PREUNIVERSITARIO BELÉN UC MATEMÁTICAS
GUIA 11: Álgebra y Funciones
Funciones
DEFINICIÓN: Sea A y B subconjuntos (no vacíos) de los números reales ( ). Una función f de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y sólo un elemento y del conjunto B.
Es decir:
f es función ya que cada elemento de A se le asigna un elemento de
B.
f no es función ya que no todos los elementos de A tienen una imagen en B.
f no es función ya que un elemento de A se relaciona con mas de un
elemento de B.
f es función ya que todos los elementos de A se relacionan con los
de B.
-Al conjunto A se le llama dominio de la función f, y al conjunto B se le llama codominio o recorrido.
- y es la imagen de x mediante f, se escribe y=f(x). - x tiene el nombre de pre-imagen.
FUNCIONES MÁS COMUNES Y SUS GRÁFICOS:
1
.- Función Parte Entera:
, con
Dado que todo número Real tiene una parte entera y una parte decimal, por ejemplo 4.45, esta función persigue que al número real 4.45 se le asocie el número real 6 (su parte entera).
En general, dado un número real x, existe un número entero n tal que
, donde la parte entera de x es n, y se expresa por
A la gráfica de esta función se la llama función escalonada.
2.- Función Valor Absoluto:
3.- Función Exponencial: , con
-La gráfica intersecta al eje Y en el punto (0,1) (siempre) -La gráfica nunca corta al eje X
4.- Función Raíz Cuadrada:
Esta función está definida para valores de x reales y NO NEGATIVOS.
Esta función es siempre creciente
.
5.- Función Logarítmica: con
-La gráfica intersecta al eje X en el punto (1,0) -La gráfica no intersecta al eje Y
(Observa que lo anterior es exactamente lo contrario a lo que ocurre con la función exponencial.)
6.- FUNCIÓN LINEAL:
Además de las funciones ya nombradas existen dos que tienen especial importancia, por lo cual las
revisaremos de manera mas detallada: la función lineal y la función cuadrática. Ambas tienen aplicaciones prácticas las cuales nos permiten modelar matemáticamente distintas situaciones.
Para el caso de la función lineal su gráfico siempre estará dado por una recta, de la forma:
Donde m es la pendiente, es decir, el grado de inclinación de la recta (puede ser positivo o negativo) y n es el coeficiente de posición que indica donde la recta corta al eje y.
Veamos un ejemplo:
La compañía de Teléfonos cobra mensualmente un cargo fijo de $5.000.-, además, por cada minuto hablado la empresa cobra al usuario $5.
El valor a cancelar a fin de mes va a depender de cuantos minutos hablé por teléfono, por lo que se dice que la cuenta mensual depende o está en función del tiempo (minutos hablados). En este caso, nuestro conjunto A serían los minutos hablados, y el conjunto B sería el valor a cancelar por los minutos hablados.
Matemáticamente esto se escribe así:
Si yo hablé 1 minuto f(1)=5.005 ($5.000 de cargo fijo más $5 por un minuto hablado) Si yo hablé 2 minuto f(2)=5.010 ($5.000 de cargo fijo más $10 por dos minutos hablados) Si yo hablé 15 minuto f(15)=5.075 ($5.000 de cargo fijo más $75 por diez minutos hablados)
Mide la inclinación de la recta. Exactamente es la tangente del ángulo de inclinación de la recta con el eje X (ver figura). Entonces, el cateto
opuesto pasaría a ser la posición del punto P menos la posición del punto B. El cateto adyacente sería similarmente, la posición del punto P menos la posición del punto A.
6.2- ECUACIÓN PUNTO Y PENDIENTE:
-La ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente m es de la forma:
-La ecuación de la recta que pasa por dos puntos A y B, donde el punto A tiene coordenadas , y el punto B tiene coordenadas es:
6.3- ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA:
La forma general de la ecuación de una recta es: , donde A,B,C son constantes reales y A,B no pueden ser ambos cero.
6.4- DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS:
La expresión para determinar la distancia entre dos puntos es: Donde el punto A tiene coordenadas , y el
punto B tiene coordenadas .
6.5- COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:
Las coordenadas del punto medio del segmento son:
6.6- RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES:
- L1 Y L2 son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales.
- L1 y L2 son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.
Ejercicios: Ecuación de la recta
1. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación 4x – 3y + 2 = 0 ?
A) (5, 6) B) (4, -6) C) (1, -2) D) (-2, -2) E) (3, 4)
2. ¿Por cuál de los siguientes puntos pasa la recta de ecuación 5x – 3y + 1 = 0?
A) (1, -2) B) (3, 5) C) (4, -7) D) (-3, -5) E) (-2, -3)
3. El punto (k-1,k+3) está en la recta de ecuación 2x-y+4=0, entonces k=
A) -5 B) -1 C) 1 D) 2 E) 5
4. Con respecto a las rectas L1, L2 y L3 de la figura adjunta, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La pendiente de L1 es cero. II) La pendiente de L2 es positiva. III) La pendiente de L3 es negativa.
