Parámetros de Líneas de Transmisión

(1)

Capitulo 4

Ing. Civil Eléctrico (C) Juan Pablo Espinoza González

Parámetros

De Líneas De

Transmisión

Descripción Física

Estructuras alternativas

Tipos de aisladores

Definición grafica de los parámetros de línea

Separación típica entre fases

Tensión KV 15 23 66 110 154 220 500 Separación fases (m) 1 a 1,4 1,4 a 1,6 2 a 3 3 a 5 4,5 a 6 5,0 a 7,5 12 a 14 Altura torre (m) 12 a 13 12 a 13 13 a 18 15 a 21 18 a 24 21 a 30 30 a 38 Numero aisladores 1 1 a 2 4 a 6 7 a 10 8 a 11 11 a 20 20 a 38 Aislador de suspensión Aislador de apoyo

 Efecto por campo magnético  Efecto por campo eléctrico  Efecto por pérdidas en calor en

conductores

 Efecto por pérdidas de corrientes de fuga por los aislantes

(2)

Capitulo 4

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Equivalente por fase de una Línea con Parámetros Distribuidos.

Unidades de medida de los conductores

1 CM: área de un conductor cuyo diámetro es igual a 1 Mil

Calibres AWG (American Wire Gage)

Secciones y diámetros de conductores

4.1-

Resistencia Serie

( ₎

La razón entre diámetros consecutivos se mantiene constante ̇ (Mil circular mil)

̇ ( )

Nº AWG Diámetro Mils

4/0 460/1 = 460 3/0 460/K 2/0 460/k2 1/0 460/k3 1 460/k4 2 460/k5 3 460/k6 --- --- 36 460/k39 = 5

Calibre AWG Sección en CM Sección en mm2 _{Diámetro en mm.}

Calculado Tablas 4/0 211.600 107,2 11,68 13,30 3/0 167.860 85,1 10,41 11,80 2/0 133.100 67,4 9,27 10,50 1/0 105.500 53,5 8,25 9,40 1 83.690 42,4 7,35 8,34 2 66.370 33,6 6,54 6,54 3 52.630 26,7 5,83 5,83 4 41.740 21,1 5,19 5,19 5 33.100 16,8 4,62 4,62 6 26.250 13,3 4,12 4,11 7 20.820 10,5 3,66 3,66 8 16.510 8,4 3,26 3,26

(3)

Como la línea esta formada por conductores físicos, tienen una resistencia eléctrica que es la principal causante de las perdidas de energía que se manifiesta en forma de calor.

Resistencia Óhmica (de d.c.)

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Algunas características de conductores

Tipo de conductores:

Resistencia Efectiva (de c.a.)

Unidades de medida:

Resistividad del conductor a una temperatura “T” en ºC

La resistividad de un conductor varia linealmente con respecto a la temperatura entre 0 y 100 ºC

Coeficiente de temperatura relativa a 0º Este coeficiente depende del material y de la temperatura de referencia. Es positivo para los metales y negativo para los aislantes y aproximadamente cero para algunas aleaciones

( )

Resistencia del conductor a una temperatura “T1” en ºC

( )

Resistencia del conductor a una temperatura “T2” en ºC

Relación de la resistencia de un conductor a una temperatura “T1” y “T2”

Resistividad del conductor a una temperatura “T1” en ºC

Resistividad del conductor a una temperatura “T2” en ºC

( ( ))

Relación de la resistividad de un conductor a una temperatura “T1” y “T2”

( ( ))

Relación de la resistencia de un conductor a una temperatura “T1” y “T2”

Conductor macizo

Conductor de 3 hilos Conductor de 7 hilos

 La densidad de corriente solamente es uniforme en el caso que el conductor este recorrido por C.C.

 El efecto superficial, skin, piel o kelvin se produce en el caso de corriente alterna a mayor frecuencia, la densidad de corriente se incrementa en la superficie, disminuyendo en la zona central del conductor, Esto trae consigo una disminución de la superficie útil del conductor y por tanto un aumento de la resistencia. Para este caso se mide la potencia perdida en el conductor y la corriente que circula por el tal que:

 El efecto de Proximidad es la tendencia de la corriente de viajar en otros patrones no deseables - vueltas o distribuciones concentradas, debido a la presencia de campos magnéticos generados por conductores cercanos.

