UNIDAD 7 DE SERIES DE POTENCIA 1 PARA LOS ESTUDIANTES

Doc. JULIO ROMERO

CAPITULO VII

SERIES DE POTENCIAS

7.1 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS UNITARIOS

7.1.1 REPASO DE SERIES DE POTENCIAS

Recuerde que el cálculo de una serie de potencias en es una serie infinita de la forma

∑

Se dice que esta serie de potencias centradas en . Por ejemplo, la serie de potencias ∑ está centrada en . En esta sección el interés

principal son las series de potencias en , en otras palabras, series de potencias como ∑ que están centradas en . La siguiente lista resume algunos hechos importantes acerca de las series de potencias.

 Convergencia: Una serie de potencias ∑ es convergente en un valor especificado de si su sucesión de sumas de parciales { }

∑ . Si el límite no existe en , entonces se dice que

la serie es divergente.

 Intervalo de Convergencia: Toda serie de potencia tiene un intervalo de convergencia. El intervalo de convergencia es el conjunto de números reales para los que converge la serie.

 Radio de convergencia: Toda serie de potencias tiene un radio de convergencia R. Si entonces la serie de potencias ∑ converge para | – | y divergente para | | . Si la serie converge solo en su centro , entonces . Si la serie converge para toda entonces se escribe . Recuerde que la desigualdad de valor absoluto | – | es equivalente a la desigualdad simultánea

. Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos a este intervalo, .

 Convergencia absoluto: Dentro de su intervalo de convergencia, una serie de competencias converge absolutamente. En otras palabras, si es un número en el intervalo de convergencia y no es un extremo del intervalo; entonces la serie de valores absolutos ∑ | | converge.

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| |

Si , la serie converge en forma absoluta, si , la serie diverge. Si

la prueba no es concluyente. Por ejemplo para la serie de potencias

∑ , la prueba de la razón es

|

|= | |

= | |;

la serie converge absolutamente para | | , o | | , o sea

. Este último intervalo se denomina intervalo abierto de

convergencia. La serie diverge para | | , es decir para o . En el extremo izquierdo , del intervalo abierto de convergencia, la serie de constantes ∑ ( )es convergente por la prueba de series alternantes. En el extremo derecho la serie ∑ es la serie

armónica divergente. El intervalo de convergencia de la serie es , y el radio de convergencia es .

 Una serie de potencias define una función: Una serie de potencias define una función ∑ cuyo dominio es el intervalo de convergencia con la serie. Si el radio de convergencia es , entonces es continua, diferenciables e integrable en el intervalo . Además, y la ∫ se encuentran mediante diferenciación e integración termino a término. La convergencia en un extremo se podría perder ya sea por diferenciación o ganar por integración. Si ∑ es una serie de potencias en , entonces las primeras dos derivadas son

∑

y ∑ . Observe que el primer

termino en la primera derivada y los dos primeros términos de la segunda derivada son cero. Se omiten estos términos cero y se escribe.

∑

y ∑ (1)

Estos resultados son importantes y se usan en breve.

 Propiedad de Identidad: Si ∑ , , para los números en el intervalo de convergencia, entonces para todo .

 Analítica en un punto: Una función es analítica en un punto si se puede representar mediante una serie de potencias en con un radio positivo o infinito de convergencia. En cálculo se ve que las funciones como

, etcétera, se pueden representar mediante series

de Taylor. Recuerde, por ejemplo, que:

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Para | | . Estas series de Taylor centradas en 0, llamadas series de Maclaurín, muestran que son analíticas en .

 Aritméticas de series de potencias: Las series de potencias se combinan mediante de operaciones de suma, multiplicación y división. Los procedimientos para la serie de potencias son similares a los que usan para sumar, multiplicar y dividir dos polinomios, es decir, se suman los coeficientes de potencias iguales de x, se usa la ley distributiva y se reúnen términos semejantes y se efectúa la división larga. Por ejemplo, con las series de (2), se tiene:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Puesto que las series de potencias para y convergen para | |

la serie de productos converge en el mismo intervalo. Los problemas

relacionados con multiplicación o división de series de potencias se resuelven más fácil con un sistema algebraico de cómputo.

CAMBIO DEL INDICE DE SUMA: Para el resto de esta sesión, así este capítulo, es importante que se acostumbre a simplificar la suma de dos o más series de potencias, cada una expresada en notación de suma (sigma), en una expresión con una sola ∑ suele requerir una reindizacion, es decir, un cambio en el índice de la suma.

Ejemplo 1: Suma de series de potencias

Escriba ∑ ∑ como una sola serie de potencias.

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∑

∑

∑

⏟

∑

⏟

Se ve que ambas series del lado derecho empiezan con la misma potencia de . Ahora para obtener el mismo índice de suma, se toma como guía los exponentes de , se establece en la primera serie y al mismo tiempo

en la segunda serie. El lado derecho se transforma en

Recuerde que el índice de suma es una variable “FICTICIA” el hecho de que

en un caso y en el otro no debe causar confusión si se tiene en mente que lo importante es el valor del índice de suma en ambos casos tomas los mismos valores . Cuando toma los valores

. Para y . Para Ahora es posible sumar las series de los términos a término:

∑

∑ ∑ ]

7.1.2 SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

Suponga que la ecuación diferencial lineal de segundo orden

₍₅₎

Se escribe en forma estándar

₍₆₎

Al dividir entre el coeficiente . Contamos con la siguiente definición

DEFINICIONES 7.1: Puntos ordinarios y singulares

Se dice que un punto es un punto ordinario de la ecuación diferencial (5) si

como en la forma estándar (6) son analíticas en Un punto que

𝑐 ∑ 𝑘 𝑘 𝑐𝑘 𝑥𝑘

𝑘

∑ 𝑐𝑘 𝑥𝑘 𝑘

Igual

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Cada valor infinito de es un punto ordinario de la ecuación diferencial

_{. En particular, es un punto ordinario porque,}

como ya se vio en (2), tanto como son analíticas en este punto. La negación es el segundo enunciado de la definición 7.1 estipula que si por lo menos una de las funciones y en (6) no es analítica en , entonces es un punto singular. Observe que es un punto singular de la ecuación diferencial y” porque es discontinua en y, por lo tanto, no se puede representar mediante una serie de potencias en .

