión es un fenómeno volumétrico, es decir la radiación total que emite un cuerpo de volumen finito es la suma de la radiación emitida localmente a lo largo de todo el volumen. En el caso de la mayoría de sólidos y líquidos la radiación emitida por las moléculas al interior es fuertemente absorbida por las moléculas contiguas. En consecuencia la radiación emitida por un cuerpo sólido o líquido es originada por las moléculas que se encuentran a una distancia de aproximadamente 1µm de la superficie expuesta del objeto, siendo esta la razón por la que se considera la radiación como un fenómeno superficial en la mayoría de los casos. Se sabe que la radiación se origina por emisiones de la materia y que su propagación no requiere de medio alguno, pero la naturaleza de su transporte se pude interpretar desde dos enfoques distintos, el primero es que se puede considerar a la radiación térmica como la acumulación y propagación de fotones, y el segundo es que la radiación se puede ver como la propagación de ondas electromagnéticas. Cualquiera que sea el caso es deseable atribuir a la radiación térmica las propiedades de onda como son frecuencia ν, en rad/s, y longitud de onda λ, en m, cumpliéndose la siguiente relación: λ=. C ν. Donde C es la velocidad de la luz en el medio de propagación, en m/s.. 13. (2.1).

(14) 2.1 Intensidad espectral Considérese la emisión de radiación en una dirección particular desde un diferencial de área dA1 como se muestra en la Figura 2.2. Esta dirección se puede especificar, usando un sistema de coordenadas esféricas, con origen en dA1, por medio de los ángulos θ y φ. Una superficie infinitesimalmente pequeña en el espacio dAn, a través de la cual pasa esta radiación genera un ángulo sólido dω cuando se ve desde un punto sobre dA1, entonces este ángulo sólido se puede aproximar de la siguiente forma: dω. dA ß 2n r. (2.2). Figura 2.2. Sistema de coordenadas esféricas. (Tomado de Fundamentos de transferencia de calor). Como se muestra en la Figura 2.3. el área dAn es normal a la dirección establecida por θ y φ, pudiéndose representar esta área de la siguiente forma: dAn = r 2Senθdθdφ. 14. (2.3).

(15) Figura 2.3 Ángulo sólido generado por dAn en un punto sobre dA1. (Tomado de Fundamentos de transferencia de calor). Reemplazando 2.3 en 2.2 se obtiene la siguiente relación para dω: dω = Senθdθdφ. (2.4). Si se define la intensidad espectral Iλ,e como “la razón a la que se emite energía radiante a la longitud de onda λ en la dirección (θ,φ), por unidad de área de la superficie emisora normal a esta dirección por unidad de ángulo sólido alrededor de esta dirección, y por 1 intervalo de longitud de onda dλ alrededor de λ” , según esta definición, el área que se usa para definir la intensidad es la proyección perpendicular de dA1 sobre la dirección de la radiación, es decir en este caso dicha área proyectada seria dA1Cosθ. Hecha esta aclaración se tiene entonces que la intensidad espectral está definida como: I λ , e (λ , θ , φ ). dq λ ß dA1 Cosθ • dω. (2.5). Reemplazando la ecuación 2.4 en 2.5 y reorganizando, se obtiene la siguiente relación: dq λ =. 1. 1 I (λ, θ, φ)dA1Sen 2θdθdφ 2 λ ,e. INCROPERA, Frank P. “ Fundamentos de Transferencia de Calor” 4ª. Edición 1999, p. 638. 15. (2.6).

(16) 2.2 Potencia emisiva Se define como potencia emisiva como la cantidad de energía por unidad de área superficial. La potencia espectral emisiva hemisférica está definida como la cantidad de radiación, de longitud de onda λ, que se emite en todas direcciones, por unidad de área superficial. En consecuencia la potencia espectral emisiva esta dada por la siguiente expresión: dq λ ç dA 1. E (λ ) = E (λ ) =. 2π 0. π. ç. 0. 2. 1 ç2 I λ ,e ( λ, θ, φ)Sen 2θdθdφ. (2.7). La potencia emisiva hemisférica total es la rapidez con que se emite radiación por unidad de área en todas las longitudes de onda y en todas las direcciones. Tomando la ecuación 2.7 e integrándola a lo largo de todo el espectro se obtiene la siguiente ecuación para la potencia emisiva hemisférica total: ‡. E = 0 E(çλ)dλ. (2.8). Esta potencia es conocida también como potencia emisiva total. Aunque la emisión superficial varia dependiendo de la naturaleza de la superficie, existe un caso particular que da una aproximación muy razonable parta muchas superficies, que es el caso del emisor difuso. Se define emisor difuso, como una superficie que emite radiación con la misma intensidad en todas las direcciones, en tal caso se tiene: I λ , e (λ , θ , φ ) = I λ , e ( λ ). (2.9). Reemplazando 2.9 en 2.7 y 2.8 obtenemos las siguientes ecuaciones: E (λ) = πI λ ,e ( λ). (2.10). E = πI e. (2.11). donde Ie es la intensidad total de la radiación emitida.. 16.

(17) 2.3 Irradiación Aunque los conceptos anteriores se derivaron para la radiación emitida, estos mismos se pueden usar para la radiación incidente. Tal radiación tendrá la una intensidad espectral Iλ,i(λ,θ,φ), la cual está definida como la cantidad de engría radiante de longitud de onda λ, incidente de la dirección (θ,φ), por unidad de área de la superficie interceptora normal a la dirección de incidencia, por unidad de ángulo sólido alrededor de esta dirección y por intervalo de longitud de onda unitaria dλ alrededor de λ. La intensidad espectral se puede relacionar con la irradiación, que es un flujo radiativo que abarca la energía radiante proveniente de todas las direcciones, por unidad de área superficial del receptor. La irradiación espectral Gλ(λ) se define como la tasa a la que la radiación de una determinada longitud de onda incide sobre la superficie, por unidad de área de la superficie, entonces dado esto la definición de irradiación espectral es la siguiente:. G λ (λ) =. 2π π2 0. ç 0. 1 ç2 I λ,i (λ, θ, φ)Sen2θdθdφ. (2.12). como se puede observar, la forma de Gλ(λ) es similar a la de E(λ), esto es porque la irradiación se basa en el área real mientras que Iλ,i(λ,θ,φ) se basa en el área proyectada. A continuación se define la irradiación total como la tasa a la que incide radiación por unidad de superficie del receptor, en todas las direcciones y longitudes de onda. La irradiación total se halla integrando 2.12 a lo largo de todo el espectro de la siguiente forma: ‡. G = 0Gçλ ( λ)dλ. (2.13). Si la radiación que incide es difusa se obtienen las siguientes ecuaciones: G λ (λ ) = πI λ ,i (λ). (2.14). G = πI i. (2.15). 2.4 Radiación de cuerpo negro Se define el cuerpo negro como una superficie ideal que absorbe toda la energía que le incide, sin reflejarla o transmitirla.. 17.