Los conductores cableados, aunque tengan igual sección y longitud que uno macizo, presentan una mayor resistencia debido a que las hebras componentes van trenzadas, por lo que su longitud es mayor que la del cable mismo. En general, para representar este efecto, se suele considerar un incremento porcentual de la longitud y por ende de la resistencia, como el señalado:

 Para conductores de 3 hilos: aumento de 1%  Para conductores de 7 hilos: aumento de 2%

 Para conductores de más de 11 hebras aumento de 3%

( ) ( ) Ks: Efecto Skin Kp: Efecto proximidad Conductor % [/mm2/m] [ /m/mm2_] _ 0 a 0ºC 1 a 20ºC Cobre recocido 100% 0,017241 0,00427 0,003934

Cobre duro, estirado en frio 97% 0,01772 0,00414 0,003823

Aluminio duro, estirado en frio 62% 0,02781 0,00438 0,004027

(4)

Resistencia Serie de Líneas Trifásicas

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4.2-

Conductancia Shunt

4.3-

Reactancia Serie

Enlace de flujo

Enlace de flujo de un conductor que transporta una corriente i

∑

Es la cantidad de flujo magnético que atraviesa una superficie de trayectoria C

∫ ⃑⃑ ( ) ⃑⃑⃑⃑ ∑ ( ) ∮ ⃑⃑ ( ) ⃑⃑⃑ ∫ ⃑⃑⃑⃑ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ∫ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ( )

 Las líneas de flujo magnético externas al conductor, enlazan completamente la corriente que transporta.

 En cambio, las líneas de flujo internas al conductor, enlazan porciones variables de la corriente que transporta.

Suposiciones:

 Conductores suficientemente largos, Macizos y cilíndricos  Conductores no magnéticos  = 0

 Densidad de corriente uniforme  No se considera retorno por tierra

 Se considerará un conductor macizo, circular, de radio “a”, muy largo (infinito), con densidad de corriente uniforme y no magnético.

 Simetría cilíndrica: el vector campo magnético en un punto de un plano de simetría para las corrientes es normal al plano y al mismo tiempo es antisimétrico.

Este parámetro representa las corrientes de fuga que circulan a través de los aislantes hacia tierra, generalmente se desprecia.

Caso II: Línea doble circuito con conductores en

Haz

RTabla se obtiene de las tablas de conductores donde aparecen

columnas de resistencias de distinto calibre a 25ºC y 50ºC, ambas columnas a 50HZ donde ya están en las unidades de

/km, y h es la cantidad de conductores por cada fase (Haz de conductores)

Caso I: Simple circuito con conductores en Haz

RTabla se obtiene de las tablas de conductores donde aparecen

columnas de resistencias de distinto calibre a 25ºC y 50ºC, ambas columnas a 50HZ donde ya están en las unidades de /km, y h es la cantidad de conductores por cada fase (Haz de conductores)

(5)

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Enlace de flujo del conductor “a” en presencia de un conductor vecino “b”

( ) ( )

Punto dentro del conductor r<a Punto fuera del conductor r>a

∫ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ( ) ∫ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ∫ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ∫ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) Contribución interna ∫ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ∫ ( ) ( ) Contribución externa ( ) ( ) Finalmente: ( )

Usualmente se escribe en la forma compacta:

∫ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ( ) ∫ ( ⃑⃑ ⃑⃑ ) ⃑⃑⃑⃑ ∫ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ( ) ∫ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ( ) ( )

Se asume medio lineal, por lo tanto, se puede aplicar la superposición de los enlaces.

∫ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ( )

( )

 Enlace de flujo del conductor “a” debido a su propia corriente “ia” considerando nula la corriente “ib”

 Enlace de flujo del conductor “a” debido a la corriente “ib” considerando nula la corriente “ia”.