COEFICIENTES POLINOMIALES Se pone atención sobre todo al caso cuando (5) tiene coeficientes polinomiales. Un polinomio es analítico en cualquier valor de x, y una función racional es analítica excepto en los puntos donde su denominador es cero. Así, si a2(x), a1(x) y a0(x) son polinomios sin factores comunes, entonces ambas funciones racionales P(x) = a1(x)/a2(x) y Q(x) = a0(x)/a2(x) son analíticas excepto donde a2(x) = 0. Se deduce, entonces, que x = x0 es un punto ordinario de (5) si a2(x0) ≠ 0 mientras que x = x0 es un punto singular de (5) si a2(x) = 0. Por ejemplo, los únicos puntos singulares de la ecuación (x-1) y” + 2xy` + 6x =0 son soluciones de x2

- 1 =0 o x = 1. Todo los otros valores de x son puntos ordinales. La inspección de la ecuación de Cauchy- Euler a2y” + bxy’ + cy = 0 muestra que tiene un punto singular en x= 0. Los puntos singulares no necesitan ser números reales. La ecuación (x2+1) y”+ xy – y = 0 tiene puntos singulares en las soluciones x2

+ 1= 0, a saber, x =

Los otros valores de x, reales o complejos, son puntos ordinarios.

El siguiente teorema acerca de la existencia de soluciones en series de potencias se expresa sin demostración.

TEOREMA 7.1: Existencia de soluciones en series de potencias.

Si es un punto ordinario de la ecuación diferencial (5), siempre se pueden determinar dos soluciones linealmente independientes en forma de una serie de potencias centradas en ; esto es ∑ . Una solución en serie converge al menos en un intervalo definido por | | . Donde es la distancia de al punto singular más cercano.

Se dice que una solución de la forma ∑ es una solución

respecto a un punto ordinario x0. La distancia R en el teorema 7.1 es el valor mínimo o límite inferior del radio de convergencia de las soluciones en serie de ecuación deferencial respecto a x0. En el ejemplo siguiente, se usa el hecho de que el plano complejo. La distancia entre dos números complejos a + bi y c + di es justo la distancia entre los puntos (a, b) y (c, d).

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Los números complejos 1 2i son puntos singulares de la ecuación diferencial (x2-2x + 5) y’’+ xy’ - y = 0. Debido a que x = 0 es un punto ordinario de la ecuación. El teorema 6.1 garantiza que es posible hallar dos soluciones que se parecen a ∑ . Sin hallar en realidad estas situaciones, se sabe que cada serie debe converger por lo menos para | | √ porque R = √ es la distancia en el plano complejo desde 0 (el punto 0,0)) a cualquiera de los números 1+ 2i (el punto (1,2)) o 1 – 2i (el punto (1,- 2)). Sin embargo, una de estas soluciones es válida en un intervalo mucho mayor que - √ x √ , de hecho, esta solución es válida en ( ) porque se puede demostrar que una de las dos soluciones en serie de potencias respecto a 0 de reduce a un polinomio. Por lo tanto también se dice que √ es el límite inferior para el radio de convergencia de soluciones en serie de la ecuación diferencial respecto a 0.

Si se busca soluciones de la ED dada respecto a un punto ordinario diferente por ejemplo, x = - 1, entonces cada serie y = ∑ converge por lo

menos para | | √ porque la distancia de -1 a 1 + 2i ó unos -2i R = √ = 2√ .

Nota: En los ejemplos que siguen así como en los ejercicios 7.1, por razones de simplicidad, se determinan soluciones en series de potencias solo respecto al punto ordinario x = 0. Es necesario hallar una solución de serie en potencias de una potencia lineal respecto a un punto ordinario x0 0, simplemente se hace el cambio de variable t = x - x0 en la ecuación de la forma y = la ∑ , y después re sustituimos t = x – x0.

Determinación de una solución en serie de potencias

La determinación real de una solución en series de potencias de una ED lineal homogénea de segundo orden es bastante análoga a lo que se dice en la sección para hallar soluciones particulares de ED no homogéneas mediante el método coeficiente indeterminado. De hecho, el método de series de potencias para resolver una ED lineal con coeficiente variables por lo común se describe como “método de coeficiente indeterminados de series” en resumen, la idea es la siguiente: se sustituye ∑ =

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Ejemplo 2. Solución en serie de potencia

Resuelva

Solución: Puesto que no hay puntos singulares finitos, el teorema 7.1 garantiza dos soluciones en serie centradas en 0, convergentes para | |.

Sustituyendo ∑ y la segunda derivada ∑

(véase(1)) en la ecuacion diferencial, se obtiene.

_{∑ ∑ ∑ ∑}

(7)

En el ejemplo 1 ya se sumaron las dos últimas series en el desarrollo de la igualdad en (7) al cambiar el índice de suma. Del resultado dado en (4).

_∑

]

(8)

En este punto se invoca la propiedad e identidad puesto que (8) es idénticamente cero, es necesario que el coeficiente de cada potencia de x se iguale a cero; es decir

(9)

Ahora obviamente dictada que , pero la exprecion en (9) conocida como relación de recurrencia, determina la de la manera que se puede elegir que cierto subconjunto del conjunto de coeficiente sea no nulo. Puesto que para los valores de k, se pueda resolver (9) para en términos :

Esta relación genera coeficientes consecutivos de la solución estándar uno a la vez cuando k asume los enteros indicados es (10):

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Y así sucesivamente, ahora al sustituir los coeficientes en la suposición original. Se obtiene

Después de agrupar los términos que contienen y los que contienen , se obtiene , donde

∑

∑

Debido a que el uso recursivo (10) deja a C0 y C1 indeterminadas por completo, pueden elegir de modo arbitrario. Como menciono antes de este ejemplo, la combinación lineal representa en realidad la solución general de la ecuación diferencial. Aunque se sabe del teorema 7.1 que cada solución en serie converge | | , este hecho se puede comprobar mediante el criterio de la razón.