A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
5. La ecuación de la recta que pasa por el punto
(5, 1) y de pendiente - es
A) x + 3y – 16 = 0 B) x + 3y – 8 = 0 C) x + 3y + 2 = 0 D) x – 3y + 8 = 0 E) x + 3y – 2 = 0
6. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2, 4) y B(-7,-12) es
A) 16x – 9y + 4 = 0 B) 16x + 5y + 12 = 0 C) 5x – 16y + 74 = 0 D) 16x – 5y – 74 = 0 E) 16x – 5y + 52 = 0
7. Si la pendiente de una recta es -3 y su
coeficiente de posición es 2, su ecuación general es
A) 3x + y + 2 = 0 B) 3x – y – 2 = 0 C) 3x + y – 2 = 0 D) 3x – y + 2 = 0 E) 2x – y – 3 = 0
8. Según el gráfico de la figura adjunta, la ecuación de la recta L es
A) 2x + 3y = 0 B) 3x + 2y – 6 = 0 C) 3x + 2y – 4 = 0 D) 2x – 3y + 6 = 0 E) 2x + 3y – 6 = 0
9. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s) con respecto a la recta 2y + 3x – 12 = 0?
I) La recta intersecta al eje x en el punto (4, 0). II) La recta intersecta al eje y en el punto (0, 6). III) La pendiente de la recta es negativa.
A) Sólo III B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III
10. ¿Qué valor debe tener k para que la recta (k-1)x + (2k + 1)y – 1 = 0 pase por el punto (2, 1)?
A) 2
B)
C) 0
D)-E) -2
11. ¿Cuál debe ser el valor de k en la ecuación de la recta 4kx + 5y – 1 = 0 para que sea paralela a la recta 3x- 2y + 1 = 0?
A)
B)
C)
D)
E)
-12. ¿Qué valor debe tener k para que las rectas (3 – k)x + 2y – 5 = 0 y -4x + y – 7 = 0 sean
A) 11
B)
C)
D)
E) -5
13. Se puede determinar la ecuación de una recta si:
(1) Se conoce la pendiente y el punto donde la recta corta al eje y.
(2) Se conoce la distancia entre dos puntos de ella.
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
14. Las rectas L1 y L2 son perpendiculares si:
(1) L1: y = -3x + 2 L2: 3y = x – 15 (2)
A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional
15. Si los vértices de un triángulo son los puntos (1, 2), (1, 10), (4, 6), su perímetro es
A) 24 B) 18 C) 12 D) 10 + 2 E) 12 + 2
16. Sean los puntos A(-3,5) y B(7,7), ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I. El punto medio de AB es (2,6) II. La pendiente de AB es 1/2 III. La distancia entre A y B es A) Sólo I
B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III
17. Un estacionamiento público cuesta $750 la primera hora y por cada hora o fracción debe
pagar $700. ¿Cuánto tiempo podrá permanecer un vehículo en ese estacionamiento si se dispone de un máximo de $2000?
A) 1 hr. y 15 min. B) 1 hr. y 30 min. C) 2 hrs.
D) 2 hrs . y 30 min. E) 3 hrs.
18. La ecuación 3d+5t=30 representa la distancia “d”, en metros, y el tiempo “t” en minutos, del viaje de una hormiga. ¿Cuánto tiempo empleas en llegar a 6 metros del punto de partida?
A) 3 min. B) 2.5 min. C) 2.4 min. D) 2 min. E) 7 min.
19. Dos empresas, A y B ofrecen las siguientes ofertas de conexión a Internet Wi-Fi:
A: $9000 por 40 horas + $900 por hora adicional. B: $10.500 por 40 horas + &600 por cada hora adicional.
¿Al cabo de cuántas horas daría lo mismo usar cualquiera de las dos ofertas?
A) 5 B) 45 C) 50 D) 55 E) 60
20. El cargo fijo de una cuenta por consumo de agua es de $590. Si el metro cúbico de agua potable vale $250 y por el uso de alcantarillado se cobra $70 por cada metro cúbico, ¿cuál fue el consumo en metros cúbicos sabiendo que se canceló una cuenta de $6.990?
A) 18 B) C) 21 D) 25 E) 30
21. En un plan de telefonía celular se pagan $26.000 por hablar 100 minutos y $40.000 por hablar 200 minutos. Si estas variables se relacionan de manera lineal, ¿cuánto se pagaría por hablar 500 minutos?
A) $72.000 B) $82.000 C) $92.000 D) $100.000 E) $130.000
22. El gráfico de la figura muestra la equivalencia de cambio entre dólares y pesos. ¿A cuántos pesos corresponden 8 dólares y medio? A) $5.950
B) $6.400 C) $5.600 D) $5.100
23. Una industria contrata un servicio mensual de transporte, el cual aplica el siguiente gráfico en el cobro de tarifas, según los kilómetros recorridos.
¿Cuánto debe pagar la industria al término de mes si el promedio de kilómetros recorridos en los primeros 20 días del mes fue de 20 Km. y en los 10 días siguientes fue de 15 Km.?
A) $60.000 B) $100.000 C) $120.000 D) $140.000 E) $160.000
24. La función transforma temperaturas en grados Celsius (x) al número de grados correspondientes
en la escala Fahrenheit. ¿A cuántos grados Fahrenheit corresponden 35 grados Celsius? A) 18.3
B) 33.8 C) 77 D) 95 E) 1183
25. Una compañía de telefonía celular cobra X pesos por los primeros 3 minutos de una llamada y 70 pesos por cada minuto adicional o fracción de minuto adicional. Si el costo de una llamada de 20 minutos es de $1.330, ¿cuál es el valor de X?
26. ¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la recta de la ecuación x – 1 = 0?
A) B) C) D) E)
27. ¿Cuál de los siguientes gráficos podría representar a la recta y = 5x – 2?
A) B) C) D) E)
28. ¿Cuál de los siguientes gráficos muestra una recta de pendiente positiva?