∫ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

Se supone que: dab >> a, b; por lo que resulta una buena aproximación, considerar el conductor “a” filamentario

El enlace total será:

( ) ( )

Considerando que no hay retorno por tierra:

Para considerar todo el enlace de flujo, se extiende la superficie S hacia el infinito Por lo tanto:

(6)

Enlace de Flujo de un conductor en un sistema multiconductor

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Inductancia de Líneas Trifásicas

∑ ∑ ∑

Enlace de flujo del conductor k en un sistema multiconductor

Enlace de flujo para el conductor k

̅ ̅ [ ] [ ] [ ]

Donde se definen las inductancias aparentes:

Cada una de las fases está formada por: na, nb y nc subconductores, respectivamente. La corriente por subconductor dependiendo de la fase

será (aproximadamente): ia/ na, ib/ nb, ic/ nc (∑ ∑ ∑ ) ( √∏ √∏ √∏ )

Cada subconductor k de la fase (a) estará enlazado por un flujo magnético ak

∑ ∑ ( )

El enlace de flujo total del conductor (a)

Sólo la fracción 1/na de la corriente ia total del conductor (a)

es enlazada por el flujo ak; así el enlace de flujo (de la

corriente

i

ak) del subconductor ak es:

√∏ ∏ √∏ ∏ √∏ ∏

:

Media geométrica de las distancias entre los conductores de la fase

(a). Se conoce como el radio medio geométrico de la fase (a) (RMGa)

: Radio medio geométrico del conductor ak

Media geométrica de las distancias entre los conductores de las fases a

y b. Se conoce como distancia media geométrica entre las fases a y b. (DMGab)

(7)

Líneas Trifásicas Simétricas

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Líneas Trifásicas Asimétricas

Líneas Trifásicas Asimétricas Transpuesta

̅ ̅ [ ] [ ] [ ]

La línea trifásica con na, nb y nc y conductores en cada una de sus fases, respectivamente, se ha transformado a una línea trifásica equivalente

con un conductor por fase.

Unidades de medida: ( ) La reactancia serie:

Las inductancias mutuas son cero y las propias son:

La inductancia por fase:

( ) ( )

Enlace de flujo del conductor “a”

( ) ( ) ( ) ( )

No es posible obtener una inductancia por fase, debido a que las inductancias mutuas son diferentes. Por lo tanto, la línea en este caso, es un elemento no simétrico. Para que la línea sea un elemento simétrico, hay que transponerla.

La transposición consiste en intercambiar cíclicamente las posiciones físicas de las fases, de modo que cada fase ocupe todos los lugares posibles en todo el recorrido de la línea. Con la transposición se logra que cada fase tenga una misma inductancia promedio.

(8)

Caso 1: Simple circuito

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Caso 2: Simple circuito conductores en Haz

( )

El enlace de flujo promedio de los conductores de las fases (a), (b), (c)

Esta expresión, se puede aplicar a cualquier línea trifásica, ya sea de un circuito (circuito simple) o doble circuito, con o sin conductores en haz.

( ) ( ) (√ )

Las distancias entre los subconductores de un haz son pequeñas comparadas con las distancias entre los haces. Los tres haces son iguales

Las inductancias mutuas son cero y las propias son:

Cada fase está integrada por dos o más subconductores formando un haz, todos de igual radio y separados entre sí por distancias muy pequeñas (30 a 40 cms). Esta configuración se utiliza en líneas de EAV.

Se reduce la intensidad del campo eléctrico en las superficies de los conductores, lo cual a su vez, reduce o elimina el efecto corona y sus resultados: Pérdida de potencia, interferencia en las comunicaciones y ruido audible. Se reduce la reactancia serie de la línea al incrementar el RMG de las fases.

 (se obtiene de tablas)



√

√ √

En general:

Donde r` se obtiene de tablas Reactancia Serie

√

Donde:

Donde r` se obtiene de tablas

Si los 3 conductores son idénticos:

( ) ( ) √ √ √

De manera idéntica se resuelve para los enlaces de flujos de las restantes fases de manera que:

Y las inductancias mutuas quedan cero

(9)

Caso 3: Línea doble circuito

Enlace de flujo del el conductor “a1” del circuito 1

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En función de las distancias del primer tramo:



Reactancia Serie

Se calculara el flujo promedio enlazado de conductor a1 y del conductor a2 en los tres tramos, para luego calcular el flujo promedio entre estas dos líneas paralelas y así obtener el parámetro La, desarrollo idéntico para las restantes fases. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))

El enlace de flujo promedio del conductor a1

( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(10)