La ecuación diferencial del ejemplo 3 se llama ecuación de Airy y se encuentra en el estudio de diferenciación de luz, diferenciación de honda de radio alrededor de la superficie de la tierra, aerodinámica y deflexión de una columna vertical delgada uniforme que se curva bajo su propio peso. Otras formas comunes de la ecuación de Airy son , y .

EJEMPLO 3 Solución en series de potencias

Resuelva

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∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

∑

⏟

∑⏟

∑⏟

∑⏟

∑ ]

∑ ]

De esta identidad se concluye que 2c2 – c0 = 0, 6c3 = 0, y

Así, =

Al sustituir k= 2, 3, 4,… en la última fórmula se obtiene

Y así sucesivamente. Por lo tanto,

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Las soluciones son el polinomio y la serie de potencias

∑ | |

EJEMPLO 4 Relación de recurrencia de tres términos

Si se busca una solución en serie de potencias ∑ para la ecuación

diferencial

Se obtiene y la relación de recurrencia de tres términos

Se deduce de estos dos resultados que los coeficientes para se expresan en términos de y . Para simplificar, se puede elegir primero

esto. Produce coeficiente para una solución expresada por

completo en términos de C0 A continuación, se elige entonces los coeficientes para la otra solución se expresan en términos de c1. Si se usa en ambos casos, la relación de recurrencia para Produce.

[ ]

[ ]

Y así sucesivamente. Por último se ve que la solución general de la ecuación

, donde

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COEFICIENTE NO POLIMONIALES el ejemplo siguiente se ilustra como hallar una solución en serie de potenciales respecto a un punto ordinario de una ecuación diferencial cuando sus coeficientes no son polinomiales en este ejemplo se ve una aplicación de la multiplicación de dos series de potencia.

EJEMPLO 5 ED con coeficiente no polinomiales

Resuelva

SOLUCION se ve que x=0 es un punto ordinario de la ecuación por que, como ya se vio, es analítica en ese punto. Usando la serie de maclaurin dada en (2), junto con la suposición inusual ∑ y el resultado de (1)

encuentra.

∑ ₍

) ∑

( )

( ) ( )

Se deduce que

Y así sucesivamente. Esto da Agrupando los términos se llega a la solución general

donde

y

Debido a que la ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas series de potencias convergen para | | .

Curvas solución:

Las graficas aproximadas de una solución en serie de potencias

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ecuación de Airy del ejemplo 3, se debe ver que y son, a su vez, las soluciones de los problemas de valores iníciales

0,

(11)

Las condiciones iníciales especificadas “seleccionan” las soluciones y

de , puesto que debe ser evidente de la suposición

básica de series ∑ que y . Ahora, si el programa de solución numérica requiere un sistema de ecuaciones, la sustitución en produce y, por consiguiente, un sistema de dos ecuaciones de primer orden equivalente a la ecuación de Airy es

Las condiciones iníciales para el sistema en son los dos conjuntos de condiciones indícales en reescriticas como y

las graficas de y mostrarías en la figura 6.2 se obtuvieron

con la ayuda de un programa de solución numérica. El hecho de que las curvas solución numéricas parezcan oscilatorias es consistente con el hecho de que la ecuación de Airy apareció en ecuaciones de la forma como un modelo de un resorte cuya “constante resorte” se incrementa con el tiempo.

Observaciones

En los problemas que siguen no espere poder escribir una solución términos de la notación de sumatoria de cada caso. Aun cuando se puedan generar tantos términos como se desee en una solución de serie ∑ ya sea por medio de relación de recurrencia o como en el Ejemplo 6, por multiplicación, hay la posibilidad de que no deduzca ningún termino general para los coeficientes es posible que se tenga uno que conformar, como se hiso en los Ejemplos 5 y 6, con los números terminados de la serie.

Un punto es un punto ordinario de una ED lineal no homogénea de segundo orden si y son analíticas en . Además, el Teorema 6.3 se simplifica esta clase de ED, en otras palabras, se puede hallar soluciones en serie de potencias

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TALLER 7.1

SOLUCIONES EN SERIE DE ECUACIONES LINEALES

REPASO DE SERIES DE POTENCIA

En los problemas 1 al 4, determine el radio de convergencia y el intercalo de convergencia para las series de potencias.

1. ∑

2. ∑

3. ∑ 4. ∑

En los problemas 5 y 6 la función dada es analítica en x = 0. Encuentre los primeros cuatro términos de una serie de potencias en x. Efectúe la multiplicación a mano o use un computador, según se instruye.

5.

6.

En los problemas 7 y 8 la función provista es analítica en x = 0. Encuentre los primeros cuatro términos de una serie de potencias en x. Efectúe a mano la división larga o use un computador como se instruye. De un intervalo abierto de convergencia.

7.

8.

En los problemas 9 y 10, escriba la serie de potencias de modo que su término general aparezca xk

9. ∑ ∑

10. ∑ ∑ ∑

En los problemas 11 y 12, compruebe por sustitución directa que la serie de potencias dadas es una solución particular de la ecuación diferencial indicada.

Doc. JULIO ROMERO 12. ∑

SOLUCIONES EN SERIES DE POTENCIAS

En los problemas 13 al 24, encuentre dos series de potencias de la ecuación diferencial dada respecto al punto ordinario x = 0

13. y’’– xy = 0 14. y’’ +x2

y = 0 15. y’’ –2xy’+y = 0 16. y’’ –xy’+2y = 0 17. y’’ +x2 _{y’+xy = 0} 18. y’’ +2xy’+2y = 0 19. (x-1) y’’ + y’ = 0 20. (x+2) y’’ +2 y = 0 21. y’’-(x+1)y’ – y = 0 22. (x2+1) y’’ – 6y = 0

23. (x2 + 2) y’’ + 3xy’ – y = 0 24. (x2 – 1) y’’ + xy’ – y = 0

En los problemas 25 al 28, use el método de series de potencias para resolver el problema de valores iníciales.