(18) El concepto de cuerpo negro es importante ya que este funciona como un patrón contra el cual las superficies reales pueden ser comparadas y caracterizadas. Para poder hacer dicha comparación se deben establecer las siguientes propiedades del cuerpo negro, las cuales se derivan de su definición.. 2.4.1 Propiedades del cuerpo negro: •. Emisor perfecto: Si se considera un cuerpo negro a temperatura uniforme situado al interior de un recinto de forma arbitraria, cuyas paredes están hechas de cuerpos negros y se encuentran a una temperatura inicial, diferente a la del cuerpo encerrado, como se ilustra en la Figura 2.4, después de un tiempo el cuerpo que se encuentra encerrado va a estar en equilibrio térmico con las paredes. En esta condición de equilibrio el cuerpo negro continuará emitiendo radiación, como consecuencia de su temperatura, y absorbiendo energía de tal forma que la misma cantidad de energía que absorbe es emitida para que se conserve el equilibrio térmico.. Recinto a temperatura uniforme. Cu erpo negro a temperatura uniforme Elemento de área intercambiado energía con el cuerpo negro Vacío. Figura 2.4 Geometría del Recinto. •. Isotropía de la radiación en un recinto negro: Si se toma el recinto isotérmico con paredes negras y forma arbitraria, como se ve en la Figura 2.4 pero ahora se rota y cambia de posición el cuerpo negro, la temperatura de este no va a cambiar ya que el recinto permanece a la misma temperatura, de tal forma que el cuerpo debe seguir emitiendo la misma cantidad de radiación que antes y por consiguiente debe estar recibiendo la misma cantidad de radiación de las paredes, esto significa que la radiación es independiente de la posición y orientación, es decir que la radiación presente en el recinto es isotópica.. 18.

(19) •. Emisor perfecto en cada longitud de onda: Si se considera ahora que el sistema se encuentra en equilibrio térmico, pero que el recinto no es de paredes negras si no que es recinto especial que solo emite y absorbe radiación en el intervalo dλ1 alrededor de λ1 entonces para mantener el equilibrio térmico el cuerpo negro debe admitir y emitir radiación en el mismo intervalo dλ1. Dado que el cuerpo negro está absorbiendo el máximo de radiación en dλ1 entonces debe emitir el máximo de radiación en dλ1, lo que significa que si se cambia el recinto por uno que solo absorbe y emite en el intervalo dλ2 alrededor de λ2 el cuerpo negro estará emitiendo el máximo de energía radiante en λ2, lo que muestra que el cuerpo negro es un emisor perfecto en cada longitud de onda.. •. Radiación total en el vacío es función únicamente de la temperatura: Si se tiene un recinto como el de la Figura 2.4, pero se cambia la temperatura de las paredes, la temperatura del cuerpo negro se debe ajustar hasta llegar a la temperatura de las paredes. Nuevamente la energía emitida y absorbida por el cuerpo es igual pero la magnitud de estas es diferente a la que se tenia en la temperatura anterior, ya que el cuerpo va a emitir su máximo a esta temperatura, lo que significa que la energía total que emite el cuerpo en el vacío es función únicamente de la temperatura del mismo.. 2.4.2 Distribución espectral de Plank: La formula de distribución espectral de la emisión para un cuerpo negro, fue desarrollada por Plank, y aunque la deducción de la misma se sale de los alcances de este proyecto a continuación se presentan los resultados los cuales serán de gran utilidad posteriormente 2hc 2o I λ ,b (λ, T) = 5 λ [exp(hc o λkT ) - 1]. (2.16). donde h es la constante de Plank, k es la constante de Boltzmann, co es la velocidad de la luz en el vacío y T es la temperatura absoluta del cuerpo negro. De las propiedades del cuerpo negro se puede deducir que este es un emisor difuso, se puede encontrar la potencia espectral emisiva reemplazando la ecuación 2.16 en la ecuación 2.10. Se obtiene entonces la siguiente relación: 2 πhc 2o E b (λ ) = 5 λ [exp (hc o λkT ) -1]. 19. (2.17).

(20) 2.4.3 Ley de Stefan-Boltzmann: 2 Haciendo C1= 2hco y C2= hco/k y reemplazando la ecuación 2.17 en 2.8 se llega a la siguiente igualdad:. Eb =. C1. ‡ 0. λç [exp(C 5. 2. λT) - 1]. dλ. (2.18). siendo Eb la emisividad total del cuerpo negro. Haciendo la sustitución ζ=C2/λT la ecuación anterior se convierte en: C1 T 4 Eb = 4 C2. ζ3 dζ ζ eç - 1. ‡ 0. después de integrar la ecuación anterior se llega al siguiente resultado2: C1 T 4 π 4 Eb = C 42 15. (2.19). si se expresa la ecuación anterior como el producto de una constante σ por la cuarta potencia de la temperatura, se obtiene el siguiente valor para σ: σ=. C 1π 4 = 5.667 × 10 C 42 15. 8. W m 2K 4. (2.20). la constante que se acaba de encontrar es conocida como la constante de Stefan-Boltzmann.. 2.5 Propiedades de los materiales reales Como se vio en la sección anterior, el cuerpo negro es solo un modelo ideal que sirve de referencia para comparar el comportamiento de los materiales reales. En la realidad no existe ningún materia que se comporte como un cuerpo negro, pues todos los cuerpos no tienen la capacidad de absorber toda la energía que incide sobre ellos si no que parte de esta es reflejada y transmitida. A continuación se definirán las propiedades radiativas que caracterizan un material, como son:. 2. Resultado obtenido de una tabla de integrales.. 20.