Enlace de flujo del conductor “a2” del circuito 2

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El enlace de flujo promedio del conductor a (a1 con a2)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))

El enlace de flujo promedio del conductor a1

( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( )) ( ( √√( ) √√( ) )₎ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(11)

Finalmente:

Caso 4: Línea doble circuito con conductores en haz

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Calculo RMG (r`) de los Conductores

1- Mediante Uso de Tablas

√ √

√

Los RMG para las distintas fases son:

Donde:

√

Las DMG entre las fases son:

Donde: ( )

( )

La reactancia inductiva por conductor será: Donde D y r` se deben expresar en la misma unidad

Si r` esta en metros, Xa, se llama reactancia inductiva a 1 metro de separación Sistema métrico de unidades.

A 1 metro de separación a 50Hz

√

Para conductores en haz:

h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h

distancias entre los haz.

r` se obtiene de tablas

 Por generalidad supóngase que cada uno de los circuitos paralelos está compuesto por conductores en haz.  Todos Los haces son iguales

 La distancia entre dos conductores que pertenecen a haces diferentes, es aproximadamente igual a la distancia entre los centros de dichos haces.

 Su proceso de solución es idéntico al caso anterior solo que se reemplaza r` por su correspondiente RMG Unidades de medida:

 ( ) ( ) (√ ) Reactancia Serie

√

Las DMG entre las fases son:

Donde:

√

Los RMG para las distintas fases son:

Donde:

La inductancia por fase: Reactancia Serie

Las inductancias mutuas son cero y las propias son:

(12)

Tablas de conductores

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Características de conductores de aluminio reforzado con acero (ACSR) Denomi- nación comercial Secció n de alumin io MCM Nº de hebras (1) Diáme tro total mm Peso Kg/Km Resist. a la rotura Ton. Cap. térmic a aprox. (2) Amp. Resistencia, / Km Componentes de conductor (50 Hz) 25º C 50º C xa (3)

/ km

' a x (3) M ·km cc 50 Hz 50 Hz Chukar Falkon Parrot Plover 1780 1590 1510.5 1431 84/19 54/19 54/19 54/19 40.7 39.2 38.2 37.2 3086 3028 2877 2725 24.31 25.45 24.18 22.86 1440 1350 1310 1260 0.0324 0.0365 0.0384 0.0405 0.0326 0.0367 0.0386 0.0407 x 0.2587 0.2605 0.2623 0.2636 0.2229 0.2250 0.2263 0.2281 Martin Pheasant Grackle Finch 1351.5 1272 1192.5 1113 54/19 54/19 54/19 54/19 36.2 35.4 34.0 32.8 2574 2422 2271 2110 21.60 20.32 19.55 18.24 1220 1170 1120 1070 0.0429 0.0456 0.0487 0.0521 0.0431 0.0458 0.0488 0.0523 0.0492 0.0522 0.0556 0.0595 0.2654 0.2673 0.2698 0.2716 0.2296 0.2313 0.2333 0.2352 Curlew Cardinal Canary Crane 1033.5 954 900 874.5 54/7 54/7 54/7 54/7 31.7 30.4 29.5 29.1 1979 1826 1723 1674 16.85 15.54 14.65 14.25 1020 990 960 940 0.0561 0.0608 0.0646 0.0665 0.0564 0.0610 0.0646 0.0665 0.0637 0.0695 0.0730 0.0757 0.2741 0.2766 0.2785 0.2791 0.2373 0.2396 0.2412 0.2421 Condor Drake Mallard Crow 795 795 795 715.5 54/7 26/7 30/19 54/7 27.8 28.1 29.0 26.3 1522 1624 1833 1370 12.95 14.18 17.44 11.95 880 890 880 820 0.0727 0.0727 0.0727 0.0814 0.0733 0.0727 0.0727 0.0814 0.0844 0.0800 0.0800 0.0915 0.2822 0.2810 0.2779 0.2853 0.2448 0.2439 0.2423 0.2477 Starling Redwing Gull Flamingo 715.5 715.5 666.6 666.6 26/7 30/19 54/7 24/7 26.7 27.4 25.4 25.4 1462 1648 1276 1277 12.75 15.69 11.14 10.77 830 820 790 790 0.0814 0.0814 0.0870 0.0870 0.0814 0.0814 0.0876 0.0876 0.0896 0.0896 0.0989 0.0989 0.2841 0.2816 0.2878 0.2882 0.2470 0.2454 0.2499 0.2500 Goose Grosbeak Egret Rook 636 636 636 636 54/7 26/7 30/19 24/7 24.8 25.2 25.9 24.8 1218 1299 1466 1219 10.73 11.34 14.33 10.27 760 770 760 760 0.0913 0.0913 0.0913 0.0913 0.0920 0.0913 0.0913 0.0913 0.1043 0.1005 0.1005 0.1005 0.2890 0.2884 0.2853 0.2897 0.2512 0.2504 0.2487 0.2514 Duck Teal Squab Peacock 605 605 605 605 54/7 30/19 26/7 24/7 24.2 25.2 24.5 24.2 1158 1397 1268 1159 10.21 13.63 10.95 9.80 730 730 740 740 0.0957 0.0960 0.0957 0.0957 0.0963 0.0965 0.0957 0.0963 0.1091 0.1075 0.1069 0.1075 0.2909 0.2871 0.2897 0.2912 0.2526 0.2500 0.2518 0.2527 Dove Eagle Parakeet Heron 556.5 556.5 556.5 500 26/7 30/7 24/7 30/7 23.6 24.2 23.2 23.0 1137 1293 1067 1162 10.19 12.36 9.00 11.09 700 700 700 680 0.1044 0.1044 0.1044 0.1162 0.1044 0.1044 0.1051 0.1162 0.1115 0.1115 0.1120 0.1280 0.2921 0.2897 0.2937 0.2928 0.2541 0.2526 0.2550 0.2556 Hawk Hen Flicker Ibis 477 477 477 397.5 26/7 30/7 24/7 26/7 21.8 22.4 21.5 19.9 975 1108 914 812 8.82 10.59 7.80 7.34 640 630 630 560 0.1218 0.1218 0.1218 0.1460 0.1218 0.1218 0.1218 0.1460 0.1342 0.1342 0.1342 0.1609 0.2971 0.2940 0.2987 0.3027 0.2585 0.2570 0.2595 0.2637 Lark Linnet Oriole Ostrich 397.5 336.4 336.4 300 30/7 26/7 30/7 26/7 20.4 18.3 18.8 17.3 923 687 782 613 9.06 6.38 7.74 5.73 560 510 510 470 0.1460 0.1727 0.1727 0.1932 0.1460 0.1727 0.1727 0.1932 0.1609 0.1901 0.1901 0.2125 0.2996 0.3083 0.3052 0.3120 0.2620 0.2684 0.2670 0.2718 Piper Partridge Penguin Pigeon 300 266.8 211.6 167.8 30/7 26/7 6/1 6/1 17.8 16.3 14.3 12.7 697 545 433 343 7.00 5.10 3.82 3.03 480 440 360 315 0.1932 0.2175 0.2745 0.346 0.1932 0.2175 0.2745 0.3465 0.2125 0.2392 0.3015 0.3805 0.3089 0.3151 0.3755 0.3959 0.2703 0.2751 0.2828 0.2893 Quail Raven Robin Sparrow 133.1 105.5 83.7 66.4 6/1 6/1 6/1 6/1 11.3 10.1 9.0 8.0 272 216 171 136 2.43 1.94 1.59 1.27 270 235 205 180 0.437 0.550 0.696 0.855 0.4375 0.550 0.696 0.855 0.480 0.605 0.765 0.940 0.4064 0.4145 0.4189 0.4190 0.2959 0.3026 0.3090 0.3160 (1): hebras aluminio/hebras acero

(2): Para conductores a 80º C; ambiente de 40º C; suave brisa de 2.2 km/h (2 ft/s) (3): Calculadas a un metro de separación

Características de conductores de aluminio ( 62%)

Denomi- nación comercial Sección de aluminio MCM Nº de hebras Diámet ro total mm Peso Kg/Km Resist. a la rotura Ton. Cap. térmic a aprox. (1) Amp. Resistencia, / Km Componentes de conductor (50 Hz) 25º C 50º C xa (2)

/ km

' a x (2) M ·km cc 50 Hz 50 Hz Jessamine Coreopsis Gladiolus Carnation 1750 1590 1510.5 1431 61 61 61 61 38.7 36.9 36.0 35.0 2446 2226 2116 2005 14.90 13.59 12.91 12.23 1550 1460 1410 1370 0.0326 0.0359 0.0378 0.0399 0.0346 0.0381 0.0399 0.0419 0.0378 0.0415 0.0435 0.0457 0.2618 0.2673 0.2702 0.2704 0.2260 0.2285 0.2298 0.2313 Columbine Narcissus Hawthorn Marigold 1351.5 1272 1192.5 1113 61 61 61 61 34.0 33.0 32.0 30.9 1893 1781 1670 1560 11.80 11.09 10.62 9.91 1320 1270 1220 1160 0.0423 0.0449 0.0479 0.0513 0.0442 0.0467 0.0496 0.0529 0.0482 0.0510 0.0542 0.0578 0.2725 0.2740 0.2762 0.2782 0.2331 0.2348 0.2367 0.2387 Larkspur Bluebell 1033.5 1033.5 61 37 29.8 29.8 1445 1445 8.28 8.84 1130 1130 0.0553 0.0533 0.0568 0.0568 0.0621 0.0621 0.2808 0.2813 0.2408 0.2408

(13)

Mediante Definición del RMG

Suponer Conductor Cilíndrico Macizo

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4.4-

Susceptancia Shunt

√∏ ∏

 Esta expresión se aplica a conductores homogéneos

 Para conductores ACSR, resulta una buena aproximación al ignorar las hebras de acero.  En general, el cálculo resulta tedioso.

Esta aproximación es tanto mejor cuanto mayor es el número de hebras del conductor

r: radio del conductor cableado

 Este parámetro representa el efecto del campo eléctrico que rodea a los conductores.

 La fuente de este campo eléctrico es la carga eléctrica que se deposita en la superficie de los conductores.

( ) ( )

 Al aplicar una diferencia de potencial instantánea a dos conductores separados por una cierta distancia, éstos adquieren una carga +q (t) y -q (t). El valor absoluto de la carga dependerá de la diferencia de potencial v(t) y una constante de proporcionalidad “C”, tal que:

(14)

Ley de Gauss

Concepto de capacidades parciales

Cálculo de Capacidades de Líneas sin Considerar el Efecto de Tierra

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El concepto de capacidades parciales se puede apreciar en la figura siguiente:

Esto implica considerar nulos C10 y C20 en la figura anterior. Es decir, se supone que los conductores están ubicados en un medio dieléctrico de extensión infinita, por tanto se calculará el potencial en un punto “p” debido a la presencia de “n” conductores cargados en su espacio cercano en relación a un origen arbitrario “O” y que además, son cilíndricos.

∑ ( ) ∫ ⃑ ⃑⃑⃑ ( ) ∫ ⃑ ⃑⃑⃑ ( ) ∫ ⃑ ⃑⃑⃑ ( ) ∫ ⃑ ⃑⃑⃑ ∑

Si se asume que no hay otros conductores cargados en las cercanías, se tiene:

Con εo= 8,85 * 10- 12_{[F/m]: constante de permitividad del vacío}

Asimismo, la presencia de los restantes conductores hará que:

Finalmente, la diferencia de potencial entre los puntos “p” y “O”, debido a la presencia de los “n” conductores cargados ubicados en ese espacio será:

En este caso aparecen tres capacidades parciales: Entre los conductores y entre cada uno de ellos y tierra. Estas son:

[∑ ] [∑ ] [∑ ] [∑ ]

Esta expresión se puede reescribir como:

Se aprecia que el segundo término es constante para una elección fija del punto “O”, por tanto:

Si se considera que el potencial del punto “p” está referido al “O” y que la constante se eliminará en cada cálculo de diferencia de potencialmente conductores, se tiene, finalmente: ∮ ⃑ ⃑⃑⃑⃑ ⃑ ( ) ⃑⃑⃑ ⃑⃑ ( ) ( ( )) ( ) ̂ ̂ ̂ ⃑ ̂ ̂ ̂ ⃑⃑ ⃑⃑⃑⃑⃑ ( ( )) ⃑⃑⃑⃑⃑ ∫ ⃑ ⃑⃑⃑⃑ ∫ ⃑ ⃑⃑⃑⃑

(15)

Línea Monofásica

Línea Trifásica de Disposición Equilátera

 (Corresponde al radio total del conductor y

se obtiene de tablas) 

El potencial en el punto “p”, será:

( ) ( ) _√ √

Trasladando el punto “p” a la superficie de cada uno de los conductores a y b y considerando que qa + qb= 0:

Nótese que se ha considerado que como D >>

r

i; se tiene D- ra ≈ D –

rb ≈ D. Entonces:

Así la capacidad de la línea será:

Si ra = rb = r, se puede escribir:

La Susceptancia capacitiva total de la línea será:  Recuérdese que εo es la permitividad del vacío, de valor

8,85 x10 -12 [Coulomb/volt] en el Sistema MKS.

 En el caso de conductores cableados “r” corresponde al radio exterior. Normalmente se expresa el valor

 de la capacidad por conductor, por lo que en (2.89), se ha determinado la capacidad total de la línea.

 Empleando el concepto de capacidades parciales, se puede representar como:

En que el punto “n”, es un punto de potencial cero y corresponde a la mitad de la distancia que separa a ambos conductores. Se tiene:

 (Corresponde al radio total del

conductor y se obtiene de tablas)  [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) Se cumple que D12 = D13 = D23 = Ds; ra = rb = rc = r; qa + qb + qc = 0

Trasladando el punto “p” a la superficie de cada conductor y considerando que D >> r.

Análogamente el potencial para los conductores 2 y 3, será:

Así la capacidad de la línea será:

La Susceptancia capacitiva total de la línea será: Esta capacidad corresponde a cada fase (conductor) con

respecto a un punto de potencial cero, que en este caso, por la disposición de la línea está ubicado en el centro del triángulo equilátero, como se muestra en la figura siguiente.

(16)

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Línea Trifásica con Transposiciones

Línea Trifásica simple circuito con Transposiciones con conductores de fase en haz

1 conductor por Fase

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Llevando el punto P hacia las superficies de cada conductor en cada ecuación respectivamente se tiene:

Este juego de ecuaciones se puede aplicar a cada tramo del ciclo de transposiciones. Sin embargo, se debe considerar que si se asume que la tensión permanece contante, el valor de las cargas debe variar dada la diferente posición que tienen los conductores en cada tramo. Si se asume que lo que permanece constante son las cargas, variará el potencial. Esta última suposición es la que se hará y en ese caso el potencial del conductor “1” en cada tramo será:

 (Corresponde al radio total

del conductor y se obtiene de tablas)  [ ] [ ] [ ] √ [ _]

La tensión promedio en todo el ciclo de transposiciones será:

Distancia Media geométrica:

r: radio del conductor de cada fase

conductor y se obtiene de tablas) 

√

h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h distancias entre

los haz ( ) ( ) (√ ) [ ]

La capacidad por fase de la línea:

( )

Y la Susceptancia capacitiva será a su vez:

[

]

(17)

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Líneas Trifásicas con Transposiciones en Doble Circuito

Potencial en cada tramo para el conductor a1

Potencial en cada tramo para el conductor a2 Unidades de medida:

 (Corresponde al radio total del conductor y se

obtiene de tablas)  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ))

El potencial promedio para el conductor a1:

( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Se calculara el potencial promedio del conductor a1 y del conductor a2 en los tres tramos, para luego calcular el potencial promedio entre estas dos líneas paralelas y así obtener el parámetro Ca, desarrollo idéntico para las restantes fases.

(18)

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Potencial promedio entre los conductores paralelos a1 y a2

[

]

√ √ √ √ √ √ √ √ Donde: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (

) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ))

El potencial promedio para el conductor a1:

( ) ( ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( ( ) )) ( √√ √√( ) ₎ [ ] ( )

(19)

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Línea Trifásica con Transposiciones en Doble Circuito con conductores de fase en haz

Cálculo de Capacidades de Líneas Considerando el Efecto de Tierra

√ ( ) ( ) (√ )

h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h distancias

entre los haz

√ √ √ √ √ √ √ √ Donde:

Se considera en el caso de líneas que operan en Extra Alta Tensión (EAT), ya que la separación entre conductores es comparable a la existente entre conductores y tierra. Para el análisis se harán las siguientes consideraciones:

 La superficie de la tierra se considera un plano equipotencial de potencial cero y extensión infinita.  La carga en la superficie de cada conductor se supone uniformemente distribuida.