25. (x – 1) y’’ – xy’ + y = 0, y (0) = - 2, y’(0) = 6 26. (x – 1) y’’ – (2-x)y’ + y = 0, y (0) = 2, y’(0) 27. y’’ – 2xy’ + 8y = 0, y (0) = 3, y’(0) = 0 28. (x2 + 1) y’’ +2xy’ = 0, y (0) = y’(0) = 1

En los problemas 29 y 30, use el procedimiento del ejemplo 6 para hallar dos soluciones en serie de potencias de ecuación diferencial respecto al punto ordinario x = 0

29. y’’ + (sen x)y = 0 30. y’’ + ex_{y’- y = 0}

Problemas de proyecto y para discusión

31. Sin resolver en su totalidad la ecuación diferencial (cos x) y’’ + y’ + 5y = 0, encuentre una cota inferencial para el radio de convergencia de las soluciones de potencias respecto a x = 0. Respecto a x = 1

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33. Para propósitos de este problema ignore las gráficas de la figura 6.2 Si la ED de Airy se escribe como y’’ = - xy, ¿Qué se puede decir respecto a la forma de una curva solución si x > 0 y y >0? ¿si x > 0 y y >0?

34. Tareas de laboratorio para computadora

a. Determine dos soluciones en una serie de potencias para y’’ + xy’ + y = 0 y exprese las soluciones y1(x) y y2(x) en términos de la notación de suma. b. Use el computador para graficar las sumas parciales SN(x) para y1(x). Use N

= 2, 3, 5, 6, 8, 10. Repita con las sumas parciales SN (x) para y2 (x)

c. Compare las gráficas obtenidas en el inciso (b) con la curva obtenida por medio de un programa de solución numérica. Use las condiciones iníciales y1(0) = 1, y1’(0) = 0 y y2(0) = 0, y2’ (o) = 1

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7.2 SOLUCIONES RESPECTO A PUNTOS

SINGULARES

Un punto singular x0 de una ecuación diferencial lineal

₍₁₎

Se clasifica más bien como regular o irregular. La clasificación de nuevo depende de las funciones P y Q.

₍₂₎

Definición 7.2: Puntos singulares regulares e irregulares

Se dice que un punto singular x0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial (1) si ambas funciones p(x) = (x – x0) P(x) y q(x) = (x – x0)2 Q(x) son analíticas en xo. Un punto singular que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación.

El segundo enunciado en la definición 7.2 indica que si una o las dos funciones p(x) = (x – x0)P(x) y q(x) = x – x0)2Q(x) no son analíticas en x0 es un punto irregular.

COEFICIENTES POLINOMIALES. Como en la Sección anterior, se está interesado sobre todo en ecuaciones lineales (1) donde los coeficientes a2(x), al(x) y ao(x) son polinomios sin factores comunes. Ya se ha visto que si a2(xo) = 0, entonces x = es un punto singular de (1), puesto que por lo menos una de las funciones racionales P(x) = a1(x)/a2(x) y Q(x) = a0(X)/a2(x) en la forma estándar (2) no es analítica en ese punto. Pero como a2(x) es un polinomio y x0 es uno de sus ceros, se deduce del teorema del factor del álgebra que x – x0 es un factor de a2(x). Esto significa que después que a1(x)/a2(x) y a0(x)/a2(x) se reducen a términos mínimos, el factor x – x0 debe permanecer, para alguna potencia entera positiva, en uno o en am denominadores. Ahora suponga que x = x0 es un punto singular de (1) pero ambas funciones definidas por los productos p(x) = (x -xo)P(x) y q(x) = (x – x0)2Q(x) son analíticas en xo. Se llega a la conclusión de que multiplicar P(x) por x –x0 y Q(x) por (x – x0)2 tiene el efecto (por cancelación) de que x - xo ya no aparezca en ninguno de los denominadores. Ahora se puede determinar si xo es regular mediante una comprobación visual rápida de los denominadores: si x - xo aparece a lo sumo, a la primera potencia en el denominador de P(x) y a lo sumo a la segunda pote en el denominador de Q(x), entonces x = xo es un punto singular regular. Además observe que si x = xo es un punto singular regular y se multiplica la

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Ejemplo 1. Clasificación de puntos singulares

Se debe aclarar que x = 2 y x = - 2 son puntos singulares de

Después de dividir la ecuación entre (x2 - 4)2 = (x – 2)2(x + 2)2 y reducir los coeficientes a los términos mínimos, se encuentra que:

Ahora se prueba P(x) y Q(x) en cada punto singular:

Para que x = 2 sea un punto singular regular, el factor x - 2 puede lo sumo a la primera potencia en el denominador de P(x) y a lo sumo a la segunda potencia en el denominador de Q(x). Una comprobación de los denominadores P(x) y Q(x) muestra que ambas condiciones se satisfacen, así que x = 2 es singular regular. De manera alternativa, se llega a la misma conclusión al notar que a ambas funciones racionales

Son analíticas en x = 2

Ahora puesto que el factor x - (- 2) = x + 2 aparece la segunda potencia el denominador de P(x), se concluye.de inmediato que x = - 2 es un punto singular irregular de la ecuación. Esto también se deduce del hecho de que

No es analítica en x = - 2

En el Ejemplo 1, observe que puesto que x = 2 es un punto singular regular la ecuación original se puede escribir como

⏟

⏟

Como otro ejemplo, se puede ver que x = O es punto singular irregular de x3 y’’-2xy’ + 8y = 0 por inspección de los denominadores de P(x) = -2/x2

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P(x) = -2 y Q(x) = 8/x. Para un punto singular x = 0, cualquier potencia no negativa de x - x0 menor que uno (a saber, cero) y cualquier potencia no negativa menor· que dos (a saber, cero y uno) en los denominadores de P(x) y Q(x), respectivamente, indican que x0 es un punto singular irregular. Un punto singular puede ser un número complejo. Se debe comprobar que x = 3i Y que x = - 3i son dos puntos singulares regulares de (x2 + 9)y’’ - 3xy' + (1 - x)y = 0.