(21) •. Emisividad: La emisividad es una medida que indica que tan bien puede irradiar energía un cuerpo, comprado con un cuerpo negro. Esta propiedad depende de la temperatura de la superficie, la longitud de onda de la radiación y la dirección en que se este emitiendo la energía. Esta característica esta definida de la siguiente forma: I λ , e (λ , θ , φ , T ) ß I λ , b ( λ, T ). ε(λ, θ, φ, T ) •. (2.21). Absortividad: Esta propiedad esta definida como la razón entre la energía absorbida y la energía total incidente. De aquí: I λ ,i,abs (λ, θ, φ, T ) ß I λ ,i ( λ, θ, φ). α( λ, θ, φ, T ). (2.22). •. Reflectividad: La reflectividad es la razón entre la radiación térmica reflejada por la superficie, y la radiación incidente, de tal forma que se cumple esta relación: I λ ,i ,ref (λ, θ, φ, T ) ρ (λ , θ , φ , T ) = (2.23) I λ , i ( λ , θ , φ). •. Transmisividad: La transmisividad es la comparación entre la cantidad de la radiación incidente que atraviesa el material, y la radiación total que incide sobre cuerpo. Esta propiedad es compleja de encontrar, pero para algunos medios semitransparentes se encuentran transmisividades hemisféricas. De ahí que se defina esta propiedad de la siguiente forma: τλ =. G λ ,tr (λ) G λ (λ ). (2.24). De la definición de irradiación espectral dada en la ecuación 2.12, y las definiciones de las propiedades dadas en las ecuaciones de la 2.22 a la 2.24, se puede deducir fácilmente la siguiente igualdad: G λ (λ ) = G λ ,abs (λ) + G λ ,ref (λ) + G λ ,tr (λ ) G λ (λ ) = αG λ ( λ) + ρG λ ( λ) + τG λ (λ) 1= α+ρ +τ. 21. (2.25).

(22) 2.6 Ley de Kirchhoff Si se considera un diferencial de área dA al interior de un recinto cuyas paredes se comportan como cuerpos negros a una temperatura T A, siendo esta temperatura igual a la del diferencial de área, entonces la irradiación experimentada por cualquier cuerpo al interior del recinto es difusa e igual a la emisión de un cuerpo negro a temperatura T A. G = E b Ts. (2.26). Como dA se encuentra en equilibrio térmico con los alrededores, si se hace un balance de energía alrededor de dA se obtiene: α A GdA - E (TA )dA = 0. (2.27). reemplazando 2.26 en 2.27 se obtiene: E (TA ) = E b (TA ) αA. (2.28). si se usa la definición de potencia emisiva total dada en la ecuación 2.8 y las ecuaciones 2.28 y 2.21 se llega a la siguiente conclusión: εA =1 αA. (2.29). entonces lo que establece la ley de Kirchhoff es ningún cuerpo puede tener una potencia emisiva mayor a la de un cuerpo negro a la misma temperatura, de aquí se deduce entonces que la emisividad de cualquier cuerpo es igual a su Absortividad como se muestra en la ecuación 2.29.. 2.7 Cuerpo gris En ingeniería es de interés el poder calcular el intercambio radiante entre superficies de una forma sencilla y que de una resultado lo mas aproximado a la realidad. Una forma de hacer esto es tratar de usar la ley de Stefan-Boltzmann, deducida para cuerpo negro, de forma general para la mayoría de superficies. Para poder hacer esto se define un nuevo tipo de cuerpo en el que además de cumplirse la ley de Kirchhoff, las propiedades de este no dependen de la dirección de la radiación, y este es opaco, es decir su transmisividad es cero.. 22.

(23) A este tipo de superficie se le conoce como superficie o cuerpo gris, la cual es una muy buena aproximación para la mayoría de los materiales que existen. Sus características son las siguientes: ε=α (2.30). τ=0 ρ =1 - α. cabe aclara que debido a que sus propiedades no dependen de la dirección, este cuerpo es un emite y refleja radiación de forma difusa.. 2.8 Cuerpo espejo El cuerpo espejo tiene características similares a las de un cuerpo gris, en el sentido que emiten energía de forma difusa, pero difiere del gris en que dependiendo de la dirección de la radiación incidente, existe una dirección en la que es reflejada la radiación. Esta dirección esta sujeta a la ley de reflexión de los espejos, en la que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, como se muestra en la Figura 2.5.. Incidente. Reflejada. θ. θ. Absorbida. Superficie Espejo. Figura 2.5 Ilustración de una superficie espejo Sin embargo la magnitud de la reflexividad es la misma para todas las direcciones de incidencia de la radiación, es decir que no importa en que dirección venga la radiación, la fracción de energía radiante que se refleja siempre es la misma.. 23.

(24) 2.9 Intercambio de radiación entre superficies 2.9.1 Intercambio radiante entre dos diferenciales de área: Considérense dos elementos de área dA1 y dA2 como se muestran en la Figura 2.6. Figura 2.6 Intercambio de radiación entre superficies. (Tomado de Termal radiation heat transfer) Si se calcula la energía que sale de dA1 e incide sobre dA2 se tiene de la ecuación2.5: dq1. ¨2. = I1 Cosθ1dA1 dω 2 -1. (2.31). Donde I1 es la intensidad de la radiación que sale de dA1 y dω2-1 es el ángulo sólido subtendido por dA2 visto desde dA1. De la Figura 2.6 se puede calcular el ángulo sólido dω2-1 de la siguiente forma: dω2. ¨1. =. dA 2 Cosθ 2 R2. (2.32). Suponiendo que dA2 emite y refleja de forma difusa, e introduciendo el concepto de radiosidad J, el cual es similar al de potencia emisiva, solo que se diferencian en que la radiosidad es la cantidad total de engría que sale de un cuerpo, por unidad de superficie, es decir, es la suma de la energía emitida y la reflejada por la superficie. Este concepto cumple las mismas ecuaciones que fueron derivadas para la potencia emisiva, esto significa que si. 24.