 Los conductores se suponen ubicados a una altura “h” constante sobre el plano de tierra, cilíndricos, paralelos entre sí y sus radios son mucho menores que las distancias entre conductores.

 Se empleará el método de imágenes, en que a cada conductor le corresponde un conductor imagen ubicado a la misma distancia que el conductor real bajo el plano de tierra.

 Las cargas de los conductores imágenes son de igual magnitud y signo distinto que la de los conductores reales. Es decir: q’k = - q k

 Así el cálculo del potencial en un punto “p” respecto a tierra, debido a la presencia de “n” conductores cargados, se transforma en un problema de “2n” conductores (los “n” conductores reales y sus “n” imágenes).

∑( )

Bajo las condiciones estipuladas precedentemente, se cumple entonces que:

∑ [ ]

El potencial en el punto “p” será: Unidades de medida:

[

]

( )

(20)

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Línea Monofásica

Línea Trifásica simple circuito con Transposiciones

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Unidades de medida:

 (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene de

tablas)



Este caso, se considerará como una situación particular del caso general. En efecto, si se hace n = 2, se tiene:

Trasladando el punto “p”, sucesivamente a la superficie de los conductores 1 y 2, se tiene: [ ] [ ] * √ √ + √ √ √ √

Por tanto; la capacidad total de la línea será:

En términos de capacidades parciales “C” corresponde a la combinación en paralelo de C12 y la rama serie C10 y C20.

Tramo I

[ ] [ ]

El voltaje en un punto P es:

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Tramo II

[ ] [ ] [ ]

Llevando las distancias Da, Db, Dc, Da`Db`Dc` a la superficie del conductor a se tiene:

Reemplazando se obtiene:

Tramo III

[ ] [ ] [ ]

Llevando las distancias Da, Db, Dc, Da`Db`Dc` a la superficie del conductor a se tiene:

Reemplazando se obtiene: { [ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]]} { [ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]]} { [ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]]} , * [ ] *_√ + [_√] [_√] [ √ ] [√ { [ [ ] * + * + * + * + * +]} [ [ _] _* + * +]

(22)

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Línea Trifásica simple circuito con Transposiciones con conductores de fase en haz

Líneas Trifásicas con Transposiciones en Doble Circuito

* + [ ]

 (Corresponde al radio total del conductor

y se obtiene de tablas)  √ ( ) ( ) (√ ) √ √ √

h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h

distancias entre los haz

√ √ √

 (Corresponde al radio total del conductor y se

obtiene de tablas)  √

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √

Un desarrollo similar al expuesto para una línea sin efecto de tierra se puede realizar en este caso considerando las imágenes a tierra de cada conductor

Donde:

[

]

( )

(23)

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Línea Trifásica con Transposiciones en Doble Circuito con conductores de fase en haz

√ ( ) ( ) (√ )

h : cantidad de conductores que forman cada fase y d12, d13, ..d1h distancias

entre los haz

√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Donde: Unidades de medida:

 (Corresponde al radio total del conductor y se obtiene

de tablas)  √

( )

(24)

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Referencias Bibliográficas

[1]- “Ñom Lufke (EL Rayo Domado)” o “Los sistemas eléctricos de potencia”, W. brokering, R.Palma, L. Vargas, 2008 [2]- “Sistemas Electricos de potencia I”, S. Carter, 2005

[3]- “Analisis de Sistemas de Potencia”, J.Grainger, W.Stevenson, 1998

[4]- “Electric Power Transmision System Engineering Analisys and Desing”, T. Gonen, 1988 [5]- “Sistemas de Potencia, Analisis y diseño”, D. Glover, M. Sarma, 2003

[6]- “Modern Power System Analysis”, D.Kothari, I. Nagrath, 2008 [7]- “Apuntes de clases EIEE, Universidad de Tarapaca”, I. Harnish, 2011