Cualquier ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden ax2y’’ + bxy' + cy = 0, a, b y e constantes reales! tiene un punto singular regular en x = O. Se debe com-probar que dos soluciones de la ecuación de Cauchy-Euler x2y’’ + 3xy' + 4y = 0 en el intervalo (0, ∞) son y1 = x2 y y2 = x2 1n x. Si se intenta encontrar una solución en serie de potencias respecto al punto singular regular x = 0 (a saber,

∑ , se tendría éxito en obtener sólo la solución polinomial y1 = x2. El

hecho de que no se obtuviera la segunda solución no es sorprendente porque 1n x (y, en consecuencia, y2 = x2 1n x) no es analítica en x = 0, es decir, y2 no posee un desarrollo en serie de Táylor centrado en x = 0.

MÉTODO DE FROBENIUS Para resolver una ecuación diferencial (1) respecto a un punto singular regular, se emplea el siguiente teorema debido a Frobenius

Teorema 7.1: Teorema de Frobenius

Si es un punto singular regular de la ecuación (1), entonces existe al menos una solución de la forma

∑ ∑

(4)

En donde el número es una constante por determinar. Esta serie converge cuando menos en algún intervalo

Observe que las palabras en por lo menos el primer enunciado del Teorema 7.1. Esto significa que, en contraste con el Teorema 7.1, el Teorema 7.1 no garantiza que sea posible hallar dos soluciones de en serie del tipo indicado en (4). El método de Frobenius, hallar soluciones en serie respecto a un punto singular regular x0, es similar al 2método de coeficientes indeterminados de series” de la sección anterior en la que sustituye ∑

en la

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Como se hizo en el análisis de soluciones respecto a puntos ordinarios, se supondrá siempre por razones de simplicidad al resolver ecuaciones diferenciales que el punto singular es x = 0.

Ejemplo2. Soluciones en forma de dos serie

Debido a que x = 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial

(5)

Se intenta encontrar una solución de la forma ∑ . Ahora

∑

_∑

Por lo tanto,

∑

∑

∑

∑

∑

[

_∑

⏟

∑

⏟

]

[ _∑

]

]

Lo que significa que

y , = 0, 1, 2, …

Como no ganamos nada con escoger , se debe cumplir que:

(6)

, = 0, 1, 2,… (7)

Cuando se sustituye en (7) los dos valores de r que satisfacen la ecuación cuadrática (6), r1 = 2/3 y r2 = 0, se obtienen dos relaciones de recurrencia distintas:

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(9)

De (8) se encuentra De (9) se encuentra

Aquí se encuentra algo que no sucedió cuando se obtuvieron soluciones respecto a un punto ordinario; se tiene lo que parecen ser dos conjuntos de coeficientes diferentes, pero cada conjunto contienen el mismo múltiplo c0. Si se omite esté término, las soluciones en serie son:

⁄ _{[ ∑}

] (10)

[ ∑ ] (11)

Mediante el criterio de la razón se puede demostrar que (10) y (11) convergen para todos los valores finitos de x, es decir, |x| < ∞. Así mismo, debe ser evidente de la forma de estas soluciones que ninguna serie es múltiplo constante de la otra y, por lo tanto, y1(x) y y2(x) son linealmente independientes en todo el eje x. Por consiguiente, por el principio de superposición, y = C1y1(x) + C2y2(X) es otra solución de (5). En cualquier intervalo que no contenga al origen, por ejemplo (0, ∞), esta combinación lineal representa la solución general de la ecuación diferencial.

ECUACIÓN INDICIAL. La ecuación (6) se llama ecuación indicial del problema, y los valores r1 = = 0 se llaman raíces indíciales, o exponentes, de

la singularidad x = 0. En general, después de sustituir ∑ en la

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Es posible obtener la ecuación indicial antes de sustituir ∑ en la ecuación diferencial. Si x = 0 es un punto singular regular de (1), entonces por la definición 6.2 ambas funciones p(x) = xP(x) y q(x) = x2Q(x), donde P y Q se definen mediante la forma estándar (2), son analíticas en x = 0; es decir, los desarrollos en serie de potencias.

P(x) = xP(x) = a0 + a1x + a2x2 + … y q(x) = x2Q(x) = bo + b1x + b2x2 + …

y

(12)

Son válidas en intervalos que tienen un radio de convergencia positivo. Al multiplicar (2) por , se obtiene la formula dada en (3):

_{] ] (13)}

Después de sustituir ∑ y las dos series en las ecuaciones (12) y (13) y llevar a cabo la multiplicación de la serie, se encuentra que la ecuación indicial general es

(14)

Donde y son como se define en (12).

Ejemplo 3. Dos soluciones en serie

Resuelva:

SOLUCIÓN: Al sustituir y ∑ , se obtiene

∑

∑

∑

∑

∑

∑

[

_∑

⏟

∑

⏟

]

[ _∑

Doc. JULIO ROMERO Lo que significa que (15)

y (16)

k = 0, 1, 2, … de (15) se ve que las raíces indiciales son r1 = ½ y r2 = 0

para r1 = , se puede dividir entre

en 16 para obtener

(17)

Mientras que para r2 = 0, la ecuación (16) se transforma en

(18)

De la ecuación (17) se encuentra De la ecuación (18) se encuentra

Así que para la raíz indicial r1 = , se obtiene la solución

⁄ _{[ ∑}

] ∑

Donde de nuevo se omitió . esta serie converge para x ≥ 0; como se proporciona la serie no está definida para valores negativos de debido a la presencia de . Para r2 = 0, una segunda solución es:

∑

| |

Doc. JULIO ROMERO

Ejemplo 4. Resuelva xy’’ + y = 0

SOLUCIÓN De xP(x) = 0, x2Q(x) =x, y el hecho de que o y -x son sus propias series dé potencias centradas en 0, se concluye que ao = 0 y bo = 0 y, por lo tanto, de la ecuación (14) la ecuación indicial es r(r-1) = 0. Se debe comprobar que las dos relaciones de concurrencia correspondientes a las raíces indíciales r1 = 1 y r2 = 0 producen exactamente el mismo conjunto de coeficientes. En otras palabras, en este caso el método de Frobenius produce sólo una solución en serie

∑

TRES CASOS Por razones de análisis, de nuevo se supone que x = 0 es un punto singular regular de la ecuación (1) y que las raíces indíciales r1 y r2 de la singularidad son reales. Al usar el método de Frobenius, se distinguen tres casos que corresponden a la naturaleza de las raíces indíciales r1 y r2. En los dos primeros casos el símbolo r1 denota la más grande de dos raíces distintas, es decir, r1 > r2. En el último caso, r1 = r2.

CASO I: Si r1 y r2 son distintas y la diferencia r1 – r2 no es un entero positivo, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) de la forma

∑

∑

Éste es el caso ilustrado en los Ejemplos 2 y 3.

A continuación.se supone que la diferencia de las raíces es N, donde N es un entero positivo. En este caso le segunda solución podría contener un logaritmo.

CASO II: Si r1 y r2 son distintas y la diferencia r1 - r2 es un entero positivo, entonces existen dos soluciones de la ecuación (1) linealmente independientes de la forma

∑

(19)

∑

(20)

Doc. JULIO ROMERO

Finalmente, en el último caso, el caso cuando r1 = r2 una segunda solución siempre contiene un logaritmo. La situación es análoga a la solución de la ecuación de Cauchy- Euler cuando las raíces de la ecuación auxiliar son iguales.

DETERMINACIÓN DE UNA SEGUNDA SOLUCIÓN. Cuando la diferencia r1 - r2 es un entero positivo (caso II), se podría hallar, o quizá no, dos soluciones de la forma ∑ Esto es algo que no se sabe con anticipación, pero se determina después de haber encontrado las raíces indíciales y haber examinado con detenimiento la relación de recurrencia que definen los coeficientes Cn. Se podría tener la fortuna de hallar dos soluciones en las que interviene sólo potencias de x, es decir, ∑ (ecuación 19) y

∑

(ecuación 20) con C = 0. Véase el problema 31 de los

ejercicios 6.2. Por otro lado, en el ejemplo 4 se ve que la diferencia de las raíces indíciales es un entero positivo (r1 - r2 =1) y el método de Frobenius no permite obtener una segunda solución en serie. En esta situación, la ecuación (2) con C ≠ 0, indica que la segunda solución se parece. Por último, cuando la diferencia r1 - r2 es cero (caso III), el método de Frobenius no da una solución en serie; la segunda solución (22) siempre contiene un logaritmo y se puede demostrar que es equivalente a (20) con c = 1. Una forma de obtener la segunda solución con el término logarítmico es usar el hecho de que

∫ ∫ (21)

CASO III. Si r1 y r2 son iguales, entonces existen dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (1) de la forma:

∑

(22)

∑

(23)

También es una solución de y” + P(x)y’ + Q(x)y = 0, siempre y cuando y1(x) sea una solución conocida.

Ejemplo 5. Obtenga la solución general de

De la solución conocida dada en el ejemplo 4,

Doc. JULIO ROMERO

monótono de elevar al cuadrado una serie, la división larga y la integración del cociente a mano. Sin embargo, todas estas operaciones se llevan a cabo con relativa facilidad por medio de un PC. Los resultados son los siguientes:

∫ ∫

[ ]

[ ]

[ ] después de elevar al cuadrado

[ ] después de la división larga

[ ] después de integrar

[

]

O [ ] después de multiplicar

El intervalo (0, ∞) la solución general es y = C1y1(x) + C2y2(x)

Note que la forma final de y2 en el ejemplo 5 corresponde a (2) con C = 1, serie entre paréntesis corresponde a la suma en (20) con r = 0.

Ejemplo 6: Resolver:

La solución es de la forma

∑

Derivamos a ∑

∑

∑

Reemplazamos

∑

∑

∑

Doc. JULIO ROMERO

Para sumar la serie se necesita que ambos índices de las sumatorias coincidan y que los exponentes de sean iguales.

∑

∑

∑

Necesitamos tener los índices igualados a un mismo valor por lo que Desarrollamos para tener un índice de

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Sacamos factor de factor común a ∑

∑ ]

Sacamos los coeficientes

=0

Ecuación o Relación de recurrencia o relación recursiva que determina las

Obtenemos la ecuación de donde se determinan coeficientes para los cuales la serie de potencias converge hacia una función que satisfaga a

∑

Damos valores a para obtener la serie de potencias

(

)

(

)

Doc. JULIO ROMERO

∑

(

) (

)

Ejemplo 7. Resolver la siguiente ecuaciones diferenciales alrededor del punto x=0.

SOLUCION:

es un punto singular regular, cumple las condiciones establecidas en la

definición. Debe tener por lo menos una solución de la forma

∑ (1)

Para hallar el valor de r aplicamos la ecuación indicial

(2)

Donde

con y , ahora reemplazamos y obtenemos y

.

y

Reemplazando en (2)

Entonces o Se reemplaza en (1)

∑ ; ∑ ; ∑ Sustituyendo en la ecuación diferencial

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

_∑

∑

∑

_∑

∑

Doc. JULIO ROMERO

_∑

∑

_∑

∑

Corremos el índice de conteo en la segunda serie ( )

_∑

∑

_∑

∑

_∑

]

Aquí se deduce , , y para Si , entonces , si si , si n=7 ,

si n=8 ( ) , …… , , , …..