(25) la radiación emitida y reflejada es difusa, como en este caso, J va a ser de la siguiente forma: J = πI. (2.33). Combinando las ecuaciones 2.31, 2.32 y 2.33 se llega a la siguiente relación: dq1. ¨2. = J1. Cosθ1 Cosθ 2 dA1 dA2 πR 2. (2.34). 2.9.2 Factor de forma: Si se considera que los diferenciales dA1 y dA2, pertenecen unas determinadas áreas A1 y A2, entonces la rapidez con la que la energía radiante, que sale de A1, incide sobre A2 es: q1. ¨2. = J1. Cosθ1 Cosθ 2 dA1dA 2 πR 2 A 2 A1. çç. (2.35). Definiendo el concepto de factor de forma como “la fracción de radiación que sale de Ai y 3 es interceptada por Aj “ queda definido de la siguiente forma: F12 = F12 =. q 1 ¨2 J1 A1. 1 Cosθ1 Cosθ2 dA1dA 2 ç A1 A 2 A1 ç πR 2. (2.36). 2.9.3 Propiedades del factor de forma: Una de las propiedades más importantes del factor de forma es la de reciprocidad. Esta se puede derivar de la ecuación 2.36 si en vez de encontrar el F12 se halla F21, al hacer esto es se puede concluir que: A1 F12 = A 2 F21. 3. INCROPERA. pag 719. 25. (2.37).

(26) Ahora si se considera un recinto cerrado, para que se conserve la energía, toda la radiación partiendo desde un área particular debe ser interceptada por los demás cuerpos al interior del recinto. Formalmente esto se define de la siguiente forma: N. ‡”F. ij. =1. (2.38). j=1. la última propiedad que queda por nombrar es de bastante utilidad para calcular el factor de forma de toda una superficie a partir de la unión de factores de forma de superficies más pequeñas fáciles de calcular, tal como se muestra en la Figura 2.7. Figura 2.7 Intercambio de Energía Entre dos áreas con una subdividida en dos. (Tomado de Termal radiation heat transfer) Esta propiedad se define de la siguiente forma: F12 = F13 + F14. 26. (2.39).

(27) 2.9.4 Intercambio de calor en un recinto cerrado: Considérese un recinto cerrado compuesto por N superficies grises, el objetivo del análisis será estudiar el intercambio de radiación entre las superficies para problemas involucrando dos tipos de condiciones de frontera: •. Cuando la temperatura está especificada, la cantidad de energía que debe ser suministrada a la superficie por otros medios diferentes al intercambio radiante en el recinto debe ser encontrada.. •. La temperatura que la superficie debe alcanzar debe ser hallada si se da la cantidad de energía impuesta.. Un intercambio de radiación complejo se da al interior del recinto, debido a que una cantidad de radiación deja la superficie y es parcialmente absorbida y parcialmente reflejada por las demás superficies en cada contacto con estas. Gracias al método de radiación neta presentado por Hottel, que se presentara en esta sección, este estudio no es tan complicado. Considérese el k-esimo área al interior del recinto, mostrado en la Figura 2.8. k. j N 3. 2. 1. Figura 2.8 Recinto Compuesto de N superficies. Las cantidades qi y qo serán las cantidades de energía radiante entrando y saliendo de la superficie, por unidad de tiempo, por unidad de área, respectivamente. q será la energía que debe ser suministrada a la superficie por otros medios diferentes al intercambio radiante entre las superficies del recinto. Lo anterior conduce a la siguiente relación:. 27.

(28) Qk = q k A k = (q o ,k - q i,k )A k + m k C pk. dTk dt. (2.40). debido a que la radiación que sale de una superficie esta compuesta por la energía emitida y reflejada, se puede expresar qo,k como: q o ,k = ε k σ Tk4 + ρ k q i ,k = ε k σ Tk4 + (1 - ε k )q i,k. (2.41). la ecuación anterior se deriva de la definición de cuerpo gris. El flujo incidente qi,k esta compuesto por la cantidad de radiación emitida por las N superficies, que incide sobre la superficie k. entonces la energía incidente será: A k q i ,k = A 1q o ,1 F1k + A 2 q o , 2 F2 k ........ + A N q o ,N FN,k. (2.42). usando la propiedad de los factores de forma definida por la ecuación 2.37, se puede rescribir la ecuación 2.42 de la siguiente forma: A k q i ,k = A k Fk 1q o ,1 + A k Fk 2 q o ,2 ....... + A k FkN q o ,N N. q i,k = ‡”Fkj q o, j. (2.43). j=1. si se reemplazan las ecuaciones 2.41 y 2.42 en 2.40 se obtienen las siguientes dos expresiones:. Qk = Ak. εk dT σTk4 - q o,k + m k C pk k 1 - εk dT. (. ). N. Qk = A k (q o, k - ‡”Fkjq o, j ) + m k C pk j=1. dTk dT. (2.44) (2.45). la ecuación 2.44 es valida para cualquier superficie del recinto, entonces si se despeja qo de esta ecuación y se reemplaza en 2.45 se llega a: q o ,j = σT j4 -. dTj 1 1- ε j (Q j - m jC pj ) Aj εj dt. N dTj Qk 1 1- ε k dTk 1 dTk 1 1- ε j 4 4 )} = σ Tk (Qk - m k C pk )+ m k C pk - ‡”Fkj {σT j (Q j - m jC pj dt Ak Ak ε k dt Ak dT j=1 Aj εj. 28.

(29) N. ‡”( j= 1. N δ kj 1- ε j Q j dT j - Fkj )( - m j C pj ) = ‡”(δ kj - Fkj )σT j4 εj ε j Aj dt j= 1. (2.46). Donde δkj es la función delta que toma el valor de uno si k = j y cero de lo contrario. De la ecuación (2.46) se obtiene un sistema de N ecuaciones en términos de las temperaturas y las energías que deben ser suministradas a cada cuerpo, es decir que se deben conocer N condiciones, temperaturas o energías, para poder encontrar las N restantes.. 2.9.5 Casos especiales de Intercambio radiante entre superficies: Existen casos especiales de intercambio de calor entre superficies como son los del intercambio entre placas paralelas infinitas y el intercambio de calor entre cilindros concéntricos de longitud infinita, como se muestra en la Figura 2.9. 2 1. 2 Q. Q 1. Planos Paralelos. Cilindros paralelos. Figura 2.9 Ilustración del intercambio de calor entre dos planos paralelos infinitos y dos cilindros de longitud infinita. La ecuación que determina el intercambio radiante para los dos casos es la siguiente: Q=. A1σ (T14 - T24 ) 1 1 + -1 ε1 ε 2. 29. (2.47).

(30) 3. Transferencia de calor por convección La transferencia de calor por convección es de interés para este proyecto debido a que este será el modo de transferencia de calor que predomine en el sistema de enfriamiento, específicamente, esta forma de transferencia de calor será la que determine el intercambio de energía entre el intercambiador de calor y las paredes del contenedlo. Es por esta razón que solo se tienen en cuenta las correlaciones para flujo interno turbulento. A continuación se entrará en detalle de este fenómeno. Considérese la condición de flujo como se muestra en la Figura 3.1. Un fluido a velocidad U y temperatura T ∞ fluye sobre una superficie de área A. se saben que la superficie se encuentra a una temperatura T uniforme a lo largo de toda la superficie, entonces si T es diferente a T ∞ se va a presentar una transferencia de calor por convección entre la superficie y el fluido. El flujo de calor es de la forma: q = h (T - T. ). (3.1). ‡. donde h es el coeficiente de convección local. Debido a que las condiciones de flujo varían a lo largo de la superficie, q también va a variar a lo largo de la superficie, entonces el calor total Q que se transfiere por convección va a estar dado por: Q = (T - T. ) hdA ç. ‡. A. T∞. Q. A, T. U. Figura 3.1 Transferencia de Calor por Convección. Ahora, si se define un coeficiente de convección promedio de la siguiente forma:. 30. (3.2).

(31) h=. 1 hdA AA ç. (3.3). la transferencia total de calor por convección se puede expresar de la forma: Q = hA(T - T. ). ‡. (3.4). Teniendo la ecuación 3.3 , todo el problema de intercambio de calor por convección se puede resumir a encontrar un método para calcular h .. 3.1 Correlaciones empíricas para flujo interno. Las correlaciones empíricas son ecuaciones ajustadas a los datos obtenidos en el laboratorio. Estas presentan una buena aproximación únicamente dentro de algunos rangos o condiciones del fluido, y por lo general se dan como una relación entre variables adimensionales. Antes de mostrar las correlaciones que se usaran, es importante dar algunas definiciones que serán importantes para la comprensión y posterior uso de estas correlaciones. Los conceptos más importantes a definir son: •. Velocidad media: debido a que la velocidad del fluido a lo largo de la sección transversal de la tubería no es constante, se desea trabajar con un valor constante para facilidad de cálculo. Se define entonces la velocidad media de tal forma que al multiplicar esta por la densidad y el área transversal de la tubería, se obtenga el flujo de masa a través del tubo. De aquí que se tenga la siguiente forma: m & =v ρA t. (3.5). & es el flujo de masa y donde At es el área transversal del tubo, ρ es la densidad del fluido, m v es la velocidad media. •. Temperatura media: Al igual que la velocidad, la temperatura varía a lo largo de la sección transversal en un determinado punto, y es deseable trabajar con un valor medio para facilitar los cálculos, entonces se define la temperatura media en términos de la energía térmica que transporta el fluido cuando pasa por la sección transversal observada. De aquí que:. 31.

(32) E& t = Tm m & Cv. (3.6). & es donde E& t es la energía térmica transportada, Cv es la capacidad calorífica del fluido, m el flujo de masa en ese punto y T m es la temperatura media. •. Diferencia de temperaturas media logarítmica: Para encontrar la transferencia de calor por convección en un tubo partir de las condiciones en los extremos se usa la siguiente formula: q conv = hA s ∆Tml. (3.7). la relación anterior es una forma de la ley de enfriamiento de Newton para todo el tubo.* Entonces la temperatura media logarítmica se define como: ∆To = T ‡ - Tm, o. (3.8). ∆Ti = T ‡ - Tm,i ∆To - ∆Ti ∆Tml = ln (∆To ∆Ti ). (3.9) (3.10). las variables que se usan en las ecuaciones anteriores se ilustran en la Figura 3.2. T∞ & m T m,o. T m,i. Figura 3.2 Transferencia de calor entre un fluido que corre a través del tuvo y la Pared del tubo. •. Número de Nusselt: El número de Nusselt está definido como “el gradiente de 4 temperatura adimensional en la superficie” . Entonces el número de Nusselt esta definido por:. *. Una demostración formal de esto se encuentra en Fundamentos de Transferencia de Calor, de Frank Incropera. 4 INCROPERA, Frank. Fundamentos de Transferencia de Calor. 8 ed. Méjico. Prentice Hall. 1996. 320 p.. 32.

(33) hD k. Nu D =. (3.11). donde D es el diámetro de la tubería, h el coeficiente de convección y k la conductividad térmica del fluido. •. Número de Prandtl: según Incropera este numero se define como la razón de as difusividades térmica y de momento, la ecuación que lo define es la siguiente: Pr =. C pµ k. (3.12). donde Cp es el calor especifico del fluido a presión constante, µ es la viscosidad del fluido y k es la conductividad térmica del fluido. •. Número de Reynolds: Es la razón de las fuerzas de inercia y las viscosas. Su definición matemática es: Re D =. vDρ µ. (3.13). Donde D es el diámetro del tubo, v es la velocidad media, ρ es la densidad del fluido y µ es la viscosidad del fluido. Ya habiendo dado las definiciones necesarias se procede a presentar la correlación de transferencia de calor por convección para flujo interno de Petukhov, la cual según Incropera, es la mas utilizada por dar una excelente aproximación para 0.5< Pr < 2000 y 4 6 10 < ReD < 5 x 10 . La correlación empírica de Petukhov para flujo interno turbulento es de la forma: NU D =. (f / 8) Re D Pr 1.07 + 12.7(f / 8)1 / 2 (Pr 2 / 3 - 1). (3.14). donde f es el factor de fricción de la tubería, y se puede obtener para el caso de tuberías lisas de la siguiente relación empírica: f = ( 0.790 ln(ReD ) - 1.64) -2. 3000 ¡ÜRe D ¡Ü5 ×10 6. La ecuación anterior fue planteada por Petukhov.. 33. (3.15).

(34) Por medio de la correlación para flujo turbulento de Petukhov se puede encontrar un valor para el número de Nusselt, y con este encontrar el valor de h resolviendo así una gran cantidad de problemas de transferencia de calor.. 34.

(35) 4. Esfuerzos y deformaciones en contenedores de pared delgada sujetos a presión Para el diseño mecánico del contenedor es importante poder calcular los esfuerzos que soportan diferentes tipos de contenedores sujetos a presiones uniformes, es por esto que en este capítulo se mostrará como son los esfuerzos para cilindros y contenedores de forma elíptica sujetos a presión. Se considera la teoría de pared delgada porque el contenedor que se va a diseñar tiene una relación de espesor con respecto al diámetro interno menor a 1/20.. 4.1 Cilindros a Presión: Considérese un anillo de espesor dz como se muestra en la Figura 4.1, el cual esta sujeto a una presión interna constante. h y. rdφ. x. z r. P. dφ φ. Figura 4.1 Esfuerzo radial y tangencial en un anillo circular (Tomado de “Theory and Design of Pressure Vessels” de John Harvey) Haciendo sumatoria de fuerzas a lo largo del eje y se obtiene: π /2. 2F = 2 PrçSenφdφdz = 2 Pr dz 0. F = Pr dz El esfuerzo tangencial en el anillo es igual a la fuerza F dividida por el área, de aquí que:. 35. (4.1).

(36) Pr dz hdz Pr σt = h. σt =. (4.2). Ahora para calcular el esfuerzo longitudinal σl se asume que el cilindro se encuentra tapado en el extremo como se muestra en la Figura 4.2 entonces las fuerzas actuando sobre la sección transversal del cilindro se calculan de la siguiente forma: σ l h 2πr = Pr 2 π Pr σl = 2h. (4.3). σl. P. σl Figura 4.2 Esfuerzo longitudinal en un cilindro.. 4.2 Teoría de esfuerzos en membrana para contenedores a presión: Esta teoría es aplicable para contenedores cuya geometría es generada por la revolución de una curva con respecto a un eje. Esta teoría y las relaciones obtenidas de esta, están planteadas en el libro Theory and Design of Pressure Vessels, pero en este documento solo se presentaran los resultados obtenidos, ya que el proceso no hace parte de los intereses de este proyecto.. 36.

(37) Sean σ1 y σ2 los esfuerzos sobre un elemento diferencial como se muestran en la Figura 4.2, entonces para una superficie generada por revolución se cumple que: σ1 σ 2 P + = r1 r2 h. (4.4). Figura 4.3 Esfuerzos en Membrana, (Tomado de Theory and Design of Pressure Vessels). 4.2.1 Contenedores elípticos a presión: Un caso particular es cuando se usan tapas con forma elíptica en los extremos del cilindro. En el libro de John Harvey (ver Bibliografía) se deducen las siguientes relaciones: σ1 =. Pr2 2h. usando las ecuaciones 4.4 y 4.5 se obtiene la ecuación 4.6 para σ2:. 37. (4.5).

(38) Pr2 r2 σ 1 P r22 σ2 = = (r2 ) h r1 h 2r1. (4.6). con las ecuaciones anteriores se pueden calcular los esfuerzos en cualquier punto del contenedor, pero los puntos de más interés por tener un estado de esfuerzo más crítico que los demás son la corona de la elipse y el ecuador. Para el caso de la corona los radios r1 y r2 2 son iguales a a /b entonces usando las ecuaciones 4.5 y 4.6 se obtiene la siguiente relación: σ1 = σ 2 =. Pa 2 2bh. (4.7). 2 En el caso que se considera el ecuador r1= b /a y r2= a entonces se sigue el mismo procedimiento usado para la corona y se llega a las siguientes relaciones:. σ1 =. Pa 2h. Pa a2 σ2 = (1 - 2 ) h 2b. (4.8) (4.9). con las ecuaciones anteriores, deducidas en el libro Theory and Design of Pressure Vessels es posible calcular el estado de esfuerzos para los puntos críticos en un contenedor con forma de elipse rotada con respecto al semieje vertical.. 4.3 Dilatación de contenedores a presión: Para considerar la dilatación de un contenedor a presión primero se debe observar la definición del modulo de Poisson. El modulo de Poisson esta definido como la razón entre la deformación unitaria lateral y la deformación unitaria axial, debido a que cuando a un elemento se le aplica una tensión en el sentido axial, este presenta una contracción lateral y viceversa. Entonces la deformación experimentada por un elemento en una dirección está definida de la siguiente forma: ε1 =. σ 1 µσ 2 E E. (4.10). esto es para un elemento cargado en dos direcciones. En la ecuación anterior ε1 es la deformación unitaria en la dirección 1, σ1 es el esfuerzo aplicado a lo lardo de la dirección 1, σ2 es el esfuerzo aplicado en la dirección 2 perpendicular a la dirección 1, µ es el modulo de Poisson y E es el modulo de elasticidad. Como se puede notar la definición dada. 38.

(39) en la ecuación 4.10 es para un material isotrópico, ya que el modulo de elasticidad en las dos direcciones es el mismo. Ahora si se considera un anillo de radio interno inicial r0, sometido a una presión, el anillo se deformara hasta alcanzar un radio r1. El cambio en el radio δ se puede calcular de la siguiente forma: εt =. dl1 - dl 0 r1dθ - r0 dθ δdθ = = dl 0 r0 dθ r0 dθ δ = ε t r0. (4.11). reemplazando 4.10 en 4.11 se obtiene:. δ= r (. σ t µσ l ) E E. (4.12). usando las definiciones de σt y σl dadas en las ecuaciones 4.2 y 4.3 se llega a la siguiente expresión para el cambio en el radio en un cilindro: pr 2 δ= (2 - µ ) 2hE. (4.13). por medio de la expresión anterior es posible calcular la deformación radial que sufrirá un cilindro cuando es sometido a una presión.. 4.4 Concentración de esfuerzos en contenedores a presión: Un área de concentración de esfuerzos es aquella en la que se presenta un cambio en la continuidad de la pieza o una alteración en la geometría de la misma. En estas zonas se presenta un incremento en el nivel de esfuerzos, provocado por la discontinuidad de la pieza. Este valor de esfuerzo máximo σmax no puede ser analizado por medio de las relaciones definidas hasta ahora, si no que se necesita definir un nuevo concepto como es el de concentrador de esfuerzos [6]. El concentrador de esfuerzos K esta definido como la razón entre el esfuerzo máximo y el esfuerzo calculado en ese lugar por medio de las teorías que se han presentado hasta ahora[3],[6], de aquí que: K=. 39. σ max σ0. (4.14).

(40) Estas constantes K están reportadas en diversos libros para diferentes geometrías y condiciones de carga. Para el caso de un contenedor sometido a una presión es importante analizar como será el esfuerzo máximo presente si el contenedor tiene un agujero circular, este caso es importante ya que la mayoría de contenedor poseen agujeros de entrada y salida de fluidos, además de ventanas para observarlos procesos que se realizan al interior y otros agujeros dependiendo de la necesidad. Una buena aproximación al problema del agujero en el contenedor es analizar como se comporta una placa de infinita, con un agujero circular en medio, cargada en una sola dirección, como se muestra en la Figura 4.4 σ. σ Figura 4.4 placa infinita cargada en una sola dirección Este problema es bastante común y muchos libros tienen el valor de K para esta configuración, entre ellos Theory and Design of Pressure Vessels, en el cual se encuentra que el valor de K para esta configuración es de 3. En el caso de un contenedor de pared delgada sujeto a una presión, el factor de concentración de esfuerzo K se aplica a uno solo de los esfuerzos, ya sea tangencial o longitudinal para el caso de un cilindro o σ1 o σ2 en el caso de una membrana. Por lo general se aplica al esfuerzo que tenga la magnitud mayor.. 40.

(41) 5. Teoría de falla La teoría de falla es considerada en este proyecto ya que va a ser la herramienta por medio de la cual se evaluará la confiabilidad del diseño del contenedor. En este capitulo se mostrará la forma en que se evalúa esta confiabilidad. Falla se considera cuando el elemento ha perdido sus propiedades a tal punto que hace que este no sea funcional. La perdida de funcionalidad está definida por el propósito del elemento y el criterio del ingeniero al momento de diseñar el dispositivo. La teoría de falla más común es establecer como perdida de funcionalidad el momento en que el elemento experimente una deformación permanente, por ejemplo en el caso de una barra sometida a tensión axialmente, esto se presentaría cuando el esfuerzo supere el esfuerzo de fluencia determinado en el ensayo de tensión.. 5.1 Teoría de energía de distorsión para materiales dúctiles: Según lo establecido por Shigley en su libro Mechanical Engineering Design, la teoría de energía de distorsión predice que la fluencia del material se presenta cuando la energía de distorsión por unidad de volumen alcanza o exceda la energía de distorsión por unidad de volumen presente en el ensayo de tensión, para un determinado material. De esta teoría se deriva una expresión para el esfuerzo equivalente σ’, la cual se encuentra completamente deducida en el libro de Shigley mencionado antes. Esta expresión es:. σ' =. (σ 1 - σ 2 ) 2 + (σ 1 - σ 3 ) 2 + (σ 2 - σ 3 ) 2 2. (5.1). donde σ1, σ2, σ3 son los esfuerzos principales en el punto examinado. El criterio de falla se va a dar comparando σ’ con el esfuerzo de fluencia para un material Sy , entonces no se presentara falla mientras se cumpla: σ' ¡ÜS y. 41. (5.2).

(42) 6. Diseño de la resistencia Para el diseño de la resistencia se tuvo en cuenta las restricciones de temperatura y volumen efectivo a calentar como son: •. Temperatura máxima: 900 ºC. •. Volumen efectivo de trabajo: Prisma de base cuadrada de 10 cm. de lado y altura de 20 cm.. A partir de estas restricciones se empezó a modelar el intercambio de calor al interior del reactor, para esto solo se tuvo en cuenta el intercambio radiante, ya que al encontrarse en condiciones de vació el interior, los demás modos de transferencia de calor son despreciables.. 6.1 Modelado del intercambio de calor: El primer paso en el modelado del intercambio de calor, después de definir el modo de este, es definir los modelos de materiales o superficies que se adoptaran para las distintas partes que intervienen en este intercambio como se muestra en la sección 6.1.1. 6.1.1 Modelos de materiales adoptados: •. Volumen efectivo de trabajo: Como en este espacio es donde se van a colocar los objetos que se desean procesar en el reactor, no existe un material definido exactamente, así que se tomara el modelo que mejor se ajusta a la mayoría de los materiales el cual es el modelo de cuerpo gris, el cual se definió en la sección 2.7, con una emisividad de 0.4 la cual representa un promedio de una gama de materiales diversa que se puede trabajar en el reactor.. •. Resistencia: La resistencia, al igual que el volumen efectivo de trabajo, se definió como un cuerpo gris por las características superficiales de los materiales que se usan comúnmente para su fabricación, se le asigno una emisividad de 0.4 típica de la mayoría de materiales usados en la construcción de resistencias.. •. Escudos: Para los escudos se tomó el modelo de superficie espejo, debido a sus condiciones de acabado superficial. Su emisividad es de 0.3 la cual corresponde al acero inoxidable 304.. 42.

(43) 6.1.2 Modelos geométricos usados: Habiendo definido los modelos de materiales que se van a usar, se procede a precisar la geometría de las diferentes partes para poder modelar los factores de forma entre las diferentes superficies, de aquí que se definieron las siguientes geometrías: •. Volumen efectivo de trabajo: Para modelar el intercambio de calor, como no se tiene una disposición fija de superficies en el volumen de trabajo, pues estas van a variar dependiendo de la cantidad de piezas que se tengan al interior y sus condiciones geométricas, se decidió hacer divisiones de este volumen para ver como afectan estas el intercambio de calor. Entonces en la Figura 6.1 se muestra el volumen efectivo de trabajo.. z x. y Figura 6.1 Volumen efectivote trabajo. Para efectos del cálculo del intercambio de calor al interior del reactor se decidió dividir el volumen efectivo de trabajo de dos maneras, una es hacer N1 divisiones a lo largo del plano de las dimensiones x e y como se muestra en la Figura 6.2. 43.

(44) z. x. y Figura 6.2 Divisiones a lo largo de los ejes x e y. Las divisiones mostradas en la Figura 6.2 son para N1 = 3, es decir que resultan para cada caso N12 pequeños prismas de base cuadrada iguales. El espaciamiento que existe entre los primas es constante e igual a 5 mm para todo valor de N1. La otra forma de dividir el volumen efectivo de trabajo es a lo largo del eje z, es decir, el prisma se dividirá en N2 partes como se muestra en la Figura 6.3. 44.

(45) z. x. y Figura 6.3 Divisiones a lo largo del eje z. Según lo mostrado en la Figura 6.3 el volumen en este caso se dividirá en N2 prismas de base cuadrada igual a la del volumen efectivo de trabajo, pero de altura menor. Nuevamente el espaciamiento entre los nuevos prismas es constante e igual a 5 mm. Para todos los casos, sea cuando se divide a lo largo de x e y , o a lo largo de z, se asume para el cálculo del intercambio de calor que la superficie de cada uno de los prismas es uniforme, es decir que la temperatura no varia a lo largo de la superficie del prisma pequeño. •. Resistencia: La resistencia se modelo como una superficie cilíndrica de diámetro interno D y altura igual a 27 cm, como se muestra en la Figura 6.4. 45.

(46) Figura 6.4 Geometría de la resistencia. La geometría mostrada en la Figura 6.4 es una aproximación, ya que en realidad la resistencia no va a ser un cilindro, si no que va a ser un alambre enrollado en forma de espiral con un diámetro interno igual a el diámetro interno del cilindro. Para este caso también se asume que la resistencia se encuentra a temperatura constante, es decir que la temperatura no va a variar a lo largo de la superficie cilíndrica mostrada en la Figura 6.4. •. Escudos: Los escudos van a ser superficies cilíndricas de diámetro interno Di y altura Hi. Además de las superficies cilíndricas cada escudo va a tener dos tapas circulares de diámetro Di para evitar las perdidas de calor a lo largo de la dirección axial del cilindro. La cantidad de escudos a utilizar va a ser de seis, esto es según lo recomendado en el libro ASM Metals Handbook V4. Heat Treating, ya que según lo consignado en este libro, si se pone u escudo mas, la ganancia en aislamiento a la radiación no es significativa, entonces no se justifica poner mas escudos. La geometría de los escudos tomada para los cálculos del intercambio radiante al interior del reactor es como la que se muestra en la Figura 6.5.. 46.

(47) Tapa. Cilindro. Tapa Figura 6.5 Geometría de los escudos. Para los escudaos también se asume que la temperatura a lo largo de toda la superficie, esto incluye cilindro y tapas, es uniforme.. 6.1.3 Cálculo de factores de forma: Teniendo definidas las geometrías se parte el análisis del problema en dos partes, una será llamada intercambio interno de calor, la cual se refiere al intercambio de calor entre la superficie interna de la resistencia, el volumen efectivo de trabajo y las dos tapas del primer escudo, tal como se muestra en la Figura 6.6. La otra parte del intercambio de calor será llamada intercambio externo de calor, la cual consiste en el intercambio de calor entre la superficie externa de la resistencia y los 6 escudos.. 47.

(48) N12+2 N12 N1 1 N12+1 z. x. y. N12+3. Figura 6.6 Intercambio interno de calor con divisiones en x e y. Para el cálculo de la transferencia interna de calor se definieron tres superficies básicas como son: •. Prisma pequeño: Esta superficie corresponde a la superficie de un prisma pequeño que se genera a partir de las divisiones hechas, ya sea en x e y, o en z. Para el caso en que se 2 hacen las divisiones en x e y, la numeración de estos prismas va de 1 hasta N1 como se muestra en la Figura 6.6. En el caso en que estas divisiones se hacen a lo largo del eje z, la numeración de los prismas será desde 1 hasta N2, como se muestra en la Figura 6.7.. •. Resistencia: Esta superficie es la que se definió anteriormente como resistencia. El 2 número correspondiente es N1 +1 en el caso en que se analizan las divisiones en x e y, y N2+1 para el caso en el que las divisiones son a lo largo de z.. •. Tapas: Estas superficies corresponden a las tapas superior e inferior del primer escudo, se encuentran a 1 cm de los bordes de la resistencia, sus diámetros son 2 cm más grandes que el diámetro de la resistencia. Su numeración correspondiente es N12+2 para 2 la tapa superior y N1 +3 para la tapa inferior, en el caso en el que las divisiones son en x e y. Si las divisiones son en z la numeración es N2+2 y N2+3 respectivamente.. 48.

(49) N2+2. N2 N2+1 z. x 1 N2+3. y. Figura 6.7 Intercambio interno de calor con divisiones en z Ya teniendo definida una numeración para cada una de las superficies se procede a calcular los factores de forma entre todos los elementos, eso se hace con la ayuda del software M ATLAB 6.5, versión académica. El procedimiento para calcular los factores de forma en el intercambio interno de calor fue el siguiente: •. Se hace una aproximación numérica de la ecuación 2.36 de la siguiente forma: 1 Fij ¡Ö Ai. Cosθ iCosθ j∆A j ∆A i. ‡”‡” Ai. πR. Aj. 2. (6.1). La aproximación anterior es valida para. ∆Ai y ∆Aj muy pequeños. A partir de la ecuación 6.1 se definió la siguiente relación: d=. Cosθi Cosθ j ∆Ai ∆A j πR 2. (6.2). A partir de la ecuación anterior se escribió la función diferencial ( ver Anexo 1), la cual recibe como parámetros A1, A2, que son los ∆Ai , ∆Aj de la ecuación 6.2, las coordenadas del pinto 1 y 2, y los vectores unitarios n1 y n2 normales a las áreas A1 y A2 respectivamente. Esta función devuelve el valor de d y es de gran utilidad pues ayuda a descomponer el problema como la suma de los valores que pueda tomar d para cada uno de los puntos sobre las superficies analizadas.. 49.

(50) •. Para calcular los factores de forma de cada uno de los elementos la forma más fácil es calcular los factores de forma para cada uno de los prismas pequeños, que de ahora en adelante serán llamados elementos, esto es porque este problema se puede descomponer en tres situaciones simples como son: o Calcular el factor de forma del elemento con respecto a la resistencia. o Calcular el factor de forma del elemento con respecto a una de las tapas, esto es porque este factor va a ser el mismo para cualquiera de las dos tapas. o Calcular el factor de forma del elemento con respecto a los vecinos más cercanos. El procedimiento que se siguió para resolver cada uno estos problemas será explicado en los pasos siguientes.. •. La forma de analizar el primer problema planteado, es decir, el factor de forma del elemento con respecto a la resistencia, es calcular primero el factor de forma de la cara expuesta directamente a la resistencia (Figura 6.8), y luego cuando se hallan calculado todos los factores de forma para este elemento, usar la propiedad establecida en la ecuación 2.38 para corregir este valor y no despreciar el intercambio que existiría entre las caras que no se encuentran directamente expuestas a la resistencia y la resistencia.. Resistencia. x. z θ. D/2 x1. y. d/2. x0. Área expuesta. Figura 6.8 Ilustración factor de forma entre la cara expuesta del elemento y la resistencia.. 50.