a)
b)
c)
d)
GEOMETRÍA PLANA. Ejercicios resueltos.
1. Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras planas. Solución:
Hallamos la longitud del lado c, que es el desconocido: 2 2 2 2 2 2 2 c =a +b ⇒c =5 +2 ⇒c =25+ ⇒ 4 c 29 cm ⇒ = El perímetro, P será: a=5 cm b=2 cm c c=7 cm a b=3 cm 10 cm 8 cm 5 cm P= + +5 2 29=12, 4 cm Solución: Hallamos la longitud de a: 2 2 2 2 2 2 c =a +b ⇒7 =a +3 ⇒ 2 49 a 9 ⇒ = + ⇒ 2 a 49 9 a 40 cm ⇒ = − ⇒ = El perímetro, P será: P= + +7 3 40=13, 3 cm Solución:
Hallamos la longitud del lado pequeño del rectángulo, que llamaremos x:
2 2 2 2 10 =8 +x ⇒100=64+x ⇒ x 36 6 cm ⇒ = = El perímetro, P será: P= ⋅ + ⋅ =2 8 2 6 28 cm Solución:
Hallamos la longitud del lado del cuadrado que llamaremos x: 2 2 2 2 5 =x +x ⇒25=2x ⇒ 25 5 x cm 2 2 ⇒ = = El perímetro, P será: 5 20 P 4 14, 1 cm 2 2 = ⋅ = =
2. Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras planas:
El perímetro: 100 P 3 cm 17, 3 cm 3 = ⋅ = El área: 2 ap l n ap perímetro 5,77 17, 3 A 49, 9 cm 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = = ap=5 cm 7,26 cm ap=x 4x 10 cm Solución: Perímetro: P= ⋅5 2,7=13, 8 cm Área: 2 ap l n 5 7, 26 5 A 90,75 cm 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = Solución:
Calculamos previamente x, aplicando Pitágoras al triángulo indicado:
( )
2 2 2 2 2 2 10 2x x 100 2x x 100 100 3x x 5,77 cm 3 = + ⇒ = + ⇒ ⇒ = ⇒ = = 2x x 10 cm 5,77 cm ap=6 cm Solución: Perímetro: P= ⋅ = ⋅l n 7 5,77=40, 39 cm Área: 2 ap l n 6 5,77 7 A 121, 17 cm 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = a) b) c)[email protected] Perímetro: P= ⋅3 11, 6 cm=34, 8 cm Área: 2 base altura 11, 6 13 A 150, 8 cm 2 2 ⋅ ⋅ = = =
3. Halla el radio de la circunferencia y el área del círculo asociado, sabiendo que su longitud es de 12π cm. Solución: Radio L 12 L 2 R R 6 cm 2 2 π = ⋅π⋅ ⇒ = = = ⋅π ⋅π Área: 2 2 2 A= π⋅R =3, 14 6⋅ =113, 04 cm
4. Halla la longitud de arco de las dos circunferencia siguientes y también el área asociada a esos arcos
30º θ = R=3 cm altura=13 cm Solución:
Calculamos x, aplicando Pitágoras:
x x 2 13 cm Solución: arco 2 R 2 3, 14 3 30 L 1, 57 cm 360 360 ⋅π⋅ ⋅θ ⋅ ⋅ ⋅ = = = 2 2 2 sec tor R 3, 14 3 30 A 2, 36 cm 360 360 π⋅ ⋅θ ⋅ ⋅ = = = 2 2 2 x 13 x 2 = + ⇒ 2 2 x 169 x 4 = + ⇒ 2 5x 169 4 ⇒ = ⇒ 169 4 x 5 11, 6 cm ⋅ ⇒ = = = d) a)