Reemplazando en ∑

∑

Se sabe que Si se cambia a en la expresión anterior se obtiene

Extrayendo factor en

Se obtiene

_[

]

Por lo tanto

Ahora se obtiene la segunda solución a partir de la fórmula

Doc. JULIO ROMERO

∫ ∫

( )

∫

∫

∫

En la integral se hace , , ∫ ∫

∫

, se hace

Se concluye que

OBSERVACIONES

(i) Las tres formas distintas de una ecuación diferencial lineal de segundo orden en (1), (2) y (3) se usaron para analizar varios conceptos teóricos. Pero a nivel práctico, cuando se tiene que resolver una ecuación diferencial con el método de Frobenius, se recomienda trabajar con la forma de la ED dada en (1).

(ii) Cuando la diferencia de las raíces indícales r1 - r2 es un entero positivo (r1 > r2), a veces da resultado iterar la relación de recurrencia usando primero la raíz más pequeña. Véase los problemas 31 y 32 en los ejercicios 6.2.

(iii) Debido a que una raíz indicial r es una solución de una ecuación cuadrática, ésta podría ser compleja. No obstante, este caso no se analiza.

Doc. JULIO ROMERO

TALLER 7.2

SOLUCIONES EN SERIE DE ECUACIONES LINEALES

En los problemas 1 al 10, determine los puntos singulares de la ecuación diferencia. Clasifique cada punto singular como regular o irregular.

1. x3y’’+4x2y’+3y=0 2. x(+3)2 y’’- y=0

3. (x2-9)2 y’’+(x+3)y’+2y=0 4. 5. (x3+4x) y’’ – 2xy’ + 6y =0 6. x2(x-5)2 y’’ + 4xy’ + (x2-25)y=0 7. (x2+x-6) y’’ + (x+3)y’ + (x-2)y =0 8. x(x2+1)2 y’’+y=0

9. x3(x2-25) (x-2)2 y’’ + 3x(x-2)y’ + 7(x+5)y =0 10. (x3 – 2x2 +3x)2 y’’ + x(x-3)2y’ – (x+1)y=0

En los problemas 11 y 12 escriba la ecuación diferencial en la forma (3) para cada punto singular regular de la ecuación. Identifique las funciones p(x) y q(x).

11. (x2 – 1) y’’ + 5(x+1)y’ + (x2-x) y = 0 12. X y’’ + (c+3)y’ + 7x2

y = 0

Los problemas 13 y 14, x = 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial provista. Use la forma general de la ecuación idéntica en (14) para hallar las raíces identifique de la singularidad. Sin resolver, indique el número de soluciones en serie que se esperaría encontrar por medio del método de Frobenius.

13. x2 y’’ + ( ) 14. x y’’ + y’ + 10y = 0

En los problemas 15 al 24, x = 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial. Muestre que las raíces indiciales de la singularidad no difieren por un entero. Use el método de Frobenius para obtener dos soluciones en serie linealmente independientes respecto a x = 0. Forme la solución general en (0, ∞)

Doc. JULIO ROMERO 20. x2 y’’ – xy’ – ( )y = 0

21. 2x y’’ – (3+2x)y’ – y = 0 22. x2 y’’ + xy’ + (x2 - )y = 0

23. 9x2 y’’ + 9x2y’ + 2y = 0 24. 2x2 y’’ + 3xy’ + (2x-1)y = 0

En los problemas del 25 al 30, x = 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial dada. Muestre que las raíces indiciales de la singularidad difieren por un entero. Use el método de Frobenius para obtener al menos una solución en serie respecto a x = 0. Use la ecuación (21) donde sea necesario y un CAS, si se instruye, para hallar una segunda solución. Forme la solución general en (0, ∞).

25. xy” + 2y’ – xy = 0

26. x2y” + xy’ + ( )y = 0 27. xy” – xy’ + y = 0

28. y” + y’ – 2y = 0

29. xy” + (1 – x)y’ – y = 0 30. xy” + y’ + y = 0

En los problemas 31 y 32, x = 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial dada. Muestre que las raíces indiciales de la singularidad difieren por un entero. Use la relación de recurrencia encontrada por el método de Frobenius primero con la raíz más grande r1. ¿Cuántas soluciones encontró? A continuación use la relación de recurrencia con la raíz más pequeña r2. ¿Cuántas soluciones encontró?

31. xy” + (x – 6)y’ – 3y = 0 32. x(x – 1)y” + 3y’ – 2y = 0

33. Resolver:

(a) La ecuación diferencial xy” + y = 0 tiene un punto singular irregular en

x = 0. Muestre que la sustitución t 0 1/x produce la ED , que ahora tiene un punto singular regular en t = 0

(b) Use el método de esta sección para hallar dos soluciones en serie de la segunda ecuación del inciso (a) respecto a un punto singular regular t = 0.

Doc. JULIO ROMERO

MODELO MATEMÁTICO

34. Pandeo de una columna abusada. En el ejemplo 3 de la sección 5.2, se vio que cuando una fuerza comprensiva vertical constante o carga P se aplica a una columna delgada de sección transversal uniforme, la deflexión y(x) fue una solución del problema de valores en la frontera.

La suposición aquí es que la columna está abisagrada en ambos extremos. La columna se pandea sólo cuando la fuerza comprensiva es una carga crítica Pn.

(a) En este problema se supone que la columna es de longitud L, está abisagrada en ambos extremos, tiene secciones transversales circulares y está ahusada como se ilustra en la figura 6.3(a). Si la columna, un cono truncado, tiene un adelgazamiento lineal y = cx, se ilustra en la sección transversal de la figura 6.3 (b), el momento de inercia de una sección transversal con respecto a un eje perpendicular al plano xy es I = (1/4)πr4

, donde r = y y y = cx. Por consiguiente, se puede escribir I(x) = I0(x/b)4, donde I0 = I(b) = (1/4)π(cb)4. Sustituyendo I(x) en la ecuación diferencia en 24, se ve que la deflexión en este caso se determina del PVF

+ y = 0, y(a) = 0, y(b) = 0

Donde  = Pb4/EI0. Use los resultados del problema 33 para hallar las cargas críticas Pn para la columna ahusada. Use una identidad apropiada para expresar los modos de pandeo yn(x) como una sola función.

Doc. JULIO ROMERO

7.3 FUNCIONES ESPECIALES

7.3.1. SOLUCION DE LA ECUACION DE BESSEL



2 2



0

2













y

v

x

y

x

y

x

Esta ecuación se presenta con mucha frecuencia en estudios avanzados de matemáticas aplicadas, física e ingeniería. Para resolver esta ecuación se supondrá que v0. La solución se encontrará con base en series de potencia alrededor de x0, se observa que el origen es un punto singular normal de la ecuación de Bessel.

Definición de puntos ordinarios y singulares: se dice que un punto x_o es un punto ordinario de la ecuación yP(x)yQ(x)y0 si tanto P(x) como

) (x

Q son analíticas en x_o, decimos que una función f es analítica en el punto x_o si puede representarse en series de potencias xx_o con un radio de convergencia positivo. Un punto que no es ordinario se dice que es un punto singular de la ecuación.

Solución de la ecuación de Bessel:



2 2



0

2













y

v

x

y

x

y

x

Ecuación (1)

Se supone una solución de la forma



    0 n r n nx c

y , verificando tenemos







       0 1 n r n n n r x

c

y y









         0 2 1 n r n

n n r n r x

c y

Sustituyendo en la ecuación diferencial de Bessel se tiene:





1











0

0 2 2 0 1 0 2

2

























          n r n n n r n n n r n

n

n

r

n

r

x

x

c

n

r

x

x

v

c

x

c

x





1







0

0 2 2 0 0 1 2 0

2     

  









              n r n n n r n n n r n n n r n

n n r n r x x c n r x x c x x v c x

c





1







0

0 2 0 2 0 0

























             n r n n n r n n n r n n n r n

n

n

r

n

r

x

c

n

r

x

c

x

v

c

x

Doc. JULIO ROMERO





1







0

0 2 0 2 0 0

























             n r n n n r n n n r n n n r n

n

n

r

n

r

x

c

n

r

x

v

c

x

c

x

c

Factorizando:





1







0

0 2 0 2 0 0

























         n n n r n n n r n n n r n n n r

x

c

x

x

c

x

v

x

r

n

c

x

x

r

n

r

n

c

x





1







0

0 2 0 2 0 0

















_

_

_

_

_

_









         n n n r n n n n n n n n n r

x

c

x

x

c

v

x

r

n

c

x

r

n

r

n

c

x













1



0

0

2

0

2

















_

_

_

_

_

_





     n n n r n n n n n n n r

x

c

x

x

c

v

x

r

n

c

x

r

n

r

n

c

x





 





1



0

0

2

0

2

















_

_

_

_

_

_





     n n n r n n n r

x

c

x

x

v

r

n

r

n

r

n

c

x









1

1



0

0

2

0

2

















_

_

_

_

_





     n n n r n n n r

x

c

x

x

v

r

n

r

n

c

x











0

0

2

0

2

















_

_

_





     n n n r n n n r

x

c

x

x

v

r

n

r

n

c

x









0

0

2

0

2

2

_

_

_











_

_





     n n n r n n n r

x

c

x

x

v

r

n

c

x

Desarrollando la sumatoria de la potencia n

x hasta n2 tenemos











0









1















0

0 2 2 2 2 1 2 2 1 0 2 2

0  

     _{ }      





     n n n r n n n r r r x c x x v r n c x x v r c x x v r c x









1













0

0 2 2 2 2 2 2 1 2 2

0  

           





     n n n r n n n r r r x c x x v r n c x x v r c x v r c x Ecuación (2)

A partir de la ecuación (2) vemos que la igualdad se cumple cuando:

Para el primer término:

Doc. JULIO ROMERO Cuando r v la ecuación (2) se nos convierte en:









1













0

0 2 2 2 2 2 2 1 2 2

0  

     _{ }     





     n n n v n n n v v v x c x x v v n c x x v v c x v v c x



1 2





2



0

0

2 2

1 

     _{   }





     n n n n n n v x c x v n n c x v c x

Haciendo cambio de los límites de la sumatoria, es decir

2  n

k De aquí se obtiene que nk2, sustituyendo en la ecuación anterior tenemos:



1 2





2





2



2



0

0

2 2

2

1 

     _{     }





    

  n

n n k o k k v x c x v k k c x v c x

Como las sumatorias tienen igual límite los la recogemos en una sola sumatoria, para esto renombramos a la última sumatoria a nk, quedando la siguiente ecuación:



1 2





2



2 2



0

0

2 2

2

1 

     _{     }





    

  k

k k k o k k v x c x v k k c x v c x



1 2





₂



2



2 2



2 2



0

1 

     _{     }



     o k k k k k v x c x v k k c x v c x



1 2





₂



2



2 2





2 0

1 

     _{ }  _{   }   



k o k k k v x c v k k c x v c x

Esta igualdad se cumple cuando:



1 2



0

1  v 

c De donde se obtiene que c₁ 0



2



2 2



0

2     

 k

k k k v c

c

O bien

_

_

_

v k k c c k k 2 2 2

2 _{  }

 

 Ecuación (3), con k 0,1,2,3

La elección de c₁ 0 en la ecuación (3) implica que c₁ c₃ c₅ c₇ c_2k1 0, por lo que para todo k 0,2,4, 6 se encuentra que después de hacer

n

k22 con n0,1,2,3 se obtiene que:



n v

