Ing. Miroslava G. Reyes Prada Página 1 Desviaciones
Son las diferencias que se representan entre los valores de una variable y un punto fijo, que puede ser la media aritmética o un origen de trabajo, también denominado como media teórica.
El origen del trabajo es un valor arbitrario, y puede ser cualquier valor ya sea de la variable, o puede estar localizado dentro o fuera del recorrido.
Se consideran tres casos de desviación:
Desviación respecto a la media. Son las diferencias que hay entre los valores que tienen la variable y su media aritmética. Se aplica sin agrupar y datos agrupados.
Se simboliza ya sea por Z o d, siendo:
o ; también
Ejemplo:
Si se consideran 8 datos sin agrupar, tales como: 6, 10, 4, 10, 8, 2, 6,2. Se calcula en primer lugar la media.
, se tendrá que las deviaciones respecto a la media serán:
Y así sucesivamente con el resto de los datos.
Ejemplo variable discreta
yi ni zi
0 2 -2,3
1 3 -1,3
2 6 -0,3
3 5 0,7
4 4 1,7
Ing. Miroslava G. Reyes Prada Página 2 Ejemplo para calcular la media en variables continuas. Se calcula utilizando la marca de clase.
La media es de
CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES
Cuando la distribución contiene un numero alto de intervalos o de marcas de clase y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien partes. En el primer caso se habla de cuartiles, en el segundo de deciles y en el último percentiles.
Cuartiles: se obtienen tres valores de la variable que separan a la frecuencia total (n o N) de la distribución correspondiente en cuatro partes, por lo tanto se
obtendrá que: , , ,
El primer cuartil es aquel valor de la variable que supera el 25% de las observaciones y a su vez es supera el 75%.
El segundo cuartil, el quinto decil y el 50 percentil, en una misma distribución dan el mismo resultado, siendo igual a la mediana.
Los deciles por D1, D2, D3,..., D9 y los percentiles con P1, P2, P3, ...,P99. En cualquiera de los tres casos, la medida de posición seleccionada toma el valor de uno de los términos o del punto medio entre dos términos.
Para el cálculo de estas tres medidas de posición es necesario arreglar los términos en forma creciente o decreciente. Así, en el caso de un ordenamiento
yi-1 - yi yi ni zi
46-54 50 2 -19,2
54-62 58 4 -11,2
62-70 66 5 -3,2
70-78 74 4 4,8
78-86 82 3 12,8
86-94 90 2 20,8
Ing. Miroslava G. Reyes Prada Página 3 simple, el siguiente paso es determinar el "número de orden" de los cuartiles, deciles o porcentiles, el cual indicará el lugar que ocupen en la distribución.
En lo que se refiere a los cuartiles, el número de orden del primer cuartil es igual al número de términos de la distribución más uno, sobre cuatro. Para el segundo cuartil el número de orden se calculará sumando uno al total de términos y dividiendolo entre dos.
Datos no agrupados
Observe la siguiente serie de datos
16 10 4 8 12
10 8 20 4 13
12 22 16 26 20
Lo primero que se debe realizar es ordenar los datos, ya sea de mayor a menor o de menor a mayor.
4 4 8 8 10
10 12 12 13 16
16 20 20 22 26
Como se puede observar se tienen 15 datos, ósea que n=15,
Para hallarlos cuartiles se tiene en cuenta la siguiente ecuación:
Donde:
A= es la posición del cuartil
n= muestra
Entonces se tendrá lo siguiente:
, lo que indica que el valor del término o posición 4 es 8, lo que
equivale al 25% de la serie de datos.
, lo que indica que la posición 8 es 12, lo que es equivalente al
Ing. Miroslava G. Reyes Prada Página 4 , lo que indica que es la posición 12 que es 20, lo que equivale
al75%
Si la serie es par
3 4 5 7 9 10 11 14
Como puede observarse el procedimiento empleado en el cálculo del segundo cuartil es el mismo que se utilizó para calcular la mediana en una serie o distribución simple, por lo que el valor del segundo cuartil siempre es igual al de la mediana. Por una vez obtenido el número de orden del primer cuartil, se puede calcular inmediatamente los del segundo y tercer cuartil sin recurrir al procedimiento arriba sugerido, multiplicándolo por dos y tres respectivamente.
Deciles
Con el ejemplo anterior calcule el cuarto decil y sexto.
Ing. Miroslava G. Reyes Prada Página 5 Como la posición 9 es igual a 13 y la posición 10 es igual 16, la diferencia entre 16-13 =3, este valor se multiplica por 0.6, por lo tanto se tendrá que 3*0.6= 1.8 y se le agrega el valor de 13, obteniendo que el
Percentil
Con el mismo ejercicio calcule los percentiles 30 y 90
La diferencia entre 10-8 =2, este valor se multiplica por 0.8 que es el residuo de 4.8, por lo tanto se tendrá que 2*0.8= 1.6 y se le agrega el valor de 8, obteniendo que el
La diferencia entre 26-22 =4, este valor se multiplica por 0.4 que es el residuo de 14.4, por lo tanto se tendrá que 4*0.4= 1.6 y se le agrega el valor de 22, obteniendo que el
Ejercicios
Con los siguientes datos
8 2 6 10 2 6 8 10 2 6