5. Halla la longitud y el área de la siguiente figura.
(
)
(
)
3 3 1 2 4 1 2 4 total 1 2 3 4 L 2 R L L L 2 R 2 R 2 R L 2 2 2 2 2 2 2 2 R R R R 3, 14 5 3 4 0, 5 39, 25 m ⋅π⋅ ⋅π⋅ ⋅π⋅ ⋅π⋅ = + + + = + + + = = π + + + = + + + = Área.Es la suma de las áreas de cada uno de los semicírculos que aparecen:
(
)
(
)
2 2 2 2 3 3 1 2 4 1 2 4 total 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 A R A A A R R R A 2 2 2 2 2 2 2 2 3, 14 R R R R 5 3 4 0, 5 78, 89 m 2 2 π⋅ π⋅ π⋅ π⋅ = + + + = + + + = π = + + + = + + + =6. Halla el área de la zona comprendida entre el cuadrado y el círculo
2 2 2 cuadrado círculo A=A −A =6 −π⋅3 =36 28, 26− =7,74 m 120º θ = R=12 cm R=3m arco 2 R 2 3, 14 12 120 L 25, 12 cm 360 360 ⋅π⋅ ⋅θ ⋅ ⋅ ⋅ = = = 2 2 2 sec tor R 3, 14 12 120 A 150,72 cm 360 360 π⋅ ⋅θ ⋅ ⋅ = = = Solución: Longitud. Es la suma de la longitud correspondiente a las semicircunferencias de radio 5, 3, 4 y 0,5 cm: Solución: 2 2 cuadrado círculo A=A −A =l −π⋅R
El radio es 3 m y el lado del cuadrado es el doble de 3 m Entonces, sustituyendo datos:
7. Halla el área comprendida entre el círculo y el cuadrado
Ahora sólo nos queda sustituir datos en la expresión del área:
2 2 2
círculo cuadrado
A=A −A = π⋅6, 36 −9 =46, 01 m
8. Calcula el área de la zona sombreada, sabiendo que la diagonal del cuadrado es de 1 cm.
Área del círculo:
2 2 2 círculo 1 2 A R 3, 14 2 3, 14 0, 39 cm 2 8 = π⋅ = ⋅ = ⋅ = Entonces:
(
)
(
)
cuadrado círculo círculo cuadrado cuadrado círculo 2 3 A A A A A A A 2 2 3 0, 5 0, 39 0, 165 cm 2 − − = − − = = − = = l=9 m Solución: 2 2 círculo cuadrado A=A −A = π⋅R − lEl lado del cuadrado es 9 m, pero para obtener el radio Hay que hacer unos cálculos previos.
Hallamos x. El radio será la mitad de esta distancia:
2 2 2 2
x =9 +9 ⇒x =162⇒ =x 162=12,73 m, por lo que, como hemos dicho, R 12,73 6, 36 m
2 = = 9 m 9 m x Solución: círculo cuadrado cuadrado círculo A A A A A 2 − = − −
Área del cuadrado:
2 2 2 2 1 1 2 1 x x x x cm 2 2 2 = + ⇒ = ⇒ = = 2 2 cuadrado 1 A x cm 2 = =
9. Halla el área de la superficie sombreada, sabiendo que el lado del triángulo equilátero es de 7 m.
Cálculo del área del triángulo equilátero:
2 triángulo 21 7 base altura 2 7 3 7 7 3 A m 2 2 4 4 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = = =
Cálculo de la apotema del triángulo:
triángulo 2 triángulo 7 3 2 2A ap l n 4 1 7 A ap m 2 l n 3 7 2 3 ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = = = ⋅ ⋅
Cálculo del radio del triángulo:
2 2 2 2 2 2 7 1 7 R 2 2 3 7 1 7 7 R m 2 2 3 3 = + ⇒ ⇒ = + =
Después de todos estos pasos, tan solo nos queda sustituir el radio de la circunferencia y la altura del triángulo en nuestra expresión del área buscada: 2 2 2 21 7 base altura 7 2 28 21 3 A R 4, 3 m 2 3 2 4 ⋅ ⋅ π− = π⋅ − = π⋅ − = = l= 7 m Solución: 2 círculo triángulo base altura A A A R 2 ⋅ = − = π⋅ −
Cálculo de la altura del triángulo:
( )
2 2 2 7 7 altura 2 7 21 altura 7 m 4 2 = + ⇒ ⇒ = − = 7 m 7 m 2 altura ap R 7 210. Halla el área de la superficie sombreada, sabiendo que la diagonal del cuadrado es de 2 m.
Por otro lado, el radio de la circunferencia (las cuatro esquinas) es la mitad del lado del cuadrado.
El área buscada es:
2 2 2 1 2 A x R 1 3, 14 0, 2 m 2 = −π⋅ = − ⋅ = Solución: 2 2 cuadrado círculo A=A −A =x −π⋅R
Cálculo del lado del cuadrado:
